2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第1节：函数及其表示（教师版）.pdf

2023年 高 考 数 学 总 复 习 第 二 章 函 数 概 念 与 基 本 初 等 函 数 第 1节 函 数 及 其 表 示 考 试 要 求 1.了 解 构 成 函 数 的 要 素，会 求 一 些 简 单 函 数 的 定 义 域 和 值 域，了 解 映 射 的 概 念；2.在 实 际 情 境 中，会 根 据 不 同 的 需 要 选 择 恰 当 的 方 法(如 图 像 法、列 表 法、解 析 法)表 示 函 数；3.了 解 简 单 的 分 段 函 数，并 能 简 单 地 应 用(函 数 分 段 不 超 过 三 段).I 知 识 诊 断 基 础 夯 实|知 识 梳 理 1.函 数 的 基 本 概 念(1)函 数 的 定 义 给 定 两 个 非 空 数 集 Z 和 8,如 果 按 照 某 个 对 应 关 系/,对 于 集 合/中 的 任 何 一 个 数 x,在 集 合 8 中 都 存 在 唯 二 的 数/(x)与 之 对 应，那 么 就 把 对 应 关 系/叫 作 定 义 在 集 合 力 上 的 函 数，记 作/：或 x W Z,此 时 x 叫 作 自 变 量，集 合/叫 作 函 数 的 定 义 域，集 合 Ax)|xG/叫 作 函 数 的 值 域.(2)函 数 的 三 要 素 是：定 义 域、值 域 和 对 应 关 系.(3)表 示 函 数 的 常 用 方 法 有：列 表 法、图 像 法 和 解 析 法.2.分 段 函 数(1)若 函 数 在 其 定 义 域 内，对 于 定 义 域 内 的 不 同 取 值 区 间,有 着 不 同 的 对 应 关 系，这 样 的 函 数 通 常 叫 作 分 段 函 数.(2)分 段 函 数 是 一 个 函 数，分 段 函 数 的 定 义 域 是 各 段 定 义 域 的 在 集，值 域 是 各 段 值 域 的 并 集.常 用 结 论 L 函 数 是 特 殊 的 映 射，是 定 义 在 非 空 数 集 上 的 映 射.2.直 线 x=a(a是 常 数)与 函 数 y=/(x)的 图 像 至 多 有 1 交 点.3.注 意 以 下 几 个 特 殊 函 数 的 定 义 域(1)分 式 型 函 数，分 母 不 为 零 的 实 数 集 合.(2)偶 次 方 根 型 函 数，被 开 方 式 非 负 的 实 数 集 合.第 1 页 共 2 0 页(3)/U)为 对 数 式 时，函 数 的 定 义 域 是 真 数 为 正 数、底 数 为 正 且 不 为 1 的 实 数 集 合.(4)若/(x)=x。，则 定 义 域 为 x|xWO.(5)正 切 函 数 尸 tanx的 定 义 域 为 7 碗 十 子.诊 断 自 测 1.思 考 辨 析(在 括 号 内 打“J”或“义”)(1)函 数 _y=l与 y=x。是 同 一 函 数.()(2)对 于 函 数 f A-B,其 值 域 是 集 合 氏()(3辿%)=3 一 3+、2x是 一 个 函 数.()(4)若 两 个 函 数 的 定 义 域 与 值 域 相 同，则 这 两 个 函 数 相 等.()答 案(1)X(2)X(3)X(4)X解 析(1)错 误.函 数 y=l 的 定 义 域 为 R,而 歹=x。的 定 义 域 为 x|xWO,其 定 义 域 不 同，故 不 是 同 一 函 数.(2)错 误.值 域 E B,不 一 定 有 C=B.(3)错 误/(x)=Vr_3+、2x中 x 不 存 在.(4)错 误.若 两 个 函 数 的 定 义 域、对 应 关 系 均 相 同 时，才 是 相 等 函 数.2.若 函 数 歹=/)的 定 义 域 为 M=x|-2WxW2,值 域 为 N=(y|0 yW2,则 函 数 y=/(x)的 图 像 可 能 是()答 案 B解 析 A 中 函 数 定 义 域 不 是 2,2；C 中 图 像 不 表 示 函 数；D 中 函 数 值 域 不 是 0,2.LL B,(xwo),pl3.(2021贵 阳 诊 断)己 知 函 数 负%)=则 f M U=()logu(x0),A.-l B.2 C.3 D.-2答 案 D第 2 页 共 2 0 页解 析 V/uJ=log30,.场=。剧=3械 号 4.(2020北 京 卷)函 数 0,所 以 函 数 的 定 义 域 为(0,+8).5.(易 错 题)已 知 1,则/(x)=.答 案 X2 1(x0)解 析 令 t=4?0,，x=P,加=-1,二 段)=/一 1(X 0).(c2+2,xWl,I 41,则 y w 的 值 域 为.答 案(0,1)U2,+8)解 析 当 xWl 时，/(x)=x2+2,.必 闫 2,+),当 xl 时，加)=1/./(x)e(0,1).X综 上，段)的 值 域 为(0,1)U2,+8).考 点 突 破 题 型 剖 析 考 点 一 函 数 的 定 义 域 1.函 数 y=AJ1x2+log2(tan x 1)的 定 义 域 是.答 案 俘 I解 析 要 使 函 数=1+log2(tanx-1)有 意 义，第 3 页 共 2 0 页贝(1 x2 0,tanx 1 0,且 xWZ兀+(左 Z),/K x W l且 四 十 左 兀%0,解 析 由 题 意，得，.一 lvx o,3.(2021 西 安 检 测)已 知 函 数 y=段)的 定 义 域 为-8,1,则 函 数 g(x)，+1)x+2的 定 义 域 是()A.(8,-2)U(-2,3B.(-8,-2)U(-2,1 _ 9 _2C.L 1 J u(-2,0-2D.L 2 J答 案 C解 析；/(x)的 定 义 域 为 8,1,8W 2x+lW l,o/.,解 得 W xW O,且 xW 2.k+2#o,29-2.g(x)的 定 义 域 为 1 2,J u(-2,0.4.已 知 函 数/(2xl)的 定 义 域 为 0,1,则/(2 x+l)的 定 义 域 是()10g2(x+1)第 4 页 共 2 0 页A.(-h 0)B.(-h 0C.1,0)D.1,0答 案 A解 析 由 题 意 O W x W l,二 一 1W2r1W1,1 W 2 x+1W 1,x+l0,解 得 一 lx0.x+1 Wl,感 悟 提 升 1.求 给 定 解 析 式 的 函 数 定 义 域 的 方 法 求 给 定 解 析 式 的 函 数 的 定 义 域，其 实 质 就 是 以 函 数 解 析 式 中 所 含 式 子(运 算)有 意 义 为 准 则，列 出 不 等 式 或 不 等 式 组 求 解；对 于 实 际 问 题，定 义 域 应 使 实 际 问 题 有 意 义.2.求 抽 象 函 数 定 义 域 的 方 法(1)若 已 知 函 数/(X)的 定 义 域 为 a,b,则 复 合 函 数,徐(刈 的 定 义 域 可 由 不 等 式 aWg(x)Wb 求 出.(2)若 已 知 函 数 力 g(x)的 定 义 域 为 a,b,则./(x)的 定 义 域 为 g(x)在 xGa,切 上 的 值 域.考 点 二 求 函 数 解 析 式 例 1 求 下 列 函 数 的 解 析 式：(1)已 知 7(1 s in x)=cos?X，求/(x)的 解 析 式；(2)已 知 求 人 x)的 解 析 式；(3)已 知/(X)是 一 次 函 数 且 3/(x+l)-?/(x-l)=2x+17,求/(x)的 解 析 式；(4)已 知 人 x)满 足 2/(x)+X-x)=3x,求/U)的 解 析 式.解(1)(换 元 法)设 1sinx=f,/口 0,2,贝!sin x=1 t.*/(1 sin x)=cos2x=1-sin2x,.,./)=l-(l-r)2=2/-z2,ZGO,2.即/(x)=2xx2,xG0,2.(2)(配 凑 法).E+3=X2+=1+3 2 2,xz第 5 页 共 2 0 页：.J(x)=x2-2,xG(8,-2U2,+).(3)(待 定 系 数 法)/(x)是 一 次 函 数，可 设/(x)=ax+b(aWO),*.3a(x+1)+/?2a(xl)+6=2x+17,即 ax+(5a+b)=2x+17,a=2,5a+b=17,解 得 a=2,b=7,./(x)的 解 析 式 是/(x)=2x+7.(4)(构 造 法)x)=3x,将 X 用 一 X 替 换，得 2/(X)+)=3 x,由 义 2一，得 3)=3x.感 悟 提 升 求 函 数 解 析 式 的 常 用 方 法(1)待 定 系 数 法：若 已 知 函 数 的 类 型，可 用 待 定 系 数 法.(2)换 元 法：已 知 复 合 函 数,席 的 解 析 式，可 用 换 元 法，此 时 要 注 意 新 元 的 取 值 范 围.(3)配 凑 法：由 已 知 条 件 g(x)=x),可 将 产(x)改 写 成 关 于 g(x)的 表 达 式，然 后 以 x 替 代 g(x),使 得./U)的 解 析 式.(4)构 造 法：已 知 关 于/(X)与/日 或 八 一 x)的 表 达 式，可 根 据 已 知 条 件 再 构 造 出 另 外 一 个 等 式，通 过 解 方 程 组 求 出/(x).、-+1训 练 1(1)已 知 yU J=igx,财/()=；Q+.(2)(2021 黄 冈 检 测)已 知 人 洌=/+方,则/)=(3)(2022唐 山 模 拟)已 知/(X)是 二 次 函 数 且 火 0)=2,Xx+l)-x)=x-l,则.危 尸 7 1 a答 案(l)lg=(X1)(2)X22,xe2,+)(3)-x2-x+27解 析(1)(换 元 法)令/=-+1(Z1),x2则 F第 6 页 共 2 0 页2 2/W=l5 二 7 即 义 x)=lgixl).(2)(配 凑 法).：/HUTT,V(x)=x2-2,x2,+8).(3)设 处 0=2+瓜+。3/0)且 次 0)=c=2,：.J(x)=办 2+bx+2(a W 0),./(x+1)-/(x)=2ax+a+b=x-1,_1a y.2a=1,.2 qa+b=,b=-,2i?=x+2.I考 点 三 分 段 函 数 角 度 1 分 段 函 数 的 求 值 2-x 一 例 2(1)已 知 函 数/()=，二、，则/一/(3)=_.10g2(1 X),X0且 aWl),若 火 2)=4,则 我 2 023)=f(x+4a),x0答 案(1)1(2)2解 析(1)：贝 0)=2-。=1,y(-3)=log2(l+3)=2,/(0)-X-3)=-l.(2)V/(2)=a2=4,：.a=2.又 危)=/(x+8)(x0),.y(-2 023)=X-253X8+l)=Xl)=2.角 度 2 分 段 函 数 与 方 程 例 3(1)(2021浙 江 卷)已 知 a W R,函 数/(x)=Rm2 若 烦 峋 1 则。第 7 页 共 2 0 页Iog2(3x),xWO,i(2)(2022 长 沙 质 检)已 知 函 数/)=若 儿/-1)=匕 则 实 数 a2X 1,x0,2答 案(1)2 log23解 析 因 为 证 2,所 以#)=6 4=2,所 以 烦 水)=/(2)=1+。=3,解 得。=2.(2)由 题 意,若 a11,不 符 合 题 意；若。一 10,即 al,贝 i j 2-11=；,则 tz=log23l 成 立.角 度 3 分 段 函 数 与 不 等 式 10g2X，X1,例 4(2021 合 肥 模 拟)已 知 函 数/a)=则/)勺 a+i)的 解 集 为()X2-1,后 1,A.(-b+8)B.(-l,1)C 昌+0 D,-P 0答 案 C解 析 当 xWO 时，x+1W 1,/(x)勺(x+1),等 价 于 彳 21(%+1)21,解 得 一 gcxWO；当 0l,此 时 火 x)=N-1W0,_/(x+D=log2(x+l)0,.01 时，/(X)勺(x+l)=log2Xk)g2(x+1)恒 成 立，综 上 知，不 等 式/)/a+i)的 解 集 为【一 2+0 1感 悟 提 升 1.根 据 分 段 函 数 解 析 式 求 函 数 值，首 先 确 定 自 变 量 的 值 属 于 哪 个 区 间，其 次 选 定 相 应 的 解 析 式 代 入 求 解.2.已 知 函 数 值 或 函 数 的 取 值 范 围 求 自 变 量 的 值 或 范 围 时，应 根 据 每 一 段 的 解 析 式 分 别 求 解，但 要 注 意 检 验 所 求 自 变 量 的 值 或 范 围 是 否 符 合 相 应 段 的 自 变 量 的 取 值 范 围.提 醒 当 分 段 函 数 的 自 变 量 范 围 不 确 定 时，应 分 类 讨 论.第 8 页 共 2 0 页3.对 于 分 段 函 数 的 不 等 式 问 题 要 分 段 解 决.3 x v 1训 练 2（1）函 数）=,则 关 于 函 数 段）的 说 法 不 正 确 的 是（）In x,A.定 义 域 为 R B.值 域 为（-3,+8）C.在 R 上 为 增 函 数 D.只 有 一 个 零 点（2）（2021 郑 州 调 研）已 知 函 数 贝 x）=,2x1,x0,c zA+1,xWO,若 人-1）=3,则 不 等 式 _/（x）W5的 解 集 为()A.-2,1 B.-3,3C.-2,2 D.-2,3答 案(1)B(2)D拿 一 3 xl解 析(1)/(%)=的 定 义 域 为 R,值 域 为(-3,e-3)U0,+8),In x,且 e30,ax+1,xWO,义 T)=3,1)=。-1+1=3,则 2x 1,x0,所 以/(x)=I+0+1,xWO.由 Hx）W5,.当 x0 时，2xlW5,解 得 0 xW3,当 xWO 时，H+1 W 5,-2WxW0.综 上，不 等 式/（x）W 5 的 解 集 为-2,3.微 点 突 破/函 数 的 值 域 求 函 数 值 域 的 一 般 方 法：（1）单 调 性 法；（2）不 等 式 法；（3）配 方 法；（4）换 元 法;（5）数 形 结 合 法；（6）分 离 常 数 法；（7）导 数 法.一 单 调 性 法 第 9 页 共 2 0 页2 023x+,+2 022例 1 已 知 a0,设 函 数 x)=言 2 3+2 023R(xGa,0)的 最 大 值 为 M,最 小 值 为 N,则+N 的 值 为（）A.2 023 B.2 024C.4 045 D.4 046答 案 C解 析,/(%)=2 023x+l+2 022,-1-2 023如 2 023x+12 023(2 023叶 1)12 0 2 3-1卜 2 023x3=2 0232 023v+1卜 2 023x3.因 为）=-2 02+1=2 0 2 3/均 为 增 函 数,所 以/（x）在-a,a 上 递 增，故 最 大 值 为/&）,最 小 值 为 八 一 a）,所 以 V+N=/(a)+/(-4)=2 O23-7O 2+I+2 0 2 3+2 023 一?十 2 023（）3=4 0 4 6 7=4 045.二、不 等 式 法 主 要 是 指 运 用 基 本 不 等 式 及 其 变 形 公 式 来 解 决 函 数 最 值 问 题 的 一 种 方 法.常 用 的 基 本 不 等 式 有 以 下 几 种：a2+b22ab（a,6 为 实 数）;迎（心 0,6 2 0）；M W l 2 J W 巴 芸（a,b 为 实 数）.例 2 设 x,y,z 为 正 实 数，x2 y+3 z=0,则 乙 的 最 小 值 为.X Z第 1 0 页 共 2 0 页答 案 3解 析 因 为 x2y+3z=0,所 以 丁=二 詈，所 以 且=巴 竽 心 竺.2 xz 4xz又 X,Z 为 正 实 数，所 以 由 基 本 不 等 式，得 上 2 色 土 丝=3.当 且 仅 当 x=3z时 取 xz 4xz“=”.故 且 的 最 小 值 为 3.XZ三 配 方 法 配 方 法 是 求 二 次 函 数 最 值 的 基 本 方 法，如 函 数 F(x)=af(x)+bf(x)+c的 最 值 问 题,可 以 考 虑 用 配 方 法.例 3 已 知 函 数 y=(et-a+(e xa)2(adR,aWO),求 函 数 y 的 最 小 值.角 星 y=(ev-a)2+(e x-a)2=(e+e x)22a(ev+e x)+2a22.令 Z=ev+e(Z2),设 次。=理-2a/+2a22.因 为 f22,所 以/=祥 一 2af+2a22=(Za)2+a22,定 义 域 为 2,+).因 为 函 数 少=/(。图 像 的 对 称 轴 为 直 线 t=a,所 以 当 aW2 且 aWO 时，ymin=X2)=2(a-l)2；当 a2 时，ymin=a)=a22.四 换 元 法 换 元 法 有 两 类，即 代 数 换 元 和 三 角 换 元，我 们 可 以 根 据 具 体 问 题 及 题 目 形 式 去 灵 活 选 择 换 元 的 方 法，以 便 将 复 杂 的 函 数 最 值 问 题 转 化 为 简 单 函 数 的 最 值 问 题，从 而 求 出 原 函 数 的 最 值.例 4(1)函 数 人 x)=x+2 Nl-x的 最 大 值 为；(2)函 数 歹=x-47 的 值 域 为.答 案(1)2(2)2/，2 解 析 设 1x=f(f2O),所 以 x=lF,所 以 V=/(O=x+2-x=1 Z2+2Z第 1 1 页 共 2 0 页=z2+2 r+1=(/1)2+2.所 以 当 f=1,即 X=0 时，/(x)max=2.(2)由 4/4 0,得 一 2W xW 2,所 以 设 x=2cos 仇 6e0,7i),则 y=2 co s/4 4cos2 0=2cos 8 2sin 0=2 c o s L因 为 4 I,4所 以“M e l 乳 所 以 y W 2/，2.五 数 形 结 合 法 数 形 结 合 法，是 指 利 用 函 数 所 表 示 的 几 何 意 义，借 助 几 何 方 法 及 函 数 的 图 像 求 函 数 最 值 的 一 种 常 用 的 方 法.a,a、b,例 5 对 a,6 R，记 m axm b=-函 数 v)=m a x|x+1|,|x2|(x R)b，ab,的 最 小 值 是.答 案 I2解 析 由|x+2,得(x+l)2 2(x 2)2.|x+11,X 3 l,i,2所 以 x N；,所 以 X x)=12 卜-2|,吟 其 图 像 如 图 所 示.由 图 像 易 知，当 x=l时，2/(.X)min=./(2 j=2 I=.第 12页 共 2 0页六、分 离 常 数 法 例 6 已 知 於）=仝 2x+口 l，求 此 函 数 的 值 域.x3解 尸 织 11=2 G-3)+7=2+工,显 然 工*0,.y#2.x-3 x-3 x3 x一 3故 函 数 的 值 域 为（-8,2）U（2,+）.七 导 数 法 例 7 已 知 危）=2xlnx,求 人 X）的 值 域.解./（X）的 定 义 域 为（0,十 8）,2x 1x当,rwo.力 上 单 调 递 减,在 g+8）上 单 调 递 增,=l-ln-=l+ln2,2当 0 档 时,/（x）0；函 数 4）的 值 域 为 l+ln2,4-0）.分 层 训 练 巩 固 提 升 A级 基 础 巩 固 1.如 图 是 张 大 爷 晨 练 时 离 家 距 离。）与 行 走 时 间（x）之 间 的 函 数 关 系 的 图 像.若 用 黑 点 表 示 张 大 爷 家 的 位 置，则 张 大 爷 散 步 行 走 的 路 线 可 能 是（）第 1 3 页 共 2 0 页答 案 D解 析 由 夕 与 x 的 关 系 知，在 中 间 时 间 段 y 值 不 变，只 有 D 符 合 题 意.2.下 列 所 给 图 像 是 函 数 图 像 的 个 数 为（）答 案 B解 析 图 像 关 于 x 轴 对 称，x 0时，每 一 个 x 对 应 2 个 7，图 像 中 x o对 应 2个 丹 所 以 均 不 是 函 数 图 像；图 像 是 函 数 图 像.3.已 知 函 数 y（x）=八 则 加 8）等 于（）1 10g2X x0,A.1 1 B.C.-D.22 2答 案 C解 析 V/(8)=1-l o g28=1-3=-2,./(/(8)=/(-2)=2 2+l=.4.设 函 数,h f=x,则/(x)的 表 达 式 为()1 xA.(xW l)1 xB.f 一)X 1C.1X1+x(xW-l)9 YD.弋(xW 1)x+1答 案 c解 析 令，=口=上 一 一 1+x 1+x则 X1+f&)=1-/l+t即 危 尸 1X1+x第 1 4 页 共 2 0 页2x-1,xNO,5.已 知 函 数 y(x)=,且 _/Uo)=3,则 实 数 xo的 值 为()3x2,x0,A.-l B.lc.-l 或 1 D.-l 或 一 3答 案 C解 析 由 条 件 可 知，当 xo2O时，/o)=2xo+l=3,所 以 xo=l；当 xo0且 1x W l,解 得 xl且 x#0,所 以 函 数 g(x)的 定 义 域 为(0,1).7.(2021 成 都 检 测)高 斯 是 德 国 著 名 的 数 学 家，近 代 数 学 奠 基 者 之 一，享 有“数 学 王 子”的 称 号，用 其 名 字 命 名 的“高 斯 函 数”为：设 x G R,用 田 表 示 不 超 过 x的 最 大 整 数，则 y=x称 为 高 斯 函 数.例 如：-0.5=-1,.已 知 函 数/(X)=9 华 一 3*2叶 4(042),则 函 数 y=/(x)的 值 域 为()A.L 2 2)0,1C.-1,0,1,2 D.0,1,2答 案 B解 析 令 f=2 fG(l,4),则 可 设./(x)=g)=323/+4,fW(l,4).由 二 次 函 数 性 质，一 3 g)|,因 此 g(/)w 1,0,1),则 函 数 9=/()的 值 域 为-1，0,1.第 1 5 页 共 2 0 页8.已 知 函 数/(x)=x2+x,x20,3x,x0，则 实 数。的 取 值 范 围 为()A.(l,+)B.(2,+8)C.(8,-1)U(1,+8)D.(8,-2)U(2,+O)答 案 D解 析 当 4=0 时，显 然 不 成 立.当 a0时，不 等 式 a/(a)-a)0等 价 于 a2-2a0,解 得 a2.当 a0 等 价 于 一 a?2a0,解 得 a0,xxWO,.1 x22。则 x0,今 xWO,一 1 1n O a W L的 定 义 域 为(0,1.10.(2022西 安 质 检)已 知 函 数/(x)二,则 满 足 八 a)l的 实 数。的 2X,xO,取 值 范 围 是.答 案(一 2,0)U(0,+8)解 析 由/3)1,得，解 得 a0,12a1,aQ,解 得 一 2a1,由 知 一 2a0.第 1 6 页 共 2 0 页11.已 知 函 数 外)满 足/G3+ly(x)=2x(xWO),则 八-2)=X答 案 1!解 析 令 x=2,可 得-2)=4,及 令=一；，可 得/(一 2)z U=-1,联 立 解 得 人-2)=(.月=：.12.具 有 性 质：.)=一)的 函 数，我 们 称 为 满 足“倒 负”变 换 的 函 数，下 列 函 数 满 足“倒 负”变 换 的 函 数 的 是.1 1-Y 1%尸 L f 尸 皿 而=不 危 尸 X,OXl.X答 案 解 析 对 于，/(x)=x-6 1=1 x=/(X),满 足 题 意;X X对 于，/(x)=ln二 且，则 旧=ln。#一/(x),不 满 足;l+x x+11对 于，S)=e=尸，一 加)=一.,不 满 足;X对 于，.厅=o 2 1,X第 1 7 页 共 2 0 页0,x=l,-x,0 xl,则.A J=-/（x）,满 足 题 意.B级 能 力 提 升+12 x/（2x3）,则 实 1，x0,数 X的 取 值 范 围 是（A.(1,+0)C.(-l,4)D.(答 案 C1+/xWO,7解 析 函 数 外 尸 的 图 像 如 图，由 图 像 可 知，当 2x3 0,即 x三 时,1,x0 27 7 Q需 x40,得 x4,.,一 4 4；当 2x3W 0,即 xW 时，需 x 42x3,l x,2 2 2综 上，一 l xv4.（12。）x+3a,x l,14.已 知 函 数/（x）=一、的 值 域 为 R,则 实 数 的 取 值 范 围 是 a 1 一 v A 1答 案 解 析 当 X 2 1 时，./（X）=2广 1 21.,（1 2 a）x+3a,x l,工，,函 数 y（x）=,的 值 域 为 R,2.当 x l时，（l-2 a）x+3 a必 须 取 遍（-8,1）内 的 所 有 实 数,第 1 8 页 共 2 0 页15.若 函 数 人 x)满 足：在 定 义 域。内 存 在 实 数 xo,使 得./(xo+l)=Aro)+火 1)成 立，则 称 函 数/(x)为“1 的 饱 和 函 数”.给 出 下 列 四 个 函 数：/(x)=X；/(x)=2、；X(3)/(X)=lg(A-1 2+2)；/(X)=COS(7LX).1=422+1-5其 中 是“1 的 饱 和 函 数”的 所 有 函 数 的 序 号 为.答 案 解 析 对 于，若 存 在 实 数 X0,满 足 _/(xo+l)=Axo)十 Z0),则 一=+1,所 以 Xo+1 XoxB+xo+1=O(xoWO,且 xoW 1),显 然 该 方 程 无 实 根，所 以 不 是 1 的 饱 和 函 数”；对 于，若 存 在 实 数 XO,满 足/(xo+l)=/(xo)+/(l),则 2xo+l=2xo+2,解 得 刈=1,所 以 是“1 的 饱 和 函 数”；对 于，若 存 在 实 数 XO,满 足/0+1)=/0)+川),则 lg(xo+l)2+2=lg(x8+2)+lg(l2+2),化 简 得 2x82xo+3=O,显 然 该 方 程 无 实 根，所 以 不 是“1 的 饱 和 函 数”；对 于，注 意 到 1=COS/Cj+/(1)=COS-+cos 71=-,即 J3+13 2 3 2=8+火 1),所 以 是“1 的 饱 和 函 数”.综 上 可 知，其 中 是“1 的 饱 和 函 数”的 所 有 函 数 的 序 号 是.16.已 知 函 数 人 x)=.1+x2(1)求 4 2)与 1 人 3)与 为:(2)由(1)中 求 得 的 结 果，你 能 发 现 4 0 与/日 有 什 么 关 系？证 明 你 的 发 现;(3)求 火 2)+4 3)+同 1+负 2 022)+/U 022J的 值.v-2解(1)由/(、)=4=1+x2X2+1得 人 2)=1第 1 9 页 共 2 0 页7 0=1-7 4，+1 541 9火 3)=一 六 r i?二 一 立 得 9(2)由(1)中 求 得 的 结 果 发 现/(x)+|=l.证 明 如 下：段)十 日=1+x2 1 1+x2 x2+l1+11.(3)由(2)知/(x)+)=l,/(2)+0=1,八 3)十|=1,/(2 022)+./(4)+A4.=1.7/(2)+)+/(3)+人 2 022)+=2 021.第 2 0 页 共 2 0 页