经济类数学线性代数第二章习题复习资料.pdf

习 题 二 参 考 答 案(A)1 31.设 4=3 1J 32、-2 4 2-2-2-2、-21241,8=4 25)1-2 4求(1)2A+3 B；(2)若 X 满 意 2 A X=B+X,求 X.解：(l)2A+3 3=333 1 21 2 1+3 4 5,J 24 24 2-22-2-24-2 4,(2)由 2 A X=3+X 得，2 X=2A-B,所 以 2.计 算 解:17、-3、24,，3-4)33、69,“13 丫 王“33 人 3.已 知 两 个 线 性 变 换(D试 把 这 两 个 线 性 变 换 分 别 写 成 矩 阵 形 式；(2)用 矩 阵 乘 法 求 连 续 施 行 上 述 变 换 的 结 果.解：（1）写 成 矩 阵 形 式 为（2）连 续 施 行 上 述 变 换 有 4.某 企 业 在 一 月 份 出 口 到 三 个 国 家 的 两 种 货 物 的 数 量 以 及 两 种 货 物 的 单 位 的 价 格、重 量、体 积 如 下 表:出、国 单 位 单 位 单 位 口 窗 美 国 德 国 法 国 价 格 重 量 体 积（万 元）（吨）（米 3）A 1 20001200 880 0.3 0.012 0.12A 2 1000 1300 600 0.2 0.05 0.6利 用 矩 阵 乘 法 计 算 该 企 业 出 口 到 三 个 地 区 的 货 物 总 价 值、总 重 量、总 体 积 各 为 多 少？解：设 矩 阵 V=0.120.6,则 该 企 业 出 口 到 三 个 地 区 的 货 物 总 价 值 为 总 重 量 为 总 体 积 为 5.计 算 下 列 矩 阵（其 中 为 正 整 数）.解:10 07AVa 0 0Y 0 b 00 的”=2 时,1Y1 1 1/1”0 1 0。厂 10 o j1-1-1-1 Y11 1-11-1-1-1、1 1 1 1（1 l Y f i假 设 当=左 时，八 八 八 S。乂 01、0,:、0 J成 立，则 当=左+1时，10o 儿 0）I。o j,有 归 纳 法 有(2)=2 时,1%、20 1J1 2 Y 1 九、o 山 b(1 24、10 1fi AY fi 口）假 设 当=%时，=成 立，则 I。4 10当+时 110 1J1 2Y71 力)_/(k+l)A0 1J o 1 厂 10 1有 归 纳 法 有（3）=2 时，假 设 当=%时,0、00 0?b 00 c)0bk00ck/成 立，则 J=000）当=z+1时,有 归 纳 法 有 1 T-1 1(4)A=-1-1、一 1-1-1-1、-1-11-1“=3 时，A3-A2A 22 A,于 是，当=2攵（%为 正 整 数）时，当=2后+1（Z为 正 整 数）时,H=2 时,因 此 得 4=2E2nE（为 偶 数）（为 奇 数）6.设/(x)=anx+a x 1 H-F a/+即,记 称/（A）为 方 阵 A 的 次 多 项 式.3-i r现 设/()=/x+l,A=2 1 0,求/(A).J 1 2,解：f(A)=A2-A+E7.设 矩 阵 A、6 是 可 交 换 的，试 证：(1)(A+B)(A-B)=A2-B2；(A+6)2 A2+2 A B+B2.证 明：因 为 矩 阵 A、B 是 可 交 换 的，所 以 A B=R4,因 此 有(1)(4+3)(4-3)=42+&4-4 8-3 2=42 32,(2)(A+B)2=A2+_ B A+AB+B2 A2+2 A B+B2.8.设 A、3 是 同 阶 矩 阵，且 4=g(B+E),证 明：4 2=人 的 充 分 必 要 条 件 是 8?=E.证 明：必 要 性 假 如 A2=A,则 g(B+E)2=g(3+E),由 于 矩 阵 3 及 是 可 交 换 的，由 上 式 得 整 理 得 B2=E.充 分 性 假 如 8 2=石，则 9.设 矩 阵 b c d、a-d c（a,b,c,d均 为 头 数）,d a-b-c b a；计 算 A A；(2)利 用(1)的 结 果，求|A 卜解：(1)AATa-bb ca-dd a-c ba2+b2+c2+d2 0 0 00 a2+b2+c2+d2 0 00 0 a2+b2+c2+d2 0、0 0 0 a2+b2+c2+d由(1)有 所 以+6+2+/2)2.10.证 明 题:(1)对 于 随 意 的 加 x 矩 阵 A,则 A A，和 A A 均 为 对 称 矩 阵.(2)对 于 随 意 的 阶 矩 阵 A,则 A+4,为 对 称 矩 阵；而 A-A7为 反 对 称 矩 阵.证 明：(1)因 为(44 尸=(A T)T A=4 4、所 以 A A 为 对 称 矩 阵；又 因 为(A)，=A 7(A7y=A A,所 以 A 为 对 称 矩 阵.(2)因 为(A+A，)=A1+(Ar)r=A+Ar,所 以 A+为 对 称 矩 阵；又 因 为(A A7y=(A7y=A A=一(A A T),所 以 A+A，为 反 对 称 矩 阵.11.假 如 A、8 是 同 阶 对 称 阵，则 A 8 是 对 称 阵 的 充 分 必 要 条 件 是 A 8证 明：必 要 性 假 如 A B 是 对 称 阵，则(AB)，=AB,即 BTAT=A B,由 已 知 有 AT=A,BT=B,所 以 A B=R 4.充 分 性 假 如 A 8=A 4,则所 以 A 8 是 对 称 阵.12.设 阶 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵 为 A*,证 明 若=0,则|A*|=O；(2)|A*|=|A T.证 明：(1)假 设|A*卜 0,则 A*(A*=E,由 此 得 A=AA*(A*)-=llE,CA*)-1=O所 以 4*=O,这 及 相 冲 突，故|A|=0时，有 由 4 4=同 得，|4|A*|=|A，若|A|H O时,有=同 1,若|川=0 时，由 知|A=O,等 式 也 成 立，故 有 13.设 阶 矩 阵 A,B,C 满 意 A B C=E,则 下 列 各 式 中 哪 一 个 必 定 成 立？简 述 理 由.(1)A C B=E,(2)C B A=E,(3)B A C=E,(4)B C A=E.解：由 A 3 C=E 可 改 写 为 4 8 C)=E,即 B C 是 A 的 逆 矩 阵，所 以 有(BC)A=E,即(4)必 定 成 立.类 似 可 得(1)、(3)未 必 成 立.14.设 A,B 均 为 阶 可 逆 矩 阵，下 列 各 式 肯 定 成 立 的 有 哪 些？简 述 理 由.(AT)TT=()-；(2)(Ar)r-1=(A-1)-|r;(A，T=(AT)(k为 正 整 数)；(A+B)T=I+B，(5)(AB)TY=(A-)r(B-)r;tA o(o A-)(6)=.O j(B-l O)解：由 于 KA T)TT=,=,所 以(A-)-f=(A T)T，即(1)式 肯 定 成 立.(2)由 于=A-l(A T)-=A 即(2)式 不 肯 定 成 立.(A)T=(A A A)T=A A T A(3)式 肯 定 成 H.fl 0、(-设 4=，B=。U I。，明 显 A、3 都 可 逆，但 是 不 行 逆，故（4）式 不 成 立.（5）由 于 即（5）式 肯 定 成 立.O A 丫（6）由 于 O 厂 O BATB但 是 A B 7 和 8 4T不 肯 定 等 于 E，故 式 不 肯 定 成 立 15.设 A 是”阶 矩 阵，满 意 A=。（攵 是 正 整 数），求 证：E-A 可 逆,并 且(E-A)T=E+A+A2+-+Ak-.证 明：因 为(E A)(E+A+A 2+.+M T)所 以 E-A 可 逆，并 且(E-A)T=E+A+A2+-+Ak-.16.设 A 是 可 逆 矩 阵，证 明：其 伴 随 矩 阵 A*也 可 逆，且 证 明：因 为 A 是 可 逆 矩 阵，所 以 网。0,由 于有 二 AA*=E,M l因 此，伴 随 矩 阵 A*也 可 逆.由 上 述 证 明 可 知（A*）r=二 4,又 因 为(A-I)(A-1)*=忙|忸,所 以 故(A T=(1)*.17.设 A、8 和 A+3 均 是 可 逆 矩 阵，试 证：A T+8-I也 可 逆，并 求 其 逆 矩 阵.解：A-1+f i-1 A-+A AB 由 于 A、6 和 A+8 均 是 可 逆 矩 阵，它 们 的 乘 积 也 可 逆，所 以 有 18.设 4 为 三 阶 矩 阵，A*是 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵，已 知|川=；,求 解：因 为|A|=；,所 以 有 A 可 逆，且 有 内=|A-=2.而 AA=E,于 是 A*=|A|AT因 此 有|(3 A)T-2A*5-A-119.用 分 块 矩 阵 的 乘 法 计 算.rl 00 126J-1、0 00 0二 丁 一 i0-12-2-一 2丁 一 一 1鼠 0 142 i-1、7则(1 0T-i0 一-1Y21 2人 0-22-2、2解:EA07E OA BD于 是 而 AD+BF 1 0-P 设 i 一 二 丁 一 丁。一 一 司(2;I02 i-2、0：2-2、2=(用 B2 a),则 4(B,7 心 当 4)=AB,而 4 与=(1A,B2 4 当、A2B2 A2B3A 3 B 2 A 3 8 3 J于 是(of-i0 一 一 丁-1Y21 20 人 0；04-2h20.求 分 块 矩 阵 的 逆 矩 阵.-2、22-20 43-2-2、-47-/(21005,、(2 3、fl解：记 A=|,B=所 以 A、8 都 可 逆，且 有、/1111oO-.00-43一 3-2TO-1oOpbt-n;3-.31-00-2100/L是 于-1、(2)记 人=-2-1-2 B=(2),C=1、4 3 3,1-1因 为|A|=-2-14 32-2=4/0,同=|2|=2/0,所 以 A、8 均 是 可 3逆 矩 阵，且 有 依 据 例 2.17的 结 论 有（3 9 4 i-5AO1以 所 21.设 4 为 三 阶 矩 阵，|同=一 2,把 A 按 列 分 块 为 A=（4，&，4），其 中 4 0=1,2,3)为 A 的 第/列，求 14，-2A3，&|；一 34,24,A解：I A，-2A3，&|=-2%，4，&|区-34,2A2,4|=|43,24，4|22.设 A 为 阶 矩 阵，把 A 按 列 分 块 为 A=（以，夕 2,，瓦），储（；=1,2,为 A 的 第/列，试 用 以，2 2,，凡 表 示 A A.（明 8T解:4=（血，凡）A 4、23.设 A 为 三 阶 可 逆 矩 阵，若 A 按 行 分 块 为 A=A2,按 列 分 块 为 人 4=（用，层,当），试 推 断 下 列 分 块 矩 阵 是 否 可 逆.A+&、（1）A2+A3；（2）（Bj-B2,B2 B3,B J）.解：（i）利 用 行 列 式 的 性 质 计 算 分 块 矩 阵 的 行 列 式 认+4、从 而 A2+A3可 逆.、4+A1,（2）|B,-B2,B2-B3,B3-B1|=|O,B2-B3,B3-BI|=O,从 而（耳 一 线,。一 83,83-耳）不 行 逆.24.设 矩 阵 0 1 0)(1片=1 0 0,鸟=0、0 0 1J 10 0、1 0,则 下 列 各 式 中 哪 一 个 必 定 成 立？简 0 1,述 理 由.(1)APP2=B；(2)AP2P.=B；(3)PtP2A=B；(4)P2P,A=B.解：因 为 4 的 第 一 行 加 到 第 三 行,再 交 换 的 第 一 行 和 第 二 行，从 而 得 得 到 8,故 用 22左 乘 A,再 左 乘 即 W B,(3)式 必 定 成 立.25.求 下 列 矩 阵 的 等 价 标 准 形.2、2、解:-12-21,13-1-212-3-34-1(-5(0-1一 2)-366(0-1123,0、-52)131 12;(2)2、7;(3)2141 1 1 12 I 10 5-2、0 12、-2、-3104 J03221410050、1【一 3I。-2J10-2 J1-3-21、423,2-2-552-1121012nI32661410001 100011126.用 初 等 行 变 换 求 下 列 矩 阵 的 逆 矩 阵.1-10、3 5、1 1 1 1、2-1223 002043；I 1-1-1(4)1-1-11-1-11 00600a20000%H 0,(i=1,2,).0 0 0 00 0 0an-o所 以 所 以 解：所 以 00(4)012-121一 1 1o000120310010、0-fl0 4031-20I0)00 0 1J1 1 1 1 0320543100010-1000所 以 2 7.解 下 列 矩 阵 方 程.1 13 4X70、0-10325410010 0 1 0 000131000010000I0000-0000-2-2-20-2-20-1-101000010000(2100000200100I000000、an-000V 1 0 4、X 1 1 2=000010io01)1-1(4)设 A=0 1C 00、-1,且 2X+A=A X,求 X.1 1(1解：(1)因 为=1,所 以 矩 阵 3 4(3矩 阵 的 逆 矩 阵，得 1、4可 逆，在 方 程 的 两 边 左 乘 该 1(2)因 为 110 4 p1 2=1,所 以 矩 阵 11 30 4、1 2 可 逆，在 方 程 的 两 边 右 乘 1 3,该 矩 阵 的 逆 矩 阵，得 则 网=1,同=1,故 矩 阵 A,6 都 可 逆，在 方 程 的 两 边 左 乘 A-：右 乘 B i,得(4)由 2X+A=A X 得，而 且|A-2|/0,所 以 A 2 E 可 逆，在(A-2 E)X=A 两 边 左 乘(A-2E)T 得,又 故 28.求 下 列 矩 阵 的 秩.3 1 0 2、(1)1-1 2-1J 3-4 4,(-1 2(0 3 01 0、2 0-1 1o L3 1解：1-1J 30 21 p2-1-3-4 U-1 2-1A1 0 23 4 4,所 以 该 矩 阵 的 秩 是 2.4-1 2 1 0、1-1 2 1 0、2-2 4 2 0 0 0 0 0 0 3 0 6-1 1 0 3 0-4 113 0 0b、03 0 0b所 以 该 矩 阵 的 秩 是 3.29.已 知 阶 矩 阵 A 满 意 A?2A 4 E=0,证 明：A+E 为 可 逆 矩 阵；并 求（A+E）T.解：由 A?2A 4 E=O 得，即 所 以 A+E 为 可 逆 矩 阵，（A+E）T=A-3 E.3 0.已 知 阶 矩 阵 A,B 满 意=（1）证 明：3-E 为 可 逆 矩 阵；1-3 0、（2）已 知 A=2 1 0,求 矩 阵 B.、。0 2,证 明：（1）由=得，即 整 理 的 因 此 8-E 可 逆，且（B E）T=A-E.解：（2）由（1）得，B-E=（A-EY,即（B）1.若 A、B 是 阶 方 阵，且 E+A B 可 逆，则 E+8 A 也 可 逆，且 证 明：（E+6 A）E B（E+A B）T A所 以 E+A 4 也 可 逆，且（E+A 4）T=E B（E+A 8）T A.2.设 3 为 可 逆 矩 阵，A、8 是 同 阶 方 阵，且 4 2+4 8+8 2=0,证明：A 和 A+3 都 为 可 逆 矩 阵.证 明：由 A 2+A B+8?=。得，即 由 于 6 为 可 逆 矩 阵，所 以 囚 H 0,因 此 有 于 是 所 以 A 和 A+3 都 为 可 逆 矩 阵.已 知 实 矩 阵 A=(%)3x3满 意(1)%=。=1,2,3),其 中 4 是%的 代 数 余 子 式；(2)为 工 0,计 算|川.解：由%=A,j&/=1,2,3)得，于 是|441=川 2=网 3,从 而 同=0 或 同=1,但 由 于 a”N 0得，因 此 网=1.4.设 A、6 为 同 阶 可 逆 矩 阵，证 明：(A8)*=B*A*.证 明：因 为 A、8 为 同 阶 可 逆 矩 阵，所 以 有 即 A 6 也 可 逆,而(A5)(AB)*=|A耳 E,于 是 5.设 矩 阵 3 的 伴 随 矩 阵 且=AB-1+3 E,求 A.解：由 题 有 所 以 卜 忸=8,即 恸=2.又 从 而(B-E)A B-i=3E,(B E)A=3 B,即 于 是故 6.已 知 且 矩 阵 X 满 意 A*X=A-i+2X,其 中 A*是 4 的 伴 随 矩 阵，求 矩 阵 X.解：由 A*A=|A|E,A*X=A-I+2 X 有 于 是（14后 一 2A）X=E,所 以 而 于 是 所 以 7.已 知 A、3 都 是 阶 矩 阵，且 满 意 2 A T B=B 4 E.其 中 E 为 阶 单 位 矩 阵.（1）证 明：A-2 E 可 逆，并 求（A-2 E）T；1-2 0、若 8=1 2 0,求 矩 阵 A.、0 0 2,证 明：(1)由 于 2ATB=B 4 E,因 此 26=A8-4A,于 是 即 从 而 A 2E 可 逆，且 有(A 2E)T=：(8-4E).由(1)得 A-2E=8(8-4E)-1,即 A=2E+8(8-4E)-1,而(1 0 0所 以 A=2 0 1 0+81、043081028.设 阶 矩 阵 A 满 意 A?=A,E 是 阶 单 位 矩 阵，证 明:证 明：因 为 A 2=A,因 此 A 2=A,即 A(A E)=O,从 而 又 所 以 故 r(A)+r(A-E)=n.9.设 A*是 几(2 2)阶 方 阵 A 的 伴 随 矩 阵，证 明：证 明：(1)因 为 4)=，所 以 A 可 逆，于 是 阿。0.而 ArA=E,因 此 A*也 可 逆，故 A)=.(2)因 为 r(A)=l,所 以 网=0,于 是 4*4=网 七=0,从 而 又 r(A)=-l,所 以 又 r(A)=-l知 A 中 至 少 有 一 个 一 1 阶 子 式 不 为 零，所 以 从 而(3)因 为 r(A)l,所 以 A 中 的 任 一 一 1阶 子 式 为 零，故 A*=0,所 以 10.设 A 为 阶 非 奇 异 矩 阵，。为 维 列 向 量，匕 是 常 数.记 分 块 矩 阵 其 中 A*是 矩 阵 A 的 伴 随 矩 阵，E 为 阶 单 位 矩 阵.(1)计 算 并 化 简 P。；(2)证 明：矩 阵。可 逆 的 充 分 必 要 条 件 是 氏 解：(1)因 为 A*A=|A,所 以 证 明：(2)由 得 即|P|2|=|A|2-(b-arA-1a),而所 以=-(b-aTA-a),由 此 可 知,矩 阵 的 充 分 必 要 条 件 是 b-arA-a卞 0,即 矩 阵 Q 可 逆 的 充 分 必 要 条 件 是 人 一 力 丰 b.