2023年高考数学压轴题及答案.pdf

2023年 高 考 数 学 压 轴 题 1.已 知 抛 物 线 产=2内(p0)上 一 点 P 的 横 坐 标 为 4,且 尸 到 焦 点 F 的 距 离 为 5,直 线/交 抛 物 线 于 4 8 两 点(位 于 对 称 轴 异 侧)，且 0小。8=差(1)求 抛 物 线 的 方 程；(II)求 证：直 线/必 过 定 点.【解 答】解：(I)由 题 可 得 点 P 到 抛 物 线 准 线 的 距 离 为 5,抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x=1 由 抛 物 线 的 定 义 知 4+1=5,解 得 p=2,故 抛 物 线 的 方 程 为 炉=4x；(H)证 明：易 知 直 线 4 8 的 斜 率 不 为 0,设 直 线 的 方 程 为 x=沙+3A(.，%)，B(得,y2)且 y”2V0，联 立 方 程 消 去 X 可 得 f-4机 y-4f=0,则 二 行 加 2+16Z 0,且 丁 1+/=4加，yin-4/,由 t。-*3=弓 q 得(v义 i v?等；+乃、2V i o解 得 川 户=-18或 2(舍 去)，Q所 以-4r=-18,可 得/=2，即 直 线 的 方 程 为 x=少+会 Q令 歹=0,则 9所 以 直 线/必 过 定 点(了 0).9-4一 一 2.已 知 函 数/(x)=xlnx-(a-1)x+a,(I)若 XI，X2是/(X)的 两 个 极 值 点，求。的 取 值 范 围；(II)在(I)的 条 件 下，若 加 tf(X2)恒 成 立，求 实 数 机 的 取 值 范 围.【解 答】解：(I)由 题 意 得/(x)的 定 义 域 是(0,+8),f(x)=x-Inx-af1 Y 1设 g(x)=/(x),则 g(x)=1=x 当 OVxVl时，gf(x)0,函 数(x)单 调 递 减，第 1 页 共 5 页当 X 1 时，g(x)0,函 数/G)单 调 递 增，故，(x)的 单 调 递 减 区 间 是(0,1),单 调 递 增 区 间 是(1,+8),X2是/(X)的 两 个 极 值 点，即 X”X2是 一(X)的 两 个 不 同 的 零 点，故/(1),(2a)2a-ln2a-aa-Inlaa-Ina-ln2a-Ina-1 0.故 存 在 X26(1,2a)使 得/(&)=0,又,：f(a)ea-lne a-aea0,故 存 在 1),使 得/(xi)=0,故 当 xe(0,xi)时，f(x)0,函 数/(x)单 调 递 增，当 x e(XI,X2)时，f(x)0,函 数/(x)单 调 递 增，故 当 时，XI是/(X)的 极 大 值 点，X2是/(X)的 极 小 值 点；(II)不 妨 设%2 1 由/(X2)为 极 小 值，2-Xl 1 得 f(X 2)(2-XI),故 f(X|)+f(X2)W/(xi)+/,(2-xi),令(x)=f(x)+f(2-x),(0 x 1),则 很(x)=f(x)-f(2-x),令(p(x)p1(x)故 函 数(p故 tp(x)故 函 数 u故 u(x)故/(xi)4/(x2)3,故 机 2 3.3.已 知 椭 圆 E 的 中 心 为 坐 标 原 点，对 称 轴 为 X 轴、y 轴，且 过 力(0,-2),B 3-1)2两 点.(1)求 E 的 方 程；(2)设 过 点 尸(1,-2)的 直 线 交 E 于，N 两 点，过 用 且 平 行 于 x 轴 的 直 线 与 线 段=x-Inx-a-(2-x)+ln(2-x)+a=2x-2-Inx+ln(2-x),(0 x(p(1)=0,故(x)0,(x)在(0,1)上 单 调 递 增，V”(1)(1)V(1)=3,第 2 页 共 5 页Z8交 于 点，点 满 足 M T=T H 证 明：直 线 4N 过 定 点.2 2【解 答】解：（1）设 E 的 方 程 为 因 三=1，Q D将 A(0，-2),BG1,7)两 点 代 入 得 9 4 2 H4a b解 得/=3,力 2=%2 2故 E 的 方 程 为 2-=1；3 4 若 过 P（l,-2）的 直 线 的 斜 率 不 存 在，直 线 为 x=l,代 入 与=1 可 得 从（1 平）N（l，空 K）将 产？手 代 入 AB：yx-2,可 得 T（证+3，乙。-），O o 0由 正=京，得 H（2+5,平），0易 求 得 此 时 直 线 HN：y=（2-）x-2-过 点（0，-2）；3 若 过 P(l,-2)的 直 线 的 斜 率 存 在，设 foc-y-(R2)=0,M(xi,y),N(x2,”)，kx-y-(k+2)=0,得(3庐+4)P-6k(2+k)x+3k(k+4)=0_6k(2+k)f+8(2+k)l+x2-2.yl+y2-2 43k+43k(4+k)R-N44(4+4k-2k2 xly2+x2yl=21 yx y2=-3-k-J-+-42-1 3yl联 立 2，可 得 T(=+3,y.)H(3y.+6-xi，y,)yjx-2 2第 3 页 共 5 页可 求 得 此 时 HN：y-y=-(x x 0)，z 3 y j+6-x j-x2 z将(0,-2)代 入 整 理 得 2(xi+x2)-6(yi+y2)+xy2+x2yi-3yiy2-12=0,将(*)代 入，得 24*+12/+96+48-24k-48-48A+24A2-36庐-4 8=0,显 然 成 立.综 上，可 得 直 线 V 过 定 点(0,-2).4.已 知 函 数/(x)In(1+x)+axe x.(1)当。=1 时，求 曲 线 y=/(x)在 点(0,/(0)处 的 切 线 方 程；(2)若/(x)在 区 间(-1,0),(0,+8)各 恰 有 一 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)当 a=l 时，/(x)=/(1+x)+疝-则 钎(x)=-+e_ x_x e-x,：.f(0)=1+1=2,又/(0)=0,.所 求 切 线 方 程 为 y=2 x；(2)f，(x)一 旦 止 立,1+x ex若 2 0,当-IV x V O时，/(x)0,/(x)单 调 递 增，则/(x)/(0)=0,不 合 题 意；故。0,解 得 1-&或 x l W L 令 g(x)0,解 得 1-7 2 x l 时，g(x)0,若 g(0)=l+a 2 O,当 x 0 时，g(x)0,/(x)单 调 递 增，不 合 题 意；若 g(0)=l+a O,g(0)g(1)0,则 存 在 xoC(0,1),使 得 g(xo)=0,且 当 xe(0,x o)时，g(x)g(0)=0,/(x)单 调 递 减，则/(x o)l时，/(x)ln(1+x)+a0,f(e a-1)0,则 由 零 点 存 在 性 定 理 可 知/(x)第 4 页 共 5 页在(1,e 1)上 存 在 一 个 根，当 1-我 X(W,g(x)f(0)=0,当-1 x 1/时，f(x)ln(1+x)-ae0,f(eae-1)0,则 由 零 点 存 在 性 定 理 可 知/(x)在(eae-1,厂 加)上 存 在 一 个 根.综 上，实 数。的 取 值 范 围 为(-8,-1).第 5 页 共 5 页