高等数学大一下学期期末考试.doc
高等数学(大一下学期期末考试)院（系）别 班级 学号 姓名成绩大题一小题二 三四五六七1 2 3 4 5 得分一、填空题：（本题共5小题，每小题把答案直接填在题中横线上）4分，满分20分，1、已知向量a、b满足a +b = 0，a = 2，b = 2，则a×b = ¶ z3z=xln(xy)，则 =2、设 ¶x¶y23、曲面x2 +y2 +z= 9在点(1, 2, 4)处的切平面方程为 p p p2 的周期函数，它在- , )上的表达式为f (x) =x，则f (x)的傅里叶级数f (x)是周期为4、设x = 3处收敛于px = 处收敛于 ，在 在òL为连接与两点的直线段，则(x +y)ds = (1, 0) (0,1)5、设L以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）ì + =2在点ï2x 3y2 z 921、求曲线íM(1,-1,2)处的切线及法平面方程z = 3x2 +y2ïî02z= 2x2 + 2y2及z= 6-x2 -y2所围成的立体体积2、求由曲面å3、判定级数 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ +n 1¥(-1) lnnnn=1¶z ¶z4、设z= f (xy,x)+ siny，其中f具有二阶连续偏导数，求2¶ ¶ ¶,x x yyòòdS积分其中是被平面z=h)h a截出的顶部(0 < <,Sx +y2 +z2 =a25、计算曲面球面2zS- 。三、（本题满分9分） z x= +yx +y +z=12 2抛物面 被平面 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值 四、（本题满分10分）ò计算曲线积分(e siny -m)dx + (ex cosy -mx)dy，xL其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x +y2 =ax (a > 0)2五、（本题满分10分）å¥xn求幂级数 的收敛域及和函数3 ×nnn=1六、（本题满分10分）òòI = 2x3dydz+ 2y3dzdx + 3(z2 -1)dxdy，计算曲面积分SSz=1-x2 -y2(z³ 0)的上侧其中为曲面七、（本题满分6分）òòòf (0) =a，F(t) = z+ f (x+y+z)dv，其中是由曲面tWz= x2 +y2f (x)为连续函数，设222WtF(t)所围成的闭区域，求 = 2 -x2 -y与z tlim2t3t®0+-备注：考试时间为2小时； ® ®请每位考生按卷面答题纸 草稿纸由表及里依序对折上交； 考试结束时，不得带走试卷。 - 。【A卷】高等数学A(下册)期末考试试题参考解答与评分标准 - 1y2-4；3、2x + 4y +z=14； 4、3，0； 5、 . 2一、填空题【每小题4分，共20分】 1、； 2、二、试解下列各题【】每小题7分，共35分ìdy dz3y +z = -2xdx dxïïdy5x dz 7x=.【4】= -í1、解：方程两边对 求导，得x， 从而 ，dx4ydx 4zï dy dzy -z = -3xdx dxïî( )1,-1,2该曲线在 处的切向量为5 7 1T = (1, , ) = (8,10,7). .【5】4 8 8x -1 = y +1 = z- 2故所求的切线方程为.【6】8107( ) ( ) ( )8 x -1 +10 y +1 + 7 z- 2 = 0 即 8x +10y + 7z=12.【7】法平面方程为 ì = +z 2x 2y22Þ + =D :x2 +y2 £ 2.Wx y2xOy2 ，该立体 在 面上的投影区域为í、解：22z= 6-x -y2xyî【2】òòò =ò ò ò 6-r2ò故所求的体积为V = dvpdq r rddz= 2p 2 r - r r = 6p(6 3 )d222.【7】r20020Wålimnu = limnln(1+ 1) = lim ln(1+ 1) =1> 0u¥n ，知级数发散【3】 、解：由nnnnn®¥n®¥n®¥n=1又|u |= ln(1+ 1) > ln(1+n +1) =|u |,lim |u |= lim ln(1+ 1) = 0.故所给级数收敛且条件收敛【7】1nn+1nnnn®¥n®¥¶z¶x1= ¢× + ¢× + = ¢ + 1 ¢(f y f ) 0 yff， 【3】2、解：12y1y¶2z¶x¶yx)- 1 f ¢+ 1x) = ¢+ ¢¢ - 1¢- x f ¢¢.= ¢+ ¢¢× + ¢¢ × -f yf x f (¢¢ × + ¢¢ × -f x f (f xyff【7】2211112y2y22y2122y2111y22y3S、解： 的方程为z= a2 x y2，在 面上的投影区域为D- -S xOyx y x y a h=( , ) | + £ - 22222 xy1+z2 +z2 =a a2 -x2 -y2又，. 【】xy- 。rdrra2 -òò òòò qòé 1ë 2ùa2-h2dS故adxdya2 -x2 -y2= 2 alnap= 2ln(a2 - r2)p=a dpa2-h2-ê2aúû.【7】zh200SDxy0、【9分】解：设 为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d = x2 +y2 +z2 【1】M (x,y,z)三lm令L(x,y,z) =x2 +y 2 +z2 + (z-x2 -y 2) + (x +y +z-1)， l mìïL = 2x - 2 x + = 0xl mL = 2y - 2 y + = 0ïï-1± 3yl mL = 2z+ + = 0，解得x =y =z= 2 3， 于是得到两个可能极值点 则由íïï2zz=x2 +y2ïx +y +z=1î-1+ 3 , -1+ 3 ,2 - 3), M (-1- 3 , -1- 3 ,2 + 3). 【7】M (122222又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得 d =|OM |= 9+ 5 3, d =|OM |= 9-5 3. 【9】故max2min1四、L【10分】解：记 与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得 pòL+ OAòòòsI =(ex siny -m)dx + (ex cosy -mx)dy = -m d = - 8ma2 【5】2Dò而I = (ex siny -m)dx + (ex cosy -mx)dy = -m adx = -ma 【8】1OA0pò(ex siny -m)dx + (ex cosy -mx)dy =I -I =ma -ma .2 【10】821Ln3n( )n +1 3n+1= 1 ÞR = 3，收敛区间为 (-3,3) 【2】= lim an®¥= limn®¥r五、【10分】解：n+1a3n( )åå -11n¥¥又当x = 3时，级数成为 ，发散；当 时，级数成为x = -3，收敛 【4】nnn=1n=1)故该幂级数的收敛域为 -3,3 【5】( ) å¥xn令s x =3 x 3- £ <（ ），则 n3nn=1- 。å åx-1=(x)n-13 3¥= 1 11¥n 1s¢(x) =31-x / 3 = 3-x<|x | 3, ( ) 【8】3nn=1n=1òs (x)dx = ò( )( )dx0 3-x= ¢= -ln 3 x- = -3£ < 3s(x)于是ln3 ln 3 xxxxx，（ ）.00【10】S【10分】解：取 为z= 0(x2 +y £ 1)S SW六、2 的下侧，记 与 所围成的空间闭区域为 ，则由高斯公式，11( ) ( )òòòòò有I = 2x3dydz+ 2y3dzdx + 3 z -1 dxdy = 6 x +y +zdv . 【5】2222S+SW( )1ò ò ò1-r2pq r1d dr + r = pz dz 2. 【7】=6 22000( ) ( )òòòòòòpdxdy = 3 . 【9】而I = 2x3dydz+ 2y3dzdx + 3 z -1 dxdy = 3 z -1 dxdy = 3221SS1x2+2£1y1p p p I =I -I = 2 - 3 = - . 【10】21( )( )= ò qò p òj j r cosj +éùûp2sint七、【6分】解：F tddf r r 2dr . 【2】ë24000( )éùò p j j jò ò òp= 2psin cos d r dr + sin d t f r r 2dr0j jêëtúû3240400( )ò( )éùt 4=p+ 2- 2 tr 2f r dr0êú2. 【4】8ëû( )éùt3p+ 2- 2 t 2f (t )F(t)êëúû222- 22 - 2ppa. 【6】= lim=lim f (t 2) =故 limt®0+t33t 233t®0+t®0+-
