一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义_中学教育-中考.pdf

精品资料 欢迎下载 教学目标 1、认识一元二次方程 2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。重点、难点 1、一元二次方程解法 2、会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 考点及考试要求 一元二次方程的四种解法 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理 1已知 x=1 是一元二次方程22 1 0 mxx 的一个解，则 m的值是多少？2已知关于 x 的一元二次方程2 22 3 2 0()x mm x 的一个根是 0，求 m的值。3.已知 x=1 是方程21 0 x mx 的根，化简2 26 9 1 2 m m m m；课前检测 精品资料 欢迎下载 4.已知实数 a 满足22 8 0 aa，求)3)(1(1 2)1)(1(31 a12 a aa aa aa的值。新课标第一网 5.已知 m，n 是有理数，方程20 x mx n 有一个根是 5 2，求 m+n的值。一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）形式：2()x a b 举例：解方程：29(1)25 x 解：方程两边除以 9，得：225(1)9x 1 25135 2 5 81,13 3 3 3xx x 知识梳理 归纳类比的思想方法重点难点一元二次方程解法会解一元二次方程并能熟练运用四种方法去解考点及考试要求一元二次方程的四种解法教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理课前检测的一个解则的值是多少已知是一元 有一个根是求的值新课标第一网已知是有理数方程知识梳理一直接开方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解形式举例解方程解方程两边除以得精品资料欢迎下载二配方法理论依据根据完全平方公式形式再用直接开方 常数项移到号右边配方两边都加上一次项系数绝对值一半的平方把原方程化成的形式求解用直接开方法求出方程的解三公式法求根公式举例解方程公式法解一元二次方程的步骤解把一元二次方程化为一般形式确定的值求出的值解若精品资料 欢迎下载 二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2 2 22()a ab b a b，将原方程配成2()x a b 的形式，再用直接开方法求解.）举例：解方程：24 8 3 0 x x 配方法解一元二次方程20 ax bx c(0 a)的步骤：解：232 04x x、二次项系数化为 1.(两边都除以二次项系数.)2324x x、移项.(把常数项移到=号右边.)2 2 232 1 14x x、配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的 21(1)4x 平方，把原方程化成2()x a b 的形式)112x、求解.(用直接开方法求出方程的解.)11 3 1 11,2 12 2 2 2x x 三、公式法：（求根公式：242b b acxa）举例：解方程：22 7 3 x x 公式法解一元二次方程的步骤：解：22 7 3 0 x x、把一元二次方程化为一般形式：20 ax bx c(0 a)2,7,3 a b c、确定,a b c 的值.2 24(7)4 2(3)73 b ac、求出24 b ac 的值.(7)73 7 732 2 4x、若24 0 b ac，则把,a b c 及24 b ac 的值代入求 7 73 7 731,24 4x x 根公式，求出1x 和2x，若24 0 b ac，则方程无解。归纳类比的思想方法重点难点一元二次方程解法会解一元二次方程并能熟练运用四种方法去解考点及考试要求一元二次方程的四种解法教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理课前检测的一个解则的值是多少已知是一元 有一个根是求的值新课标第一网已知是有理数方程知识梳理一直接开方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解形式举例解方程解方程两边除以得精品资料欢迎下载二配方法理论依据根据完全平方公式形式再用直接开方 常数项移到号右边配方两边都加上一次项系数绝对值一半的平方把原方程化成的形式求解用直接开方法求出方程的解三公式法求根公式举例解方程公式法解一元二次方程的步骤解把一元二次方程化为一般形式确定的值求出的值解若精品资料 欢迎下载 四、分解因式法：（理论依据：0 a b，则 0 a 或 0 b；利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成 两个因式相乘等于 0 的形式。）【1】提公因式 分解因式法：举例：、解方程：25 0 x x、解方程：2(3)2(3)0 x x x 解：原方程可变形为：解：原方程可变形为：(5)0 x x(3)(3 2)0 x x x 0 x 或 5 0 x 3 0 x 或 3 2 0 x x 2 10,5 x x 2 13,1 x x【2】运用公式 分解因式法：举例：、解方程：2 2(2 1)(3)x x、解方程：2 2x-6x+9=(5-2x)解：原方程可变形为：解：原方程可变形为：2 2(2 1)(3)0 x x 2 2(x-3)=(5-2x)(2 1 3)(2 1 3)0 x x x x 02 2(x-3)-(5-2x)2 1 3 0 x x 或 2 1 3 0 x x 0(x-3+5-2x)(x-3-5+2x)2 142,3x x x-3+5-2x=0 或 0 x-3-5+2x 2 182,3x x【3】十字相乘 分解因式法(简单、常用、重要的一元二次方程解法)：举例：解方程：25 6 0 x x 解：原方程可变形为：十字相乘法：2x a x b x a b x a b 25 6 0 x x 1-6 交叉相乘：1 1 1(6)5，归纳类比的思想方法重点难点一元二次方程解法会解一元二次方程并能熟练运用四种方法去解考点及考试要求一元二次方程的四种解法教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理课前检测的一个解则的值是多少已知是一元 有一个根是求的值新课标第一网已知是有理数方程知识梳理一直接开方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解形式举例解方程解方程两边除以得精品资料欢迎下载二配方法理论依据根据完全平方公式形式再用直接开方 常数项移到号右边配方两边都加上一次项系数绝对值一半的平方把原方程化成的形式求解用直接开方法求出方程的解三公式法求根公式举例解方程公式法解一元二次方程的步骤解把一元二次方程化为一般形式确定的值求出的值解若精品资料 欢迎下载(6)(1)0 x x 6 0 x 或 1 0 x 2 16,1 x x【4】其它常见类型举例：、解方程：(1)(3)8 x x、解方程：222x+x-1=x+x（换元法）解：原方程可变形为：解：令2x+x y，原方程可化为：21 yy，即：22 0 y y 24 5 0 x x(2)(1)0 y y 2 0 y 或 1 0 y(5)(1)0 x x 1 22,1 y y 5 0 x 或 1 0 x 22 x x，即22 0 x x 2 15,1 x x(2)(1)0 x x，2 12,1 x x 或21 x x，即21 0 x x 1,1,1 a b c 2 24 1 4 1 1 3 0 b ac 方程21 0 x x 无解。原方程的解为：2 12,1 x x 归纳类比的思想方法重点难点一元二次方程解法会解一元二次方程并能熟练运用四种方法去解考点及考试要求一元二次方程的四种解法教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理课前检测的一个解则的值是多少已知是一元 有一个根是求的值新课标第一网已知是有理数方程知识梳理一直接开方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解形式举例解方程解方程两边除以得精品资料欢迎下载二配方法理论依据根据完全平方公式形式再用直接开方 常数项移到号右边配方两边都加上一次项系数绝对值一半的平方把原方程化成的形式求解用直接开方法求出方程的解三公式法求根公式举例解方程公式法解一元二次方程的步骤解把一元二次方程化为一般形式确定的值求出的值解若精品资料 欢迎下载 第二课时 一元二次方程的四种解法典型例题 题型一：直接开平方法 例 1.（1）2 22 16 1 9 x x（2）11 16 24 92 x x 变 1.（1)解关于 x 的方程：02 b ax(2)下列方程无解的是（）A.1 2 32 2 x x B.0 22 x C.x x 1 3 2 D.0 92 x 题型二：配方法 例 2.(1)x2+8x-9=0（2）x2-x-1=0 典型例题 归纳类比的思想方法重点难点一元二次方程解法会解一元二次方程并能熟练运用四种方法去解考点及考试要求一元二次方程的四种解法教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理课前检测的一个解则的值是多少已知是一元 有一个根是求的值新课标第一网已知是有理数方程知识梳理一直接开方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解形式举例解方程解方程两边除以得精品资料欢迎下载二配方法理论依据根据完全平方公式形式再用直接开方 常数项移到号右边配方两边都加上一次项系数绝对值一半的平方把原方程化成的形式求解用直接开方法求出方程的解三公式法求根公式举例解方程公式法解一元二次方程的步骤解把一元二次方程化为一般形式确定的值求出的值解若精品资料 欢迎下载（3）x2-21x-3=0(4)x2+2x+2=0 变 2.（1）x2 2x 1 0（2）y2 6y 6 0（3）4x2 4x 3（4）3x2 4x 2 题型三：因式分解法 例 3.3 5 3 2 x x x 的根为（）A 25 x B 3 x C 3,252 1 x x D 52 x 变 3.（1）2 2169 4 b a(平方差)(2)y x y x y x3 2 3 42 6 8(提公因式)归纳类比的思想方法重点难点一元二次方程解法会解一元二次方程并能熟练运用四种方法去解考点及考试要求一元二次方程的四种解法教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理课前检测的一个解则的值是多少已知是一元 有一个根是求的值新课标第一网已知是有理数方程知识梳理一直接开方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解形式举例解方程解方程两边除以得精品资料欢迎下载二配方法理论依据根据完全平方公式形式再用直接开方 常数项移到号右边配方两边都加上一次项系数绝对值一半的平方把原方程化成的形式求解用直接开方法求出方程的解三公式法求根公式举例解方程公式法解一元二次方程的步骤解把一元二次方程化为一般形式确定的值求出的值解若精品资料 欢迎下载（3）2 2)(4)(n m n m（平方差)（4）9 62 a a(完全平方式)(5）2 236 12 y x xy(完全平方式)（6）4)(5)(2 b a b a（十字相乘法）（7）2 212 7 q pq p（十字相乘法）（8）3 2)2(2)2(5 m n n m n(提公因式)例 4.若 0 4 4 3 42 y x y x，则 4x+y 的值为。变 4.解下列方程(1)(2x 3)2=(3x 2)2(2)4x+145-x-52=23 x+2 题型四：公式法 归纳类比的思想方法重点难点一元二次方程解法会解一元二次方程并能熟练运用四种方法去解考点及考试要求一元二次方程的四种解法教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理课前检测的一个解则的值是多少已知是一元 有一个根是求的值新课标第一网已知是有理数方程知识梳理一直接开方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解形式举例解方程解方程两边除以得精品资料欢迎下载二配方法理论依据根据完全平方公式形式再用直接开方 常数项移到号右边配方两边都加上一次项系数绝对值一半的平方把原方程化成的形式求解用直接开方法求出方程的解三公式法求根公式举例解方程公式法解一元二次方程的步骤解把一元二次方程化为一般形式确定的值求出的值解若精品资料 欢迎下载 例 5.选择适当方法解下列方程：.6 1 32 x.8 6 3 x x 0 1 42 x x 变 5.（1）0 1 4 32 x x（2）5 2 1 1 3 1 3 x x x x 说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例 6.在实数范围内分解因式：（1）3 2 22 x x；（2）1 8 42 x x.2 25 4 2 y xy x 说明：对于二次三项式 c bx ax 2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令 c bx ax 2=0，求出两根，再写成 c bx ax 2=)(2 1x x x x a.归纳类比的思想方法重点难点一元二次方程解法会解一元二次方程并能熟练运用四种方法去解考点及考试要求一元二次方程的四种解法教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理课前检测的一个解则的值是多少已知是一元 有一个根是求的值新课标第一网已知是有理数方程知识梳理一直接开方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解形式举例解方程解方程两边除以得精品资料欢迎下载二配方法理论依据根据完全平方公式形式再用直接开方 常数项移到号右边配方两边都加上一次项系数绝对值一半的平方把原方程化成的形式求解用直接开方法求出方程的解三公式法求根公式举例解方程公式法解一元二次方程的步骤解把一元二次方程化为一般形式确定的值求出的值解若精品资料 欢迎下载 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.第三课时 一元二次方程的四种解法课堂检测 一、选择题 1解方程：3x2+27=0得（）.(A)x=3(B)x=-3(C)无实数根(D)方程的根有无数个 2方程（2-3x）+（3x-2）2=0 的解是（）.(A),x2=-1(B),(C)x1=x2=(D),x2=1 3.方程(x-1)2=4 的根是().(A)3,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-2 4.用配方法解方程:正确的是().(A)(B)课堂检测 归纳类比的思想方法重点难点一元二次方程解法会解一元二次方程并能熟练运用四种方法去解考点及考试要求一元二次方程的四种解法教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理课前检测的一个解则的值是多少已知是一元 有一个根是求的值新课标第一网已知是有理数方程知识梳理一直接开方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解形式举例解方程解方程两边除以得精品资料欢迎下载二配方法理论依据根据完全平方公式形式再用直接开方 常数项移到号右边配方两边都加上一次项系数绝对值一半的平方把原方程化成的形式求解用直接开方法求出方程的解三公式法求根公式举例解方程公式法解一元二次方程的步骤解把一元二次方程化为一般形式确定的值求出的值解若精品资料 欢迎下载(C),原方程无实数解(D)原方程无实数解 5.一元二次方程 用求根公式求解,先求 a,b,c 的值,正确的是().(A)a=1,b=(B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=-,c=-2(D)a=-1,b=,c=2 6用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是（）.（A）（B）（C）（D）都不对 二、填空 7方程 9x2=25 的根是 _.8.已知二次方程 x2+(t-2)x-t=0 有一个根是 2,则 t=_,另一个根是 _.9.关于 x 的方程 6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是 0,则 m的值为 _.10.关于 x 的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为 _.11.方程(x+2)(x-a)=0 和方程 x2+x-2=0 有两个相同的解,则 a=_.三、用适当的方法解下列关于 x 和 y 的方程 12（x+2）（x-2）=1.13.(3x-4)2=(4x-3)2 14.3x2-4x-4=0.15.x2+x-1=0.归纳类比的思想方法重点难点一元二次方程解法会解一元二次方程并能熟练运用四种方法去解考点及考试要求一元二次方程的四种解法教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理课前检测的一个解则的值是多少已知是一元 有一个根是求的值新课标第一网已知是有理数方程知识梳理一直接开方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解形式举例解方程解方程两边除以得精品资料欢迎下载二配方法理论依据根据完全平方公式形式再用直接开方 常数项移到号右边配方两边都加上一次项系数绝对值一半的平方把原方程化成的形式求解用直接开方法求出方程的解三公式法求根公式举例解方程公式法解一元二次方程的步骤解把一元二次方程化为一般形式确定的值求出的值解若精品资料 欢迎下载 16.x2+2x-1=0.17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0.18用因式分解法、配方法、分式法解方程 2x2+5x-3=0.（A）因式分解法（B）配方法（C）公式法 19已知|2m-3|=1，试解关于 x 的方程 3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x2 归纳类比的思想方法重点难点一元二次方程解法会解一元二次方程并能熟练运用四种方法去解考点及考试要求一元二次方程的四种解法教学内容第一课时一元二次方程的四种解法知识梳理课前检测的一个解则的值是多少已知是一元 有一个根是求的值新课标第一网已知是有理数方程知识梳理一直接开方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解形式举例解方程解方程两边除以得精品资料欢迎下载二配方法理论依据根据完全平方公式形式再用直接开方 常数项移到号右边配方两边都加上一次项系数绝对值一半的平方把原方程化成的形式求解用直接开方法求出方程的解三公式法求根公式举例解方程公式法解一元二次方程的步骤解把一元二次方程化为一般形式确定的值求出的值解若