2023年高考第二次模拟考数学试卷——江苏A卷（解析版）.pdf

2023年 高 考 第 二 次 模 拟 考 试 卷 数 学(江 苏 A 卷)一、单 选 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 40分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.全 集 U=R,集 合 A=,集 合 B=x|log2(x-1)2,则 常 何 B)为()A.S O)(4,5)C.(T O,0)34,5K答 案 X cR解 析 由 得 B.(-O O,0)D(4,5D.(-oo,4u(5,+oo)x(x-4)0 x-40解 得 04x4由 log2(x-l)2,得 解 得 x5,x-1 0所 以 A=0,4),8=(5,+),所 以 A 8=10,4).(5,物)，所 以(A B)=(o,0)u4,5J故 选：C.2.已 知 xeR,i是 虚 数 单 位，且 史|是 纯 虚 数，则|x+i|=()A.更 B.也 C.逐 D.也 2 2K答 案 U AR解 析 U 因 为 xeR,i是 虚 数 单 位，所 以 2 T(2T)(x-i)2x-(2+x)i+i?2 1 2+七 W x+i-(x+i)(x-i)-x2-i2 x2+X2+,竽=0 1又 行 是 纯 虚 数，贝 U，解 得：x=lX4-1 2+x 八 2故 选：A.3.(a-x)(l+x)6的 展 开 式 中 x 的 奇 数 次 基 项 的 系 数 之 和 为 64,则 实 数。=()A.4 B.3 C.2 D.1K答 案 H BK解 析 设（一 力（1+工 丫=/+%丁,令 人=1 得，64(a 1)=%+4+/+%,令 x=-1 得，0=4 4+%+%,-得，2(4+3+%+%)=6 4(a-l)=2 x 6 4,解 得 a=3.故 选：B.A.14.已 知 cos3 r il.-,则 sin)K答 案 U CK解 析 因 为 sinB Ia 工 3=sina-弓 7 12C.35=-cos兀 a 6=-cos4D.5兀 a635故 选：C.5.ABC 中,角 A,B,C所 对 的 边 长 分 别 为 a,c,已 知 sin A:sin 8=3:5,c=2 h-a,则 cos 8=()A.-14K答 案 AD.B27K解 析 V sinA:sinB=3:5 由 正 弦 定 理 可 得:abj3,可 得：a=3 b.*.cosB=a2+c2 b1b21 1lac2 x型 x也 5 514故 选：A.6.若%是 正 项 递 增 等 比 数 列，6 表 示 其 前 项 之 积,且=品，则 当 T,取 最 小 值 时,的 值 为A.9 B.14 C.19 D.24K答 案 1 BR解 析/因 为 4=几,所 以 啊 a w 碳=1，即%=1，又 数 列%是 递 增 的 等 比 数 列，所 以 斯,。,%)1，所 以 当 1 取 最 小 值 时，”的 值 为 1 4,故 选 B.7.抛 物 线 C:y?=-1 2 x的 焦 点 为 尸，P为 抛 物 线 C 上 一 动 点，定 点 4-5,2),则|网+|产 川 的 最 小 值 为()A.8 B.6 C.5 D.9K答 案 A设 抛 物 线 C 的 准 线 为/,过 户 作 P C I/于 C,过 A作 A B 1/于 8,因 为|P F|=|P C|,所 以 当 A,P,C 三 点 共 线 时，1PAi+|尸 尸|取 得 最 小 值，故|A 4|+.|的 最 小 值 为|-5|+5=8.故 选:A.8.设 函 数/(x)=+“s in x+2 的 最 大 值 为 加,最 小 值 为 机(“)，则()a+acosx+2A.V zeR,A/(a)m(a)=l B.B a e R,M(a”(a)=2C.V c R,Af(a)+z(a)=2 D.3 a e R,M(a)+/n()=3R答 案 X AK 解 析 X 法 1：+85%+2=(4+q)+2 _ CO；%0,故/(月 的 定 义 域 为 R，当=0时，/(%)=1,此 时 M(a)=/n(a)=L.l Z+sinx sinx-当。时，x)=上 一 二 一 蓝 不，+C O S X c o s x-a-I J2 c a2+2(,2 设 5=-l a+-I,若 a 0,则 a+2 2&,当 且 仅 当 人 时 等 号 成 立，故 S 4-2立，若 0,则(-)+2 2 2 应，当 且 仅 当。=一 0 时 等 号 成 立，故 S N2叵,-CI(+2，s i n x-又-卜 日 玖 的 几 何 意 义 为 圆 上 的 动 点 P(cosx，sinx)与 Q(S,S)连 线 的 斜 率,cos X-I 7而。(S,S)的 轨 迹 为 如 图 所 示 的 两 条 射 线，对 于 给 定 的 Q(S,S),/(“),，”()分 别 过 Q(S,S)的 切 线 的 斜 率 的 较 大 者、较 小 者,设 切 线 斜 率 为 左,则 切 线 的 方 程 为：y=k(x-S)+S,整 理 得 到：kxy+S kS=O,故 J=1,J1+公 整 理 得 到(底-1 伙 2-2s2k+$2-1=0,故 M(a)(a)=与 二 1=1,故 A 正 确，B错 误.2小?flnM(o)+w(a)=-j-=2+yj-,q 2 O因 S?2 8,故 2VM(a)+?(a)=-=2+3,故 CD 错 误.S 1 7故 选：A.法 2：设 y=+2+“sin x,则 y(“2+2+acosx)=a2+2+asinx,-a2+2+acosx整 理 得 到：(y-l)(a2+2)=asinxaycosx,若 a=0,y=l,此 时 M(a)=/n(a)=l,.若 a H 0,则(y-1)(/+2)=yja2+a2y2 sin(x-p),a.ay其 中 COS0=,sin=/,，yja+ay yjcr+ay因 x e R,tia2+a2y2 sin(x-(f)|a2+a2y2,故|(y-1乂/+2)E jR+a2y2,整 理 得 到：(a4+3+4)V-2(+2)2 y+(/+3+4)0,故 的 解 为 丫 2 4 丫 4 丫，其 中 yy2 为 方 程(/+3+4)/-2(f/2+2)2 y+(/+3+4)=0 的 根，故(4)加(4)=%、2=1，故 A 正 确，B 错 误.2(/+2)2 2而 M(a)+m(a=y+%=-r-=2+-Cl H-Y+D4 L因 为/+r+32 2 4+3=7,当 且 仅 当 a=忘 时 等 号 成 立，a2故 2VM(a)+机(a)2+,3,故 排 除 CD.综 上，M(a)m(/)=1,故 选：A.二、多 选 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分。9.下 列 关 于 平 均 数、中 位 数、众 数 的 说 法 中 错 误 的 是()A.中 位 数 可 以 准 确 地 反 映 出 总 体 的 情 况 B.平 均 数 可 以 准 确 地 反 映 出 总 体 的 情 况 C.众 数 可 以 准 确 地 反 映 出 总 体 的 情 况 D.平 均 数、中 位 数、众 数 都 有 局 限 性，都 不 能 准 确 地 反 映 出 总 体 的 情 况K答 案 ABCK解 析 11中 位 数 不 受 少 数 极 端 值 的 影 响，对 极 端 值 的 不 敏 感 也 会 成 为 缺 点；故 A 错 误；平 均 数 较 好 地 反 映 样 本 数 据 全 体 的 信 息，但 是 样 本 数 据 质 量 较 差 时 使 用 平 均 数 描 述 数 据 的 中 心 位 置 就 会 可 能 与 实 际 情 况 产 生 较 大 差 异.；故 B 错 误；众 数 体 现 了 样 本 数 据 的 最 大 集 中 点，但 对 其 他 数 据 信 息 的 忽 略 使 得 无 法 客 观 反 映 总 体 特 征；故 C 错 误.由 以 上 理 由 可 知 D 正 确.故 选：ABC.10.设 为 两 个 非 零 向 量，且/=0,那 么 下 列 四 个 等 式，其 中 正 确 等 式 有（）.2A.|=|/?|B.a+ba-b C.a-（a+ft）=0 D.（a+b）=a+bK答 案 BDK解 析 由 题 意，a/=0 即 故 A 选 项 显 然 不 正 确；B 选 项，由 于 口+6 2-2=3+6）2一（-6）2=42=0,a+b=a-b,故 B 选 项 正 确；C 选 项，a-（a+b）=a-a+a-b=a-a=a2 0,故 C 不 正 确；D 选 项,（a+b）2=/+万+2/=，+万，故 D 正 确 故 选：BD.11.己 知 A（3,4）,B（-6,-3A,B任/）两 点 到 直 线/s+y+l=0 的 距 离 相 等，则。的 值 可 能 为 C.-1K答 案 A DK解 析 X A（3,4）,3（-6,-3）（4 8 定/）两 点 到 直 线/:+），+1=0的 距 离 相 等,故 选：AD.12.下 列 不 等 关 系 正 确 的 是（）A.3e e3 3KB.e3 ne e1 1C.7ie7r3 e;D.3e7r33K答 案 AB DK 解 析 力 构 造 函 数 y（x）=（，其 中*o,则 r（x）=上 詈，当 0 x e 时，/0,此 时 函 数/（x）单 调 递 增，当 X e时，r（x）0,此 时 函 数“X）单 调 递 减，则 x）4/（e）=Le对 于 A 选 项，/（3）/（e）,ER,即 eln331ne,可 得 3ee3,3 e又 因 为 e3 3?3、所 以，3ce33n,A 对；对 于 B 选 项，/（7i）/（e）,BP-,BPelnjKKlne,可 得 兀 J e”,n e22In 在 中，令 工=J,则 Y 2,e n 1 e 兀 兀 故 eln 万 e（2）2.7x（2-等）2.7x（2-0.88）=3.0243,所 以 eln7T3,即 In上 Ine*所 以,7te e3,故 e3 V 冗。V 炉,B 对；对 于 C 选 项，因 为 In兀 2,则 31rl兀 6-6 e 兀，兀 兀 故 In/兀,故 冗 3e,C 错；对 于 D 选 项，因 为 f/（兀）,即 孚 皿,则 31n兀 R n 3,即 In11n3”,3 7t所 以，7I3 3 又 3e 7te n3,因 此，3。7?=祖=%30=：1.n 90 3故 K答 案 为：!A R1 4-在 锐 角 三 角 形 A B C 中 4=B 则 三 的 取 值 范 围 是.K答 案（）,忘）K解 析 锐 角 中，。2即 V.7 10 c A e 一 20 B 兀 20 B-,27 1 n47 120 C 7 T 7 10 7 t-2 B-2 24 R AC在.A B C中，由 正 弦 定 理；二,sinC sin B-rzs AB sinC sin（乃 一 28）sin2B 2sin BcosB _ _口 J 得-=-=-=-=-=2 cos BAC sin B sin B sin B sin BQ B p.-.0 c o s B 0）的 左、右 焦 点 分 别 为 耳，在 2.已 知 点 M（0,更），线 段 加 入 a2 b 2交 椭 圆 于 点 尸，。为 坐 标 原 点.若 伊。+|咐|=2 a,则 该 椭 圆 的 离 心 率 为.（答 案 D yK解 析】根 据 椭 圆 定 义 知|P司+|P周=2,又 PC+PF=2a,.PF2=PO,由 三 角 形 MOF2为 直 角 三 角 形 可 得 点 P 是 川 鸟 的 中 点，工（c,0）,.呜 萼）（c丫（底 丫,把 点 P 代 入 椭 圆 方 程 中 得 1丁 1?I丁=2故 K答 案 H 为：1.2 216.若 实 数 x,y 满 足 x y 0,且 logzX+log2y=3,则 工 21的 最 小 值 为 K答 案 8K解 析 U 由 logzX+log2y=3得：xy=8,又 实 数 X,y 满 足 x y0,则 匚 上=（.）+2 b=Q _ 丫）+旦 2 2 k y）.上=8,当 且 仅 当-=旦，即 x-y x-y x-y y x-y x-y万 一 丫=4时 取“=”,孙=8由,x-y=4 解 得：x=2币+2,y=2小-2,x yQx2 2所 以 当 x=20+2,丁=2 6-2 时，一 取 最 小 值 8.人 一）故 K答 案 为：8.四、解 答 题：共 6 小 题，共 7 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。/1、T17.（10分）已 知 数 列 4 的 前“项 和 S“=%-+2（e N）,数 列 满 足 2/b.=2 a”.（1）求 证：数 列 包 是 等 差 数 列，并 求 数 列%的 通 项 公 式;(2)2(一。,)(+1-。”+1)数 歹 I J，的 前 n 项 和 为 7；,求 满 足 Tn 聂（e N*）的 的 最 大 值./1、-1解：(I)_+2(EN*(2 J当 72=1 时，4=S=-弓 1+2=-q+1,解 得=；当 N 2 时，由 S”+2,可 得 S,i=-a,in-2+2,上 述 两 式 相 减 得 4,=-an-a+才,即 1an=an_x+,等 式 2%=q+击 的 两 边 同 时 乘 以 2，i,得 2%=2 T*+1,即 2=%+1,所 以，=1且 瓦=2%=1,所 以，数 列%是 以 1为 首 项，以 1为 公 差 的 等 差 数 列，则 d=l+（-l）xl=,2（2-1）-（2-1）2（2W-1）（2,+I-1）1所 以，-2!1-22-1+22-1-23-1+2,-1-2+|-122n+l-l124由 不 可 得 2川 6 4,即+l v 6,.5.63因 此，正 整 数”的 最 大 值 为 4.18.(1 2分)如 图，在 三 棱 柱 A B C-中，侧 面 ABMA为 棱 长 为 2 的 菱 形,NA4g=三，AC=B、C1=2,(1)求 证：面 AB。一 面 A叫 人；(2)求 直 线 A G与 面 A 3C所 成 角.(1)证 明：连 结 A B交 AB|于 点 0,连 结 G。,7T因 为 4阴 A 为 菱 形，ZAA.B,所 以 A 8=A 8=2,1,0=73,则 为 等 边 三 角 形，即 可 得=又，AG=瓜,所 以 在.0A C 中，0+0C：=(V3)2+=6=AC：,兀 Z O C,=-,即 G。：刀,又 知 G。ABt=O,且 G O u平 面 A BC，A81U平 面 A BC，所 以 A 3 J.平 面 ABC，4 8 平 面 4 8 8出，即 平 面 A B C，平 面 A网 A.（2）解：由（1）知 平 面 平 面 4881A,因 为 A O，A 8 1,平 面 A BC 平 面 ABB|A=A8|,所 以 AO-L面 ABG，则 4 G。即 为 4 与 面 A B,G 所 成 角，在 R ta A C。中，4。=6，A G=R，sin NAG。=-=-，2_7 TzL41CO=,所 以 直 线 4 G 与 面 A 8 所 成 角 为-.419.（12分）已 知：ABC的 内 角 A,8,C的 对 边 分 别 为 4 d _abcosA+acosB=2ccosA.（1）求 角 A 的 大 小；（2）若。=2,求 b+c 的 最 大 值.解：（1）bcos A+6/cos B=2ccos A,由 正 弦 定 理 得 sin Bcos A+sin A cos B=2sinC cos A=sinC,/sinBcosA+sin AcosB=sin（A+B）=sin（-C）=sinC,/.2 sin C cos A=sin C,又 二 sinCwO,/.2 cos A=1,即 cos A=,2又 所 以 A=g；（2）由 余 弦 定 理/=2+02-2 6 CCOSA可 得,所 以 4=+c2-h c=(b+c)2-3 b c 4(Z)+c)2；)，即 b+c 4 4,当 且 仅 当 b=c时，取 等 号，所 以。+c 的 最 大 值 为 4.20.(12 分)己 知 函 数+3cosx,g(x)=e*(2x+c o s x-s in x-2),其 中 e=2.71828是 自 然 对 数 的 底 数.(1)证 明：X)与 g(x)具 有 相 同 的 单 调 性；2(2)令(x)=g(x)-4(x)(0,所 以 尸(x)与 g(x)的 符 号 相 同，所 以“X)与 g(x)具 有 相 同 的 单 调 性.(2)解：由 知(x)=2(x-sin j(0(e*-4),a 0 时，s(x)(),当 x 0 时，s(x)0,此 时,当 x v O 时,(力 0 时,(力 0,6(力 单 调 递 增,所 以 当 x=0 时，(x)取 极 小 值，且 有 1个 极 小 值 点，无 极 大 值 点；当 a 0时，h x)=2(ev-eln a)(x-sin x),令(x)=0,解 得 X 1=lna,=0,由 0 a l,得 l n a 0,于 是：当 x Y o,l n a)时，ex-e na 0,/z(x)单 调 递 增，当 x l n a,0)时，e-el,n 0,(x)单 调 递 减,当 XG(0,+co)时，e _en 0,/f(x)0,/(x)单 调 递 增,故 当 x=lna时，取 得 极 大 值，当 x=0时，（“取 得 极 小 值，（另 有 2 个 极 值 点.综 上：当 时，函 数 力（力 有 1个 极 值 点，当 0。1时，函 数 火 另 有 2 个 极 值 点.厂 厂 21.（12分）已 知 椭 圆 C:7+后=1（“。0）的 短 轴 长 为 2 J L 右 焦 点 尸 与 抛 物 线 V=4 x 的 焦 点 重 合，。为 坐 标 原 点（1）求 椭 圆 C 的 方 程；（2）设 A、B 是 椭 圆 C 上 的 不 同 两 点，点 O（T,0）,且 满 足 04=4 0 8,若，求 直 线 4 B 的 斜 率 的 取 值 范 围.2 2解：（1）由 已 知 得=6,C=1,所 以 a=2,椭 圆 的 方 程 为 C:二+匕=1.4 3-!._1-23-8一 1（2）：04=/1。8，3AB三 点 共 线，而。（-4,0）,且 直 线 A B 的 斜 率 一 定 存 在，所 以 设 A 8 的 方 程 为 y=以 才+4）,与 椭 圆 的 方 程 工+片=1联 立 得 4 3（3+4 2 一 246+3 6 r=0,由 A=144（l-4炉）0,得 设 人（士,）,8（毛,%），y+%=3处 2、，%=3：%又 由 D4=/IO8 得：（演+4 2）=4*2+4,%），必=2%.将 式 代 入 式 得:八 八 24k(2 二 时 2 3+4公 消 去 得 白=用=*2当；le3 I82162 3+4k1 a 171时，力（2）=力+4+2是 减 函 数，所 以 W/?（4）K,夕 4 号，解 得 焉 4 公 4 得，2 24 484 36又 因 为&V，所 以 言-$，即 一 冬 小-或 k,22 22二 直 线 A 8 的 斜 率 的 取 值 范 围 是 卜*，-.2622.（12分）由 机 个 小 正 方 形 构 成 长 方 形 网 格 有，行 和 歹 U.每 次 将 一 个 小 球 放 到 一 个 小正 方 形 内，放 满 为 止，记 为 一 轮.每 次 放 白 球 的 频 率 为。，放 红 球 的 概 率 为 q,P+q=L(1)若 m=2,p=q=g,记 丫 表 示 100轮 放 球 试 验 中“每 一 列 至 少 一 个 红 球”的 轮 数，统 计 数 据 如 表:n 1 2 3 4 5y76 56 42 30 26求 y 关 于 的 回 归 方 程 lny=Z+a,并 预 测=10时，y 的 值；(精 确 到 1)1 2(2)若 m=2,=2,p=-f q=-9记 在 每 列 都 有 白 球 的 条 件 下，含 红 球 的 行 数 为 随 机 变 量 X,求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望;(3)求 事 件“不 是 每 一 列 都 至 少 一 个 红 球”发 生 的 概 率，并 证 明:附：经 验 回 归 方 程 系 数：b=辰 2a=y-bx,11nM=53,In y=3.8.,=i(1)解：由 题 意 知 i=i-1+2+3+4+5n=-5=3,4-=-0.4,10p4 S_ 1 5x ny Q Q一：53-5x3x3.8故 b=-=-S 2,-2 55-45工 1t l i-5xn/=1所 以 4=3.8+04x3=5，所 以 线 性 回 归 方 程 为：1唯=-0.4+5,所 以，估 计=10时，lny=l,.-.j=e3.1 2(2)解：由 题 意 知：m=2,n=2,/?=-,=则 X 的 取 值 可 能 为 0,1,2,记”含 红 球 的 行 数 为 F 为 事 件 A，(k=0,1,2),记“每 列 都 有 白 球”为 事 件 B,所 以 P(X=0)=P(4|B)=1-打 25,P(X=1)=P(AIB)=P(A,B)C/g+c.d 16P(B)25，R X 3=甯=普 瑞(3)证 明：因 为 每 一 列 至 少 一 个 红 球 的 概 率 为(1-P),所 以 X 的 分 布 列 为：X 0 1 2P1251625825所 以 数 学 期 望 为 皿 导 l x导 2 x*|.记“不 是 每 一 列 都 至 少 一 个 红 球”为 事 件 A,所 以 2(4)=1-(1-/)，记”每 一 行 都 至 少 一 个 白 球”为 事 件 B,所 以 尸(8)=(1显 然，A c B,所 以 尸(A)4 P(B),即 1 一(1-pm)4(1-q，所 以(1(1-q)1.