高中数学排列组合精华提炼.doc

高中数学排列组合精华提炼【加法原理】做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法.【乘法原理】做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，.那么完成这件事共有 N=m1´m2´m3´´mn种不同的方法. 【排列】从n个不同元素中，任取m()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 .【排列数】定义：从n个不同元素中，任取m()个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.【排列数公式】或 （其中mn m,nÎZ）全排列、阶乘的意义： 规定： 0!=1【组合】1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合注：1不同元素 2“只取不排”无序性 3相同组合：元素相同判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题： 从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合） 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记（排列）【组合数】2组合数的概念：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号表示例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙即有种组合又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即： 关键是看是否与顺序有关那么又如何计算呢？【组合数公式的推导】提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数是多少呢？启发： 由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数 可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：组 合： 排列： 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步： 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个； 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法由分步计数原理得：，所以： 推广： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步： 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数； 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分布计数原理得：【组合数公式】 或 注：我们规定 【组合数性质】 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n - m个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想