2023年全国II卷文科数学高考真题.pdf

2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 文 科 数 学 本 试 卷 共 5 页。考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。注 意 事 项:1.答 题 前，考 生 先 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 码 填 写 清 楚，将 条 形 码 准 确 粘 贴 在 考 生 信 息 条 形 码 粘 贴 区。2.选 择 题 必 须 使 用 2 B 铅 笔 填 涂；非 选 择 题 必 须 使 用 0.5毫 米 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 书 写，字 体 工 整、笔 迹 清 楚。3.请 按 照 题 号 顺 序 在 答 题 卡 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答，超 出 答 题 区 域 书 写 的 答 案 无 效；在 草 稿 纸、试 卷 上 答 题 无 效。4.作 图 可 先 使 用 铅 笔 画 出，确 定 后 必 须 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 描 黑。5.保 持 卡 面 清 洁，不 要 折 叠，不 要 弄 破、弄 皱，不 准 使 用 涂 改 液、修 正 带、刮 纸 刀。一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.已 知 集 合 4=%-1,A.(-1,+8)C.(-1,2)2.设 z=i(2+i),则 5=A.l+2iC.l-2i3.已 知 向 量 a=(2,3),b=(3,A.V2C.572B-x x|=B.2D.504.生 物 实 验 室 有 5 只 兔 子，其 中 只 有 3 只 测 量 过 某 项 指 标，若 从 这 5 只 兔 子 中 随 机 取 出 3 只，则 恰 有 2 只 测 量 过 该 指 标 的 概 率 为 5.在 一 带 一 路 知 识 测 验 后，甲、乙、丙 三 人 对 成 绩 进 行 预 测.甲：我 的 成 绩 比 乙 高.乙：丙 的 成 绩 比 我 和 甲 的 都 高.丙：我 的 成 绩 比 乙 高.成 绩 公 布 后，三 人 成 绩 互 不 相 同 且 只 有 一 个 人 预 测 正 确，那 么 三 人 按 成 绩 由 高 到 低 的 次 序 为 A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙 6.设 为 奇 函 数，且 当 XNO时，-1,则 当 时，y（x）=A.e-A-l B.e-x+lC.-e-x-l D.-e-A+l7.设 a,为 两 个 平 面，则 a 的 充 要 条 件 是 A.a 内 有 无 数 条 直 线 与 平 行 B.a 内 有 两 条 相 交 直 线 与 夕 平 行 C.a,产 平 行 于 同 一 条 直 线 D.a,产 垂 直 于 同 一 平 面 7 1 3 7 18.若 加=,X2=是 函 数/尸 s i n s（0）两 个 相 邻 的 极 值 点，则 二 4 43A.2 B.一 2C.1 D.-22 29.若 抛 物 线 丁=2*（p0）的 焦 点 是 椭 圆 J+=l的 一 个 焦 点，则=3P PA.2 B.3C.4 D.810.曲 线 y=2sinx+cos%在 点（兀，T）处 的 切 线 方 程 为 A.x-y-Tt-l=O B.2x y 2兀-1 0C.2%+丁-2兀+1=0 D.x+y 兀+1=0兀 11.已 知。（0,）,2sin2a=cos2a+l,贝!J sina二 2A.1 B.亚 5 5n 2石 lx JU.-3 52 212.设 尸 为 双 曲 线 C：-%=1 b0）的 右 焦 点，O 为 坐 标 原 点，以。产 为 直 径 的 圆 与 圆/+），2=岸 交 于 P、。两 点.若 伊。|=|。用，则 C 的 离 心 率 为A.五 B.GC.2 D.石 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。2x+3 y-6 0,13.若 变 量 x,y 满 足 约 束 条 件 x+y-3 V 0,则 z=3x-y的 最 大 值 是.y-2 0,14.我 国 高 铁 发 展 迅 速，技 术 先 进.经 统 计，在 经 停 某 站 的 高 铁 列 车 中，有 10个 车 次 的 正 点 率 为 0.97,有 20个 车 次 的 正 点 率 为 0.98,有 10个 车 次 的 正 点 率 为 0.99,则 经 停 该 站 高 铁 列 车 所 有 车 次 的 平 均 正 点 率 的 估 计 值 为.15.A A 8 C 的 内 角 4 B,C 的 对 边 分 别 为 a,h,c.已 知 枕 inA+acosB=0,则 B=.16.中 国 有 悠 久 的 金 石 文 化，印 信 是 金 石 文 化 的 代 表 之 一.印 信 的 形 状 多 为 长 方 体、正 方 体 或 圆 柱 体，但 南 北 朝 时 期 的 官 员 独 孤 信 的 印 信 形 状 是“半 正 多 面 体”（图 1）.半 正 多 面 体 是 由 两 种 或 两 种 以 上 的 正 多 边 形 围 成 的 多 面 体.半 正 多 面 体 体 现 了 数 学 的 对 称 美.图 2 是 一 个 棱 数 为 48的 半 正 多 面 体，它 的 所 有 顶 点 都 在 同 一 个 正 方 体 的 表 面 上，且 此 正 方 体 的 棱 长 为 1.则 该 半 正 多 面 体 共 有 个 面，其 棱 长 为.（本 题 第 一 空 2 分，第 二 空 3 分.）三、解 答 题：共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1721题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（-）必 考 题：共 60分。17.（12 分）如 图，长 方 体 ABCQ-A囚 G 9 的 底 面 A 8 C Q 是 正 方 形，点 E 在 棱 上，BEEC.（1）证 明：8E_L平 面 EBiG;（2）若 A8=3,求 四 棱 锥 E 8 g C 的 体 积.18.（12 分）已 知%是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列，4=2,%=2 4+16.（1）求 2 的 通 项 公 式；（2）设 a=log2 4,求 数 列 年 的 前”项 和.19.（12 分）某 行 业 主 管 部 门 为 了 解 本 行 业 中 小 企 业 的 生 产 情 况，随 机 调 查 了 100个 企 业，得 到 这 些 企 业 第 一 季 度 相 对 于 前 一 年 第 一 季 度 产 值 增 长 率 y 的 频 数 分 布 表.y 的 分 组-0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企 业 数 2 24 53 14 7（1）分 别 估 计 这 类 企 业 中 产 值 增 长 率 不 低 于 40%的 企 业 比 例、产 值 负 增 长 的 企 业 比 例；（2）求 这 类 企 业 产 值 增 长 率 的 平 均 数 与 标 准 差 的 估 计 值（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 为 代 表）.（精 确 到 0.01）附：V74 8.602.20.（12 分）2 2已 知 耳，鸟 是 椭 圆 的 两 个 焦 点，P 为 c 上 一 点，o 为 坐 标 原 点.（1）若 POg 为 等 边 三 角 形，求 c 的 离 心 率；（2）如 果 存 在 点 尸，使 得 PF 1 P F 2,且 鸟 的 面 积 等 于 16,求 b 的 值 和。的 取 值 范 围.21.2 2 分）已 知 函 数/（x）=（x l）ln x x 1.证 明：（1）/（x）存 在 唯 一 的 极 值 点；（2）y（x）=o有 且 仅 有 两 个 实 根，且 两 个 实 根 互 为 倒 数.（-）选 考 题：共 10分.请 考 生 在 第 22、23题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分.22.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（10分）在 极 坐 标 系 中，O 为 极 点，点 M S o,4）（P。0）在 曲 线 C：Q=4 s in。上，直 线/过 点 4（4,0）且 与 垂 直，垂 足 为 尸.7 T（1）当 4=时，求。及/的 极 坐 标 方 程；（2）当 M 在 C 上 运 动 且 P在 线 段 O M上 时，求 尸 点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程.23.选 修 4-5：不 等 式 选 讲（10分）已 知/（x）=|x-a|x+|x-2|（x-a）.（1）当 a=l 时，求 不 等 式/（x）0的 解 集；（2）若 XG 时，/（X）0,求 4 的 取 值 范 围.2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 文 科 数 学 参 考 答 案 1.C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.D7.B 8.A 9.D 10.C 11.B 12.A13.9 14.0.9815.史 416.26；V2-117.解:(1)由 己 知 得 平 面 ABBiAi，8Eu 平 面 ARBiAi，故 B 工 BE.又 B E L E C,所 以 8E_L平 面 E B C.(2)由(1)知 NBE8|=90。.由 题 设 知 RlAABE空 RtZA谣 E,所 以 N 4 E B=ZEB,=45,故 AE=AB=3,AAt=2 AE=6.作 垂 足 为 F,则 平 面 B B C。，且 E户=A 8=3.所 以，四 棱 锥 E 8 耳 C。的 体 积 V=x 3 x 6 x 3=18.18.解：设 叫 的 公 比 为 g,由 题 设 得 2夕 2=47+1 6,即 q2-2q 8=0.解 得 4=2(舍 去)或 q=4.因 此 叫 的 通 项 公 式 为 a,=2x4T=2?T.(2)由(1)得 a=(2-1)1(倏 2=2 1,因 此 数 列 的 前 项 和 为 1+3+2-1=2.19.解：(1)根 据 产 值 增 长 率 频 数 分 布 表 得，所 调 查 的 100个 企 业 中 产 值 增 长 率 不 低 于 40%的 企 业 频 率 为14+70.21.1002产 值 负 增 长 的 企 业 频 率 为=0.02.100用 样 本 频 率 分 布 估 计 总 体 分 布 得 这 类 企 业 中 产 值 增 长 率 不 低 于 40%的 企 业 比 例 为 21%,产 值 负 增 长 的 企 业 比 例 为 2%.(2)y=-(-0.10 x2+0.10 x24+0.30 x53+0.50 x14+0.70 x7)=0.30,52=Y/J,(y-y)2100白)=73o(-0-4 0)2 X 2+(-0.20)2 X 24+02 X 53+0.202X14+0.402 x 7=0.0296,5=VO.0296=0.02x774 0.17,所 以，这 类 企 业 产 值 增 长 率 的 平 均 数 与 标 准 差 的 估 计 值 分 别 为 30%,17%.20.解:连 结 P 不 由 居 为 等 边 三 角 形 可 知 在 KP6 中，=90,PF2=c,|S|=,于 是 2a=|制+|尸 周=(、Q+l)c,故。的 离 心 率 是 e=：=6 1.1 2 2(2)由 题 意 可 知,满 足 条 件 的 点 P(x,y)存 在.当 且 仅 当，|y|-2c=l6,匚=7,=+4=1,2 x+c x c a b即 dyl=1 6,x2+y2=c2,(2)2 2A 浮 j LA 1 zr2由 及=/+/得 y2=又 由 知 y 2=1 _,故 Z?=4.c c2由 得 x 2=d)，所 以 从 而/=/+。2 22。2=32,故 当 人=4,时，存 在 满 足 条 件 的 点 P.所 以 b=4,a 的 取 值 范 围 为 4 x历,+8).21.解：(1)/(x)的 定 义 域 为(0,+oo)./(x)=-+lnx-l=lnx.x x因 为 y=Inx 单 调 递 增，y=，单 调 递 减，所 以/(x)单 调 递 增，又/(1)=一 10,X/(2)=ln2；=如 用 0,故 存 在 唯 一 xe(l,2),使 得/(不)=0.又 当 时，/(x)/时，f(x)0,/(x)单 调 递 增.因 此，/(x)存 在 唯 一 的 极 值 点.(2)由(1)知/(/)0,所 以/(x)=0 在(七,+8)内 存 在 唯 一 根 x-a.由。工 01得 a又 一=故 L 是/0)=0 在(0,毛)的 唯 一 根.a)a)a a a a综 上，/(x)=0 有 且 仅 有 两 个 实 根，且 两 个 实 根 互 为 倒 数.22.解：(1)因 为 M(夕()，4)在 C上，当 时，2=4sin二=2 6.T T由 己 知 得|0 尸|=|。4|85=2.设 Q(0,e)为/上 除 P的 任 意 一 点.在 R t A O P Q 中，夕 cos(e-1)=|OP|=2,经 检 验，点 P(2,攵 在 曲 线 夕 上.所 以，/的 极 坐 标 方 程 为(。一 三)=2.(2)设 P(p,6),在 RtZQ4P中，|OP|=|OA|cose=4cos。，即 p=4cos。.jr 7 T因 为 在 线 段 0M 上，且 A P _ L O M,故 夕 的 取 值 范 围 是.1_4 2Jr 7 T所 以，P点 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 为 夕=4cos6,-.23.解：(1)当=1 时，/(x)=|x-l|x+|x-2|(x1).当 x l 时，/(X)=-2(X-1)20.所 以，不 等 式 f(x)0的 解 集 为(一 8,1).(2)因 为/(。)=0,所 以“21.当 a 21,x e(-oo,1)时,f(x)=(ax)x+(2x)(xa)=2(ax)(x1)0.所 以，a 的 取 值 范 围 是 I,一).