93、排列数与组合数的性质与运算.docx
第92课时排列数与组合数的性质与运算【教学目标】1 .理解排列与组合数的概念；2 .能将排列与组合实际问题按排列的定义进行抽象，运用框图进行概括；3 .能运用乘法原理推导排列与组合公式；4 .掌握排列与组合数公式，运用排列与组合公式解决简单的排列问题。【教学重点】理解排列与组合的概念及排列与组合公式的推导与运用。【教学难点】能用排列与组合的定义正确地鉴定实际问题是否为排列与组合问题。【教学过程】一.知识整理L排列数定义：从n个不同元素中，每次取出m（m«n）个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P；表示；当m = n时，叫做n个元素的全排列数，用符号P；表示，也可以用符号P”表示。2 .排列数公式：P：1= （九一1）（一 2）（一根 + 1）（其中 N 且mW n）注意：从公式的特点分析，右边第一个因数最大n,后面的每次因数都比它前面一个因 数少1 （递减），最后一个因数为n-m+1,共有m个因数（连续自然数）相乘。（公式的特 征）（1） 全排列数：Pn= n（n - l）（n -2）32l = n!（n个连续的自然数的乘积，常用记号n!表示，读作n阶乘）。（2） 排列数公式：（解决了一般性的计算问题，介绍计算器的使用）n IP；二（规定：0! =1）（n - m）!说明：排列数有二个公式:m个数月 =（一 1）（加一2）（一加+i）常用于计算。n IP；=常用于有关恒等式证明，解方程时。（n - m）!3 .组合数的公式：（1）组合数的概念：从个不同元素中取出加（加 <）个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出加个元素的组令婺.用符号表示.（2）组合数公式的推导：C：二号二 >1）（”2）一-（）加 + 1）或=四一 （,加6"*,且加w）.P：；m!（3）组合数的性质 C-dm Cr+C：=C3rCJ=n Cn-i'1Cn°+Cn，+ -+Cnn=2n CnO-Cj + +（-l）nCnM）即 Cn°+Cn2+Cn4+ =C J +Cj+ = 2”】二.例题精析【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，解决问题能力【题目】解方程：g；"=G?-3；【解答】由原方程得x+l = 2x3或x+l + 2x3 = 13, x = 4或x = 5,l<x + l<13又由1<213<13得2««¥<8且£"*,原方程的解为工=4或x = 5.xw N*上述求解过程中的不等式组可以不解，直接把x = 4和x = 5代入检验，这样运算量小得多。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，证明题，中档题，逻辑推理能力。【题目】求证：P： +，nP；' = P：£ o 【解答】证一 ：P； += n(n -1) (n - m +1) + mn(n -l)-(n-m + l + l)=nn _ 1)(几一根 + 2)(n - m +1) + m =(几 + l)n(n - !)(/? + 1 -m + 1)_ pm一厂+1证一:P： + mP： =+=1 +(一 2)!(一 根+1)!(一 加)！ n- m + nl h+1_(72 +1)!_ tn=匕z+1 (n-m)! n-m + l (n + l-m)!【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，分析问题能力。【题目】从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？【解答】问题可以分成2类：第一类2名男生和2名女生参加，有C；C：=60中选法； 第二类3名男生和1名女生参加，有C；C；=40中选法.依据分类计数原理，共有100种选法.【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，难题，分析问题与解决问题 能力，逻辑思维能力。【题目 1 设 an=l+q+q2+qn-i(n£N,qW±l),An=Cjai+Cn2a2+Cn%(1)求An(用n和q表示)(2)当-3<9<1,且 qW-1 时，求2【解答】(1) . an=i q，Af C J (1 -q)+C/( 14)+-4-Cnn(l-qn)1-夕= c/+ C/+ + Cnn-( cjq+ Q2q+ Cn'qn)i-q1 1-(2n-l)-(H-q)n+l= -2n-(l+q)n-q-q(2) lim &=!(上幻灯-8 2 1 q7821 + (7V-3<p<l,A|-|<1：.lim &二i-q二.课堂反馈【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，选择题，易题，分析能力【题目】式子G'r + C；-'"（%eN*）的值的个数为（）A. 1B.2C.3D.4【解答】A【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，填空题，易题，分析能力【题目】化简：c：-c：+1 + c：=.【解答】。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，填空题，易题，分析能力【题目】从6个同学中，挑选3人分别担任正组长，副组长和干事，问共有 种不同的选法.【解答】P； =6x5x4 = 120【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，分析能力【题目】要安排五名工人分别当车工、钳工、刨工、铳工和油漆工，已知工人中不能当钳工和油漆工，问共有多少种安排工作的方法？【解答】P4 =3x4x3x2xl = 72（种）【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，计算能力【题目】若直线方程Ax+By=O的系数A、B、C可以0, 1, 2, 3, 5, 7六个数字中取不 同的值，则这些方程表示的不同直线有多少条？【解答】尸+2 = 22【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，难题，分析能力【题目】4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法 共有多少种？【解答】解法一：（直接法）小组构成有三种情形:3男,2男1女，1男2女,分别有, C： . C：,C：.C；,所以，一共有。：+。，。： +。：.。；=100种方法.解法二：（间接法）。士四.课堂小结（课堂小结主要为方法总结及解题注意事项）1 .条件限制的排列与组合问题，这里所说的限制表现为：某个位置上不能排某个元素，或 某个元素只能排在某个位置上，及某些元素和位置具有特殊的要求。2 .解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时 要利用分类和分步计数原理（1）确定该题是否是排列、还是组合问题；（2）正确地找出元素n,位置m。（3）准确地运用乘法还是加法原理。五.课后作业【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，填空题，中档题，分析能力【题目】若° = C，则50的值为 .【解答】190【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，计算能力【题目】某段铁路上有12个车站，共需要准备多少种普通客票？【解答】如何确定一张车票？起点与终点，相当于框图中的两个位置。,需要准备的车票的种数就是从12个车站中任取2个的排列数，即：元=12x11=132 （种）。答：共需要准备132种普通客票。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，填空题，中档题，分析能力【题目】10个人走进放有一排6把椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐1人， 问有 种不同的坐法？【解答】因为问题实际上就是从10个人中任取6个人的排列数，即:=10x9x8x7x6x5 = 151200 (种)。答：有151200种不同的坐法。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，计算能力【题目】计算的值。【解答】宾+得=C；8 +J? 1；+苦=22473x2x1 2x1【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，易题，逻辑思维能力。【题目】在1, 2, 3,，8, 9这9个不同数字中，任意取3个不同数字构成一个三位数, 问共有多少个不同的三位数？【解答】P； =9x8x7 = 504,答：共有504个不同的三位数。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，中档题，分析能力【题目】有6位团员坐成一排照相，6个座位平均分成两排，若甲、乙不能在同一排，有 多少种不同的坐法？【解答】甲随意坐，弓；乙另一排选一座位，P；，因此用片乙=432。【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，解答题，难题，解决问题能力.【题目】解方程：。点+。案='巴【解答】原方程可化为即01=曰3，+ 3)!»3 10x+3X+3 10 >35!(x 2)! 10-x!1 1 120(x-2)! - 10-x(x-l)-(x-2)!A x2-x-12 = 0 ,解得x = 4或x = -3,经检验：x = 4是原方程的解.【属性】高三复习，排列数与组合数的性质与运算，证明题，中档题，分析问题【题目】求证：C +cf +C： + + c：7 =c,j+i 1【解答】左边=6 + C； + C； + C： +. + (? c；= C：+C；+. +/-= C2+C3+.+ C：-l_C0m-2C/n+l=Qti+ c丁-1-i一 i
