2020年江苏省高考数学试卷（解析版）.pdf

关注公众号：数学货绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积，其中 是柱体的底面积，是柱体的高 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合，则 _.【答案】【解析】【分析】根据集合 交集即可计算.【详解】,故答案为：.【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型 2.已知 是虚数单位，则复数 的实部是_.【答案】3 的V Sh S h 1,0,1,2,0,2,3 A B A B 0,2 1,0,1,2 A 0,2,3 B 0,2 A B I 0,2i(1 i)(2 i)z 关注公众号：数学货【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】复数 复数的实部为 3.故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题 3.已知一组数据 的平均数为 4，则 的值是_.【答案】2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可【详解】数据 的平均数为 4，即.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是_.【答案】【解析】【分析】分别求出基本事件总数，点数和为 5 的种数，再根据概率公式解答即可【详解】根据题意可得基本事件数总为 个.点数和为 5 的基本事件有，共 4 个.出现向上的点数和为 5 的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 5.如图是一个算法流程图，若输出 的值为，则输入 的值是_.1 2 z i i 22 2 3 z i i i i 4,2,3,5,6 a a a4,2,3,5,6 a a 4 2 3 5 6 20 a a 2 a 196 6 36 1,4 4,1 2,3 3,24 136 9P 19y2 x关注公众号：数学货【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质，判断出，由此求得 的值.【详解】由于，所以，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.6.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线=1(a0)的一条渐近线方程为 y=x，则该双曲线的离心率是_.【答案】【解析】【分析】根据渐近线方程求得，由此求得，进而求得双曲线的离心率.【详 解】双 曲 线，故.由 于 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为，即，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.7.已知 y=f(x)是奇函数，当 x0 时，则 f(-8)的值是_.【答案】【解析】3 1 y x x2 0 x1 2 y x 3 x 3 22xa25y 5232a c2 2215x ya 5 b 52y x 522baa 2 24 5 3 c a b 32ca32 23f x x 4 关注公众号：数学货【分析】先求，再根据奇函数求【详解】，因为 为奇函数，所以 故答案为：【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知=，则 的值是_.【答案】【解析】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm.【答案】【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为(8)f(8)f 23(8)8 4 f()f x(8)(8)4 f f 4 2sin()4 23sin 2132 22 2 1sin()(cos sin)(1 sin 2)4 2 2 2 Q1 2 1(1 sin 2)sin 22 3 3 1312 32236 2 2=12 34 关注公众号：数学货圆柱体积为 所求几何体体积为 故答案为：【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.10.将函数 y=的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 y轴最近的对称轴的方程是_.【答案】【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】当 时 故答案为：【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.11.设an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn的前 n 项和，则 d+q 的值是_【答案】【解析】【分析】结合等差数列和等比数列前 项和公式的特点，分别求得 的公差和公比，由此求得.【详解】设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为，根据题意.等差数列 的前 项和公式为，等比数列 的前 项和公式为，21()22 2 12 3212 32sin(2)43 x 6524x 3sin2()3sin(2)6 4 12y x x 72()()12 2 24 2kx k k Z x k Z 1 k 524x 524x 22 1()nnS n n n N4n,n na b d q na d nbq1 q na n 21 112 2 2nn nd dP na d n a n nb n 11 111 1 1nnnb qb bQ qq q q 关注公众号：数学货依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前 项和公式，属于中档题.12.已知，则 的最小值是_【答案】【解析】【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【详解】且，当且仅当，即 时取等号.的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.13.在ABC中，D 在边 BC上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若（m 为常数），则 CD 的长度是_ n n nS P Q 2 2 1 112 12 2 1 1n nb b d dn n n a n qq q 111212211ddaqbq 112021daqb 4 d q 4n2 2 45 1(,)x y y x y R 2 2x y 4542215yxy4 22 2 22 21 1 4+5 5 5y yx y yy y 2 2 45 1 x y y 0 y 42215yxy4 2 22 2 22 2 21 1 4 1 4 4+25 5 5 5 5 5y y yx y yy y y 221 45 5yy2 23 1,10 2x y 2 2x y 4545 4 3=90 AB AC BAC，3()2PA mPB m PC 关注公众号：数学货【答案】【解析】【分析】根据题设条件可设，结合 与 三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】三点共线，可设，即，若 且，则 三点共线，即，,，设，则，.根据余弦定理可得，解得，的长度为.当 时，重合，此时 的长度为，185 0 PA PD 32PA mPB m PC,B D C BC,A D P 0 PA PD 32PA mPB m PC 32PD mPB m PC 32mmPD PB PC 0 m 32m,B D C321mm 32 9 AP 3 AD 4 AB 3 AC 90 BAC 5 BC CD x CDA 5 BD x BDA 2 2 2cos2 6AD CD AC xAD CD 22 2 25 7cos2 6 5x AD BD ABAD BD x cos cos 0 25 706 6 5x xx 185x CD1850 m 32PA PC,C DCD 0关注公众号：数学货当 时，重合，此时，不合题意，舍去.故答案为：0 或.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出 14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知，A，B 是圆 C：上的两个动点，满足，则PAB面积的最大值是_【答案】【解析】【分析】根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形 PAB 面积，最后利用导数求最大值.【详解】设圆心 到直线 距离为，则 所以 令（负值舍去）当 时，；当 时，因此当 时，取最大值，即 取最大值为，故答案为：【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点 32m 32PA PB,B D12 PA 185 0 PA PD 3(0)2P，2 21()362x y PA PB 10 5PC AB PA PB PC AB QC AB d23 1|=2 36,|14 4AB d PC 2 2 212 36(1)(36)(1)2PABS d d d d V2 2 2(36)(1)(0 6)2(1)(2 36)0 4 y d d d y d d d d 0 4 d 0 y 4 6 d 0 y 4 d yPABS10 510 5关注公众号：数学货（1）求证：EF平面 AB1C1；（2）求证：平面 AB1C平面 ABB1【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）通过证明，来证得 平面.（2）通过证明 平面，来证得平面 平面.【详解】（1）由于 分别是 的中点，所以.由于 平面,平面，所以 平面.（2）由于 平面，平面，所以.由于，所以 平面,由于 平面，所以平面 平面.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.16.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 1/EF AB/EF1 1AB CAB 1AB C1AB C 1ABB,E F1,AC B C1/EF ABEF 1 1AB C1AB 1 1AB C/EF1 1AB C1B C ABC AB ABC1B C AB 1,AB AC AC B C C AB 1AB CAB 1ABB1AB C 1ABB3,2,45 a c B 关注公众号：数学货（1）求 的值；（2）在边 BC上取一点 D，使得，求 的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）根据 的值，求得 的值，由（1）求得 的值，从而求得的值，进而求得 的值.【详解】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，所以.由于，所以，所以 所以.由于，所以.所以.sin C4cos5ADC tan DAC 5sin5C 2tan11DAC b sin Ccos ADC sin ADC cosCsin,cos DAC DAC tan DAC 2 2 222 cos 9 2 2 3 2 52b a c ac B 5 b sin 5sinsin sin 5c b c BCC B b 4cos5ADC,2ADC 23sin 1 cos5ADC ADC,2ADC 0,2C 22 5cos 1 sin5C C sin sin DAC DAC sin ADC C sin cos cos sin ADC C ADC C 3 2 5 4 5 2 55 5 5 5 25 0,2DAC 211 5cos 1 sin25DAC DAC sin 2tancos 11DACDACDAC 关注公众号：数学货【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上、桥 AB与 MN平行，为铅垂线(在 AB上).经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离(米)与 D 到 的距离 a(米)之间满足关系式；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离(米)与 F 到 的距离 b(米)之间满足关系式.已知点 B 到 的距离为 40 米.（1）求桥 AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于 的桥墩 CD 和 EF，且 CE为 80 米，其中 C，E 在 AB上(不包括端点).桥墩 EF每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价(万元)(k0).问 为多少米时，桥墩 CD 与 EF的总造价最低?【答案】（1）120 米（2）米【解析】【分析】（1）根据 A,B 高度一致列方程求得结果；（2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果.【详解】（1）由题意得 米（2）设总造价为 万元，设，OO O1hOO21140h a 2hOO3216800h b b OOOO32k O E 20 O E 2 31 1|40 6 40|8040 800O A O A|80 40 120 AB O A O B()f x21|80 16040O O|O E x 3 21 3 1()(160 6)160(80),(0 40)800 2 40f x k x x k x x 关注公众号：数学货(0 舍去)当 时，；当 时，因此当 时，取最小值，答：当 米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.18.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E 相交于另一点 B（1）求AF1F2的周长；（2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求 的最小值；（3）设点 M 在椭圆 E 上，记OAB与MAB的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得，从而可求出 的周长；（2）设，根据点 在椭圆 上，且在第一象限，求出，根据准线方程得点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值；（3）设出设，点 到直线 的距离为，由点 到直线 的距离与，可推出，根据点到直线的距离公式，以及 满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标.【详解】（1）椭圆 的方程为 3 2 21 3 3 6()(160),()()0 20800 80 800 80f x k x x f x k x x x 0 20 x()0 f x 20 40 x()0 f x 20 x=()f x20 O E 2 2:14 3x yE OP QP 2,0 M2 12,7 7 1 24 AF AF 1 2AF F 0,0 P xA E2 1 2AF F F 31,2A Q 1 1,M x yM AB d O AB2 13 S S 95d 1 1,M x yE2 214 3x y 关注公众号：数学货,由椭圆定义可得：.的周长为（2）设，根据题意可得.点 在椭圆 上，且在第一象限，准线方程为，当且仅当 时取等号.的最小值为.（3）设，点 到直线 的距离为.，直线 的方程为 点 到直线 的距离为，联立解得，.11,0 F 21,0 F1 24 AF AF 1 2AF F 4 2 6 0,0 P x01 x A E2 1 2AF F F 31,2A 4 x 4,QQ y 20 0 0 0 0,0 4,4 2 4 4QOP QP x x y x x x 02 x OP QP 4 1 1,M x yM AB d31,2A 11,0 F 1AF 314y x O AB352 13 S S 2 11 3 13 32 5 2S S AB AB d 95d 1 13 4 3 9 x y 2 21 114 3x y 1120 xy 1127127xy 关注公众号：数学货 或.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据 推出 是解答本题的关键.19.已知关于 x的函数 与 在区间 D 上恒有（1）若，求 h(x)的表达式；（2）若，求 k的取值范围；（3）若 求证：【答案】（1）；（2）；（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）求得 与 的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 的表达式.（2）先由，求得 的一个取值范围，再由，求得 的另一个取值范围，从而求得 的取值范围.（3）先由，求得 的取值范围，由方程 的两个根，求得 的表达式，利用导数证得不等式成立.【详解】（1）由题设有 对任意的 恒成立.令，则，所以.因此 即 对任意的 恒成立，所以，因此.故.（2）令，.又.2,0 M2 12,7 7 2 13 S S 95d(),()y f x y g x()(,)h x kx b k b R()()()f x h x g x 2 22 2()f x x x g x x x D，2 1 ln,()()()(0)x x g k x h kx k D f x x x，4 2 2 2 4 2()2()(4 8()4 3 0)2 2 f x x x g x x h x t t x t t t，,2,2 D m n，7 n m 2 h x x 0,3 k f x g x h x 0 h x g x k 0 f x h x kk f x h x t 0 g x h x n m 2 22 2 x x kx b x x x R0 x 0 0 b 0 b 22 kx x x 22 0 x k x x R 22 0 k 2 k 2 h x x 1 ln 0 F x h x g x k x x x 0 1 F 1 xF x kx 关注公众号：数学货若，则 在 上递增，在 上递减，则，即，不符合题意.当 时，符合题意.当 时，在 上递减，在 上递增，则，即，符合题意.综上所述，.由 当，即 时，在 为增函数，因为，故存在，使，不符合题意.当，即 时，符合题意.当，即 时，则需，解得.综上所述，的取值范围是.（3）因为 对任意 恒成立，对任意 恒成立，等价于 对任意 恒成立.故 对任意 恒成立 令，当，此时，当，但 对任意的 恒成立.等价于 对任意的 恒成立.k 0 F x()0,1()1,+1 0 F x F 0 h x g x 0 k 0,F x h x g x h x g x 0 k F x()0,1()1,+1 0 F x F 0 h x g x 0 k 21 f x h x x x kx k 21 1 0 x k x k 102kx 1 k 21 1 y x k x k()0,+0 0 1 0 f h k 00,x 0 f x h x 102kx 1 k 20 f x h x x 102kx 1 k 21 4 1 0 k k 1 3 k k 0,3 k 4 2 3 4 2 22 4 3 2 4 8 x x t t x t t x,2,2 x m n 4 2 3 4 22 4 3 2 x x t t x t t,2,2 x m n 2 2 2()2 3 2 0 x t x tx t,2,2 x m n 2 22 3 2 0 x tx t,2,2 x m n 2 2()2 3 2 M x x tx t 20 1 t 28 8 0,1 1 t t 2 2 1 7 n m t 21 2 t 28 8 0 t 2 3 4 24 8 4 3 2 x t t x t t,2,2 x m n 2 3 2 24 4 3 4 2 0 x t t x t t,2,2 x m n 关注公众号：数学货的两根为，则，所以.令，则.构造函数，所以 时，递减，.所以，即.【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列 的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn设 与 k是常数，若对一切正整数 n，均有成立，则称此数列为“k”数列（1）若等差数列 是“1”数列，求 的值；（2）若数列 是“”数列，且 an0，求数列 的通项公式；（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列 为“3”数列，且 an0?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由，【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）根据定义得，再根据和项与通项关系化简得，最后根据数列不为零数列得结果；（2）根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，即得；2 3 2 24 4 3 4 2 0 x t t x t t 1 2,x x4 231 2 1 23 2 8,4t tx x t t x x 21 2 1 2 1 2=4 n m x x x x x x 6 4 25 3 8 t t t 2,1,2 t 3 25 3 8 n m 3 25 3 8 1,2 P 23 10 3 3 3 1 P 1,2 0 P P max1 7 P P max7 n m 7 n m*()na n N1 1 11 1k k kn n nS S a na na323 na na21,13 4,2n nnan 0 1+1 1 n n nS S a 1 1 n na a 1 1 12 2 2+1+13()3n n n nS S S S+1=4n nS SnSna关注公众号：数学货（3）根据定义得，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满足的条件，解得结果【详解】（1）（2），（3）假设存在三个不同的数列 为 数列.或 或 对于给定的，存在三个不同的数列 为 数列，且 或 有两个不等的正根.可转化为，不妨设，则有两个不等正根，设.1 1 13 3 3+1 1 n n nS S a+1 1 1 1 1 11 0 1n n n n n nS S a a a a a Q1 12 21 10 0n n n n na S S S S Q1 1 12 2 2+1+13()3n n n nS S S S Q1 1 1 1 1 122 2 2 2 2 2+1+1+11()()()3n n n n n nS S S S S S 1 1 1 1 1 112 2 2 2 2 2+1+1+1+11()=2=4 43nn n n n n n n n nS S S S S S S S S 1 11 S a 14nnS1 2 24 4 3 4,2n n nna n 21,13 4,2n nnan na 3 1 1 1 1 13 33 3 3 3 3+1 1+1+1()()n n n n n n nS S a S S S S 1 13 3+1 n nS S 1 1 2 2 1 12 33 3 3 3 3 3+1+1+1()()n n n n n nS S S S S S+1 n nS S 2 2 1 13 3 33 3 3 3+1+1(1)(1)(2)0n n n nS S S S na 3 0na 1,10,2nnan 2 2 1 13 3 33 3 3 3+1+1(1)(1)(2)0 1n n n nS S S S 2 2 1 13 3 33 3 3 3+1+1(1)(1)(2)0 1n n n nS S S S 2 13 33 33+1+12 13 3(1)(2)(1)0 1n nn nS SS S 1310nnSx xS 3 2 3 3(1)(2)(1)0 1 x x 3 2 3 3(1)(2)(1)0 1 f x x x 关注公众号：数学货 当 时，即，此时，满足题意.当 时，即，此时，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步，考查综合分析求解能力，属难题.数学(附加题)【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4-2：矩阵与变换 21.平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点（1）求实数，的值；（2）求矩阵 的逆矩阵【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据变换写出具体的矩阵关系式，然后进行矩阵的计算可得出实数 的值；（2）设出逆矩阵，由定义得到方程，即可求解.【详解】（1）平面上点 在矩阵 对应的变换作用下得到点，解得 1 3 2 3 2 3(2)4(1)0 0 4 0 1 30 1 0 f 33(2)02(1)x 对1 3 2 3 2 3(2)4(1)0 0 4 31 4 30 1 0 f 33(2)02(1)x 对0 1(2,1)A 11ab M(3,4)B abM1M22ab 12 15 51 25 5M,a b 2,1 A 11 aMb 3,4 B 1 2 31 1 4ab 2 1 32 4ab 22ab 关注公众号：数学货（2）设，则，解得【点睛】本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法，解题时要认真审题，属于基础题 B选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在极坐标系中，已知点 在直线 上，点 在圆 上（其中，）（1）求，的值（2）求出直线 与圆 的公共点的极坐标【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)将 A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】（1）以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，因为点 为直线 上，故其直角坐标方程为，又 对应的圆的直角坐标方程为：，由 解得 或，1m nMc d 1 2 2 1 0=2 2 0 1m c n dMMm c n d 2 12 02 02 1m cn dm cn d 25151525mncd 12 15 51 25 5M 1(,)3A:cos 2 l 2(,)6B:4sin C 0 0 2 12l C1 24 2，(2 2,)4x1 1cos 2,43 B6 33y x 4sin 2 24 0 x y y 2 2334 0y xx y y 00 xy31xy 关注公众号：数学货对应的点为，故对应的极径为 或.（2），当 时；当 时，舍；即所求交点坐标为当【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.C选修 4-5：不等式选讲 23.设，解不等式【答案】【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】或 或 或 或 所以解集为【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.【必做题】第 24 题、第 25 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24.在三棱锥 ABCD 中，已知 CB=CD=,BD=2，O 为 BD 的中点，AO平面 BCD，AO=2，E 为 AC的中点 0,0,3,120 22 cos 2,4sin,4sin cos 2,sin 2 1 50,2),4 4 4 2 2 54 2 2 0(2 2,),4x R2|1|4 x x 22,3 12 2 4xx x 1 02 2 4xx x 02 2 4xx x 2 1 x 1 0 x 203x 22,3 5关注公众号：数学货（1）求直线 AB与 DE 所成角的余弦值；（2）若点 F 在 BC上，满足 BF=BC，设二面角 FDEC 的大小为，求 sin 的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.详解】（1）连 以 为 轴建立空间直角坐标系，则 从而直线 与 所成角的余弦值为（2）设平面 一个法向量为 令 设平面 一个法向量为【1415152 3913,CO BC CD BO OD CO BD Q,OB OC OA,x y z(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E 1 15(1,0,2),(1,1,1)cos,15 5 3AB DE AB DE u u u r u u u r u u u r u u u rAB DE1515DEC1(,),n x y z 112 0 0(1,2,0),0 0 x y n DCDCx y z n DE 11 2,1(2,1,1)y x z n u rDEF关注公众号：数学货 令 因此【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.25.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn（1）求 p1q1和 p2q2；（2）求 2pn+qn与 2pn-1+qn-1的递推关系式和 Xn的数学期望 E(Xn)(用 n 表示)【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果；（2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得，最后根据数学期望公式求结果.【详解】（1），（2），因此，从而，.2 1 1 1(,),n x y z u u r1 1 221 1 17 10 0 1 7 1(,0),4 24 4 2 00 x y n DFDF DB BF DB BCn DEx y z 1 1 1 27 2,5(2,7,5)y x z n u u r1 26 1cos,6 78 13n n u r u u r12 2 39sin13 13 1 1 2 21 2 7 16,3 3 27 27p q p q；1 11 22 2+3 3n n n np q p q n np q，2n np q 1 11 3 1 2 3 2,3 3 3 3 3 3p q 2 1 11 3 1 2 1 1 2 2 7+3 3 3 3 3 3 3 9 27p p q 2 1 12 3 1 1 2 2 2 2 2 5 16+0+3 3 3 3 3 3 3 9 27q p q 1 1 1 11 3 1 2 1 2+3 3 3 3 3 9n n n n np p q p q 1 1 1 1 12 3 1 1 2 2 3 2 1 2+(1)+3 3 3 3 3 3 9 3n n n n n nq p q p q q 1 12 1 22+3 3 3n n n np q p q 1 1 1 11 2 12(2+),2 1(2+1)3 3 3n n n n n n n np q p q p q p q 关注公众号：数学货即.又 的分布列为 0 1 2 故.【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式，考查综合分析求解能力，属难题.1 1 11 12 1(2+1),2 13 3n n n n n np q p q p q nXnXP1n np q nqnp1()2 13n n n nE X p q