2023年高考第三次模拟考试卷-数学（新高考Ⅰ卷A卷）（全解全析）.pdf

2023年 高 考 数 学 第 三 次 模 拟 考 试 卷 全 解 全 析 一、单 项 选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选 项 是 符 合 题 目 要 求 的.Y-4-41.若 集 合 人=&|泻 VO,3=-3,-1,0,3,4,则 4r 3 的 元 素 个 数 为()X 3A.2 B.3 C.4 D.5【答 案】B丫+4【解 析】-0,(x+3)(x3)0,上 Lx 关 3,/.3 x 3,A=-3,3),x3又 3=-3,-1,0,3,4,则 A c 3=-3,l,0,A c 5 的 元 素 个 数 为 3 个.故 选：B.2.设 z=a+加(a,%eR)在 复 平 面 内 对 应 的 点 为 时,贝 犷 点 M 在 第 四 象 限 是“2()”的()A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 D.充 要 条 件【答 案】A【解 析】由 题 知，z=a+历(a,beR)在 复 平 面 内 对 应 的 点 为 M(a,6),因 为 点“在 第 四 象 限，即 a 0力 0 a 0ab0,即 八 c，或 L 八，b 0所 以“点”在 第 四 象 限”是“v O”的 充 分 不 必 要 条 件，故 选：A3.已 知%是 各 项 不 相 等 的 等 差 数 列，若 q=4,且%,。4,4 成 等 比 数 列，则 数 列 q 的 前 6 项 和$6=()A.84 B.144 C.288 D.110【答 案】A【解 析】设 等 差 数 列 4 的 公 差 为 d，由 生 必，出 成 等 比 数 列，则 即(q+3d)2=(q+d)(q+7d),整 理 可 得 4d=0，由 数 列 4 各 项 不 相 等,解 得 d=4,即 a“=4”,5=比 警=2(1+)，故 S6=2x6x(l+6)=84.故 选:A.4.已 知 向 量 a，人 满 足 卜|=2,6=(1,1),|+Z?|=7 i o,则 向 量 口 在 向 量 心 上 的 投 影 向 量 的 坐 标 为()A 住 用 B.(M)C.(-L-1)D.4 4【答 案】B【解 析】由 0=(1,1),得 忖=后=3,则 k+0=&+勿 口+广=厢,即 4+2+2/=1 0,则 aJ=2,/d b、b,八 八 所 以 向 量,在 向 量 匕 上 的 投 影 向 量 的 坐 标 为(M)M=b=(i，i).故 选：B.5.函 数 X)=E c o s g-x)的 部 分 图 象 大 致 形 状 是()y jC._ D.Ox【答 案】C/(一)=/一 X1-e1T+?【解 析】因 为/（x）=sin(-x)=-sinx=U+e)1-e l的 定 义 域 为 R.定 义 域 关 于 原 点 对 称,sinx=/(x),所 以.”X）是 偶 函 数，图 象 关 于 y 轴 对 称，故 排 除 选 项 B、D,当 x 0 时，令/(x)=O可 得 x=O或 x=E(k e Z),所 以 x 0 时，两 个 相 邻 的 零 点 为 x=0和 x=n,当 0 v x v冗 时，1/-0,f x)=1+e”l-e,1+eX、-s i n x 0,故 排 除 选 项 A,故 选：C.6.立 德 学 校 于 三 月 份 开 展 学 雷 锋 主 题 活 动，某 班 级 5 名 女 生 和 2 名 男 生，分 成 两 个 小 组 去 两 地 参 加 志 愿 者 活 动，每 小 组 均 要 求 既 要 有 女 生 又 要 有 男 生，则 不 同 的 分 配 方 案 有（）种.A.20 B.4 C.60 D.80【答 案】C【解 析】先 安 排 2 名 男 生，保 证 每 个 小 组 都 有 男 生，共 有 2 种 分 配 方 案；再 安 排 5 名 女 生，若 将 每 个 女 生 随 机 安 排，共 有 少=3 2种 分 配 方 案，若 女 生 都 在 同 一 小 组，共 有 2 种 分 配 方 案，故 保 证 每 个 小 组 都 有 女 生，共 有 2$-2=30种 分 配 方 案；所 以 共 有 2 x 30=6 0种 分 配 方 案.故 选：C.7.刍（c碗）喘（加 加 g）是 中 国 古 代 算 数 中 的 一 种 几 何 体，其 结 构 特 征 是：底 面 为 长 方 形，上 棱 和 底 面 平 行，且 长 度 不 等 于 底 面 平 行 的 棱 长 的 五 面 体，是 一 个 对 称 的 楔 形 体.上 棱 长 底 边 长 已 知 一 个 刍 薨 底 边 长 为 6,底 边 宽 为 4,上 棱 长 为 2,高 为 2,则 它 的 表 面 积 是（）A.24也【答 案】BB.24+24&C.24+246 D.24+1 6 0+8石【解 析】设 几 何 体 为 防-A B C D,如 下 图 所 示:矩 形 的 面 积 为 6x4=24,侧 面 为 两 个 全 等 的 等 腰 三 角 形 6.CDF,两 个 全 等 的 等 腰 梯 形 A D F E、BCFE,设 点 E、F 在 底 面 4 3 8 内 的 射 影 点 分 别 为 G、H,过 点 G 在 平 面 A B C D 内 作 G M _L BC,连 接 E M,过 点，在 平 面 A 8 8 内 作 MV_LC）,连 接 尸 N,平 面 A 8 8,H N、CDu 平 面 ABCD,FH CD,EH L H N,HN1CD,F H H N-H,8 人 平 面 FHN,FTVu 平 面 尸 V,:FN L C D,易 知/=2，H N=2,则 在 cr 广 中，斜 高 为 FN=J 户 2+H N。=-J*+于=2叵，所 以，S加 BE=SACDF=3 D FN=4，同 理 可 知，梯 形 BCFE的 高 为 E M=-JEG2+G M2=A/22+22=2历.，所 以，Sm A D F E=S BCFE=（E F+BC）-EM=s42,因 此，该 几 何 体 的 表 面 积 为 24+2*卜 应+8忘）=24+2 4 0.故 选：B.8.如 图，椭 圆 C：S+=l（a 方 0）的 左 焦 点 为 E,右 顶 点 为 A,点 Q 在 y 轴 上，点 尸 在 椭 圆 上，且 满 足 尸。1），轴，四 边 形 耳 A P Q 是 等 腰 梯 形，直 线 P与 y 轴 交 于 点 N（0,手 匕），则 椭 圆 的 离 心 率 为（).【答 案】D【解 析】由 题 意，做 _Lx轴 于 点 M，因 为 四 边 形 片 A P Q 是 等 腰 梯 形，则 6 O=A=c,O M=a-c尤 2 y2则 点 P 的 横 坐 标 为 与=a-c，代 入 椭 圆 方 程 C:二+=1（。匕 0）,a b 可 得 无，j2ac-c2,即 尸 M=2j2ac-c2,a a（Ji 同 因 为 N 0,/?,则 O N=b,I 4）4国 由 F、P M,则 型 一 丝=4 一,F、M P M aa化 简 可 得，3/323+1 6 1=0，同 时 除/可 得，16/32e3+3=0即(2e T(8/-12e?-6e-3)=0,对 于/(e)=8/-12/-6e-3当 e=l时，/(1)=-1 3 0,在 ee(l,2)时，方 程(2-1乂 8/-12/-66-3)=0有 根,旦 ee(O,l),故 应 舍，所 以 e=；.故 选:D二、多 项 选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求,全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得。分.9.如 图 为 国 家 统 计 局 于 2022年 12月 2 7 日 发 布 的 有 关 数 据，则()A.营 业 收 入 增 速 的 中 位 数 为 9.1%B.营 业 收 入 增 速 极 差 为 13.6%C.利 润 总 额 增 速 越 来 越 小 D.利 润 总 额 增 速 的 平 均 数 大 于 6%【答 案】ABD【解 析】由 表 中 数 据 易 知 营 业 收 入 增 速 的 中 位 数 为 9.1%,故 选 项 A 正 确；营 业 收 入 增 速 的 极 差 为 20.3%-6.7%=13.6%,故 选 项 B 正 确；利 润 总 额 增 速 2022年 1-3月 累 计 比 2022年 1-2月 累 计 上 升，故 选 项 C 错 误；利 润 总 额 增 速 的 平 均 数(38.0%+34.3%+5.0%+8.5%+3.5%+1.0%+1.0%-1.1%-2.1%-2.3%-3.0%-3.6%)12=6.6%,故 选 项 D 正 确；故 选：ABD.10.甲 袋 中 装 有 4 个 白 球，2 个 红 球 和 2 个 黑 球，乙 袋 中 装 有 3 个 白 球，3 个 红 球 和 2 个 黑 球.先 从 甲 袋 中 随 机 取 出 一 球 放 入 乙 袋，再 从 乙 袋 中 随 机 取 出 一 球.用 A，A2,A,分 别 表 示 甲 袋 取 出 的 球 是 白 球、红 球 和 黑 球，用 6 表 示 乙 袋 取 出 的 球 是 白 球，则()A.%A,A 两 两 互 斥 B.P(B|A,)=1C.4 与 B 是 相 互 独 立 事 件 D.尸(B)=g【答 案】AB【解 析】对 于 A,由 题 意 可 知 A，&,Aj不 可 能 同 时 发 生，所 以 4，4,4 两 两 互 斥，所 以 A 正 确，2 1 1 3 1对 于 B,由 题 意 可 得 P(4)=g=T，尸 8 4 4 9 122对 于 c,因 为 尸(A)=KO确 3-1-3P-1-12一 1-41-4 9 12所 以 尸(回 4)=4 然 44 4 1 3 1 3 7P(B)=P(A)+P(A25)+P(A)=-X-4-X+-X-=-,所 以 P(A1)wP(AJP(8),所 以 4 与 8 不 是 相 互 独 立 事 件,所 以 C 错 误,对 于 D,由 C 选 项 可 知 D 是 错 误 的，故 选：AB11.己 知，尸 2是 双 曲 线 c：1-g=i（“o8o）的 左、右 焦 点，A（埋,是 C 上 一 点，若 C 的 离 心 率 为 空,丁 方 I 2 2）3连 结 A后 交 C 于 点 8,则（）2A.C 的 方 程 为 9-丁=1 B.NAB=90C.耳 A g 的 周 长 为 2石+2 D.AB耳 的 内 切 圆 半 径 为 石-6【答 案】ABD【解 析】对 A,将 点 4 的 坐 标 代 入 双 曲 线 方 程，并 由 0=看=+得 下 列 方 程 组：a1547S-1a=6 2 3，解 得 T，双 曲 线 三-丁=1,A 正 确;：2=/+62 c=2对 B,4(一 2,0),乙(2,0),f；A=半+2,：,居 A=半 2,；I 2 2)(2 2)6A.乙 A=?-4+5=O,.4A,6 A,B 正 确；对 C,R l=18+2厉=(石+可=石+6|A同=乎-2）=个 8-2屈=也-6，用=功=4,周 长=2行+4,C 错 误；对 D,令|B闻=加,则 忸 制=2 6+加，|的=|4周+怛 同=有 一 石+加，在 Rt ABFt中，BFf=AFf+ABf,:i=3也；小,设,人 他 的 周 长 为/,内 切 圆 半 径 为 r,用+|盟+忸 用，由 三 角 形 面 积 公 式 知：S A B F=l|A|-|A B|=1/r,_ 吨 A B F 1（君+同 君-6+m）_ 6,一=|A|+|AB|+|BK|-&舟&+2 加=7 f D 正 确；故 选：ABD.12.已 知 函 数“X）及 其 导 函 数 r（x）的 定 义 域 均 为 R,若/卜+g）为 奇 函 数，/（2x-j 的 图 象 关 于），轴 对 称，则 下 列 结 论 中 一 定 正 确 的 是（）a-b-/（o）=/H）c./（。）=巾|）D.哈 卜。【答 案】ABD【解 析】因 为“X+令 2 为 奇 函 数,定 义 域 为 R，所 以/(-喈 7)=-/(喈 2),故/(-x)=-/(x+学 4,4 4等 式 两 边 同 时 取 导 数，得-7(-x)=-/(x+5)，即/(-x)=/(x+)，1 1 I 2因 为/Q x-)的 图 象 关 于 y 轴 对 称，则 故/。)=/(-5)，等 式 两 边 同 时 取 导 数，得/(X)=-/(-：9).4 7 2 2 2由/(-x)=-/(x+),令 x=-g，得/()=-/(1)，解 得)=0，2 7由/(x)=f(-x-5),令 x=0,得/(0)=/(-),2由，令 x=0,得/(0)=-/(-),令 工=-；,得/(：)=/(1),解 得/(g)=。，故 选：ABD.三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分.13.若(l-x)s=4+%(1+)+生(1+*)2+(1+x)8,则 为=.【答 案】-448【解 析】令 l+x=f 可 得 x=r 1,则 l-x=l(r l)=2f,所 以，(2 f)=+Qyt+47s/8,所 以，应 为 展 开 式 中 r 的 系 数，(2-f 的 展 开 式 通 项 为 心 1=-2(-1)=C*-28-i-(-1)*?(k=0,1,2,8),所 以，=C123.(l)s=56x8x(1)=-448.故 答 案 为：-448.14.若 斜 率 为 6 的 直 线 与 V 轴 交 于 点 A,与 圆/+丁=1相 切 于 点 8,则|4网=.【答 案】上【解 析】设 直 线 A B 的 方 程 为 y=G x+h,即 后-y+6=0 则 点 A(O,力)，由 于 直 线 AB与 圆/+9=1 相 切，且 圆 心 为 0(0,0),半 径 为 1,则 4=1,解 得 b=2,所 以|A=2,因 为=故|A.=A O-|5O=点.故 答 案 为：G.15.某 市 统 计 高 中 生 身 体 素 质 的 状 况，规 定 身 体 素 质 指 标 值 不 小 于 60就 认 为 身 体 素 质 合 格.现 从 全 市 随 机 100 100抽 取 100名 高 中 生 的 身 体 素 质 指 标 值 x,(i=l，2,3,100),经 计 算,=7200,=100 x(722+36).若 i=i=l该 市 高 中 生 的 身 体 素 质 指 标 值 服 从 正 态 分 布 N(,4)，则 估 计 该 市 高 中 生 身 体 素 质 的 合 格 率 为.(用 百 分 数 作 答，精 确 到 0.1%)参 考 数 据：若 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 贝 iJP(-c4X4+b)*0.6827,P(-2(r 4 X W+2 6 仪 0.9545,P(/-3cr X/+3cr)0.9973.【答 案】97.7%1 100【解 析】因 为 100个 数 据 X 1,巧，X；,，X|0G的 平 均 值 亍=赤 2 占=72,1UU/=1方 差 八 焉 自 唇 I。斗 击 x 0 0 0 x”+36)7 0 0 x 7 2+3 6，所 以 的 估 计 值 为=72,b 的 估 计 值 为 7=6.设 该 市 高 中 生 的 身 体 素 质 指 标 值 为 X,由 P(一 2。K X V+2cr)“0.9545,得 P(7 2-1 2 X 72+12)=P(60 X 8 4)0.9545,.,.,、-P(u-2 a X u+2 84)=P(X+2cr)=尸(X 84)=0.9545+；x(1-0.9545)=0.97725 97.7%.故 答 案 为：97.7%.e-2 jt-l,x 0【答 案】；，2【解 析】当 x=0时,y/(力-布)=0 4 0 恒 成 立;当 x v O 时,此 时 应 有“X)a禺=x)+办 2 0,即 e-2，1+欧 2 0.令 g(x)=e-2 x-l+a r,x 0恒 成 立,所 以-x),即 g(x)单 调 递 增.又 g(O)=e。-1=0,则 要 使 g(x)NO在(,0)上 恒 成 立,应 有 8(切=-2日 2*+。4。在(-00,。)上 恒 成 立，即 a 4 2e-2,在(8,0)上 恒 成 立.又 XVO 时，2e-2x 2.所 以 a M 2；当 x 0 时，此 时 应 有 了(X)4国=y(x),B|l；ln(x+1)arV O.令 A(x)=g l n(x+l)-a x,则()=7 7 7 一”.1 1令 小 卜 元 而 一 明 则 加(小 可 有 产。恒 成 立，所 以,(x),即 1(力 单 调 递 减.又-0)=0,则 要 使 在(。，也)上 恒 成 立，应 有(月=1 匕 在(0，+8)上 恒 成 立，即。2 1 匕 J 在(0,+8)上 恒 成 立.因 为，y=不 而 在(，+00)上 单 调 递 减，所 以 可:“万，所 以“2；.综 上 所 述，”的 取 值 范 围 是 g,2.故 答 案 为；2四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 7 0分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.如 图，在 四 边 形 A 8 8 中，已 知 NA8C=g,ZBDC=,AB=BC=1 617.若 BD=5#），求 A D的 长;求 A 3 D面 积 的 最 大 值.(1)(2)【答 案】（1）【解 析】（1）AD=5；(2)49后 在 5C中，由 余 弦 定 理，得 BC2=BD2+DC2-28D DC COS/BDC，(7百 下=(5 6)2+82-2 x5百 xC.cosg,整 理 得 CD。-5 辰 口-7 2=0.解 得 CQ=8百 或 C=-3 6(舍 去).BD2+BC2-C D2 _(5)2+(7/3)2-(8/3)2 _ 12B D B C 2x5/x 7 6 7而 NDBC e(0,当，故 sin ZDBC=,3 7cos ZABD=c o s f-ADBC=-c o s ZD BC+sin ZDBC=,I 3)2 2 14故 在 A BD中，AD2=A B2+BD2-2 A B-BD-cosAABD=(7 6)2+(5 6)2-2 x 7 6 X5百 X u=57,14：.AO=历；(2)2兀 设 ZCBD=6,0 G(0,彳),则 在 公 BCD中,/DZT 7/3 sin(-0)BCsmNBCD=工 J:s i n C 如 出 BC BDsin ZBDC sin ABCD=14sin(0+),33所 以 SA/)=A 8 8。sinN 48。=x x 14sin(0+-)x sin(-0)=4973sin2(6+-),2 2 3 3 3当 sin2（e+1）=l,即。时，4 3。面 积 取 到 最 大 值 49道.3 61 8.记 S“为 数 列 4 的 前 项 和，已 知 q=l,2=|,且 数 歹|4,0+（2+3）%是 等 差 数 列.（1）证 明：是 等 比 数 列，并 求/的 通 项 公 式；(2)设=,3土 q,为 奇 数 2 为 偶 数，求 数 列 出 的 前 2 项 和&.a；7 7【答 案】（1）证 明 见 解 析；%=券；（2）T2 n=n2-82【解 析】（1）V,=1.S=1,52=,3设 cn=4 S“+（2+3）%,贝 i j q=9,c2=18,又,/数 列%为 等 差 数 列，,g=9,4nSn+（2+3）a=9n,.4S“+（M=9,n当 2 2时，4 S-+（2+1 T=9,n-.y+（2+3）%_（如 I%。,n n-.（6+3”“（2+l）i a-=u，n n-又:2。+1工 0,.%_ 也=0,glJ.4.也 n n n 3 n 又.牛=1 x 0,是 以 1为 首 项，工 为 公 比 的 等 比 数 列,（2）=3 T q,为 奇 数 2,“为 偶 数，且 q=F a(小 为 奇 数 3 T.为 偶 数&=口+3+（2-1）+0+3、+32”-）l+（2 n-l）3（1-9）=2+T T1 9.如 图，已 知 斜 四 棱 柱 A 8C O-A 8G R,底 面 ABCD为 等 腰 梯 形，A 8 C D,点 4 在 底 面 4BCD的 射 影 为。，.A D=BC=CD=AAt=,AB=2,AO=g，A V B C.(1)求 证：平 面 A3C)_ Z平 面 ACG A;(2)若 M 为 线 段 4 A上 一 点，且 平 面 M3C与 平 面 A3C。夹 角 的 余 弦 值 为 应，求 直 线 为 川 与 平 面 M3C所 7成 角 的 正 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）土 27【解 析】（1）证 明：等 腰 梯 形 ABCD中，AB=2，B C=C A A D=1,作 CE/AZ）交 4?于 E，如 图，则 43CE是 菱 形，AE=CD=EB=CE=BC,工 3。“是 等 边 三 角 形，则 NABC=60。，ZDCE=NECB=60。,NACO=ZACK=30。,所 以 NACB=9 0,即 A C 1 5 C,又 BCJ_AA，AA,C AB=A,9,A B u平 面 A4clC,所 以 8 C上 平 面 AACG，又 B C u平 面 ABC。,所 以 平 面 平 面 A4CG；(2)点 A在 底 面 ABC 的 射 影 为 O,由(I),得。在 AC上，且 A。，AC,乂 A 0=g,A 4,=l,所 以 4 0邛，而 由 知 AC=J j,因 此 CO=争 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系 C-Ayz,则 A(G,0,0),8(0,1,0),O 孚 0,0),A/,0；)D 孚 一;,0，1、则 CD=-B 4=,0,2(2 2 J又=(等,一|,。,所 以 R(0,7 I，、，设=(0W 2W 1),A/f-+1 2 2)(2 2 2 2,(3、CB=(0,1,0),C M=,2 2 2 2设 平 面 M B C 的 法 向 为=（x,y,z）,取 x=l,则=（1,0,6义），取 平 面 A8CZ）的 法 向 量 机=（0,0,1）,=1,则 4=;（负 值 舍 去）,设 直 线 与 平 面 M B C 所 成 的 角 为。，则 sin 0=|cos（A W,n_hM_3 6-阿 P 小 所 以，直 线 A M 与 平 面 M B C所 成 的 角 正 弦 值 为 当 2 0.第 2 2届 亚 运 会 将 于 2023年 9月 2 3日 至 1（）月 8 日 在 我 国 杭 州 举 行，这 是 我 国 继 北 京 后 第 二 次 举 办 亚 运 会.为 迎 接 这 场 体 育 盛 会，浙 江 某 市 决 定 举 办 一 次 亚 运 会 知 识 竞 赛，该 市 A 社 区 举 办 了 一 场 选 拔 赛，选 拔 赛 分 为 初 赛 和 决 赛，初 赛 通 过 后 才 能 参 加 决 赛，决 赛 通 过 后 将 代 表 A 社 区 参 加 市 亚 运 知 识 竞 赛.已 知 A 社 区 甲、乙、丙 3位 选 手 都 参 加 了 初 赛 且 通 过 初 赛 的 概 率 依 次 为/、/、：，通 过 初 赛 后 再 通 过 决 赛 的 概 率 均 为（，假 设 他 们 之 间 通 过 与 否 互 不 影 响.（1）求 这 3人 中 至 多 有 2 人 通 过 初 赛 的 概 率；（2）求 这 3人 中 至 少 有 1人 参 加 市 知 识 竞 赛 的 概 率；（3）某 品 牌 商 赞 助 了 A 社 区 的 这 次 知 识 竞 赛，给 参 加 选 拔 赛 的 选 手 提 供 了 两 种 奖 励 方 案：方 案 一：参 加 了 选 拔 赛 的 选 手 都 可 参 与 抽 奖，每 人 抽 奖 1次，每 次 中 奖 的 概 率 均 为 且 每 次 抽 奖 互 不 影 响，中 奖 一 次 奖 励 600元；方 案 二：只 参 加 了 初 赛 的 选 手 奖 励 200元，参 加 了 决 赛 的 选 手 奖 励 500元.若 品 牌 商 希 望 给 予 选 手 更 多 的 奖 励，试 从 三 人 奖 金 总 额 的 数 学 期 望 的 角 度 分 析，品 牌 商 选 择 哪 种 方 案 更 好.【答 案】：（2）?方 案 二 更 好，理 由 见 解 析【解 析】（1）3人 全 通 过 初 赛 的 概 率 为=2）3 12所 以，这 3人 中 至 多 有 2 人 通 过 初 赛 的 概 率 为 1-右=.（2）甲 参 加 市 知 识 竞 赛 的 概 率 为=乙 参 加 市 知 识 竞 赛 的 概 率 为 2 3 6 2 3 6丙 参 加 市 知 识 竞 赛 的 概 率 为;x g=g,所 以，这 3人 中 至 少 有 1人 参 加 市 知 识 竞 赛 的 概 率 为（3）方 案 一：设 三 人 中 奖 人 数 为 X,所 获 奖 金 总 额 为 y 元，则 y=6（x）x,且 X所 以 E（y）=600E（X）=6 0 0 x 3 x 1=900 元，方 案 二：记 甲、乙、丙 三 人 获 得 奖 金 之 和 为 Z 元，则 Z 的 所 有 可 能 取 值 为 6 0 0、900、1200、1500,则 P（Z=600）=1l-g2P（Z=900）=c g（l 512P（Z=1200）m q+C；.O x 冷.P（Z=15OO）=（1J1=1.所 以，E（Z）=600 xl+900 xA+i200 xl+l500 x=1000.V 7 6 12 3 12所 以,（r）（z）,所 以 从 三 人 奖 金 总 额 的 数 学 期 望 的 角 度 分 析，品 牌 商 选 择 方 案 二 更 好.21.已 知 抛 物 线。：/=2分（0 0）的 焦 点 为 产，准 线/与 抛 物 线 C 的 对 称 轴 的 交 点 为 K,点。（2）在 抛 物 线 C 上,且|DK|=0|DF|.（1）求 抛 物 线 C 的 方 程；（2）若 直 线/,:kx-y-2k=Q（k 0）交 抛 物 线 C 于 A（否，%）,B 5,%）（玉）两 点，点 A 在 V 轴 上 的 投 影 为 E,直 线 AE 分 别 与 直 线 08（O 为 坐 标 原 点）交 于 点。，与 直 线 4：y=x交 于 点 p,记 Q4P的 面 积 为 3，的 面 积 为 邑，求 证：S,=S2.【答 案】（1）x2=4y；（2）证 明 见 解 析【解 析】（1）作 垂 足 为 H,则 Q 户|=|。|.因 为|网=夜|。盟,所 以 ZDXW=45,|DH|=|两=2.2 P/=4因 为 点。（2,r）在 抛 物 线 C 上，所 以（+=2.+一 消 去 f 得：/-4p+4=0,解 得 p=2=l.所 以 抛 物 线 C 的 方 程 为/=4y.（2）设 A（X,y）,3（电，力），kx-y-2k=0由,消 去，得 f-4履+8左=0.x2=4v则 A=1642 32攵 0,因 为 左 0,所 以 左 2,则 玉+工 2=4攵，玉 冗 2=8攵.依 题 意 知 直 线 A E 的 方 程 为 y=%,直 线 0 8 的 方 程 为 y=X.由=，得 P 点 的 坐 标 为（X，M）.y=x.y=y/、由）,=%x 得 Q 的 坐 标 为 芳，M.x?要 证 S|=S2,即 证 g|4P|.y=；|P0.y,即 证|M 二|PQ|.即 证 M-七 二 匕 二 一 M，即 证 yxx2+y2x,-2yxy2=0.Ji因 为 乂=人(%一 2),%=(电 一 2),所 以 y,x2+均 为-2yly2=-2)/+4(七；一 2)/一 2A2a 2)(当 一 2)=(2k-2&2)内 9+(4左 2-2k)(演+)一 8左 2=仅-2公 卜 8%+(4/一 2 4%-8左 2=8-8 8=0.即 必+丫 2占-2%=0，所 以$=$2.2 2.已 知 函 数/(x)=or-lnx-.X(1)若 xl,/0,求 实 数 a 的 取 值 范 围；(2)设.三 是 函 数 f(x)的 两 个 极 值 点，证 明：|/(%,)-/(%2)|0).当 a W O 时，在 xe(l,+8)上(x)0,所 以/(x)在(1,y)上 单 调 递 减，所 以 f(x)f(l)=O,所 以 a 4 0 不 符 合 题 设.当 0 a g 时，令 r(x)=0,得 依 2 一 x+a=0，解 得 x产 I z p Z e(0)=1+G(1,+巧，所 以 当 xe(l，w)时 尸。)0,所 以 Ax)在(1,%)上 单 调 递 减，所 以/&)/(1)=0.综 上，实 数 的 取 值 范 围 是 g，+8).(2)由(I)知，当 0 4 g 时，/(x)在(O,xJ上 单 调 递 增，在(5,刍)上 单 调 递 减，在 伍,转)上 单 调 递 增，所 以 3 是 f(x)的 极 大 值 点，X?是 f(x)的 极 小 值 点.由(1)知，XX2=1,X1 4-=,则.+/)2-4 X/2=-aa综 上，要 证 1 为)一 三)1岬 五，只 需 证/a)-毛)(七 一%，因 为 毛 一 玉 一/(xj+/(三)=(a+1)(X2-xj-+。77人 J 人 人,=2 g f)+(”xJ_l 吟=1+户 一 1哼=X X+X2 工 吊 王 设 寸 刎=坐+”号 一 叱所 以 g，a）=+3+3=q+B _ o,所 以 g（。在（I,+8）上 单 调 递 增，所 以 g（f）g（l）=o.所 以 三-占-/（占）+/优）0,即 得，（5）-/（）一 再 成 立.所 以 原 不 等 式 成 立.