一元二次方程及其解法_中学教育-中考.pdf

学习必备 欢迎下载 一元二次方程及其解法 考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：)0(0=+2a c bx ax 注：当 b=0 时可化为0=+2c ax这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是 2；(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为)0(0=+2a c bx ax的形式，则这个方程就为一元二次方程（4）将方程化为一般形式：0=+2c bx ax时，应满足（a 0）(4)难点：如何理解“未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（）A 1 2 1 32 x x B 0 21 12 x x C 02 c bx ax D 1 22 2 x x x 变式：当 k 时，关于 x 的方程3 22 2 x x kx是一元二次方程。例 2、方程 0 1 3 2 mx x mm是关于 x 的一元二次方程，则 m的值为。考点二、方程的解 概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知3 22 y y的值为 2，则1 2 42 y y的值为。例 2、关于 x 的一元二次方程 0 4 22 2 a x x a的一个根为 0，则 a 的值为。例 3、已知关于 x 的一元二次方程 0 02 a c bx ax的系数满足b c a，则此方程必有一根为。例 4、已知b a,是方程0 42 m x x的两个根，c b,是方程0 5 82 m y y的两个根，则 m的值为。学习必备 欢迎下载 例 5、已知b a，0 1 22 a a，0 1 22 b b，求 b a 变式：若0 1 22 a a，0 1 22 b b，则abba的值为。6、方程 02 a c x c b x b a的一个根为（）A 1 B 1 C c b D a 7、若 y x 则 y x 32 4,0 3 5 2。考点三、方程解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。（2）方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 类型一、直接开方法 典型例题：例 1、解方程：;0 8 2 12 x（2）7)1 32 x（;0 9 1 32 x 例 2、解关于 x 的方程：02 b ax 3.下列方程无解的是（）A.1 2 32 2 x x B.0 22 x C.x x 1 3 2 D.0 92 x 类型二、配方法 典型例题：例 1、试用配方法说明3 22 x x的值恒大于 0，4 7 102 x x的值恒小于 0。方程就是一元二次方程一般表达式注当时可化为这是一元二次方程的配方式四个特点只含有一个未知数且未知数次数最高次数是是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程先看它是否为整式方程若是再对它进行整理如果能整理 不为未知数指数为若存在某项指数为待定系数或系数也有待定则需建立方程或不等式加以讨论典型例题例下列方程中是关于的一元二次方程的是变式当例方程时关于的方程是一元二次方程是关于的一元二次方程则的值为考点二方程 为例关于的一元二次方程的一个根为则的值为例已知关于的一元二次方程必有一根为的系数满足则此方程例已知是方程的两个根是方程的两个根则的值为学习必备欢迎下载例已知求变式若则的值为方程的一个根为若则考点三方程解学习必备 欢迎下载 例 2、已知 x、y 为实数，求代数式7 4 22 2 y x y x的最小值。例 3、已知，x、y y x y x 0=13+6 4+2 2为实数，求yx的值。变式 1：已知0 41 122 xxxx，则 xx1.例 4、分解因式：3+12+42x x 类型三、因式分解法 针对练习：例 1、3 5 3 2 x x x的根为（）A 25 x B 3 x C 3,252 1 x x D 52 x 例 2、若 0 4 4 3 42 y x y x，则 4x+y 的值为。例 3、方程0 62 x x的解为（）A.2 32 1，x x B.2 32 1，x x C.3 32 1，x x D.2 22 1，x x 例 4、解方程：0 4 3 2 1 3 22 x x 方程就是一元二次方程一般表达式注当时可化为这是一元二次方程的配方式四个特点只含有一个未知数且未知数次数最高次数是是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程先看它是否为整式方程若是再对它进行整理如果能整理 不为未知数指数为若存在某项指数为待定系数或系数也有待定则需建立方程或不等式加以讨论典型例题例下列方程中是关于的一元二次方程的是变式当例方程时关于的方程是一元二次方程是关于的一元二次方程则的值为考点二方程 为例关于的一元二次方程的一个根为则的值为例已知关于的一元二次方程必有一根为的系数满足则此方程例已知是方程的两个根是方程的两个根则的值为学习必备欢迎下载例已知求变式若则的值为方程的一个根为若则考点三方程解学习必备 欢迎下载 例 5、已知0 2 3 22 2 y xy x,则y xy x的值为。变式：已知0 2 3 22 2 y xy x,且0,0 y x,则y xy x的值为。类型四、公式法 典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程：.8 6 3 x x 0 1 42 x x 5 2 1 1 3 1 3 x x x x 例 2、在实数范围内分解因式：（1）3 2 22 x x；（2）1 8 42 x x.2 25 4 2 y xy x 类型五、“降次思想”的应用 主要内容：求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：例 1、已知0 2 32 x x，求代数式 11 123 xx x的值。例 2、如果0 12 x x，那么代数式7 22 3 x x的值。考点四、根与系数的关系 前提：对于02 c bx ax而言，当满足0 a、0 时，才能用韦方程就是一元二次方程一般表达式注当时可化为这是一元二次方程的配方式四个特点只含有一个未知数且未知数次数最高次数是是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程先看它是否为整式方程若是再对它进行整理如果能整理 不为未知数指数为若存在某项指数为待定系数或系数也有待定则需建立方程或不等式加以讨论典型例题例下列方程中是关于的一元二次方程的是变式当例方程时关于的方程是一元二次方程是关于的一元二次方程则的值为考点二方程 为例关于的一元二次方程的一个根为则的值为例已知关于的一元二次方程必有一根为的系数满足则此方程例已知是方程的两个根是方程的两个根则的值为学习必备欢迎下载例已知求变式若则的值为方程的一个根为若则考点三方程解学习必备 欢迎下载 达定理。主要内容：acx xabx x 2 1 2 1,应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程0 7 8 22 x x的两根，则这个直角三 角形的斜边是（）A.3 B.3 C.6 D.6 例 2、解方程组：.2,10)2(;24,10)1(2 2y xy xxyy x 例 3、已知关于 x 的方程 0 1 1 22 2 x k x k有两个不相等的实数根2 1,x x，（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例 4、已知b a，0 1 22 a a，0 1 22 b b，求 b a 变式：若0 1 22 a a，0 1 22 b b，则abba的值为。例 5、已知,是方程0 12 x x的两个根，那么 34 方程就是一元二次方程一般表达式注当时可化为这是一元二次方程的配方式四个特点只含有一个未知数且未知数次数最高次数是是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程先看它是否为整式方程若是再对它进行整理如果能整理 不为未知数指数为若存在某项指数为待定系数或系数也有待定则需建立方程或不等式加以讨论典型例题例下列方程中是关于的一元二次方程的是变式当例方程时关于的方程是一元二次方程是关于的一元二次方程则的值为考点二方程 为例关于的一元二次方程的一个根为则的值为例已知关于的一元二次方程必有一根为的系数满足则此方程例已知是方程的两个根是方程的两个根则的值为学习必备欢迎下载例已知求变式若则的值为方程的一个根为若则考点三方程解学习必备 欢迎下载 练习题 一、选择题 1解方程：3x2+27=0 得（）.(A)x=3(B)x=-3(C)无实数根(D)方程的根有无数个 2方程（2-3x）+（3x-2）2=0 的解是（）.(A),x2=-1(B),(C)x1=x2=(D),x2=1 3.方程(x-1)2=4 的根是().(A)3,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-2 二、填空 7方程 9x2=25 的根是 _ 8.已知二次方程 x2+(t-2)x-t=0 有一个根是 2,则 t=_,另一个根是 _.9.关于 x 的方程 6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是 0,则 m的值为 _.10.关于 x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为 _.11.方程(x+2)(x-a)=0 和方程 x2+x-2=0 有两个相同的解,则 a=_.12解方程：（1）（2）24已知|2m-3|=1，试解关于 x 的方程 3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x2 方程就是一元二次方程一般表达式注当时可化为这是一元二次方程的配方式四个特点只含有一个未知数且未知数次数最高次数是是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程先看它是否为整式方程若是再对它进行整理如果能整理 不为未知数指数为若存在某项指数为待定系数或系数也有待定则需建立方程或不等式加以讨论典型例题例下列方程中是关于的一元二次方程的是变式当例方程时关于的方程是一元二次方程是关于的一元二次方程则的值为考点二方程 为例关于的一元二次方程的一个根为则的值为例已知关于的一元二次方程必有一根为的系数满足则此方程例已知是方程的两个根是方程的两个根则的值为学习必备欢迎下载例已知求变式若则的值为方程的一个根为若则考点三方程解