高等数学下册综合练习题Ⅴ.doc

高数下册答案第九章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设 f(x, y)=x2+y , (x, y)=x2-y2, 求: f (x, y),y2.jj2答案：f( (x, y), y2)=(x2-y2)2+y4=x4-2x2y2+2y4j二、求下列函数的定义域：1、 f(x, y)= x2(1- y)( x, y) | y2+x2¹1;1-x-y222、 z=arcsinxy( x, y) | y£x ,x¹ 0;三、求下列极限：x2 sinyx2+y21 、 lim(x,y)®(0,0)（0）lim (1+xy)3x2 、(e6)(x,y)®(¥,2)四、证明：当沿着 x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着 y=x2趋于（0，0）时，极限1为 , 2 二者不相等，所以极限不存在五、证明：当(x, y)¹(0,0)时， f(x, y)为初等函数，连续 。当 (x, y)=(0,0) 时，1lim xy sin(x,y)®(0,0)=0=f(0,0) ，所以函数在（0，0）也连续。所以函数x2+y2在整个 xoy面上连续。六、设 z=x+y2+f (x+y)且当 y=0时 z=x2，求 f(x)及 z的表达式.解：f(x)=x2-x，z=x2+2y2+2xy-y 1 高数下册答案 § 2 偏导数 z¶z¶yy¶¶x1、设 z=xy+xex ,验证 x+y =xy+z证明：¶¶xzy¶z¶yx e ， x¶z+y¶x¶¶yz=+ =+yyxyyx=y+ex-xe ,=+ xxy xy xe xy zz x yì=+22ï1 在点（ 23 , 12,1）处切线与 y轴正向夹角( 4 )p2、求空间曲线G:íîy=2ï3、设 f(x, y)=xy+(y-1)2arcsin xy , 求 f (x,1)( 1)x¶u ¶u ¶uzy4、设u=x , 求， ，¶x¶y¶z解：¶u z¶uz¶u 1¶z yzyzyzy-1x，¶y=-yx lnx=x lnx=¶x y25、设 u= x2+y2+z2 ，证明 :¶2u¶u¶u 222+ + =¶x2¶y ¶zu226、判断下面的函数在(0,0)处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由1x+y2ìxsin, x2+y2¹0ïí f(x, y)=ïî0,2 x y 0+¹22lim f(x, y)=0=f(0,0) 连续； fx(0,0)=limsin 1fy(0,0)=lim 0-0=0y 0-y®0x2 不存在，x®0y®0x®0f(a+x,b)-f(a-x,b)x7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 limx®0（2fx(a,b)）2 高数下册答案§ 3 全微分1、单选题（1）（D）既非充分又非必要条件（2）（B）偏导数连续，则全微分必存在2、求下列函数的全微分：11） z=exydz=exy (-xy dx+ dy)x22） z=sin(xy2) 解：dz=cos(xy2) (y2dx+2xydy)3）u=x yz解：du=zy xyzdx+ x yz lnxdy-zy x yz lnxdz1z-123、设 z=ycos(x-2y)， 求dzp(0, )4 解：dz=-ysin(x-2y) dx+(cos(x-2y)+2ysin(x-2y) )dypp p dz|(0, ) dx- dy=4 42z251 (-2dx-4dy+5dz)4、设 f(x, y,z)=x2+y2求：df(1,2,1)1x2+y25、解： lim (x2+y2)sin(x,y)®(0,0)=0=f(0,0) 所以 f(x, y) 在（0，0）点处连续。f (0,0)= lim f(Dx,0)-f(0,0)=0 , f (0,0)= lim f(0,Dy)-f(0,0)=0DxDyxy(x,y)®(0,0)(x,y)®(0,0)f(Dx,Dy)-0® 0，所以可微。(Dx)2+(Dy)2 3 高数下册答案 §4 多元复合函数的求导法则 1、设 z=uv,u=sint,v=et，求 dzdt2、dzdt解： =cost.(sint) e lnsint×(sint) e×+×tet-1tet¶z¶z¶x¶y3、设 z=(x+y)2x-3y,，求 ,¶¶yz=(2x-3y)(x+y)2x-3y-1-3(x+y)2x-3y ln(x+ y),4、设 z=xn f( xy )， f 可微，证明 x +2y =nz¶z¶x¶z¶y2¶2z ，¶2z¶2z，¶y25、设 z=f (x2-y2,2xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求¶x2¶x¶y¶z解： =2xf¢+2yf¢,¶x12¶z¶y¶2z=2x( f¢¢(-2y)+f¢¢2x)+2f¢+2y( f¢¢(-2y)+f¢¢ 2x)=-2yf¢+2xf¢,¶x¶y12111222122=2f¢-4xyf¢¢+4(x2-y2) f¢¢+4xyf¢¢1111222¶2z¶y2¶2z¶x2=2f¢+4x2 f¢¢+8xyf¢¢+4y2 f¢¢,=-2f¢+4y2 f¢¢-8xyf¢¢+4x2f¢¢111122211112226、设 z=f(xy, xy)+g( xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数、 g具有二阶连续导数，求¶2z¶x¶y解： =f¢y-xy f¢+1y g¢，¶x¶z122¶2z¶¶x y1 1x x2y-x221 1x y222- g¢-yx g¢¢f¢ y( f¢¢x+f¢¢ )f¢ ( f¢¢x+f¢¢ )=+1-1112123dudx7、设u=F (x, y,z)， z=f(x, y)， y= (x) ，求j4 高数下册答案dudx解： =F+F (x)+F ( f¢+f (x) 。¢¢j¢ ¢j¢¢123xy¶z¶z¶z¶x¶u¶v¶¶yz=-2 +a¶¶vz¶z¶u¶2z=¶2z+¶2z+¶2u7、证明：=+¶u¶vx2¶u2¶v2¶¶2z=4¶2z-4a¶2z+a2¶2u¶2z=-2¶2z+(a-2)¶2z+a¶2u¶u¶v¶x¶y=0¶u¶v¶y2¶u2¶v2u2¶v2¶得：(10+5a)¶2z2ua=3+(6+a-a2)¶¶¶u¶vv2f (1,1)=a, f /(1,1)=b8、设函数 f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,/12又，j(x)=f x, fx, f(x,x)求j 和j/(1)(1).(1) , (a+ab+ab2+b)3 § 5 隐函数的求导公式 1、设 yln y=x+y，求 dydxdy 1解：令 F (x, y)=yln y-x-y， F=-1,F=lny, =dx lnyxyzy2、设 z=z(x, y)由方程 x2+y2+z2=yf( ) 确定，其中 f 可微，证明(x2-y2-z2)¶¶xz+2xy¶¶yz= 2xz3、设 z=z(x, y)由方程 xz=ey+z所确定，其中 f 可微，求¶2z¶¶x y¶zz¶zz¶2z=-zx(1+z)3, =- ,¶x=x(1+z)¶y 1+z¶x¶yx y z 1ì+=dy dz，求 ，dx dxdy x dz(=- ， =0)dx y dx2224、设íîz=x2+y2¶z¶z¶x¶y5、设 z=z(x, y)由方程 F (xy, y+z, xz)=0所确定， F 可微，求 ,5 高数下册答案解：令 F (x, y, z)=F (xy, y+z, xz) ，则F¢ ¢¶y FF+xF¶zF¶x FF¢y+zF¢¶zF¢x+F¢=- x=-, =- y=-1 213F+xF¢ ¢zz23236、 设 z=f(x, y)由方程 z+x+y-ez+x+y=0所确定，求 dz ( dz=-dx-dy)¶z ¶z¶x ¶y7、设 z=z(x,y)由方程 3xy+xcos(yz)-z3=y所确定，求 ,¶z=3xy.yln3+cos(yz)¶z=x.3xy ln3-xzsin(yz)-1¶y3z2 xysin(yz),¶x3z2+xysin(yz)+ § 6 微分法在几何中的应用 p1、 求螺旋线 x=2cost, y=2sint,z=3t 在对应于t=4 处的切线及法平面方程3pz-x- 2=y- 2=4解：切线方程为- 2233p法平面方程- 2(x- 2)+ 2(y- 2)+3(z- )=04x-3=y-4=z-5 ，法平面方程：4x-3y=02、解：切线方程为4-303、求曲面2x2+3y2+z2=9在（1，-1，2）处的切平面及法线方程解：切平面方程为2(x-1)-3(y+1)+2(z-2)=0及法线方程 x-1=y+1=z-22-324、证明：令 F(x, y,z)=f(ax-bz,ay-bz) ，则F=f¢a, F=f¢a, F=-bf-bf ,n=( f a, f a,-bf-bf )¢¢¢¢¢¢x1y2z121212n×(b,b,a)=0 ，所以在（x , y , z ）处的切平面与定向量（b,b,a ）平行。0 0 0=23x , F=23y , F=23z ,232323231313135、证明：令 F(x, y,z)=x y z a ，则 F+-xyz( )131313在任一点 x , y , z 处的切平面方程为 x (x-x )+y (y-y )+z (z-z )=0-000000000在在三个坐标轴上的截距分别为 x a , y a , z a23, 在三个坐标轴上的截距的平2323131313000方和为a26 高数下册答案证明曲面 z=xf( xy)上任意一点 M(x , y , z ),(x¹0)处的切平面都通过原点00007、证明 ：F (tx,ty,tz)=tkF (x, y,z)两边对 t求导，并令 t=1xFx+yFy+zFz=kF(x, y, z)设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：+=0Fx(x , y , z )(x-x ) F y(x0, y0, z0)(y-y0) Fz(x0, y0, z0)(z-z0)0000此平面过原点（0，0，0）§ 7 方向导数与梯度 1、设函数 f (x, y)=x2-xy+y2，1）求该函数在点（ 1，3）处的梯度。2）在点（1，3）处沿着方向 l 的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为 gradf(1,3)=-i+5j,¶f¶l (1,3)=-cos+5sin , 方向导数达到最大值的方向为s=(-1,5)，方向导qq数达到最小值的方向为-s=(1,-5)。2、解：方向导数 为¶¶ul为梯度的方向3 3，该点处方向导数达到最大值的方向即=1+2(1,2,-1)gradu(1,2,-1)=2i+5j-3k，此时最大值为¶u= 38¶l (1,2,-1)3、解：¶¶ux=y2z3, =2xyz3, =3xy2z2，s=(1,2,3) ，该函数在点（1，1，-¶u¶y¶u¶z1）处的方¶u¶l= 414，向导数为(1,1,-1)4、解：¶u2x, =¶u2y¶u, =2z¶x=x2+y2+z2¶y x2+y2+z2¶z x2+y2+z2 ，7 高数下册答案gradu(1,1,-1)= i+ j-23k2 23 3 § 8 多元函数的极值及求法 1、求函数 f (x, y) 3x 3y 2x 2y 2的极值。= + -+2 21 1答案：（ ， ）极小值点 3 32求函数 f (x, y) x y 2ln x-18ln y的极值=+-2 2答案：极小值 f (1,3)=10-18ln33. 函数 f (x, y)=2x2+ax+xy2+2y在点（1，1）处取得极值，求常数 a (-5)4、求函数 z x y 1在条件 x+y-3=0下的条件极值=+22解： F (x, y, )=x2+y2+1+ (x+y- 3)llì=F 02 23 311Þ ( , ) xíF=0 ，极小值为 2îy5、（长和宽2米，高 3米）6、 证明"a,b,c 有abc3£27(a+b+c)55证明：令L=lnx+ln y+3lnz+ (x+y2+z2-5r 2)l2¶L¶x¶L¶y¶L¶z=0, =0, =0， x2+y2+z2=5r 2解得驻点 x=y=r,z= 3r令。所以函数f(x, y, z)=ln x+ln y+3lnz 在 x=y=r,z= 3r 处达到极大值。极大值为x2y2(z2)3£27(r 2)5=27(x2+y2+z2 )5，令ln(3 3r5)。即 xyz3£3 3r5Þ5x2=a, y2=b, z2=c, 得abc3£27(a+b+c)5。5F=x2+y2+z2+ (x2+y22+z2-1)+ (x+y+ z)7、解：ll21 32 xlìïïFx=2x+ 3+=01l2F=2y+ y+=0llï y12-3) ， y=2- ， z=2(1-lll2ïF=2z+2 z+=0x=2(3ll2l+2íïïïy12)l+1l+x2 y211+z2=132+=x y z 0ïî8 高数下册答案1=-(x2+y2+z2)=-d2l-11± 13611+ 13611- 136长半轴， 短半轴l=1第九章 自测题 一、选择题：（每题 2分，共 14分）1、B、 lim f(x, y) 不存在；(x,y)®(0,0)2、 B、充分条件；3、 D、无极限。4、（A）必要条件；5、（ B）驻点但非极值点；6、（C） x+2y-4=0；7、 (B) f+fj+ff;tx ty t二、填空题：（每题分，共 18分）x2 siny=（ 01、 lim(x,y)®(0,0)）x2+y2¶3 f¶x¶y¶z、设 f(x, y,z)=exyz，则（ exyz(1+3xyz+x2y2z2)=）sin(xy) , xy 0,ì、设 f(x, y)= yïí¹则 f (0,1)=( 0)2xï 0,xy= 0,î、设 z=(x+2y) x，则在点(1,0) 处的全微分.dz=(dx+2dy)y xì= 在点 P (1,1,1)处的切线方程为ï2、曲线íîx zï=02x-1=y-1=z-1()214x y z 3xx-1=y-1=z-1ì+=222、曲线2x-4y+6z=4 在点(1,1,1) 处的切线方程为()í210î三、计算题（每题 6分）1、设 f (x, y)=xln(x2+y2)，求 f(x, y)的一阶偏导数f (x,y)=ln(x2+y2)+ 2x22xy， f (x,y)=。2x2+y2x yxy+29 高数下册答案xyæö2、设 f(x, y)=lnçx+÷，求此函数在点 P (1,1)处的全微分。并求该函数在该点处ç÷0èø沿着从P 到 P (2,-1)方向的方向导数( df =dx-12dy ，= 5 )¶f 2¶l01(1,1)、解：¶2z¶x¶y1y²²¶2zx y¶¶22¢=2xf-x f¢+2x3 f²+yf-x f12211123x sin 1x2 不存在，故 f (0,0) 不存在，同理， f (0,0) 也、lim f(x,0)-f(0,0)= limx-0xxyx®0x®0不存在。当(x, y)¹(0,0)时，有x12x1f (x, y)=sin-(x2+y2)3/2 cosx2+y2x+x y+x y2222y12y1f (x, y)=sin-(x2+y2)3/2 cosx2+y2y+x y+x y2222、设 z=f(x, y)由方程 z+x+y-ez+x+y=0所确定，求 dz ( dz=-dx-dy)¶2z、设 z=f (x)-y, (y)+x， f 具有连续的二阶偏导数， , 可导，求jyjy¶x¶y¶z¶x¶2z= (x)-f+f (y)+-f+f (y)=f (x)+f¢¢j¢2j¢ ¢¢¢¢y¢¢¢¢¢y¢21 22¶x¶y11112=- (x) f+ (x) (y)-1 f+ (y) f¢¢¢¢¢j¢¢¢¢¢11jyy1222¶u¶x y u 0ì+-u=u¶x¶yïí22,、设0确定函数u=u(x,y),= (x,y) ，求uu。xy uï- 2+u2=2î¶u4xu+u2¶ 4x- y2u uu,=¶x=2(u2+ 2)¶x 2(u2+ 2)uu¶u 2y+xy¶ 2yu-xy¶yu uuu=,=u2u2+u2u2¶y+1f( x2+y2+z2) ，式中 f 二阶可导，求¶2u¶u¶2u2、设 u=+ +¶x2¶y ¶z2x2+y2+z22解：记 r= x2+y2+z2 ，则10 高数下册答案u=f(r)=f(r)×r-1r¶u=f¢(r)r-f(r)¶u f¢(r)r-f(r)¶u f¢(r)r-f(r) zy， =¶z r 3x, =¶y¶xr 3r 3¶2u=r 2 f¢¢(r)-3 f¢(r)r-f(r)×x+f¢(r)r-f(r)2¶x2r5r 3类似地，有¶2u=r 2 f¢¢(r)-3 f¢(r)r-f(r)×y+f¢(r)r-f(r)2¶y2r 5r 3¶2u=r 2 f¢¢(r)-3 f¢(r)r-f(r)×z+f¢(r)r-f(r)2¶z2r5r 3¶2u¶u¶u r 2 f¢¢(r)-3 f¢(r)r-f(r)×r+3 f¢(r)r-f(r)22+ + =2¶x ¶y ¶zr 5r 3222=f¢¢(r)r四、（分）试分解正数 a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。1 1 1设三个正数为 x, y,z，则 x+y+z=a ，记 F=+ ，令x y z1 1 1x y z=+ (x+y+z- a)jl则由=-x1+=0ìjlïïïx2=-y1+=0jlaï解出 x=y=z= 。yíï23ï=-z1 +=0ljzï2+=x y z aïî五、证明题：（分）试证：曲面 z=x+f(y-z)上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中 f 连续可导。证明：曲面在任一点 M(x, y,z)处的切平面的法向量为n=-1,-f ,1+f¢¢定直线 L 的方向向量若为 s=1,1,1 ，则n×s=0，即ns11 高数下册答案则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。重积分第十章1§ 二重积分的概念与性质1316)pI=òòx2+y2dxdy=1、(.4.2 . .4.2-=3ppD1 42 318òò2、解：a-x2-y2dxdy= . .a3a=p2Dòò3、设 D由圆 (x-2)2+(y-1)2=2围成, 求 3dxdyòò D解：由于 D的面积为2 , 故 3dxdy=6ppD4、解：在 D上，ln(x+y)£ ln(x+y)2 , 故 I£I5、 设 f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 x2+y2=1,12和曲面 z= f(xy)2所围的立体的体积，可用二重积分表示为V=òò f(xy)2dxdyD:x2+y2£16、根据二重积分的性质估计下列积分的值òòsin2 xsin2 ydxdyD: 0£x£p, 0£y£pD(0£òòsin2 xsin2 ydxdy)p2£D1apòò7、解：利用积分中值定理及连续性有 lim=f(x, y)dxdy=lim f( , ) f(0,0)xha®02a®0D8 § 2 二重积分的计算法 12 高数下册答案98ln3-ln2-121、 C ：2、C ： 233、D： 12e4-e24、Cò1dyòy1f(x, y)dx+ò2dyò 2 1 f(x, y)dxy-05、 A 2 f(x , y)dxdy-11-1òò2Dò1ò6、 B 4 f(x , y2)dxdy2D1aòò7、 Adyaf(x, y)dx0yxy294Iòòdxdy8、求=D:由 x=2,y=x,xy=1所围成.，其中()2Dòòf(x, y)dy, 交换积分次序后 I 为：9、设 I=3dx lnx1dx lnx f(x, y)dy= ln3dy0òòòòI=33f(x, y)dx100ey2 x 1òdxòf(x, y)dy+ò2 x 4dxò4-x f(x, y)dy = òòx dx dx2y0 0 2 0210、改变二次积分的次序：10x11、设 D=(x,y)|0 x 1,0 y 1 , 求òòex+ydxdy的值Dòò òò òò解： e dxdy=1dx l1e dy (=1e dx)(1e dy)=(e-1)2x+yx+yxy0000D1R )p33òò212设 I=R-x2-y2dxdy, 其中 D是由 x2+y=Rx所围城的区域，求 I (2Dòò13、计算二重积分 | x+y2-4|dxdy，其中 D是圆域 x2+y2£92D解： | x+y2-4|dxdy=41pòòòòòò(4 r )rdr d (r-4)rdr= 2+q2 3p22pdq2-220002D14、计算二重积分òòemax x2,y2dxdy，其中 D=(x,y)| 0 x 1,0 y 1D13 高数下册答案òòòò òòdxdy=dx e dy+ dy ey2dx=e-11 x 1 yx2解： emaxx2,y20000Dx+yòò15、计算二重积分dxdy，D： x2+y2£1, x+y³ 1.x+y22Dx+yr(cosq+sinq)rdr=4-pr 2cosq+sinqòò2òòpdxdy= dq121解：x+y220D§ 3 三重积分òò1 x-òxdz-1、 C2、C1dx dy 1 x 2y0d200òòòf( cos , sin ,z) dzqr rqrqr2r22pd2002òòò|z|3、设W是由 x2+y2+z2£1所确定的有界闭域，求三重积分 e dvWpòòòòòò ò|z|解： e dv=1e (dxdy)dz=21e (1-z2)dz 2=p|z|z-10Wx2+y2£1-z2òòò4、设W是由曲面 z=xy, y=x, x=1 及 z=0所围成的空间区域，求 xy z dxdydz2 3W(1/364)zln(x+y2+z2+1) dxdydz (0)5、设W是球域： x2+y2+z2£1，求òòò2x+y+z+1222Wòòò(x y )dxdydz其中W为：平面 z=2与曲面+= 2所围成的+x y 2z6、计算222 2Q645区域()pòòò7、计算 x zdxdydz其中W是由平面 z=0,z=y,y=1以及 y=x2所围成的闭区域2Q(2/27)18、设函数 f(u) 有连续导数，且 f(0)=0, 求limt®0òòf(òx2+y2+z2)dxdydztp4x2+y2+z2£t2解： lim 1f( x+y2+z2dxdydzòòò2tp4t®0x2+y2+z2£t214 高数下册答案ò04tr f(r)dr1tp42òòòd d=lim2tf(r)r 2 sin dr= limt®0=f'(0)pqpjjt4t®0000 §4 重积分的应用 1、347（1）C (+ 2)p(2) C (0,)34(3) 、A ( ,0,0)323(4) 、Bm2、求均匀上半球体(半径为 R)的质心13R88òòò解：显然质心在 z 轴上，故 x=y=0,z=Vzdv故质心为(0,0, R)3=W4、 曲面 z=13-x2-y2将球面 x2+y2+z2=25分割成三部分，由上至下依次记s , s , s 求 s :s :s这三部分曲面的面积为5123,123òò25 x y-5òò解：S=dxdy=10pS=dxdy=20p125-x2-y2322x2+y£9x2+y£