一元二次方程的解法易错点剖析_中学教育-中考.pdf
学习必备 欢迎下载 一元二次方程易错题剖析 一、在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数a 0 题目 1 关于 x的方程0)1(1 2 22 k x x kk k是一元二次方程，求 k的值 错解：2 1 22 k k 即0 3 22 k k 1k 3，2k 1.错因：方程02 c bx ax（a 0）为一元二次方程，这里强调a 0.当2k 1时，使2k 1 0，原方程是一元一次方程.正解：22k 2k 1 2,k 1 0,k 3.二、在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数a 0 题目 2 关于 x的一元二次方程0 2 3 3 2)1(2 m mx x m有实根，求m的取值范围.错解：方程有实根，0，即)2 3)(1(4)3 2(2 m m m 0，8 4 m 0，m 2.错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足m 10，即m 1。正解：2(2 3m)4(m 1)(3m 2)0,m 1 0,m 2，且m 1.三、忽视根的判别式和二次项的系数a应满足的条件 题目 3 已知关于 x的方程02 n mx x的两根之积比两根之和的 2倍小21，并且两根的平方和为 22，求m，n的值.学习必备 欢迎下载 错解：设两根分别为1x，2x，则1x2xm，2 1x xn.由题意，得1 2 1 22 21 212(x x)x x,2x x 22,即212m n,2m 2n 22,解得11m 7,27n,2 或 22m 3,13n.2 错因：因为方程有两根，说明根的判断式 0，即n m 42 0，但m 7 和n227不满足，应舍去.又这里二次项系数a 1是已知的，解题时可不考虑。正解：当m 7，n227时，2274 72 0，不合题意，舍去；当m 3，n213时，2134)3(2 0，m 3，n213.四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况 题目 4 a为何值时，方程)1(4 11 x xa xxxxx只有一个实数根.错解：原方程化为0)1(2 22 a x x.此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根，0)1(2 4)2(2 a，21 a.错因：当方程0)1(2 22 a x x的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原方程的根时，命题也成立.正解：把x 0代入0)1(2 22 a x x，得a l；把x 1代入0)1(2 22 a x x，得a 5.当1a21，2a 1，3a 5时，原分式方程只有一个实数根.题目关于的方程错解即错因方程为一元二次方程这里强调当时使原方程是一元一次方程正解二在使用一元二次方程根的判别式时容易忽视二次项系数题目关于的一元二次方程有实根求的取值范围错解方程有实根即错因因为题中说明 之积比两根之和的倍小并且两根的平方和为求的值学习必备欢迎下载错解设两根分别为则由题意得即解得或错因因为方程有两根说明根的判断式即但和不满足应舍去又这里二次项系数是已知的解题时可不考虑正解当时不合题意舍去 相等的实数根时分式方程只有一个实根错因当方程的两实根中有一个是原方程的增根另一根是原方程的根时命题也成立正解把代入得把代入当得时原分式方程只有一个实数根学习必备欢迎下载五讨论不定次数的方程的解时只考虑是学习必备 欢迎下载 五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑 是 二次方程时的情况，忽视是一次方程时的情况.题目 5 已知关于x的方程0 2)1(2 k kx x k有实根，求k的取值范围.错解：当2k 1 0(2k)4k(k 1)0，即2 2k 14k 4k 4k 0，时，方程有实根，k 0且k 1时，方程有实根.错因：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程.正解：当k 1 O，即k 1时，方程化为0 1 2 x，1x2-.当k 0时，方程有实根.六、不理解一元二次方程的定义 题目 6 方程(m 1)xm2 1 2mx 3 0 是关于 x 的一元二次方程，求 m的值.错解：由题意可得 m 2 1 2，m 1 错因：一元二次方程满足的条件是：只含有一个未知数；未知数的最高次数为 2；整式方程 方程经整理可转化为一般形式：ax 2 bx c 0(a 0)本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件 正解：由题意可得，m 2 1 2，且 m 1 0，m 1 且 m 1，m的值是 1 七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆 题目 7 用配方法求 2x2 12x 14 的最小值 错解：2 x2 12x 14 x2 6x 9 2(x 3)2 2 当 x 3 时，原多项式的最小值是 2 错因：一元二次方程配方时，二次项系数化为 1，方程两边同时除以二次项系题目关于的方程错解即错因方程为一元二次方程这里强调当时使原方程是一元一次方程正解二在使用一元二次方程根的判别式时容易忽视二次项系数题目关于的一元二次方程有实根求的取值范围错解方程有实根即错因因为题中说明 之积比两根之和的倍小并且两根的平方和为求的值学习必备欢迎下载错解设两根分别为则由题意得即解得或错因因为方程有两根说明根的判断式即但和不满足应舍去又这里二次项系数是已知的解题时可不考虑正解当时不合题意舍去 相等的实数根时分式方程只有一个实根错因当方程的两实根中有一个是原方程的增根另一根是原方程的根时命题也成立正解把代入得把代入当得时原分式方程只有一个实数根学习必备欢迎下载五讨论不定次数的方程的解时只考虑是学习必备 欢迎下载 数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数要注意等式与代数式变形的区别 正解：2 x2 12x 14 2(x2 6x 7)2(x2 6x 9 2)2(x 3)2 4 当 x 3 时，原多项式的最小值是-4.八、解方程中错误使用等式的性质 题目 8 解方程 x2 6x 错解：x2 6x，解这个方程，得 x 6 错因：本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式 正解：x2 6x，x2 6x 0，x(x 6)0，x1 0，x2 6 九、题目 9 关于 x 的方程 2x 4 x k 1，有一个增根为 4，求 k 的值 1.对增根概念理解不准确 错解 1：把 x 4 代入原方程，得 2 4 4 4 k 1，解得 k 3.错因：本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中去，等式不应该成立实际上解法中把 4 当作原方程的根，而没有当作增根来处理 2.忽略题中的隐含条件 错解 2：将原方程化为整式方程，得 4(x k)(x 5 k)2(*)把 x 4 代入整式方程(*)，得 4(4 k)(4 5 k)2 解之，得 k1 3，k2 5答：k 的值为 3 或 5 错因：本解法已经考虑到增根的定义增根是在将无理方程化为整式方程时产题目关于的方程错解即错因方程为一元二次方程这里强调当时使原方程是一元一次方程正解二在使用一元二次方程根的判别式时容易忽视二次项系数题目关于的一元二次方程有实根求的取值范围错解方程有实根即错因因为题中说明 之积比两根之和的倍小并且两根的平方和为求的值学习必备欢迎下载错解设两根分别为则由题意得即解得或错因因为方程有两根说明根的判断式即但和不满足应舍去又这里二次项系数是已知的解题时可不考虑正解当时不合题意舍去 相等的实数根时分式方程只有一个实根错因当方程的两实根中有一个是原方程的增根另一根是原方程的根时命题也成立正解把代入得把代入当得时原分式方程只有一个实数根学习必备欢迎下载五讨论不定次数的方程的解时只考虑是学习必备 欢迎下载 生的，所以题目中的增根 x 4 肯定是在解整式方程(*)时产生的将 x 4 代入整式方程(*)，等式应该成立求出 k1 3，k2 5，但本解法忽略了对 k 值的验证 将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须将求得的 k 值和 x 4 代到原无理方程中去验证 正解：（1）将 k1 3，x 4 代入原无理方程，左边 2 4 4 4 3 1，右边 1左边右边 当 k 3 时，x 4 是适合原方程的根(不是增根)（2）将 k2 5，x 4 代入原无理方程，左边 1，右边 1，左边右边 当 k 5 时，x 4 是原方程的增根 综上所述，原方程有一个增根为 4 时，k 的值为 5 十、忽略前提，乱套公式 题目 10 解方程：2x+3x=4.错解：因为=23-4 1 4=-7 0，所以方程无解.错因：用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一般形式 a2x+bx+c=0(a 0).如果同学们没有理解这一点，胡乱地套用公式，解方程时就会造成错误.正解：方程可化为 2x+3x-4=0.=23-4 1（-4）=25 0.x=25 3.即1x=1,2x=-4.十一、误用性质，导致丢根 题目 11 方程（x-5）(x-6)=x-5 的解是（）题目关于的方程错解即错因方程为一元二次方程这里强调当时使原方程是一元一次方程正解二在使用一元二次方程根的判别式时容易忽视二次项系数题目关于的一元二次方程有实根求的取值范围错解方程有实根即错因因为题中说明 之积比两根之和的倍小并且两根的平方和为求的值学习必备欢迎下载错解设两根分别为则由题意得即解得或错因因为方程有两根说明根的判断式即但和不满足应舍去又这里二次项系数是已知的解题时可不考虑正解当时不合题意舍去 相等的实数根时分式方程只有一个实根错因当方程的两实根中有一个是原方程的增根另一根是原方程的根时命题也成立正解把代入得把代入当得时原分式方程只有一个实数根学习必备欢迎下载五讨论不定次数的方程的解时只考虑是学习必备 欢迎下载 A.x=5 B.x=5 或x=6 C.x=7 D.x=5 或x=7 错解：选 C.将方程的两边同时除以x-5 得x-6=1,解得x=7.错因：在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则就会产生漏根的现象，导致解题出错.正解：选 D.移项得（x-5）(x-6)-(x-5)=0，因式分解得（x-5）(x-7)=0,解得1x=5，2x=7.十二、考虑不周，顾此失彼 题目 12 若关于 x 的一元二次方程(m+1)2x-x+2m-m-2=0的常数项为 0，则 m的值为（）A.m=-1 B.m=2 C.m=-1 或 m=2 D.m=1 或 m=-2 错解：据题意可得2m-m-2=0，解得1m=-1,2m=2，所以选 C.错因：错解中根据题中条件构造关于 m的方程2m-m-2=0，以达到求 m的值的目的，这样思考并没有错，错就错在忽略了一元二次方程的一般形式 a2x+bx+c=0中必须有 a 0 这一条件.正解：据题意可得2m-m-2=0，解得1m=-1,2m=2.又因为 m+1 0,故 m-1，所以m=2，故选 B.十三、一知半解，配方不当 题目 13 解方程：2x-6x-6=0.错解：移项，得 2x-6x=6，故（x-3）2=0 解得1x=2x=3.错因：运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一边加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加或者加错.所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的步骤，避免配方不当产生题目关于的方程错解即错因方程为一元二次方程这里强调当时使原方程是一元一次方程正解二在使用一元二次方程根的判别式时容易忽视二次项系数题目关于的一元二次方程有实根求的取值范围错解方程有实根即错因因为题中说明 之积比两根之和的倍小并且两根的平方和为求的值学习必备欢迎下载错解设两根分别为则由题意得即解得或错因因为方程有两根说明根的判断式即但和不满足应舍去又这里二次项系数是已知的解题时可不考虑正解当时不合题意舍去 相等的实数根时分式方程只有一个实根错因当方程的两实根中有一个是原方程的增根另一根是原方程的根时命题也成立正解把代入得把代入当得时原分式方程只有一个实数根学习必备欢迎下载五讨论不定次数的方程的解时只考虑是学习必备 欢迎下载 错误.正解：移项，得2x-6x=6,所以2x-6x+9=6+9,即2)3(x=15,解得1x=3+15,2x=3-15.十四、概念不清，导致错误 题目 14 下列方程中，一元二次方程为.2(1)4 3 x x；2 2(2)(2)3 1 0 x x；21 3(3)4 03 3 x x；2(4)0 x；(5)1 2 x；2(6)6(5)6 x x x.错解：多找了(2)或(6)或少找了(3)或(4)错因：多找了(2)或(6)是因为没将方程整理，少找(3)是将它看作是分式方程，少找了(4)是因为方程没有一次项，常数项过于简单判断一方程是否为一元二次方程，首先看它是否为整式方程，若是整式方程，再进行整理，整理之后再看它是否符合定义的另两个特点.正解：是方程(1),(3),(4)十五、忽略二次项系数a0导致字母系数取值范围扩大 题目 15.如果关于 x的一元二次方程2 2(2)3 4 0 m x x m有一个解是 0，求 m 的值 错解：将 x 0代入方程中，得2 2(2)0 3 0 4 0 m m，24 m，2 m.错因：由一元二次方程的定义知2 0 m，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正解：将0 x 代入方程中，得 2 2(2)0 3 0 4 0,m m 题目关于的方程错解即错因方程为一元二次方程这里强调当时使原方程是一元一次方程正解二在使用一元二次方程根的判别式时容易忽视二次项系数题目关于的一元二次方程有实根求的取值范围错解方程有实根即错因因为题中说明 之积比两根之和的倍小并且两根的平方和为求的值学习必备欢迎下载错解设两根分别为则由题意得即解得或错因因为方程有两根说明根的判断式即但和不满足应舍去又这里二次项系数是已知的解题时可不考虑正解当时不合题意舍去 相等的实数根时分式方程只有一个实根错因当方程的两实根中有一个是原方程的增根另一根是原方程的根时命题也成立正解把代入得把代入当得时原分式方程只有一个实数根学习必备欢迎下载五讨论不定次数的方程的解时只考虑是学习必备 欢迎下载 24,2 m m.又因为2 0 m，所以2 m.十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的，导致错解 题目 16关于 x的方程2 23 2 mx x x mx 是一元二次方程的条件是什么？错解：由一元二次方程的定义知0 m.错因：一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的.而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得2(1)(3)2 0 m x m x，1 0,1 m m 正解：关于x的方程2 23 2 mx x x mx 是一元二次方程的条件为1 m 十七、忽略一元二次方程有实根条件 0导致错解 题目 17.已知1x,2x是方程2 2(2)3 5 0 x k x k k 的两实根，求 2 21 2x x 的最大值.错解：由根与系数的关系得 1 22 x x k，21 23 5 x x k k，2 2 21 2 1 2 1 22 222()2(2)2(3 5)10 6(5)19,x x x x x xk k kk kk 所以当5 k 时，2 21 2x x 有最大值 19.错因：当5 k 时，原方程变为27 15 0 x x，此时 0，方程无实根.错因是忽略了 0这一重要前提.正解：由于方程有两实根，故 0，即 22(2)4(3 5)0 k k k,解得 4 k34.所以当4 k 时，2 21 2x x 有最大值 18.题目关于的方程错解即错因方程为一元二次方程这里强调当时使原方程是一元一次方程正解二在使用一元二次方程根的判别式时容易忽视二次项系数题目关于的一元二次方程有实根求的取值范围错解方程有实根即错因因为题中说明 之积比两根之和的倍小并且两根的平方和为求的值学习必备欢迎下载错解设两根分别为则由题意得即解得或错因因为方程有两根说明根的判断式即但和不满足应舍去又这里二次项系数是已知的解题时可不考虑正解当时不合题意舍去 相等的实数根时分式方程只有一个实根错因当方程的两实根中有一个是原方程的增根另一根是原方程的根时命题也成立正解把代入得把代入当得时原分式方程只有一个实数根学习必备欢迎下载五讨论不定次数的方程的解时只考虑是学习必备 欢迎下载 十八、未挖掘题目中的隐含条件导致错解 题目 18.若2 2 2 2(1)(3)5 x y x y,则2 2x y=_.错解：2 2 2 2 22 2 2 2()2()8 0(4)(2)0 x y x yx y x y 解得2 2x y=4或2 2x y=-2 错因：忽视了2 2x y 的非负性，所以应舍去2 2x y=-2.正解：4 题目 19、已知方程23 5 0 ax x 有两个实数根，求 的取值范围 错解：已知方程有两个实数根，0，即23 4(5)0,a a209.所以 的取值范围是大于或等于209的实数 错因：因已知方程有两个实数根，这个方程必须是一元二次方程，解答过程忽略了二次项系数 不为 0 的条件。正解：209且 0 题目 20、当 k 为何值时，方程22 3 0 kx x 有实根?错解：已知方程有实根，=(2)4 3 k0，解得 k31又k0，当 k31且k0 时，方程 kx 2x+3=0 有实根 错因：题目未说明已知方程为一元二次方程，当 k=0 时，方程为一元一次方程，此时有实根 x=23，也符合题意。题目关于的方程错解即错因方程为一元二次方程这里强调当时使原方程是一元一次方程正解二在使用一元二次方程根的判别式时容易忽视二次项系数题目关于的一元二次方程有实根求的取值范围错解方程有实根即错因因为题中说明 之积比两根之和的倍小并且两根的平方和为求的值学习必备欢迎下载错解设两根分别为则由题意得即解得或错因因为方程有两根说明根的判断式即但和不满足应舍去又这里二次项系数是已知的解题时可不考虑正解当时不合题意舍去 相等的实数根时分式方程只有一个实根错因当方程的两实根中有一个是原方程的增根另一根是原方程的根时命题也成立正解把代入得把代入当得时原分式方程只有一个实数根学习必备欢迎下载五讨论不定次数的方程的解时只考虑是学习必备 欢迎下载 正解：当 k 31时，已知方程有实根 题目 21、已知关于 x 的方程(m 1)x(m+1)x+1=0 的两实数根互为倒数，求 m 的值.错解：已知方程的两根互为倒数，由根与系数关系，知2111 m，解得2 m 经检验，它们都是方程2111 m的根，所以 m 的值为2，2 错因：求出的 m 值需保证已知方程有两个实数根，因此 m 的值除满足是解题过程中的分式方程的根外(m 1)，还需代入已知方程的根的判别式进行检验实际上，当 m=2时，方程为2(1 2)1 0 x x，=3 2 2 4 0，此时已知方程无实数根 正解：m 的值是2 题目 22、已知1 2x x，是方程20 x px q 的两个实数根，且2 21 2 1 23 1 x x x x，1 21 21 1()()0 x xx x，求 p，q 的值 错解：由根与系数关系，有1 2 1 2,.x x p x x q 由2 21 2 1 23 1,x x x x 得 21 2 1 2()1 x x x x，p+q=1 由 1 21 21 1()()0 x xx x，得 1 21 21()(1)0 x xx x，1(1)0 pq 题目关于的方程错解即错因方程为一元二次方程这里强调当时使原方程是一元一次方程正解二在使用一元二次方程根的判别式时容易忽视二次项系数题目关于的一元二次方程有实根求的取值范围错解方程有实根即错因因为题中说明 之积比两根之和的倍小并且两根的平方和为求的值学习必备欢迎下载错解设两根分别为则由题意得即解得或错因因为方程有两根说明根的判断式即但和不满足应舍去又这里二次项系数是已知的解题时可不考虑正解当时不合题意舍去 相等的实数根时分式方程只有一个实根错因当方程的两实根中有一个是原方程的增根另一根是原方程的根时命题也成立正解把代入得把代入当得时原分式方程只有一个实数根学习必备欢迎下载五讨论不定次数的方程的解时只考虑是学习必备 欢迎下载 由得 p=0 或 q=1 当 p=0 时，代入得 q=1 当 q=1 时，代入得p=2 所以 p，q 的值是 0，1或2，1 或2，1 错因：与题目 3 类似，当 p=0，q=1 时，方程为x+1=0，此时没有实数根。正解：p，q 的值为2，1 或2，1 题目关于的方程错解即错因方程为一元二次方程这里强调当时使原方程是一元一次方程正解二在使用一元二次方程根的判别式时容易忽视二次项系数题目关于的一元二次方程有实根求的取值范围错解方程有实根即错因因为题中说明 之积比两根之和的倍小并且两根的平方和为求的值学习必备欢迎下载错解设两根分别为则由题意得即解得或错因因为方程有两根说明根的判断式即但和不满足应舍去又这里二次项系数是已知的解题时可不考虑正解当时不合题意舍去 相等的实数根时分式方程只有一个实根错因当方程的两实根中有一个是原方程的增根另一根是原方程的根时命题也成立正解把代入得把代入当得时原分式方程只有一个实数根学习必备欢迎下载五讨论不定次数的方程的解时只考虑是
