广东省深圳市罗湖区部分学校2023-2024学年高三上学期开学模拟考试（质量检测一）数学试题含答案.pdf

20232024 学年高三质量检测（一）数学试卷第 1 页(共4 页)绝密启用前试卷类型：A20232024 学年高三质量检测（一）数学试卷学年高三质量检测（一）数学试卷本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，正确粘贴条形码；2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑；3.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液；不按以上要求作答无效；4.考试结束后，考生上交答题卡。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合|21xAx，2,1,0,1,2B ，则AB A0,1,2B1,2C 2,1,0D 2,12已知复数z满足i=12iz，则z的虚部为A1B1C2D23已知向量,a b满足(4)aab，(3)bab，则向量,a b的夹角为A6B3C23D564已知函数ln(e1)3()2axf xx为奇函数，则a A12B2C13D35“5a”是“圆221:1Cxy与圆222:()(2)36Cxaya存在公切线”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知函数()cos()f xx的图象大致如图，则()cos()f xx()cos()f xx()cos()f xx()cos()f xxA12B22C32D1xy54114O(第 6 题图)2023.081145611422广东省深圳市罗湖区部分学校2023-2024学年高三上学期开学模拟考试（质量检测一）数学试题20232024 学年高三质量检测（一）数学试卷第 2 页(共4 页)7数列na中，12a，23a，12nnnaa a，则2024aA2B3C13D238已知一个圆锥的母线长为 10，高为 8，则该圆锥内切球的表面积与圆锥的表面积之比为A35B38C13D313二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9若随机变量2(10,2)XN，则A(10)0.5P XB(8)(12)1P XP XC(814)(1016)PXPXD(21)8DX 10已知函数()f x的定义域为R，(1)f x 为偶函数，(32)fx 为奇函数，则A()f x的图象关于1x 对称B()f x的图象关于(1,0)对称C(4)()f xf xD200()1if i11已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为12，左、右焦点分别为12,FF，上顶点为P，若过1F且倾斜角为30的直线l交椭圆E于,A B两点，PAB的周长为8，则A直线2PF的斜率为3B椭圆E的短轴长为4C122PFPF D四边形2APBF的面积为481312欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一在数学史上，人们称 18 世纪为欧拉时代直到今天，我们在数学及其应用的众多分支中，常常可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函数 欧拉函数*()()nnN的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如(1)1，(4)2，则下列说法正确的是A(15)(3)(5)B12nn，都有12()()nnC方程*()1()nnnN有无数个根D1(7)67kk()kN三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知为锐角，tan2，则sincos14262()xx的展开式中，3x的系数为15过抛物线2:4C yx焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且3AFFB，若M为AB的中点，则M到y轴的距离为16正方体1111ABCDABC D的棱长为2，底面ABCD内（含边界）的动点P到直线1CC的距离与到平面11ADD A的距离相等，则三棱锥11PAB D体积的取值范围为20232024 学年高三质量检测（一）数学试卷第 3 页(共4 页)四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已 知 数 列na为 正 项 等 差 数 列，数 列 nb为 递 增 的 正 项 等 比 数 列，11a，1122430ababab（1）求数列na，nb的通项公式；（2）数列 nc满足,nnnancbn为奇数为偶数，求数列 nc的前2n项的和18（12 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，ABPD（1）证明：平面PAD 平面ABCD；（2）若PAPD，60PDA，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值19（12 分）已知,a b c分别为三角形ABC三个内角,A B C的对边，且cos3 coscBbCab（1）求C；（2）若5a，13cos14B，D为AB边上一点，且5BD，求ACD的面积PABCD(第 18 题图)20232024 学年高三质量检测（一）数学试卷第 4 页(共4 页)20（12 分）某厂生产的产品每 10 件包装成一箱，每箱含 0，1，2 件次品的概率分别为 0.8，0.1，0.1 在出厂前需要对每箱产品进行检测，质检员甲拟定了一种检测方案：开箱随机检测该箱中的 3件产品，若无次品，则认定该箱产品合格，否则认定该箱产品不合格（1）在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，求该箱产品不含次品的概率；（2）若质检员甲随机检测一箱中的 3 件产品，抽到次品的件数为X，求X的分布列及期望21（12 分）已知函数()e()xf xmx mR（1）讨论()f x的单调性；（2）当0 x 时，若关于x的不等式()ln(1)10f xx 恒成立，求实数m的取值范围22（12 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，且12|4FF，若C上的点M满足12|2MFMF恒成立（1）求C的方程；（2）若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且|=|MPMQ（i）证明：l与C有且仅有一个交点；（ii）求12|OPOQ的取值范围()ln(1)10f xx 第1页 共5页 20232024 学年高三质量检测（一）学年高三质量检测（一）数学参考答案数学参考答案一、选择题本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D A C B B 二、选择题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。题号 9 10 11 12 答案 AB AC ACD ACD 三、填空题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1335514160 15531643,2 四、解答题本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）解：解：（1）设该等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知得1+=11+3=12，.2 分 因为数列为正项数列，为正项递增数列，所以=2，=1，.4 分 所以=1+(1)1=，=1 21=21.6 分（2）由已知得=,为奇数21,为偶数，.7 分 所以数列的前2项和为2=(1+3+21)+(2+4+2)=(1+3+2 1)+(21+23+221).8 分=(1+2 1)2+21(1 4)1 4=32+22+123.10 分 18（12 分）证：证：（1）底面为正方形，.1 分 又 ，=,平面，.3 分 平面，.4 分 第2页 共5页 平面，.5 分 平面 平面.6 分 解解：（法一）（2）取中点为，连结，在中，=，=60，,为等边三角形 平面 平面，平面 平面=，平面，平面，.7 分 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设底面正方形的边长为 2，(0,0,3)，(1,0,0)，(1,2,0)，(1,2,0)，(1,0,0)，=(1,2,3)，=(1,2,3)，.9 分设平面的一个法向量=(,)，则 =0 =0，即+2 3=0+2 3=0，令=3，则=0，=23，=(0,3,23)，.10 分由（1）可知平面的一个法向量=(0,1,0)，.11 分 设平面与平面的夹角为，则=|=3211=217，平面与平面夹角的余弦值为217.12 分（法二）（2）设平面与平面的交线为，/，平面，平面，/平面，又 平面，/，/，平面与平面有一个交点，为过点且与平行的一条直线，如下图，.7 分 取中点为，取中点为，连结，底面四边形为正方形，,分别为,的中点，/，又 平面，平面，.8 分 平面，P A B C D(第 18 题图 1)Oy z x 第3页 共5页 ，在 中，=，为的中点，又 =，,平面，平面，又为锐角，为平面与平面的夹角，.10 分设底面正方形的边长为 2，在中，=2+2=7，=37=217，平面与平面夹角的余弦值为217.12 分 19（12 分）解解：（1）由正弦定理得+3=，.2 分 因为=(+)=(+)，所以 +3=(+)，.3 分 即 +3=+，2=，而 0，所以=12，.5 分 又因为 (0,)，所以=23.6 分（2）因为=1314，(0,)，所以=1 2=3314，.7 分 =(+)=23+23=5314，.8 分 由正弦定理=，得55314=3314=32，P A B C D(第 18 题图 2)O M l 第4页 共5页 解得=3，=7，.10 分 则=2，所以=12 =12 2 3 5314=15314.12 分 20（12 分）解解：（1）记“质检员甲认定一箱产品合格”为事件，“该箱产品不含次品”为事件，则()=0.8 1+0.1 93103+0.1 83103=1112，.3 分()=0.8=45，.4 分 由条件概率公式得(|)=()()=451112=4855，所以在质检员甲认定一箱产品合格的条件下，该箱产品不含次品的概率为4855.6 分（2）由题意可得可以取0，1，2，.7 分 则(=0)=()=1112，.8 分(=1)=0.1 1192103+0.1 2182103=23300，.9 分(=2)=0.1 2281103=1150，.10 分 所以随机变量的分布列为 0 1 2 1112233001150.11 分 所以()=0 325+1 23300+2 1150=9100.12 分 21（12 分）解解：（1）()=，.1 分当 0时，由()0，()在上单调递增，.2 分 当 0时，由()=0，可得=，(,)时，()0，()单调递增.4 分 当 0时，()在上单调递增；当 0时，()在区间(,)上单调递减，在区间(,+)上单调递增（2）设()=+(+1)1(0)，则()=+1+1，.5 分（i）当 1时，()=+1+1 1 0，.6 分()在区间0,+)上单调递增，则()(0)=0恒成立，.7 分（ii）当 1时，令()=+1+1，则()=1(+1)2，.8 分 第5页 共5页 令()=1(+1)2，则()=+2(+1)3 0，()在区间0,+)上单调递增，则()(0)=0，()在区间0,+)上单调递增，则()(0)=2 ，.9 分 若1 2，则(0)0，0(0,+1)，使得(0)=0，()在区间0,0)上单调递减，则(0)(0)=0，与条件矛盾，.11 分综上所述，实数的取值范围为(,2.12 分 22（12 分）解：解：（1）由双曲线定义可知|1|2|=2=2，=1，.1 分又由|12|=4，=2，.2 分 2+2=2，=3，.3 分双曲线的方程为223=1.4 分（2）（i）设(0,0)，(1,1)，(2,2)，则1=31，2=32，将+可得1+2=3(1 2)，将可得1 2=3(1+2)，.5 分1+23(1+2)=3(12)12，即1+21+2=3(12)12，.6 分 由题可知|=|，1+2=20，1+2=20，00=3(12)12，即=300，.7 分 直线的方程为 0=300(0)，即30 0=302 02，又点在上，302 02=3，则30 0=3，.8 分将方程联立223=1，30 0=3，得(02 302)2+60 3 02=0，32+60 302=0，由=0可知方程有且仅有一个解，与有且仅有一个交点.9 分（ii）由（2）（i）联立=3，30 0=3，可得1=3300，同理可得2=330+0，.10 分|=12+12 22+22=4|12|=4 330202=4，.11 分 1|+2|=1|+|2 21|2=2，当且仅当1|=|2即|=2时取等号 又|(0,+)，1|+2|的取值范围为2,+).12 分