2023年高中数学学业水平合格考试题.pdf

高 中 学 业 水 平 考 试 1.已 知 集 合 M=0,2,4,N=1,2,3,P=0,3,则(MUN)CP等 于()A.0,1,2,3,4 B.0,3 C.0,4 D.0解 析：M UN=0,1,2,3,4),(M UN)GP=0,3,故 选 B.答 案：B2.函 数 y=lg(x+l)的 定 义 域 是()A.(8,4-0 0)B.(0,+0 0)C.(-1,+8)D.-1,+8)解 析：对 数 函 数 要 求 真 数.大 于 0,所 以 x+l 0,解 得 X 一 1,故 选 C.答 案：C3.设 i 为 虚 数 单 位，则 复 数 一 等 于()A.1+i B.1i C.-1+i D.-1i解 析:1 i(1-i)i-i2 i+1丁=r n=-=r=-1i,故 选 D.答 案：D4 n4.已 知 甲：球 的 半 径 为 1cm；乙：球 的 体 积 为 亍 c ir P,则 甲 是 乙 的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件4 4解 析：充 分 性：若 r=l c m,由 丫=口/可 得 体 积 为 cm3,同 样 利 用 此 公 式 可 证 必 要 性 也 成 立.答 案：C5.已 知 直 线/过 点 A(l,2),且 与 直 线 y=；x+l垂 直，则 直 线，的 方 程 是(),1,3A.y=2 x B.y=2x+4 C.D.y 2x+2解 析：因 为 两 直 线 垂 直 时，斜 率 互 为 倒 数 的 相 反 数(无 业 2=1),所 以 直 线/的 斜 率 A=2,由 点 斜 式 方 程 y y()=A(xxo)可 得，y 2=-2(x-l),整 理 得 y=-2 x+4,故 选 B.答 案：B6.顶 点 在 坐 标 原 点,准 线 为 x=-2 的 抛 物 线 的 标 准 方 程 是()A.j2=8x B.j2=8x C.好=8/D.x2=8y解 析：因 为 准 线 方 程 为“=-2,所 以 焦 点 在 x 轴 上，且 一=一 2,所 以 p=4,由 y2=2 x 得)2=8X.答 案：A7.已 知 三 点 A(3,3),5(0,1),C(l,0),则 成+能|等 于()A.5 B.4 C.V13+V2 D.V13-V2解 析：因 为 无.=(3,-2),求=(1,-1),所 以 励+就=(4,-3)一，所 以 方+就 1=4?+(3)2=5,故 选 A.答 案：A8.已 知 角 a 的 顶 点 为 坐 标 原 点，始 边 为 x 轴 的 正 半 轴，终 边 过 点 P(由，-2),则 下 列 等 式 不 正 确 的 是()2 2A.sin a=-B.sin(a T I)=-C.cosa=坐 D.tan_ysa 2解 析：依 题 意 得，r=5 2+7 2=4+4=3,sin a=,cos a X Vtan a=,r x2 A/5-2所 以 sin a cos a tan a5,所 以 A,B,C正 确，D错 误.答 案：D9.下 列 等 式 恒 成 立 的 是()1 2A.=x-(xW 0)B.(3%)2=3C.Iog3(x2+1)+Iog32=logjCx2+3)D.Iog3=X解 析：=x,(x W 0),故 A 错；(3*)2=32”,故 B 错;log3(x2+1)+Iog32=logalCx2+1),故 C 错.答 案：D10.已 知 数 列 斯 满 足 a i=L 且 G”+1跖=2,则“的 前 项 和 S”等 于()A.n2+l B.n2 C.2n l D.2nl解 析：数 列 a 是 以 1 为 首 项，2 为 公 差 的 等 差 数 列，由 S=访 n(n1),n(w1),-J=n+-2=n2,故 选 B.答 案：B11.已 知 实 数 x,j满 足，yWx，则 z=2 x+y的 最 大 值 为(.)/+7 2 2,A.3 B.5 C.9 D.10解 析：如 图，画 出 可 行 域，当 y=2x+z移 动 到 4 点 时，直 线 与 y 轴 的 截 距 z 取 得 最 大 值，因 为 A(3,3),所 以 z=2 x+y的 最 大 值 为 9.答 案：C1 2.已 知 点 4 1,8)和 8(5,2),则 以 线 段 A 3为 直 径 的 圆 的 标 准 方 程 是()A.(x+2)2+(y+5)2=3 g B.(x+2)2+(y+5)2=18C.(x2)2+(y-5)2=32 D.(x-2)2+(y-5)2=18解 析：圆 的 标 准 方 程(x a)?+(y 0)2=r2,圆 心 为 十,空=(2,5),半 径(5+1)2+(28)3啦,所 以 圆 的 标 准 方 程 为(x-2)2+(y-5)2=18.答 案：D1 3.下 列 不 等 式 一 定 成 立 的 是()2 1A.X+-2(X T0)B.x21(xG R)C.X2+1 2 X(X G R)D.X2+5 X+6 0(X G R)-.解 析：A 选 项 中，当 x V O 时，显 然 不 成 立；C 选 项 中，当 x=1 时，显 然 不 成 立；D 选 项 中，当 x（3,2）时，d+Sx+SV O,所 以 不 成 立；B 选 项 中，X2 4-=（F+I）+-x2+l xz+l1 2 2 y l（广+l）*-l=l（x R）,当 且 仅 当 x=0 时 取”=*答 案：B14.已 知/（幻 是 定 义 在 R上 的 偶 函 数，且 当（8,0时，犬 幻=x2s i n x,则 当 x 0,+8）时，犬 幻=（）A.x2+sin x B.-x2sin x C.x2sin x D.x2+sin x解 析：设 x 0,+）,则 一 x（8,0,所 以 八 一 x）=（x）2sin（-x）=x2+sin x,又 Ax）是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，所 以 式 x）=/（一 x）=x2+sin x,故 选 A.答 案：A15.已 知 样 本 XI,X 2,X 3,X 4,X5的 平 均 数 为 4,方 差 为 3,则 x i+6,X2+6,X3+6,X4+6,X5+6的 平 均 数 和 方 差 分 别 为（）A.4 和 3 B.4 和 9 C.10 和 3 D.10 和 9解 析：由 平 均 数 的 定 义 可 知 x i+6,X2+6,X3+6,X 4+6,居+6的 平 均 数=三+6=1 0,方 差 不 变.答 案：C二、填 空 题（本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分.将 正 确 答 案 填 在 题 中 横 线 上）16.已 知 x 0,且 三，x,15成 等 比 数 列，则 x=.解 析：因 为 2 x,1 5成 等 比 数 列，所 以*2=；x 1 5=2 5,又 x 0,所 以 x=5.答 案：51 7.函 数 Ax)=sin xcos(x+1)+sin(x+l)cos x 的 最 小 正 周 期 是 解 析：f(x)=sin xcos(x+l)+sin(x+l)cos x=sin x+(x+l)=sin(2x+l),2 n所 以 最 小 正 周 期 T=z-=n.答 案：n1 8.从 1,2,3,4 这 四 个 数 字 中 任 意 选 取 两 个 不 同 的 数 字，将 它 们 组 成 一 个 两 位 数，该 两 位 数 小 于 2 0的 概 率 是.解 析：从 1,2,3,4 这 四 个 数 字 中 任 意 选 取 两 个 不 同 的 数 字，将 它 们 组 成 一 个 两 位 数 一 共 有 如 下 12个 基 本 事 件：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,4 3;其 中 该 两 位 数 小 于 2 0的 共 有 12,3 113,14三 个，所 以 该 两 位 数 小 于 2 0的 概 率 为 不=1.J L/n r答 案：;1 9.中 心 在 坐 标 原 点 的 椭 圆，其 离 心 率 为:，两 个 焦 点 尸 1和 Fi在 X 轴 上，尸 为 该 椭 圆 上 的 任 意 一 点，若|P F 1|十|P F 2|=4,则 椭 圆 的 标 准 方 程 是.r2 V2解 析：根 据 焦 点 在 X 轴 上 可 以 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为，本=1(4因 为 长 轴 长 2 a=1尸 尸 1|十|尸 产 2|=4,离 心 率 Q/_ r2所 以 a=2,c=l,。=*2。2=小,所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为 工+答 案：?+?=1三、解 答 题(本 大 题 共 2 小 题，共 2 4分.解 答 时 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明、证 明 过 程 及 演 算 步 骤)20.(12分)已 知 4B C的 内 角 A,B,C的 对 边 分 别 为 a,b,c,且=一 cos A cos B(1)证 明：4 3 C 为 等 腰 三 角 形；(2)若 a=2,c=3,求 sin C 的 值.(1)证 明：因 为*7=-,cos A cos B所 以 acos B=bcos A,由 正 弦 定 理 知 sin Acos B=sin Bcos A,所 以 tan A=tan B,又 A,BG(0,n),所 以 A=B,所 以 ABC为 等 腰 三 角 形.(2)解：由(1)可 知 A=B,所 以 a=b=2,根 据 余 弦 定 理 有：c2=a2-b22abcos C,所 以 9=4+4 8cos C,解 得 cos C=o因 为 C(0,n),所 以 sin C 0,_ 丽 所 以 sin C=y 1cos2C=.21.（12 分）如 图，在 四 棱 锥 PA3CD 中，PAAB,PALAD,AC.LCD,ZABC=60，PA=A B=B C=2,E 为 PC 的 中 点.(1)证 明：AP_LC。；(2)求 三 棱 锥 如 3。的 体 积；(3)证 明：AE_L平 面 PCD 证 明：因 为 PAAB,PAAD,ABU平 面 ABCD,ADU平 面 ABCD,AB(AD=A,.所 以 以 _L平 面 4 3 C D,又 CDU平 面 A3CD,所 以 APJLCD.(2)解：由(1)可 知 AP_L 平 面 A 3 C,所 以 VP Y B C=：SI B C AP,又 叉 板=%3 3C sin Z A fiC=1x2X 2X sin 60=小，所 以 V p-A B C=J X 2=.(3)证 明：因 为 CD_L4P,CDAC,4 P U平 面 APC,ACU平 面 APC,APrAC=A,所 以 CD_L平 面 APC,又 AEU平 面 APC,所 以 C0_LA,由 A b=3 C=2且 N A B C=60得 ABC为 等 边 三 角 形，且 AC=2,又 因 为 4尸=2,且 E 为 尸。的 中 点,所 以 A_LPC,又 A E CD,PCU 平 面 PCD,C D u 平 面 PCD,PCCCD=C,所 以 A_L平 面 PCD.