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三 星 级 典 型 题 解 题 题 典 小 学 数 学 基 本 概 念 典 型 题 解 例 1 什 么 叫 做 自 然 数？“0”是 自 然 数 还 是 整 数？什 么 叫 做 整 数？解 表 示 物 体 个 数 的 一、二、三、四 的 每 一 个 数 都 叫 做 自 然 数。零 是 整 数，不 是 自 然 数。零 和 一 切 自 然 数 都 叫 做 整 数。【解 题 关 键 和 提 示】零 是 整 数，不 是 自 然 数。例 2 什 么 叫 做 小 数？小 数 的 基 本 性 质 是 什 么？解 表 示 十 分 之 几、百 分 之 几、千 分 之 几 的 数，叫 做 小 数，如 0.25、6.78 等。小 数 的 基 本 性 质 是：在 小 数 末 尾 添 零 或 去 零，小 数 的 大 小 不 变。【解 题 关 键 和 提 示】小 数 末 尾 不 管 有 零（一 或 若 干 个）、无 零，其 值 是 相 等 的。例 3 什 么 叫 做 分 数？分 数 的 基 本 性 质 是 什 么？解 把 整 体“1”平 均 分 成 若 干 份，表 示 这 样 的 一 份 或 几 份 的 数，叫 做 分 数。分 数 的 基 本 性 质 是：分 数 的 分 子、分 母 同 乘 以 或 除 以 同 一 个 数（零 除 外），分 数 的 大 小 不 变。【解 题 关 键 和 提 示】分 数 强 调 的 是“平 均 分”。注 意“同 乘 以 或 除 以 同 一 个 数。”例 4 什 么 叫“数 字”？什 么 叫“数 位”？整 数 和 小 数 的 数 位 排 列 顺 序 是 什 么？解 用 来 写 数 的 符 号 叫 做 数 字。如：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。各 个 不 同 的 计 数 单 位 所 占 的 位 置 叫 做 数 位。整 数 和 小 数 数 位 排 列 的 顺 序 如 下:【解 题 关 键 和 提 示】熟 记 数 位 顺 序，从 个 位 起，每 四 位 一 级，正 确 地 读 写 数。例 5 举 例 说 明 什 么 叫 整 除？解 数 a 除 以 数 b,除 得 的 商 正 好 是 整 数 而 没 有 余 数，我 们 就 说，a能 被 b,整 除。如:27+3=9,2 7能 被 3整 除。【解 题 关 键 和 提 示】整 除 商 必 须 是 整 数，且 a 和 b 都 是 自 然 数。例 6 什 么 叫 约 数 和 倍 数？举 例 说 明。解 数 a 能 被 数 b 整 除。a 就 是 b 的 倍 数，b 就 是 a 的 约 数。如：27能 被 3 整 除，27是 3 的 倍 数，3是 2 7的 约 数。【解 题 关 键 和 提 示】约 数 和 倍 数 是 相 对 的,如 2 7是 3 的 倍 数，但 它 又 是 8 1的 约 数。例 7 什 么 叫 质 数？什 么 叫 合 数？解 一 个 自 然 数，除 了“1”和 它 本 身，再 也 没 有 别 的 约 数，这 个 数 叫 做 质 数（素 数）。一 个 自 然 数，除 了 1和 它 本 身 外，还 有 其 他 约 数，这 个 数 叫 做 合 数。【解 题 关 键 和 提 示】“1”既 不 是 质 数，也 不 是 合 数.例 8 举 例 说 明 什 么 叫 质 因 数？解 把 一 个 合 数，写 成 几 个 质 数 相 乘 积 的 形 式，这 几 个 质 数 就 做 这 个 合 数 的 质 因 数。如：12=2X 2X 3,这 里 的 2 和 2 及 3 就 是 12的 质 因 数。【解 题 关 键 和 提 示】质 因 数 首 先 必 须 是 质 数。例 9 什 么 叫 分 解 质 因 数？分 解 质 因 数 通 常 用 什 么 方 法？解 把 一 个 合 数 用 质 因 数 相 乘 的 形 式 表 示 出 来，叫 做 分 解 质 因 数。通 常 用 短 除 法 来 分 解 质 因 数。【解 题 关 键 和 提 示】用 短 除 法 分 解 时，必 须 用 质 数 去 除，得 出 的 商 也 必 须 是 质 数。例 10什 么 叫 公 约 数？什 么 叫 最 大 公 约 数？解 几 个 数 公 有 的 约 数，叫 做 这 几 个 数 的 公 约 数，其 中 最 大 的 一 个，叫 做 这 几 个 数 的 最 大 公 约 数。【解 题 关 键 和 提 示】几 个 数 的 公 约 数 中，最 小 的 一 定 是 1。例 11什 么 叫 互 质 数？举 例 说 明。解 公 约 数 只 有 1的 两 个 数 叫 互 质 数。如：8 和 15是 互 质 数，它 们 的 最 大 公 约 数 就 是 1。【解 题 关 键 和 提 示】如 果 两 个 数 是 互 质 数，它 们 的 最 大 公 约 数 就 是 1。例 12什 么 叫 公 倍 数？什 么 叫 最 小 公 倍 数？解 几 个 数 公 有 的 倍 数，叫 做 这 几 个 数 的 公 倍 数，其 中 最 小 的 一 个，叫 做 这 几 个 数 的 最 小 公 倍 数。【解 题 关 键 和 提 示】求 几 个 数 的 最 小 公 倍 数 用 短 除 方 法，一 直 除 到 所 得 的 商 是 互 质 数 为 止。如 果 是 三 个 或 三 个 以 上 的 数，最 后 的 商 必 须 两 两 互 质。例 13能 被 2、5、3 整 除 的 数 的 特 征 是 什 么？解 个 位 上 是 0、2、4、6、8 的 数，都 能 被 2 整 除。个 位 上 是 0 或 者 5 的 数，都 能 被 5整 除。一 个 数 的 各 个 数 位 上 的 数 的 和 能 被 3整 除，这 个 数 就 能 被 3整 除。【解 题 关 键 和 提 示】记 住 能 被 2、3、5 整 除 的 数 的 特 征，判 断 就 很 容 易。例 14什 么 叫 最 简 分 数？解 分 子、分 母 是 互 质 数 的 分 数，叫 做 最 简 分 数。【解 题 关 键 和 提 示】假 分 数 的 分 子、分 母 如 果 是 互 质 数，还 要 把 它 比 成 带 分 数，才 叫 最 简 分 数。例 15什 么 叫 约 分？什 么 叫 通 分？解 把 一 个 分 数 化 成 同 它 相 等，但 是 分 子、分 母 都 比 较 小 的 分 数，叫 做 约 分。把 异 分 母 分 数 分 别 化 成 和 原 来 分 数 相 等 的 同 分 母 分 数，叫 做 通【解 题 关 键 和 提 示】无 论 是 约 分 还 是 通 分，其 分 数 值 都 要 和 原 来 的 分 数 相 等。例 16什 么 叫 真 分 数？解 分 子 比 分 母 小 的 分 数，叫 做 真 分 数。【解 题 关 键 和 提 示】真 分 数 比 1小。例 17什 么 叫 假 分 数？解 分 子 和 分 母 相 等 或 者 分 子 比 分 母 大 的 分 数，叫 做 假 分 数。【解 题 关 键 和 提 示】假 分 数 等 于 1或 大 于 1。例 18什 么 叫 带 分 数？解 一 个 整 数 和 一 个 真 分 数 合 成 的 数，叫 做 带 分 数。【解 题 关 键 和 提 示】带 分 数 大 于 1。例 19 举 例 说 明 什 么 叫 繁 分 数？解 一 个 分 数，它 的 分 子、分 母 里 又 含 有 分 数 的，叫 做 繁 分 数。如：|母 普 工 等 都 是 繁 分 数。4 15-13【解 题 关 键 和 提 示】繁 分 数 可 以 化 简。例 2 0 什 么 叫 物 体 的 面 积？什 么 叫 物 体 的 体 积？解 物 体 表 面 或 平 面 图 形 的 大 小，叫 做 它 们 的 面 积。物 体 所 占 空 间 的 大 小 叫 做 物 体 的 体 积。解 题 关 键 和 提 示 面 积 指 的 是 平 面，体 积 指 的 是 空 间。例 2 1 什 么 叫 比 的 基 本 性 质？解 比 的 前 项 和 后 项 都 乘 以 或 者 都 除 以 相 同 的 数（零 除 外），比 值 不 变。【解 题 关 键 和 提 示】比 的 基 本 性 质 是 由 分 数 的 基 本 性 质 而 来 的。例 2 2 什 么 叫 比 例 尺？解 图 上 距 离 和 实 际 距 离 的 比，叫 做 这 幅 图 的 比 例 尺。【解 题 关 键 和 提 示】通 常 把 比 例 尺 写 成 前 项 是 1的 比。例 2 3 什 么 叫 比 例 的 基 本 性 质？什 么 叫 解 比 例？解 在 比 例 里，两 个 外 项 的 积 等 于 两 个 内 项 的 积。根 据 比 例 的 基 本 性 质，如 果 己 知 比 例 中 的 任 何 三 项，就 可 以 求 出 另 外 一 个 未 知 项。求 比 例 中 的 未 知 项,叫 做 解 比 例。【解 题 关 键 和 提 示】解 比 例 时，可 利 用 比 例 的 基 本 性 质 进 行 验 算。例 2 4 什 么 叫 正 比 例 关 系？解 两 种 相 关 联 的 量，一 种 量 变 化，另 一 种 量 也 随 着 变 化，如 果 这 两 种 量 中 相 对 应 的 两 个 数 的 比 值（也 就 是 商）一 定，这 两 种 量 就 叫 做 成 正 比 例 的 量，它 们 的 关 系 叫 做 正 比 例 关 系。【解 题 关 键 和 提 示】判 断 两 种 关 联 的 量 成 正 比 例 时，必 须 强 调 两 种 相 关 联 的 量 中 相 对 应 的 两 个 数 的 商 应 该 一 定。例 2 5 什 么 叫 反 比 例 关 系？解 两 种 相 关 联 的 量，一 种 量 变 化，另 一 种 量 也 随 着 变 化，如 果 这 两 种 量 中 相 对 应 的 两 个 数 的 积 一 定，这 两 种 量 就 叫 做 成 反 比 例 的 量，它 们 的 关 系 叫 做 反 比 例 关 系。【解 题 关 键 和 提 示】判 断 两 种 关 联 的 量 成 反 比 例 时，必 须 强 调 两 种 相 关 联 的 量 中 相 对 应 的 两 个 数 的 积 应 该 一 定。例 2 6 最 小 的 自 然 数 是 哪 一 个 数？有 没 有 最 大 的 自 然 数？解 最 小 的 自 然 数 是 1。没 有 最 大 的 自 然 数。【解 题 关 键 和 提 示】自 然 数 的 个 数 是 无 限 的。例 2 7 自 然 数 都 是 整 数 吗？整 数 都 是 自 然 数 吗？解 自 然 数 都 是 整 数。整 数 不 都 是 自 然 数。【解 题 关 键 和 提 示】0 是 整 数，但 不 是 自 然 数。例 2 8 将 下 列 数 中 的 自 然 数 和 整 数 分 别 挑 出 来。再 说 明 下 列 数 中 是 否 有 最 小 的 自 然 数 和 最 小 的 整 数。0 486 17 158 76 1 57解 自 然 数 有：486、17、158、76、1、57。整 数 有：0、486、17、158、76、1、57。最 小 的 自 然 数 是 1。最 小 的 整 数 是 0。【解 题 关 键 和 提 示】弄 清 自 然 数 与 整 数 的 概 念。例 2 9 指 出 下 列 数 中 哪 些 是 带 小 数？哪 些 是 纯 小 数？剩 下 的 数 是 什 么 数？0.08、0.61,1.07、1、16、0.97、10.6、180、7.04、0解 带 小 数 有：1.07、10.6、7.04o纯 小 数 有：0.61、0.08、0.970剩 下 的 数 是 整 数。【解 题 关 键 和 提 示】纯 小 数 比 1小，因 为 整 数 部 分 是 0 的 小 数 叫 纯 小 数，带 小 数 比 1大。例 30读 出 下 列 各 数：3801 5163004 10070009 280706805 30807010100解 3801读 作 三 千 八 百 零 一。5163004读 作 五 百 一 h六 万 三 千 零 四。10070009读 作 一 千 零 七 万 零 九。280706805读 作 二 亿 八 千 零 七 十 万 零 六 千 八 百 零 五。30807010100读 作 三 百 零 八 亿 零 七 百 零 一 万 零 一 百。【解 题 关 键 和 提 示】记 住 读 数 的 方 法：读 数 要 从 高 位 起，数 位 顺 序 莫 忘 记。千 位 是 几 读 几 千，百 位 是 几 读 几 百。十 位 是 几 读 几 十，个 位 是 几 就 读 几。中 间 有 零 读 一 个，末 尾 有。都 不 读。例 31写 出 下 列 各 数:八 百 万 零 四 百 五 十 六 九 亿 零 四 十 五 万 十 亿 零 二 十 万 零 九 百 零 八 解 八 百 万 零 四 百 五 十 六 写 作 8000456c九 亿 零 四 十 五 万 写 作 90045000c十 亿 零 二 十 万 零 九 百 零 八 写 作 1000200908。【解 题 关 键 和 提 示】写 出 数 以 后，再 按 读 数 的 方 法 读 出 来，看 是 否 能 还 原 回 去。例 32 一 个 数 的 百 位 是 7,万 位 是 5,十 万 位 是 3,亿 位 是 1,其 他 位 均 为 零，写 出 这 个 数。解 这 个 数 是 100350700【解 题 关 键 和 提 示】按 照 四 位 一 级 的 写 数 方 法，找 准 数 位。例 3 3 把 下 列 各 数 改 写 成 以 万 作 单 位 的 数，再 回 答 第 一 个 数 中 的“6”，第 二 个 数 中 的“2”，第 三 个 数 中 的“7”，各 在 什 么 数 位 上？54600 9200000 306760解 54600改 写 成 以 万 作 单 位 的 数 是 5.46万。9200000改 写 成 以 万 作 单 位 的 数 是 920万。306760改 写 成 以 万 作 单 位 的 数 是 30.676万。54600中 的 6在 百 位 上。9200000中 的 2在 十 万 位 上。306760中 的 7在 百 位 上。【解 题 关 键 和 提 示】改 写 成 用 万 作 单 位 的 数 与 原 数 的 值 应 该 是 相 等 的，只 是 所 用 单 位 不 同。例 3 4 把 下 面 各 数 省 略 亿 后 面 的 尾 数 写 出 来。523700800 米 998200000 3660945200解 523700800米 省 略 亿 后 面 的 尾 数 约 是 5 亿 米。998200000省 略 亿 后 面 的 尾 数 约 是 10亿。3660945200省 略 亿 后 面 的 尾 数 约 是 37亿。【解 题 关 键 和 提 示】省 略 取 的 是 近 似 值。原 数 有 单 位 名 称 的 省 略 后 仍 要 有 单 位 名 称。例 3 5 写 出 下 列 各 数：（1）最 小 的 三 位 数（2）最 大 的 五 位 数（3）比 最 小 的 六 位 数 少 1 的 数（4）最 小 的 四 位 数 与 最 大 的 三 位 数 之 差。解（1）最 小 的 三 位 数 是 100。（2）最 大 的 五 位 数 是 99999。（3）比 最 小 的 六 位 数 少 1的 数 是 99999。（4）最 小 的 四 位 数 与 最 大 的 三 位 数 之 差 是 1。【解 题 关 键 和 提 示】记 住 最 大 的 几 位 数 与 最 小 的 几 位 数 的 规 律：最 大 的 几 位 数 就 是 由 几 个 9 组 成 的，如 最 大 的 四 位 数 就 是 9999。最 小 的 几 位 数 是 由 1和 比 几 少 1个 0 组 成 的，如 最 小 的 五 位 数 是 lOOOOo 例 36写 出 100以 内 的 所 有 质 数。解 100 以 内 的 质 数 有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。【解 题 关 键 和 提 示】可 用 顺 口 溜 熟 记 100以 内 的 质 数。即：二、三、五、七、一 十 一，还 有 十 三 和 十 七；十 九、二 十 三、二 十 九，三 一、三 七、四 H一；四 十 三、四 十 七、五 三、五 九、六 十 一，六 十 七、七 十 一，七 三、七 九、八 三、八 九、九 十 七。例 37 48的 约 数 有 哪 些？在 这 些 约 数 中 质 数 是 哪 几 个？合 数 是 哪 几 个？解 4 8的 约 数 有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。在 这 些 约 数 中。质 数 是：2 和 3,合 数 是 4、6、8、12、16、2 4和 48。【解 题 关 键 和 提 示】一 个 数 的 约 数 中，最 小 的 是 L 最 大 的 是 它 本 身。例 38 2 和 3 的 倍 数 各 有 哪 些？解 2 的 倍 数 有：2、4、6、8、10、123 的 倍 数 有:3、6、9、12、15、18.【解 题 关 键 和 提 示】一 个 数 的 倍 数 的 个 数 是 无 限 的，最 小 的 倍 数 是 它 本 身。例 3 9 能 被 4 或 2 5整 除 的 数 的 特 征 是 什 么？解 能 被 4 或 2 5整 除 的 数 的 特 征 是 这 个 数 的 末 两 位 数 能 被 4 或 2 5整 除。【解 题 关 键 和 提 示】只 看 末 两 位 数，若 末 两 位 数 能 被 4 或 2 5整 除，这 个 数 则 一 定 能 被 4 或 25整 除。例 4 0 从 1到 3 0里 面 找 出 能 被 2、3、5、4、7 整 除 的 数 各 有 哪 些？解 能 被 2 整 除 的 数 有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28 30o能 被 3 整 除 的 数 有：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30。能 被 5 整 除 的 数 有：5、10、15、20、25、300能 被 4 整 除 的 数 有：4、8、12、16、20、24、28。能 被 7 整 除 的 数 有：7、14、21、280【解 题 关 键 和 提 示】熟 记 能 被 2、3、5、4 整 除 的 数 的 特 征。例 4 1 指 出 下 面 哪 些 是 有 限 小 数，哪 些 是 无 限 小 数。3.45 6.7 6.3 0.33.0.066.5.125 4.384解 有 限 小 数 有：3.45、6.3、5.125o无 限 小 数 有：6.7、0.33.、0.066.、4.384。【解 题 关 键 和 提 示】这 里 的 有 限、无 限 指 的 是 小 数 部 分 的 位 数。例 4 2把 33、24、200分 解 质 因 数。解：311J.1 12|3 32|?6333=3 X 1124=2 X2X2X 3200=2 X 2X 2X 5X 5【解 题 关 键 和 提 示】分 解 质 因 数 是 把 一 个 合 数 用 质 因 数 相 乘 的 形 式 表 示 出 来。例 4 3先 求 12、18和 2 4的 最 大 公 约 数，再 求 12、18和 2 4的 最 小 公 倍 数。2|1 2 1 8 24g|6 92 3 412,18和 2 4的 最 大 公 约 数 是 2 x 3=62|1 2 1 8 24g|,6 9-i7-2 12 3 7-1 3 2.12、18和 2 4的 最 小 公 倍 数 是 2X3X2X3X2=72。【解 题 关 键 和 提 示】求 最 大 公 约 数 必 须 用 几 个 数 的 公 约 数 去 除，求 最 小 公 倍 数 必 须 除 到 每 两 个 数 都 是 互 质 数。例 4 4指 出 下 面 能 同 时 被 2 和 5 整 除 的 数。10 24 35 27 30 55 90解 能 同 时 被 2 和 5 整 除 的 数 有 10、3 0和 90。【解 题 关 键 和 提 示】个 位 上 是 0 的 数，能 同 时 被 2 和 5 整 除。例 45 一 个 数 用 3、4 和 5 除，正 好 都 能 整 除，这 个 数 最 小 是 多 少？解 这 个 数 最 小 是 60。【解 题 关 键 和 提 示】此 题 实 际 上 是 求 3、4 和 5 的 最 小 公 倍 数。例 4 6求 1 4和 4 2的 最 大 公 约 数。解 1 4和 42的 最 大 公 约 数 是 14o【解 题 关 键 和 提 示】如 果 较 小 数 是 较 大 数 的 约 数，那 么 较 小 数 就 是 这 两 个 数 的 最 大 公 约 数。例 4 7求 8 和 1 5的 最 大 公 约 数。解 8 和 1 5的 最 大 公 约 数 是 1。【解 题 关 键 和 提 示】如 果 两 个 数 是 互 质 数，它 们 的 最 大 公 约 数 就 是 1。例 4 8求 1 2和 4 8的 最 小 公 倍 数。解 1 2和 4 8的 最 小 公 倍 数 是 48o【解 题 关 键 和 提 示】如 果 较 大 数 是 较 小 数 的 倍 数，那 么 较 大 数 就 是 这 两 个 数 的 最 小 公 倍 数。例 4 9求 5 和 9 的 最 小 公 倍 数。解 5 和 9 的 最 小 公 倍 数 是 45。【解 题 关 键 和 提 示】如 果 两 个 数 是 互 质 数，那 么 这 两 个 数 的 积 就 是 它 们 的 最 小 公 倍 数。例 50 j4,54 米、54吨 的 意 义 有 什 么 不 同？解 把 整 体 1平 均 分 成 淞，表 示 这 样 4份 的 数，叫 做 把 1米 平 均 分 成 淞，表 示 这 样 4份 的 数，叫 做 1米。把 1吨 平 均 分 成 淞，表 示 这 样 4份 的 数，叫 做 g吨。【解 题 关 键 和 提 示】整 体 1表 示 的 内 容 不 同，虽 然 分 的 份 数 和 取 的 份 数 都 一 样，但 内 容 却 不 相 同。例 5 1 零 能 不 能 做 除 数？能 不 能 作 分 母？为 什 么？解 不 能。如 5+0=?被 除 数 是 乘 法 中 的 积，除 数 与 商 是 两 个 因 数，“0”与 任 何 数 相 乘 的 积 只 能 得“0”，但 不 能 得 5,因 此“0”做 除 数 没 有 意 义。被 除 数 是 分 数 中 的 分 子，除 数 是 分 数 中 的 分 母，因 为“0”做 除 数 没 有 意 义，所 以“0”做 分 母 也 没 有 意 义。【解 题 关 键 和 提 示】“0”既 不 能 做 除 数，也 不 能 做 分 母，要 牢 牢 记 住 这 条 规 律。例 52 1千 克 的 X 5 和 3千 克 的 料 个 重？1千 米 的，3千 米 的:哪 个 长？为 什 么？解 因 为 I千 克 千 克，3千 克 X”克，所 以 一 样 重。因 为 1千 米 千 米，3千 米 千 米，所 以 一 样 长。4 4 4 4【解 题 关 键 和 提 示】从 意 义 上 去 理 解。例 5 3写 出 5个 比 1小，比 1大 的 分 数 来。随 1 1 1 3 7解 4 3 2 10 10【解 题 关 键 和 提 示】从 真 分 数 里 去 找 比:大 的 分 数 即 可。例 5 4 化 简 繁 分 数：2+J5 4125-6+5=2 51 2 乂 1 1 1 1 Q8 1I X I-I-+5-A I-5 4 3 9 52,1 8,5,13 13+1+1 1-1 _ 4 _ _ 2 0 _ _ 2 0 _ _ 0,_ 0研 2 1 2 5 1 11-X-i-x-1-5 4 5 4 2 21“13-r 1 33.xv 2=33=_3 320 2 1 10 104泗 W3解【解 题 关 键 和 提 示】化 简 繁 分 数 的 最 后 结 果 可 以 是 整 数、小 数 或 最 简 分 数。例 5 5把 总 约 分。【解 题 关 键 和 提 示】找 准 分 子、分 母 的 最 大 公 约 数，最 后 的 结 果 还 要 与 原 分 数 值 相 等。例 5 6把,、萼 和，通 分。1Z lo 0M 5 5X 3 15 11 11X 2 22 5 5X 6 30-=-=-=-=-=-=-12 12X3 36 18 18X 2 36 6 6 义 6 36【解 题 关 键 和 提 示】找 准 这 几 个 分 数 的 分 母 的 最 小 公 倍 数。例 5 7 写 出 1 0 0以 内 都 能 被 2、3、5 整 除 的 数。解 1 0 0以 内 30、60、9 0都 能 被 2、3、5 整 除。【解 题 关 键 和 提 示】能 被 2、5 同 时 整 除 的 数 是 个 位 是 0 的 数，因 此，个 位 是 0 的 数 中，只 要 它 的 各 位 上 的 和 能 被 3 整 除，这 个 数 就 能 被 2、3、5 整 除。例 5 8 写 出 5 个 能 被 3 与 5 除 都 余 2 的 两 位 数。解 17、32、47、62、77o【解 题 关 键 和 提 示】找 出 3 与 5 的 公 倍 数 后，再 分 别 加 2 即 可。例 59 一 个 三 位 数 用 9 除 余 6,用 4 除 余 2,用 5 除 余 1,这 个 三 位 数 最 小 是 多 少？解 这 个 三 位 数 最 小 是 186。【解 题 关 键 和 提 示】先 求 9、4 和 5 的 最 小 公 倍 数 是 1 8 0,既 然 用 9 除 余 6,那 么 就 用 180加 6 得 186,186正 好 能 满 足 用 4 除 余 2,用 5 除 余 1。例 6 0 质 数、质 因 数 与 互 质 数 有 什 么 不 同？解 质 数 是 指 一 个 数，这 个 数 是 自 然 数，它 只 能 被 1和 它 本 身 整 除，如 2、3、5、7 等。质 数 中 除 了 2 是 偶 数 外，其 余 都 是 奇 数。质 因 数 也 是 指 一 个 数，这 个 数 是 另 一 个 数 的 因 数，而 且 它 必 须 是 质 数。也 就 是 说，质 因 数 是 指 某 一 个 合 数 的 质 数 因 数，如 5X 4=20,5 和 4 都 是 2 0的 因 数，5 是 质 数，所 以 5 是 2 0的 质 因 数；而 4 不 是 质 数，所 以 不 能 说 4 是 2 0的 质 因 数。质 因 数 不 能 单 独 存 在，而 是 对 一 个 合 数 来 说 的，如 果 我 们 说 5 是 质 因 数，那 就 错 了。互 质 数 是 指 两 个 数 或 几 个 数，它 们 只 有 公 约 数 1,没 有 别 的 公 约 数。互 质 数 的 两 个 数 不 一 定 都 是 质 数。如 3 和 8 是 互 质 数，但 不 能 说 3 和 8都 是 质 数。【解 题 关 键 和 提 示】弄 清 楚 质 数、质 因 数 与 互 质 数 是 不 同 的 概 念。例 61 3 个 连 续 自 然 数 的 和 是 8 4,这 三 个 自 然 数 分 别 是 什 么？解 这 三 个 自 然 数 分 别 是 27、28、290【解 题 关 键 和 提 示】先 求 这 三 个 数 的 平 均 数 28,即 为 这 三 个 数 的 中 间 数，再 用 中 间 数 28分 别 减 1、加 1即 求 出 这 三 个 连 续 的 自 然 数。例 6 2 从 0、1、2、5、9 这 5个 数 字 中 选 4 个 数 字 组 成 一 个 能 同 时 被 2、5、3 整 除 的 最 小 四 位 数 是 什 么？解 这 个 数 是 1290o【解 题 关 键 和 提 示】先 考 虑 这 个 四 位 数 的 首 和 尾，最 小 必 须 是 1作 首，而 要 想 能 同 时 被 2和 5 整 除 必 须 用 0 作 尾，再 找 中 间 的 两 个 数 字 与 1、0 加 起 来 能 被 3 整 除,还 要 考 虑 把 小 的 那 个 数 字 放 在 百 位 上。例 6 3 在 10以 内 一 个 既 是 奇 数 又 是 合 数 的 数，与 一 个 既 是 质 数 又 是 偶 数 的 数，组 成 的 互 质 数 是 什 么？解 它 们 组 成 的 互 质 数 是 9 与 2。【解 题 关 键 和 提 示】10以 内 既 是 奇 数 又 是 合 数 的 数 是 9,既 是 质 数 又 是 偶 数 的 数 是 2。例 6 4 能 被 2 整 除，又 有 约 数 3,同 时 是 5 的 倍 数 的 最 大 三 位 数 是 什 么？解 这 个 数 是 990。【解 题 关 键 和 提 示】此 题 实 际 是 求 能 被 2、3、5 同 时 整 除 的 最 大 三 位 数。例 65 一 个 最 简 分 数，如 果 把 它 的 分 子 扩 大 4 倍，分 母 缩 小 5 倍。就 变 成 14。这 个 分 数 是 什 么？解 这 个 分 数 是 看 7。【解 题 关 键 和 提 示】分 子 扩 大 4 倍，分 母 不 变，分 数 值 也 扩 大 4 倍；分 子 不 变，而 分 母 缩 小 5倍。分 数 值 反 而 扩 大 5 倍。这 样 使 原 来 的 最 简 分 数 在 扩 大（4X5）倍7由 甘 上 变 为 1 4,那 么 原 来 的 最 简 分 数 是 14+2 0=5 的 基 础 1。例 6 6在 于 慧）和 中，分 数 单 位 最 大 的 那 个 分 数 最 少 5 6 7 要 加 上 它 的 多 少 个 分 数 单 位，就 比 另 外 两 个 分 数 的 和 大。解 最 小 要 加 上 它 的 3个 分 数 单 位。【解 题 关 键 和 提 示】找 出 分 数 单 位 最 大 的 分 数 是:以 及!和?这 两 个 分 数 的 和 是 5 6 7 42 例 67 200以 内 哪 些 数 被 3、4、5 除 后 都 余 1?解 这 些 数 是 61、121、181o【解 题 关 键 和 提 示】先 求 出 3、4 和 5 的 最 小 公 倍 数 6 0,再 用 200以 内 6 0的 倍 数 分 别 加 1即 可。7 例 6 8一 个 分 数 的 分 子 比 分 母 小 8,约 分 后 是!，这 个 分 数 是 9 多 少？解 这 个 分 数 是 考。36【解 题 关 键 和 提 示】7把 的 分 子、分 母 同 乘 以 同 一 个 数，使 它 的 分 子 比 分 母 小 8即 可。2 例 69 1的 分 母 加 上 1 0,要 使 这 个 分 数 大 小 不 变，分 子 要 加 上 5 多 少？解 分 子 要 加 上 4。【解 题 关 键 和 提 示】|的 分 母 加 上 1 0,分 母 等 于 扩 大 了 3倍，要 使 这 个 分 数 的 大 小 不 变，根 据 分 数 的 基 本 性 质，分 子 也 要 扩 大 3 倍，因 此 分 子 要 加 上 4。例 7 0 已 知 a=2 X 3 X ll,b=2 X 3 X 3 X 5,求 a 和 b 的 最 大 公 约 数 和 最 小 公 倍 数。解 a 和 b 的 最 大 公 约 数 是 2 X 3=6,最 小 公 倍 数 是 2 X 3 X 3 X 5 X11=990o【解 题 关 键 和 提 示】求 最 大 公 约 数 时 把 a 和 b 公 有 的 约 数 相 乘，求 最 小 公 倍 数 时 除 了 把 公 有 的 约 数 相 乘 外，还 要 乘 上 a 和 b 各 自 的 约 数。例 7 1 三 个 连 续 自 然 数 的 积 是 3 3 6,这 三 个 自 然 数 分 别 是 什 么？解 这 三 个 自 然 数 分 别 是 6、7、80【解 题 关 键 和 提 示】用 分 解 质 因 数 的 方 法 求 出 结 果。例 7 2 甲、乙 两 数 的 最 大 公 约 数 是 1,丙 数 能 整 除 乙 数，那 么 甲、乙、丙 三 个 数 的 最 小 公 倍 数 是 什 么？解 甲、乙、丙 三 个 数 的 最 小 公 倍 数 是 甲、乙 两 数 的 积。【解 题 关 键 和 提 示】运 用 求 特 殊 情 况 下 两 个 数 的 最 小 公 倍 数 的 方 法。甲、乙 两 数 的 最 大 公 约 数 是 1,说 明 甲、乙 两 数 是 互 质 数，因 而 甲、乙 两 数 的 最 小 公 倍 数 是 甲、乙 两 数 的 积，而 丙 数 又 能 整 除 乙 数。所 以 甲、乙 两 数 的 积 就 是 甲、乙、丙 三 个 数 的 最 小 公 倍 数。例 7 3 与 6 互 质 的 最 小 的 合 数 是 多 少？解 与 6 互 质 的 最 小 的 合 数 是 25。【解 题 关 键 和 提 示】此 题 要 求 与 6 互 质 又 是 最 小 的 合 数 两 个 条 件 缺 一 不 可，因 此 要 一 一 加 以 试 验，淘 汰 非 解，最 后 得 出 25。例 7 4如 果 把 的 分 子 加 上 2,要 使 原 来 的 分 数 大 小 不 变，那 么,分 母 应 加 上 多 少？解 分 母 应 加 上 18。【解 题 关 键 和 提 示】此 题 是 检 查 学 生 对 分 数 基 本 性 质 的 灵 活 运 用，能 否 严 格 区 分“加 上 2”与“乘 以 2”的 两 个 不 同 概 念。例 7 5 两 个 数 都 是 合 数，又 是 互 质 数，它 们 的 最 小 公 倍 数 是 120,这 两 个 数 分 别 是 什 么？解 这 两 个 数 分 别 是 8 和 15。【解 题 关 键 和 提 示】综 合 运 用 质 数、合 数、分 解 质 因 数、互 质 数、最 小 公 倍 数 的 关 系。1 9 例 76 计 算 0 8 X 2 7 9 X I 5+(3X X 0.6 4)1 Q解 O.8 X 2 7 9 X I 5+(3X X 0 64)0.8X 2 7.9 X 1-0 8X 27.9X 1,5工 _=_1 昌 义 坡 簿 3103 X X 0 6 4 3 X 0 4 5 X 0 6 420&X右 X 砥 81?813=3叼【解 题 关 键 和 提 示】1 9计 算 时 先 把 0.8 X 2 7.9 X,+(3X X 0.64)变 成 0.8 X 27.9 X 1293X X0.6420O 这 一 步 形 变 质 不 变。例 77 一 个 最 简 分 数 的 分 子 比 分 母 少 2,如 果 将 它 的 分 子 加 上 最 小 的 自 然 数，它 的 分 母 加 上 分 子 与 分 母 的 最 小 公 倍 数，得 出 的 最 简 分 数 1是(原 来 的 最 简 分 数 是 什 么？解 原 来 的 最 简 分 数 是 7【解 题 关 键 和 提 示】既 然 是 最 简 分 数 的 分 子 比 分 母 少 2,那 么 就 用 这 些 数 依 次 去 试。典 型 题 库 一、填 空 1.最 小 的 自 然 数 是（），有 没 有 最 大 的 自 然 数？（）自 然 数 的 单 位 是（）O 2.3052是 由 3个（），5个（），2 个（）组 成 的。3.用 6、0、5、2 四 个 数 字 组 成 最 大 的 四 位 数 是（），最 小 的 四 位 数 是（）。4.一 个 数 是 由 20个 亿，83个 万 和 150个 一 组 成 的。这 个 数 写 作（），读 作（）。5.两 个 数 相 除，商 9 余 3,已 知 除 数 是 8,被 除 数 是（）。6.21.26是 由（）个 十，（）个 一,（）个 十 分 之 一，（）个 百 分 之 一 组 成 的。它 读 作（）。7.被 减 数、减 数 与 差