二重积分的计算方法.doc

第二节 二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的.一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分òfò(x,y)ds的计算问题.Df(x,y)³0讨论中,我们假定D；j ja£x£b (x)£y£ (x)表示,假定积分区域 可用不等式j j12(x) (x)在a,b上连续.其中,12据二重积分的几何意义可知, òfò(x,y)ds的值等于以 为底,以曲面DDz=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积. yoza,bx0x=x0为底,曲线在区间 上任意取定一个点 ,作平行于 面的平面 ,这平j j面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 (x ), (x )1 02 0z=f(x,y)为曲边的曲边梯形,其面积为0j(x )2 0A (x ) = òf(x ,y )dy00j(x )1 0yoza,b x一般地,过区间 上任一点 且平行于 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为j(x)A(x)= òf(x,y)dy2j1 (x)利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为éjbêùúúû(x)V =òA(x)dx=ò òf(x,y)dy dxb2êëaja1 (x)从而有éjùúú(x)b2êòò ò òsf(x,y)d = f(x,y)dy dx(1)êêjúaD(x)ëû1上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把 看作常数, f(x,y)只看作xy的函数,对 f(x,y) j(x) j(x)计算从 到 的定积分,然后把所得的结果( 它是1的函数 )再对 从 到 计算定积分.2xx abyx这个先对 , 后对 的二次积分也常记作 j(x)b2sòfò(x,y)d =òdx òf(x,y)dyja (x)1D在上述讨论中,假定了 f(x,y)³0，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 f(x,y)D(在 上连续),公式(1)总是成立的.s例如:计算 I=ò(ò1-x2)d D =(x,y)|-1£x £1,0 £y £2D 2òò2解: I=1dx (1-x2)dy=1 (1-x2)y dxò-10-102 833 3-11ò1= 2(1-x2)dx=2x- x =-1D类似地,如果积分区域 可以用下述不等式f fc£y£d, (y)£x £ (y)12f f(y) (y)在c,d上连续, f(x,y)D表示,且函数,在 上连续,则f(y)12éfêêëù(y)ddòfò(x,y)d =ò òf(x,y)dxúdy=òdy 2òf(x,y)dx2súûfc (y)fc (y)1D1(2)yx显然,(2)式是先对 ,后对 的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:yx对于I型(或II型)区域, 用平行于 轴( 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为 I 型(或 II 型)区域的并集. 2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二次积分限的方法D- 几何法.画出积分区域 的图形(假设的图形如下 )yx xD在 上任取一点 ,过 作平行于 轴的直线,该直线穿过区域 ,与a,bD区域 的边界有两个交点x(x, (x)与(x, (x)j1j2,看作常数而对 积分时的下限和上限；又因 是在区间j j(x) (x)x ,这里的 、 就是将a,b上任意取的,1 2yxxa b所以再将 看作变量而对 积分时,积分的下限为 、上限为 .例 1 计算ò3òx2y2ds,其中 是由 轴, 轴和抛物线 y=1-x 2在第一象yxDD限内所围成的区域.类似地, D:0£y£1,0£x£ 1-y1-y1sò3òx2y2d =òdy ò3x2y2dxD0 01-y3=òx3y2 dy=ò(1-y)2y2dy11000 p(4-1)!5(-)!1 162令y=sin2t ò2cos4t×sin5tdt=2×=9! 3150òxydòsDy2 =x, 其中 是由抛物线及直线 y=x-2所围成的区例2计算域.DD :-1£y£2,y2£x£y+2y+22 y+22 1é ùòxydòs=òdy òxydx=ò x2y dyê ú2ë û-1D-1y2y2 1 245= òy(y+2)2-y5 dy=28-1例3求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积.xoy解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在 面上的投影区域xoyz消去变量 得一垂直于 面的柱面x2+y2 =2,立体镶嵌在其中,立xoyxoy体在 面的投影区域就是该柱面在 面上所围成的区域 D:x2+y2£22、列出体积计算的表达式V =òò(6-2x2-y2)-(x2+2y2)ds =ò(ò6-3x2 -3y3)dsDD3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算V =6òdòs-3òxò2ds-3òyò2dsDDDs pòdò=2而Dòxò2ds=òyò2dsyx由 , 的对称性有DD22-x22òxò2ds=òx2dx òdy=2 òx2 2-x2dxD- 2- 2p- 2-x22=4òx2 2-x2dx=4ò4sin2 cos22q q0=16×(2-1)!2(-1)!0p×(2+2)! 2p1×1=16× ×4×2 2=p所求立体的体积为V =12p-6p=6p二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有 ns å xh sòfò(x,y)d =lim f( , )Di i il®0i=1D现研究这一和式极限在极坐标中的形式.0用以极点 为中心的一族同心圆 r=常数以及从极点出发的一族射线q=常数,将D 剖分成个小闭区域.sD除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域 的面积可如下计算i11 122 2i isiq qiqiD = (r+Dr)2D - r D = (2r+Dr)DrDi2r+(r+Dr)iiiiq qDrD =rDrDi=iii2iiiir其中, i表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零,因此, 这样的一些小区域可以略去不计)sD qxh( , ),据直角坐标i i(r, ),设该点直角坐标为在小区域 上取点iii与极坐标的关系有x q h q=r cos, =r siniiiiii于是nnåf x h Ds = åf r q r q ×riDriDqilim ( , ) lim ( cos, sin )liii i iiil®0 i=1®0i=1即òfò(x,y)ds=òfò(rcosq,rsinq)rdrdqDòfò(x,y)d òfò(x,y)dxdyDs由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写DD成更富有启发性的形式òfò(x,y)dxdy=òfò(rcosq,rsinq)rdrdq(1)DD (1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,qrdrd就是极坐标中的面积元素.(1)式的记忆方法:x®rcosqy®rsinqqdxdy®rdrdòfò(rcosq,rsinq)rdrdqòfò(x,y)dxdyDD2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.D【情形一】积分区域 可表示成下述形式 a q b jq j q£ £ ( )£r£ ( )12jq j q ab( ) ( ) , 上连续.其中函数,在12b j(q)2òò q q q=òqò q qf(rcos ,rsin )rdrd d f(rcos ,rsin )rdr则Da j1(q)【情形二】积分区域 为下述形式 D显然,这只是情形一的特殊形式jq( )º0( 即极点在积分区域的边界上 ).1b jq( )q q q qq q故 òòf(rcos ,rsin )rdrd =òd òf(rcos ,rsin )rdraDD【情形三】积分区域 为下述形式 0显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域 D 的内部 ),D D D可剖分成 与1 2,而q p jq p q p jqD :0£ £ ,0£r£ ( ) D : £ £2 ,0£r£ ( )12q p jq故 D :0£ £2 ,0£r£ ( )p j(q)2q q q q q q则 òfò(rcos ,rsin )rdrd =òd òf(rcos ,rsin )rdr0D0由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之qr,处在于: 将积分区域 D 用极坐标变量 表示成如下形式a q b j q j q£ £ , ( )£r£ ( )12下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示.例4将下列区域用极坐标变量表示1、D1:x2+y2£2y2、D2:-R £x£R ,R £y£R + R2-x2D3:x+y £1abÊ 先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围 , ；abÊ 再过 , q内任一点 作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们jqj q用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围 ( ), ( ).12 注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.+¥利用此题结果可求出著名概率积分 I=òe-x2dx.0而被积函数满足 e-x2-y2 >0 ,从而以下不等式òò òò òò-x2-y2e dxdy< e dxdy< e dxdy-x2-y2-x2-y2DSD21成立，再利用例二的结果有pòòe dxdy= (1-e-R2),-x2-y24pD1òòe dxdy= (1-e-2R2) ,-x2-y24D2òò òRòRòRòRe dxdy=dx e dy=e dx e dy-y2-x2-y2-x2-y2-x2S000æ öæ ö æ öæ ö æ ö02ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷òRòRòRòRòR= e dx × e dy = e dx × e dx = e dx-x2-x2-y2-x2è øè ø è øè ø è ø-x200000于是不等式可改写成下述形式 2p pæ ö pp4R¬¾¾¾¾ (1-e-R2)<çòe-x2dx÷< (1-e-2R2)¾R®+¥¾¾¾®è øR®+¥44402æ ö p4 ,+¥故当R®+¥ òe-x2dx =ç ÷时有è ø0p+¥I=òe-x2dx=即.203、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；a(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含(x2 +y2) a, 为实数 ).a-a+ a2-x2dy例6计算I=òdx ò(a>0)x2+y2×4ax2-( 2+y2)0-x解此积分区域为D :0£x£a,-x£y£-aax+ 2- 2区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为pqqD :- £ £0 ,0£r£-2asin4qq-2asinqré ù=òarcsindqê úrdrd0 -2asin dr0qI=òò =òd ò2aë ûpD r 4ar2-204ar2-2p0-440 p2=ò(-)d =- 2 =01q q q2 32pp-4-4小结 二重积分计算公式 òò òòfdx (x)f(x,y)dxdy=bf(x,y)dy X型直角坐标系下极坐标系下2aòò òòf (x)1Dddy (y)f(x,y)dxjf(x,y)dxdy= Y型2cj (y)1Dòòò òJb f(J)2J J Jf(rcos ,rsin )rdrd = d f(rcos ,rsin )drJ Jaf(J)1D作业 教材 P161 习题2（I）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）