安徽省马鞍山市2023届高三第一次教学质量监测数学试题+含答案.docx

2023届马鞍山市高三第一次教学质量检测数学本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。用2B铅笔将试卷类 型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答无效。4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。1.设集合 A = xlb > 1)，B = 一1,0,1,2，则 AB =A. 0,1,2)B. 1,2)C. -1,0,1)D. -1,0,1,2)2. 若复数z满足zZ -iZ = 3 -i，则z的虚部为A. -1B. 2C. 1 或 2D. -1 或 23. 现有一组数据：663,664,665,668,671 ,664,656,674,651 ,653,652,656，则这组数据的第 85 百分位数 是A. 652B. 668C. 671D. 6744. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C = Wlog2(1 + N)，它表示在受噪音干扰的信道中， 最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中-叫做信噪比.当信噪比-比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香 NN农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至12 000，则C大约增加了(参考数据： Nlg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771,lg5 = 0.6990 )A. 25%B.30%C.36%D.45%5. 已知平面向量a = (1,3)，b = (-2,4)，则a在b上的投影向量为A. (1,-2)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-土,5)6. 已知抛物线E : y2 = 4x的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与E相交于A,B两点，若直线l与11抛物线E : y2 =-4x相切，则则l AB 1= 2A. 4B. 6C. 8D. 107.已知函数f (x)=tan(g + g)00,1 1< 2)的图象经过点(0*3)，若函数f (x)在区间0,n内恰有两个零点，则实数的取值范围是a 2525585 8、A. ,B. ,)C. , D.,)3333333 38.已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为4.*8 克qA. B. 2 七 6C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r = 1上的中点，贝I丁2，母线AB长为2，点旧为ABA.B.圆台的体积为登丸3圆台的侧面积为12 nC.圆台母线AB与底面所成角为60。D.在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径长为4数学试题 第3页(共9页)10.已知D是ABC的边BC上的一点(不包含顶点)，且AO = M8 + yA。，则C. i：x + v'y <2D. log x + log y W -22211.已知直线 1: (1 + a)x + y + 2a = 0(a e R)与圆 C: x2+(y - 2)2 = 4，则A.直线l必过定点B.当。=1时，1被圆C截得的弦长为蚂C.直线1与圆C可能相切D.直线1与圆C不可能相离12.已知函数f (x) = e，x-ln x + (t -1) x，若f (x) N 0恒成立，则实数t的可能的值为A. 1B. 土C. D.-e2ee2e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 已知随机变量X服从正态分布N(日,6)，若尸(0 W X W1) = P(5 W X W 6)，则R =.14. 若数列a 是公差为2的等差数列，S < 3a，写出满足题意的一个通项公式a =.n54n15. 已知函数f (x)与g(x)的定义域均为R，f (x +1)为偶函数，g(x)的图象关于点(1,0)中心对称， 若 f (x) + g(x) = x2 -1，则 f (2)g(2)的值为.16. 已知椭圆C:挡+ 2 = 1(ab0)的焦距为2,过椭圆C的右焦点F且不与两坐标轴平行的直线a 2 b22 .父椭圆C于A,B两点，若x轴上的点P满足| PA |=| PB |且| PF |-恒成立，则椭圆C离心率e的 3取值范围为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. (10 分)已知数列a , a =3, a =5 ,数列b 为等比数列，满足b = a b - ab，且b , 2a , b成 n 12nn+1 n+1 n n n24 5等差数列.(1) 求数列a 和b 的通项公式；nn(2) 记数列c 满足：c ="("寸/)，求数列c 的前2n项和T .nn b ,(n为偶数)n2n18. (12 分)已知条件：个条件中任选一个tan B + tan C 2a =;tan B b补充在下面的问题中，n1 + sin 2C 一 cos2C = 人n 一+ . 2C +； <3a = 2csin(B + 3) .在这三并解答.问题：在仙C中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，满足：(1) 求角C的大小；(2) 若AABC为锐角三角形，c =金，求a2+ b2的取值范围.2注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.19. (12 分)如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为正方形，PD ±底面ABCD，PD = DC = 4，M为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN = 4BC .p(1) 求证：平面DMN 平面PBC ；".(2) 求直线AB与平面DMN所成角的正弦值.: '"MAB第19题图20. (12 分)为了了解养殖场的甲、乙两个品种成年水牛的养殖情况，现分别随机调查5头水牛的体高(单位: cm)如下表，请进行数据分析.甲品种137128130133122乙品种111110109106114(1) 已知甲品种中体高大于等于130cm的成年水牛以及乙品种中体高大于110cm的成年水牛视 为“培育优良”，现从甲品种的5头水牛与乙品种的5头水牛中各随机抽取2头.设随机变量X为抽 得水牛中“培育优良”的总数，求随机变量X的分布列与期望.(2) 当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差大，或者数据的 量纲不同，直接使用标准差来进行比较是不合适的，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响.而变异 系数(C. V)可以做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比，即变异系数的计算公 式为：变异系数=标均数x 100% .变异系数没有量纲，这样就可以进行客观比较了.从表格中的数 据明显可以看出甲品种的体高水平高于乙品种，试比较甲、乙两个品种的成年水牛的变异系数的大 小.(参考数据：、；赤2 a 5.02，<6.8 a 2.61 )21. （12 分）平面直角坐标系Oxy中，P(x ,y )(1 x l> a)是双曲线C :兰- = 1(a > 0,b > 0)上一点，A,B分别 0 00a2 b2是双曲线C的左,右顶点，直线PA,PB的斜率之积为3 .(1) 求双曲线C的渐近线方程；(2) 设点P关于x轴的对称点为Q，直线PB与直线QA交于点M，过点M作x轴的垂线，垂足 为N，求证：直线PN与双曲线C只有一个公共点.22. (12 分)设函数 f (x) = ln(x -1)-生二 .x(1) 若f (x) N 0对Vx e2, +8)恒成立，求实数k的取值范围；(2) 已知方程皿-1)=有两个不同的根x ,x，求证：x + x > 6e + 2，其中e = 2.718 28为x -1 3e1 212自然对数的底数.2023届马鞍山市高三第一次教学质量检测一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符14.【答案】a = 2n + k，其中k <-3 （只要符合题意即可）. n15.16.【答案】解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（10 分）【解析】（1）由题意，b = a b - ab , a = 3 , a =5,令n = 1得2b = b，又数列b 为等 n+1 n+1 n n n 12' '比数列，所以b,+1= 2b,即数列bn为公比为2等比数列.所以，a -a = 2，数列a '是首项为3,公差为2的等差数列n+1 nn数列a 的通项公式：a = 2n +1 （n g N*）.nn由b , 2a , b成等差数列，得：b + b = 4a245252n + 1,（n为奇数）2n,（n为偶数）偶数项是以首项为4,公比为4的等比数列.四、17.（3分）（2）由（1）知：c nI , 2b + 16b = 36 , 411b = 2，有 b = 2n.（5分）数列c 的奇数项是首项为3,公差为4的等差数列， nT = (a + a + a + + a ) + (b + b + b2n1352n-1246i 。 n(n-1) . 4(1 - 4n) + b ) = 3n +4 +2n2【答案】2 .数学试题 第11页（共9页）4,（10 分）=2n2 + n + (4n 一 1).18. (12 分)【解析】(1)选择条件tanB +tanC =竺:tan B btan B + tan C sin B cos C + cos B sin Csin( B + C)sin A atanBsin B cos C sin B cos C sin B cos C b cos C所以=突，于是cos C = L,又C g(0, n)，所以C = n .b cos C b23选择条件1 + s)n2C -c°s2C =、右:1 + sin2C + cos2C因为 1 + sin2C - cos2C2sin C(cos C + sin C) 。1 + sin 2C + cos2C 2cos C(cos C + sin C)解得tan C 二百，又C e （0, n），所以C = j .选择条件百a = 2 sin( B + n):贝U v3a = c(sin B + 3 cos B)，由正弦定理得：了3sin A = sin Csin B +'Tsin Ccos B , 即 <3 sin(B + C) = sin C sin B + :3 sin Ccos B，整理得：气 3sin Bcos C = sin Csin B ,（6分）（12 分）由 sin B 丰 0得：tan C = v3，又 C e (0, n)，所以 C = 3 .(2)由(1)知，C = n，B =竺-A，AABC为锐角三角形，所以-< A < -， 3362由正弦定理一a = - = - = 1，得 a = sin A,b = sin B，sin A sin B sin C2n,、 一 14n于是，a2 + b2 = sin2 A + sin2 B = sin2 A + sin2 一 A) = 1 一 cos2 A + cos( - 2A).1 n化间得，a2 + b2 = 1 + sin(2A)，2 6因为< 2A-竺，所以上<sin(2A- )< 1， < 1 + sin(2A-)<，b的取值范围为（|, 3.666264262故a2 +19. （12 分）【解析】（1）证法1：因为PD ±底面ABCD，所以PD ± BC，又AB为正方形，所以BC ± CD，且PD_CD = D，所以BC 1平面PCD，又DM u平面PCD，所以BC 1 DM，因为FQ = DC , M为线段PC的中点，所以DM 1 PC，且BC = C，所以DM 1平面PBC，而DM u平面DMN，所以平面DMN 1平面PBC .（6分）证法2：以D点为坐标原点，以DA,DC,DP分别为x轴，y轴，z辄 建立空间直角坐标系Dxyz， 如图，由己知可得D(0,0,0) , M(0,2,2), N(3,4,0) , F(0,0,4)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，则£>M=(0,2,2)，DN = (3,4,0), PB = (4,4, -4)，FC = (0,4, -4).设平面DMN的法向量为七=(平,y, z )，,-一， 一一，2 y + 2z = 0由 1OM , 1DN 得=0, .£W = 0，所以111111|3x + 4 y = 0I 11令 z = 1，得 y = -1， x =-，所以 n =(,-1,1).111313设平面pbc的法向量为 =(%,y?,z?)，I 4x + 4 y 4 z = 0由上 P8 ,n 得=/。= 0,所以 222,2222,14 y 4 z = 0l 22令？2=1，得七=1，=0，所以 =（°J），因为打二0，所以云，所以平面DMN上平面PBC .（6分）1212（2）方法1：因为底面ABCD为正方形，所以ABCD ,所以直线AB与平面DMN所成角等于直线CD与平面DMN所成角，设所求角为0 , 由已知可求得MN = -；17 , DN = 5 , DM = 2云，所以ZDMN = 90° ,所以SADMN =应'又SACDN = 6 ,点M到平面CDN的距离为2,设C点到平面DMN的距离为h，由V= V，得1 x 6 x 2 =1 x、.京xh,得h =旦,CDMN M CDN33V34又 CD = 4,所以 sin 0=切4（12 分）34 .方法2：因为扇=页=（0,4,0），平面DMN的法向量为R = （|,1,1）,AB-n3、箱设直线与平面 DMN 所成的角为0 ,ijsin0=lcos < AB,n >|=| > _u 1= 34 -（ 12 分）120. （12 分）【解析】（1）随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4 ,（1分）P( X = 0)=C 2 - C 223C 2 - C 255=0.03 , P(X = 1)=C 2 - C1C1 + C1C1 - C 222 33 23C 2 - C 255=0.24 z C 2 - C 2+ C1C1 - C1C1+ C 2- C 2 c、 C 2 - C1C1 + C1C1- C 2P(X = 2) = 2232233= 0.46, P(X = 3)= 322= 0.24 ,C 2 - C 2C 2 - C 25555X01234P0.030.240.460.240.03C 2 - C 2P(X = 4) 二 = 0.03 .(4 分)55随机变量X的分布列为：随机变量X 的期望E(X) = 0 x 0.03 + 1x0.24 + 2 x 0.46 + 3 x 0.24 + 4 x 0.03 = 2 .(6 分),-、 11一一(2) x甲=(137 +133 +130 +128 +122) = 130 , s甲=更 + 32 + 0 + 22 + 82) = 25.2 , s甲就 5.02. 11x乙=；(111 +110 +109 +106 +114) = 110 , s乙=5(12 + 0 +12 + 42 + 42) = 6.8 , s乙 a 2.61.(8 分)根据公式，甲品种的变异系数为502 x100% a 3.86%，乙的变异系数为鲍x 100% a 2.37% , 130所以甲品种的成年水牛的变异系数大.110（12 分）21. (12 分)【解析】(1)由题意，A(-a,0), B(a,0) , P(x ,y )满足¥ 监=1 ,0 0a 2 b2b2 ,、艮即 y2 =(X2 a2).0a 20于是，k k =L .旦L =_ = PA PB x + a x 一 a x2 一 a2 000所以双曲线C的渐近线方程为y = ± *x .y2 b20 = = 3 ,x2 一 a2a20(4分)（5分）(2)由题，A(-，,0), B(a,0),直线PB : yy (x 一 a)，直线 QA : y = (x + a).0联立直线PB与直线QA方程，解得xM-0x 一 a0a2，故x0（7分）由(1)知双曲线 C :3x2 - y2 = 3a2,于是直线PN : y = J a 2 x0 x 0故 y2 = 3(x2 一 a2)，00, a2、即 y = 0 0 (x)，003尤3a2y = 0 x,y 0与双曲线C联立y0得：3x2 - (34 x 一 犯)2 =3a2, y y 00艮即一3a2x2 + 6a2x x 一 3a2x2 = 0 ,因为 A = (6a2x )2 一 4(3a2x2 )(3a2) = 0 , 0000只有一个公共点.艮即(y2 一 3x2)x2 + 6a2x x 一 a2 (3a2 + y2)= 0 , 0000（10 分）所以直线PN与双曲线C（12 分）22. (12 分)【解析】(1)由 f (x) = ln(x-1) 一 > 0，得 xln(x-1) 一 k(x一2) > 0 .x令 9(x) = xln(x -1) 一 k(x 一 2), x g 2,心)，则 9f(x) = ln(x -1) +k，x 一 111 x 29(x) => 0(x > 2).x 一 1(x 一 1)2(x 一 1)2于是9(x) = ln(x -1) + 二 一 k 在2, +8)上单增，故 9(x) > 9(2) = 2 - k .x 一 1当 k < 2 时，则9(x) > 2一k > 0，所以9(x)在2, +8)上单增，9(x) >9(2) = 0，此时f (x) > 0对Vx g2, +8)恒成立，符合题意；(4分)当 k > 2 时，9，(2) = 2- k < 0，9，(供 +1) = 1 > 0，故存在 x g (2, +8)使得 9(x ) = 0， ek00当x g(2, x )时，9(x) < 0，则9( x)单减，此时9 (x) <9(2) = 0，不符合题意. 0综上，实数k的取值范围(-8,2.(6分)(2)由(1)中结论，取 k = 2，有 ln( x -1) > 2(x 一 2) (x > 2)，即 ln t > "一1)(t > 1).xt + 12(二-1)xx xx + x x 一 x（9分）不妨设 x > x > 1，t = f > 1，贝U lnr >1，整理得 2 >2121xx x2 ln x 一 ln x11+121x1工曰(x 一 D + (x 一 D(x 一 D 一(x 一 D1 2 1 京(x2T) 一(")=3e，（12 分）于是12>212ln( x -1) - ln( x -1)21艮即 x + x > 6e + 2 .第9页（共9页）