向量的数量积教学设计 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

课题6.2.4向量的数量积教学目标（一）知识与技能1.理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角，提高抽象概括能力；2.知道平面向量数量积的含义并会计算；3.理解a在b上的投影向量的概念，并且掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用；（二）过程与方法掌握平面向量的数量积的5条重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题；，从而养成科学的学习方法。（三）情感、态度与价值观通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识，从而进一步增加学习数学的热情，提高学习数学的兴趣。教学重、难点重点：充分条件、必要条件的概念. 难点：判断命题的充分条件、必要条件. 教学方法指导学生掌握“观察-猜想-归纳-应用”这一思维 方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动， 课型新授课教学过程（一）创设情境，引入新课预习教材内容，思考以下问题：1什么是向量的夹角？2数量积的定义是什么？3投影向量的定义是什么？4向量数量积有哪些性质？5向量数量积的运算有哪些运算律？（二）探索新知，整体认知探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60°，求（a2b）·（a3b）（2）如图，在ABCD中，|4，|3，DAB60°，求：·；·解：（1）（a2b）·（a3b）a·a5a·b6b·b|a|25a·b6|b|2|a|25|a|b|cos60°6|b|2625×6×4×cos60°6×42192（2）因为，且方向相同，所以与的夹角是0°，所以·|·COS0°3×3×19因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，所以·|·COS120°4×3×6互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求·解：因为，所以·（）·（）229167规律方法：向量数量积的求法（1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键（2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算探究点2：向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量A与B的夹角为60°，|a|2，|b|1，则|a2b|（ ）AB2C4D12（2）向量a，b满足|a|1，|ab|，a与b的夹角为60°，则|b|（ ）ABCD解析：（1）|a2b|2（2）由题意得|ab|2|a|2|b|22|a|b|·cos60°，即1|b|2|b|，解得|b|答案：（1）B（2）B规律方法：求向量的模的常见思路及方法（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方（2）a·aa2|a|2或|a|，可以实现实数运算与向量运算的相互转化（三）初步应用，理论迁移探究点3：向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a|6，|b|4，（a2b）·（a3b）72，则a与b的夹角为_；（2）（2019·高考全国卷改编）已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且（ab）b，则a与b的夹角为_解析：（1）设a与b的夹角为，（a2b）·（a3b）a·a3a·b2b·a6b·b|a|2a·b6|b|2|a|2|a|b|cos6|b|2626×4×cos6×4272，所以24cos36729612，所以cos又因为0，所以（2）设a与b的夹角为，由（ab）b，得（ab）·b0，所以a·bb2，所以COS又因为|a|2|b|，所以cos又因为0，所以答案：（1）（2）命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a，b是非零向量，当atb（tR）的模取最小值时，求证：b（atb）证明：因为|atb|，所以当t时，|atb|有最小值此时b·（atb）b·atb2a·b·|b|2a·ba·b0所以b（atb）命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知ab，|a|2，|b|3且向量3a2b与kab互相垂直，则k的值为（ ）ABC±D1（2）已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_解析：（1）因为3a2b与kab互相垂直，所以（3a2b）·（kab）0，所以3ka2（2k3）a·b2b20因为ab，所以a·b0，又|a|2，|b|3，所以12k180，k（2）由3ab7c0，可得7c（3ab），即49c29a22b26a·b，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos，即23400，解得8或5答案：（1）B（2）8或5规律方法：求向量A与B夹角的思路（1）求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos，最后借助0，求出的值（2）在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos的值(四)课堂练习，及时反馈1已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且a·b2，则a与b的夹角为（ ）ABCD解析：选C由题意，知a·b|a|b|cos4cos2，所以cos又0，所以2已知|a|b|1，a与b的夹角是90°，c2a3b，dka4b，c与d垂直，则k的值为（ ）A6B6C3D3解析：选B因为c·d0，所以（2a3b）·（ka4b）0，所以2ka28a·b3ka·b12b20，所以2k12，所以k63已知|a|3，|b|5，a·b12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为_解析：设a与b的夹角，则cos，所以a在b上的投影向量为|a|cos·e3×ee答案：e4已知|a|1，|b|（1）若ab，求a·b；（2）若a，b的夹角为60°，求|ab|；（3）若ab与a垂直，求a与b的夹角解：设向量a与b的夹角为（1）当a，b同向，即0°时，a·b；当a，b反向，即180°时，a·b（2）|ab|2|a|22a·b|b|23，|ab|（3）由（ab）·a0，得a2a·b，cos，又0，180°，故45°（五）梳理小结，深化理解1两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB（0）叫做向量a与b的夹角（2）特例：当0时，向量a与b同向；当时，向量a与b垂直，记作ab；当时，向量a与b反向2向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos_叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b|a|b|cos_规定零向量与任一向量的数量积为03投影向量如图（1），设a，b是两个非零向量，a，b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影（project），叫做向量a在向量b上的投影向量如图（2），在平面内任取一点O，作a，b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量（2）若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，则|a|cose4向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则（1）a·ee·a|a|cos（2）aba·b0（3）当a与b同向时，a·b|a|b|；当a与b反向时，a·b|a|b|特别地，a·a|a|2或|a|（4）|a·b|a|b|5向量数量积的运算律（1）a·bb·a（交换律）（2）（a）·b（a·b）a·（b）（结合律）（3）（ab）·ca·cb·c（分配律）（六）布置作业，深入研究 教材第20页练习第1-3题。板书设计1两向量的夹角定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB（0）叫做向量a与b的夹角2向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos_叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b|a|b|cos_3投影向量4向量数量积的性质a·ee·a|a|cosaba·b0|a·b|a|b|5向量数量积的运算律a·bb·a（ab）·ca·cb·c6.2.4向量的数量积课件展示例1例2练习1练习2教学反思过程确认主备人签字： 备课组长签字： 教研组长签字： 教科室负责人签字： 学科网（北京）股份有限公司