高中数学知识点总结-选修2.docx

高中数学选修 2-3 知识点第一章计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。分类要做到“不重不漏”。分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。做第 1 步有 m 种不同的方法， 做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法。分步要做到“步骤完整”。n 元集合 A=a1，a2，an的不同子集有 2n 个。1.2 排列与组合1.2.1 排列一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement)。n从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号Am表示。排列数公式：Am =nn!(n m)! = n(n 1)(n 2) (n m + 1)n 个元素的全排列数An = n!n规定：0!=11.2.2 组合一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(combination)。从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号Cm或( n )表示。nm组合数公式： Am = Cm AmnnmmCm = AnAmn =mn!n(n 1)(n 2) (n m + 1)m! (n m)! =m!= 𝟏𝐧规定：𝐂𝟎组合数的性质：Cm = Cnmnn(“构建组合意义”“殊途同归”)Cmn+1= Cm + Cm1nn（杨辉三角）kCk = nCk1nn1*Ck × Cmk = Cm × Cknnknm1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理(binomial theorem)(a + b)n = C0an + C1an1b + + Ckankbk + + Cnbnnnnn(nN*)其中各项的系数Ck (k0，1，2，n)叫做二项式系数(binomial coefficient)；n式中的C ab 叫做二项展开式的通项，用 Tnk nk kk+1 表示通项展开式的第 k+1 项：Tk+1 = Ckankbkn*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1) 对称性 n+1n(2) 当 n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项C2取得最大值；n1n+1当 n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项Cn2 ，C 2 同时取得最大值。n(3) 各二项式系数的和为2n = C0 + C1 + C2 + + Ck + + Cnnnnnn(4) 二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：C0 + C2 + C4 + = C1 + C3 + C5 + (5) 一般地，nnnnnnCr + Cr+ Cr+ + Cr= Cr+1(n > 𝑟)rr+1r+2n1n第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布2.1.1 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量(discrete random variable)。概率分布列(probability distribution series)，简称为分布列(distribution series)。Xx1x2xixnPp1p2pipn也可用等式表示：P(X = xi) = pi ，i = 1，2， ，n根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：(1) pi0，i=1，2，n；i=1(2) npi = 1随机变量 X 的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation)：E(X) = x1p1 + x2p2 + + xipi + xnpn它反映了离散型随机变量取值的平均水平。随机变量 X 的方差(variance)刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度nD(X) = (xi E(X)2pii=1其算术平方根D(X)为随机变量 X 的标准差(standard deviation)。E(aX + b) = aE(X) + b D(aX + b) = a2D(X)若随机变量 X 的分布具有下表的形式，则称 X 服从两点分布(two-point distribution)，并称 p=P(X=1)为成功概率。(两点分布又称 0-1 分布。由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以两点分布又叫伯努利分布)X01P1-pp若 X 服从两点分布，则E(X) = p ，D(X) = p(1 p)一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则Ck CnkCn𝐏(𝐗 = k) = M NM，k=0，1，2，mNX01mPC 0 Cn0 M NMCn NC 1 Cn1 M NMCn NC mCnm M NMCn N其中 m=minM，n，且 nN，MN，n，M，NN*如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布(hypergeometric distribution)。2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率一般地，设 A，B 为两个事件，且 P(A)>0，称P(B|A) = P(AB)P(A)为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率(conditional probability)。如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B C|A) = P(B|A) + P(C|A)2.2.2 事件的相互独立性设 A，B 为两个事件，若P(AB) = P(A)P(B)则称事件 A 与事件 B 相互独立(mutually independent)。可以证明，如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与𝐁，𝐀与 B，𝐀与𝐁也都相互独立。2.2.3 独立重复试验与二项分布一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验(independent and repeated trials)。P(A1A2 An) = P(A1)P(A2) P(An)其中 Ai (i=1，2，n)是第 i 次试验的结果。一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则nP(X = k) = Ckpk(1 p)nk ， k = 0，1，2， ，n此时称随机变量 X 服从二项分布(binomial distribution)，记作XB(n，p)，并称 p为成功概率。若XB(n，p) ，则nnn1E(X) = kCkpkqnk = npCk1pk1qn1(k1) = np Ckpkqn1knk=0k=1n1k=0n1= np(p + q)n1 = npD(X) = np(1 p)*随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此样本的平均值是随机变量。随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量。2.4 正态分布一般地，如果对于任何实数 a，b (a<b)，随机变量 X 满足 ，(x) =12(x)2e22，x （ ， + ）bP(a < 𝑋 𝑏) = ，(x) dxa则称随机变量 X 服从正态分布(normal distribution)。正态分布完全由参数 和 确定，记作 N(，2)。如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X N(，2). ，(x)的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线。(参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计； 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可用样本的标准差去估计。)标准正态分布：XN(0，1)经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。正态曲线的特点：(1) 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；(2) 曲线是单峰的，它关于直线 x= 对称；(3) 曲线在 x= 处达到峰值 1；2(4) 曲线与 x 轴之间的面积为 1。* 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；若 X N(，2)，则对于任何实数 a>0，+aP( a < 𝑋 𝜇 + 𝑎) = ，(x) dxa该面积随着 的减少而变大。这说明 越小，X 落在区间( a， + a的P( < 𝑋 𝜇 + ) = 0.6826 P( 2 < 𝑋 𝜇 + 2) = 0.9544 P( 3 < 𝑋 𝜇 + 3) = 0.9974概率越大，即X 集中在 周围概率越大。特别有在实际应用中， 通常认为服从于正态分布 N( ， 2) 的随机变量 X 只取( 3 < 𝑋 𝜇 + 3)之间的值，并简称之为𝟑𝛔原则。第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想回归分析(regression analysis)是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。对于一组具有线性相关关系的数据 (x1，y1)，(x2，y2)， ，(xn，yn)b = n(xix)(yiy)= nxiyinxyi=1n(xix)2i=1nx2nx2i=1a = y bxi=1i其中x = 1 nxi ，y = 1 nyi ，(x，y)称为样本点的中心，回归直线过样ni=1ni=1本点的中心。回归方程：y = bx + a线性回归模型：y = bx + a + eE(e) = 0，D(e) = 2其中 a 和 b 为模型的未知参数，e 是 y 与 bx+a 之间的误差。通常 e 为随机变量，称为随机误差(random error)。与函数关系不同，在回归模型中，y 的值由 x 和随机因素 e 共同确定，即 x只能解释部分 y 的变化，因此我们把 x 称为解释变量，把 y 称为预报变量。随机误差 e 的方差2越小，用 bx+a 预报真实值 y 的精度越高。随机误差是引起预报值𝐲与真实值 y 之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。另一方面，b和a为斜率和截距的估计值，它们与真实值 a 和 b 之间也存在误差，这种误差是引起预报值y与真实值 y 之间存在误差的另一个原因。由于随机误差 e = y (bx + a)，所以e = y y是 e 的估计量。对于样本点它们的随机误差为其估计值为(x1，y1)，(x2，y2)， ，(xn，yn)ei = yi bxi a，i = 1，2， ，nei = yi yi = yi bxi a，i = 1，2， ，nei称为相应于点(xi，yi)的残差(residual)。可以通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果。以样本编号为横坐标，残差为纵坐标，可作出残差图。检查残差较大的样本点，确认采集该样本点过程中是否有人为错误，如有，应予以纠正，再重新利用线性回归模型拟合数据；如没有，则需寻找其它原因。另外，对于已经获取的样本数据，n (yi yi)2R2 = 1 i=1n (yi y)2i=1中的n (yi y)2为确定的数。因此R2越大，意味着残差平方和n (yi yi)2越i=1i=1小，即模型拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型拟合效果越差。R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于 1，表示回归的效果越好。一般地，建立回归模型的基本步骤：(1) 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；(2) 画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)(3) 有经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)(4) 按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数；(5) 得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)。若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。回归模型的适用范围：(1) 回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；(2) 我们所建立的回归方程一般都有时间性；(3) 样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；(4) 不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。一般地，比较两个函数模型的拟合程度的步骤如下：(1) 分别建立对应于两个模型的回归方程y1 = f(x，a)与y2 = g(x，b) ，其中a和b分别是参数 a 和 b 的估计值(2) 分别计算两个模型的 R2 值(3) 若R2 > R2 ，则模型 1 比模型 2 拟合效果更好；若R2 < R2 ，则模型 2 比模1212型 1 拟合效果更好。3.2 独立性检验的基本思想不同的“值”表示不同类别的变量叫做分类变量。列出两个分类变量的频数表称为列联表(contingency table)。常用等高条形图展示列联表数据的频率特征。利用随机变量 K2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验(test of independence)。反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理在假设 H0 下，如果推出一个矛盾，就证明了 H0 不成立独立性检验原理在假设 H0 下，如果出现一个与 H0 相矛盾的小概率事件，就推断 H0 不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率一般地，假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为：y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d假设 H0： X 与 Y 没有关系，即 X 与 Y 独立。则有 P(XY)=P(X)P(Y) ；根据频率近似于概率，故有化简得 ad bcaa + b + c + da + ba + b + c + d×a + ca + b + c + d因此，|ad bc|越小，两者关系越弱；|ad bc|越大，两者关系越强； 基于以上分析，构造随机变量K2 =n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n = a + b + c + d为样本容量K2 的值越小则关系越小，K2 的值越大则关系越大。(实际应用中通常要求 a，b， c，d 都不小于 5)计算 K2 的观测值 k 并与 K2 作比较。统计学研究发现，在 H0 成立的情况下，P(K2 6.635) = 0.01即在 H0 成立的情况下，K2 的观测值超过 6.635 的概率非常小，近似为 0.01，是一个小概率事件。若观测值 k 大于 6.635，则有理由判定 H0 不成立，即“X 与 Y 有关系”。但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过 0.01 .*(这里概率计算的前提是 H0 成立，即 H0：两个分类变量没有关系)若要推断的论述为 H1：“X 与 Y 有关系”。可以通过频率直观地判断两个条件概率P(Y=y1|X=x1)和 P(Y=y1|X=x2)是否相等。如果判断它们相等，就意味着 X 和 Y 没有a关系；否则就认为它们有关系。由上表可知，在 X=x1 的情况下，Y=y1 的频率为；a+bc在 X=x2 的情况下，Y=y1 的频率为。因此，如果通过直接计算或等高条形图a发现和c+dc相差很大，就判断两个分类变量之间有关系。a+bc+d利用独立性检验原理可以进一步给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率。具体做法是：(1) 根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界 ，然后查下表确定临界值 k0.P(K2 k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(2) 利用公式计算随机变量 K2 的观测值 k.(3) 如果 K2 的观测值 k 大于判断规则的临界值 k0，即 kk0，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过 ；否则，就认为在犯错误的概率不超过 的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X 与 Y 有关系”。按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P(K2 k0).定义：W = |aa + b c c + d|则K2 = W2 × n(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)若“X 和 Y 没有关系”则有有K2 k0可推出P(K2 k0) = 0.01即可取W k0× (a + c)(b + d)n(a + b)(c + d)于是有以下判断规则：w0 = k0× (a + c)(b + d)n(a + b)(c + d)当 W 的观测值w > w0时，就判断“X 和 Y 有关系” ；否则，判断“X 和 Y 没有关系”。这里w0为正实数，且满足在“X 和 Y 没有关系”的前提下P(W2 w0) = 0.01数学选修2-2第一章推理与证明知识点必记1.归纳推理的定义是什么？答：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。2归纳推理的思维过程是什么？答：大致如图： 实验、观察概括、推广猜测一般性结论3.归纳推理的特点有哪些？答： 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。4.类比推理的定义是什么？答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。5.类比推理的思维过程是什么？答： 观察、比较联想、类推推测新的结论6.演绎推理的定义是什么？答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。7演绎推理的主要形式是什么？答：三段论8.“三段论”可以表示为什么？答：大前题：M是P小前提：S是M结论：S是P。 其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。9.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。10.什么是综合法？答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。11.什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。12什么是间接证明？答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。13.反证法的一般步骤是什么？答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。 14常见的“结论词”与“反义词”有哪些？原结论词反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在x使不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在x使成立至少有n个至多有n-1个p或q且至多有n个至少有n+1个p且q或15.反证法的思维方法是什么？答：正难则反16.如何归缪矛盾？答：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾17数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤是什么？答：(1)证明：当n取第一个值时命题成立；(2)假设当n=k (kN*，且kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。数学选修2-2第二章导数及其应用知识点必记18函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为注1：其中是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。19、导函数的概念是什么？答：函数在处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.20.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。21导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。22、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分023、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若，均可导（可积），则有：和差的导数运算积的导数运算特别地：商的导数运算特别地：复合函数的导数微积分基本定理 （其中）和差的积分运算特别地：积分的区间可加性24.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：求函数f(x)的导数令>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.令<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。25.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数 (3)求方程=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值26.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求在上的最大值与最小值的步骤如下： 求在上的极值；将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；27求曲边梯形的思想和步骤是什么？答：分割近似代替求和取极限 （“以直代曲”的思想）28.定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 性质5 若，则推广： 推广:29定积分的取值情况有哪几种？答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积 物理中常用的微积分知识有哪些？答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。数学选修2-2第五章数系的扩充和复数的概念知识点必记30.复数的概念是什么？答：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，叫实部， 叫虚部，数集叫做复数集。规定：a=c且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。31数集的关系有哪些？答：32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33.什么是复平面？答：根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定。由于有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34.如何求复数的模(绝对值)？答：与复数对应的向量的模叫做复数的模(也叫绝对值)记作。由模的定义可知：35.复数的加、减法运算及几何意义是什么？答：复数的加、减法法则：，则。注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。复数的乘法法则：。复数的除法法则：其中叫做的共轭复数36.什么是共轭复数？答：两复数互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。