2023年上海高考数学试题(理科)-解析.pdf

2023年 上 海 市 秋 季 高 考 理 科 数 学 一、填 空 题 1.计 算:lim+203+13【解 答】根 据 极 限 运 算 法 那 么，lim庄 生 ns 3+13132.设 根 wR,+“一 2+（机 2-i）i是 纯 虚 数，其 中 i是 虚 数 单 位，那 么 加=【解 答】加 2+加 一 2=0m2-1。0=m=-2.2 2-i iX X3.假 设 y-y,那 么 x+y=解 答 X2+y2=-2xy=x+y=0.4.ZABC的 内 角 A、B、C 所 对 应 边 分 别 为、b、c,假 设 3a?+2出 7+3k3c?=0,那 么 角 C 的 大 小 是（结 果 用 反 三 角 函 数 值 表 示）2 1 1【解 答】3+2。人+3/一 3c2=0=。2=/+/+。人，故 cosC=-一，C=一 arccos-.3 3 3/55.设 常 数 a e R,假 设 炉+g 的 二 项 展 开 式 中 X7项 的 系 数 为 一 10,那 么。=_I X）【解 答】&=。；2）5-（与，,2（5-r）r=7 n r=l,故 C；a=-10。=一 2.X3 16.方 程+=3 1 的 实 数 解 为 _3A-1 3【解 答】原 方 程 整 理 后 变 为 32-23-8=0=3x=4=x=log34.7.在 极 坐 标 系 中，曲 线 p=cos6+l与 Q C O S9=1的 公 共 点 到 极 点 的 距 离 为【解 答】联 立 方 程 组 得 夕（夕 1）=1=。=今 6,又 P N O,故 所 求 为 上 手.8.盒 子 中 装 有 编 号 为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的 九 个 球，从 中 任 意 取 出 两 个，那 么 这 两 个 球 的 编 号 之 积 为 偶 数 的 概 率 是（结 果 用 最 简 分 数 表 示）C2 13【解 答】9 个 数 5 个 奇 数，4 个 偶 数，根 据 题 意 所 求 概 率 为 1-=C；189.设 A B 是 椭 圆 的 长 轴，点 C 在 上，且 NCB4=工，假 设 AB=4,BC=正,那 么 的 两 个 4焦 点 之 间 的 距 离 为尤 2 V2 4 4、/6【解 答】不 妨 设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 一+2T=1，于 是 可 算 得 得=,2c=、一.4 b 3 310.设 非 零 常 数 d 是 等 差 数 列 玉,9,工 3，,芯 9的 公 差，随 机 变 量 4 等 可 能 地 取 值 罚，马,西 9,那 么 方 差 _【解 答】党 0，。后 9+8?+12+02+12+9?)=回|d|.1 211.假 设 cosxcosy+sinxsiny=,sin2x+sin2y=,那 么 sin(x+y)=1 2 2【解 答】cos(x-y)=,sin2x+sin2y=2sin(x+y)cos(x-y)=故 sin(x+y)=.212.设。为 实 常 数，y=/(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，当 x 0 时，/(x)=9x+-7 a+lxo即 6|。|之。+8,又 aW 1,故 亍 13.在 xOy平 面 上，将 两 个 半 圆 弧(x-l)2+丁=1(x21)和(x-3)2+/=1(%3)、两 条 直 线 y=1和 y=1围 成 的 封 闭 图 形 记 为 D,如 图 中 阴 影 局 部.记 D绕 y轴 旋 转 一 周 而 成 的 几 何 体 为 Q,过(O,y)(|y|l)作。的 水 平 截 面，所 得 截 面 面 积 为 4%/1-9+8乃,试 利 用 祖 唯 原 理、一 个 平 放 的 圆 柱 和 一 个 长 方 体，得 出。的 体 积 值 为【解 答】根 据 提 示，一 个 半 径 为 1,高 为 2 的 圆 柱 平 放，一 个 高 为 2,底 面 面 积 8 的 长 方 体，这 两 个 几 何 体 与。放 在 一 起，根 据 祖 晒 原 理，每 个 平 行 水 平 面 的 截 面 面 积 都 相 等，故 它 们 的 体 积 相 等，即 Q 的 体 积 值 为 12 2+2-8=2/+i6.14.对 区 间 I 上 有 定 义 的 函 数 g(x),记 g(/)=y|y=g(x),x e/,定 义 域 为 0,3的 函 数 y=f(x)有 反 函 数 丁=/-上 幻，且/t(0,1)=1,2),/t(2,4)=0,1)，假 设 方 程/(x)x=0有 解%,那 么 玉)=-【解 答】根 据 反 函 数 定 义，当 x e 0,l)时，/(x)e(2,4;xw l,2)时，/(x)e 0,l),而 y=/(x)的 定 义 域 为 0,3,故 当 x w 2,3 时，/(x)的 取 值 应 在 集 合(-8,0)U 1,2D(4,+O O),故 假 设 f(x0)=x0,只 有 x 0=2 二、选 择 题 15.设 常 数 a e R,集 合 A=x(x l)(x a)2 0,8=x|x 2 a 1,假 设=那 么。的 取 值 范 围 为()(A)(-oo,2)(B)(-00,2(C)(2,+oo)(D)2,+oo)【解 答】集 合 A 讨 论 后 利 用 数 轴 可 知，或 4 a，解 答 选 项 为 B.a-1 1 a-1(4+4+4)的 最 小 值、最 大 值，其 中，；/,&=1,2,3,4,5,r,s,f=1,2,3,4,5),那 么 见 M 满 足().(A)w=0,A/0(B)m 0(C)m 0,M=0(D)m 0,M 0【解 答】作 图 知，只 有=其 余 均 有 a 1 d,W 0,应 选 D.三、解 答 题 19.(此 题 总 分 值 12分)如 图，在 长 方 体 ABCD-AIB ICID I 中，AB=2,AD=1,A1A=1,证 明 直 线 BC i平 行 于 平 面 D A C，并 求 直 线 B G 到 平 面 D iA C的 距 离.【解 答】因 为 ABCD-AIB IG D I为 长 方 体，故 A B C R,A B=G R,A故 A B G D i为 平 行 四 边 形，故 B C H A D 显 然 B 不 在 平 面 D】A C上，彳:于 是 直 线 B G 平 行 于 平 面 D A C；1 B1直 线 B G 到 平 面 D iA C的 距 离 即 为 点 B 到 平 面 Di A C的 距 离 设 为 考 虑 三 棱 锥 ABCDi的 体 积，以 A B C为 底 面，可 得 V=x d x l x 2)x l=3 2 3而 AAD。中，A C=DiC=45,ADi=4 2,故 4c=乡 1 3 1 2 2所 以，v=-x x=,即 直 线 B G到 平 面 DiAC的 距 离 为 一.3 2 3 3 320.(6分+8分)甲 厂 以 x 千 克/小 时 的 速 度 运 输 生 产 某 种 产 品(生 产 条 件 要 求 1X W 10),每 小 时 可 获 得 利 润 是 100(5x+l 巳 3)元.x(1)要 使 生 产 该 产 品 2 小 时 获 得 的 利 润 不 低 于 3000元，求 x 的 取 值 范 围；(2)要 使 生 产 900千 克 该 产 品 获 得 的 利 润 最 大，问：甲 厂 应 该 选 取 何 种 生 产 速 度？并 求 最 大 利 润.【解 答】(1)根 据 题 意，200(5x+l)2 3000 3 5*-1 4 0X X又 l K x 1 0,可 解 得 3 K x 0；TT 27r(1)假 设 y=/(x)在 一 3,号 上 单 调 递 增，求。的 取 值 范 围；T T(2)令。=2,将 函 数 y=/(%)的 图 像 向 左 平 移 差 个 单 位，再 向 上 平 移 1个 单 位，得 到 函 数 y=g(x)6的 图 像，区 间。,例(。/?且 0,根 据 题 意 有 7 T T T/(%)=2sin(2x),g(x)=2sin(2(x4)+1=2sin(2x+)+16 3.7 1 1 7 1 7g(x)=0=sin(2x+)=万=1=一 或 工 二%乃 一 五 肛 攵 2,y r 27r即 g(x)的 零 点 相 离 间 隔 依 次 为 1 和 7,故 假 设 y=g(x)在 可 上 至 少 含 有 30个 零 点，那 么。一 a 的 最 小 值 为 14x号 24+1 5 x71i=号 43乃.222.(3分+5分+8分)如 图，曲 线：2=1,曲 线 G：l y H l+l，p 是 平 面 上 一 点，假 设 存 在 过 点 p 的 直 线 与 a，G 都 有 公 共 点，那 么 称 p为“ClC2型 点”.(1)在 正 确 证 明 a 的 左 焦 点 是“G C2型 点 时，要 使 用 一 条 过 该 焦 点 的 直 线，试 写 出 一 条 这 样 的 直 线 的 方 程(不 要 求 验 证)；设 直 线 丁=6 与 G 有 公 共 点，求 证 1幻 1，进 而 证 明 原 点 不 是“G C2型 点；(3)求 证：圆/+丁=3 内 的 点 都 不 是“G C2型 点”.【解 答】：(1)G 的 左 焦 点 为 F(一 8,0),过 F 的 直 线 x=-6 与 Ci交 于(一 百，土 半)，与 C2交 于(-V 3,(A/3+1),故 CI 的 左 焦 点 为“C1-C2型 点”，且 直 线 可 以 为=一 百；(2)直 线 y=Ax与 C2有 交 点，那 么）y=kx=（|&|一 1）|九|=1,假 设 方 程 组 有 解，那 么 必 须|%|1；3=|x|+i直 线 y=依 与 C2有 交 点，那 么 V=,n(l 2二)*2=2,假 设 方 程 组 有 解，那 么 必 须 2 x2-2 y2=2 2故 直 线 y=依 至 多 与 曲 线 Ci和 C2中 的 一 条 有 交 点，即 原 点 不 是“G-C2型 点”。(3)显 然 过 圆 必+y2=内 一 点 的 直 线/假 设 与 曲 线 C1有 交 点，那 么 斜 率 必 存 在;2根 据 对 称 性，不 妨 设 直 线/斜 率 存 在 且 与 曲 线 C2交 于 点+1)。20),那 么 直 线/与 圆 V+y 2=j.内 部 有 交 点，故 11土 型 立 2 7 7 1 2化 简 得，(1+f 4)(Z r+1)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2假 设 直 线/与 曲 线 Ci有 交 点，那 么 化 简 得，(l+r N)2N2(%21)。由 得，2伏 21)(1+一 旅)2 1(r+1)0/12但 此 时，因 为，20,l+r(l(女 2+1)0,定 义 函 数/(x)=2|x+c+4|-|x+c|,数 列 4,%，%，满 足%=/(/)，川(1)假 设 q=-c-2,求 4 及%；(2)求 证：对 任 意”eN*,/+-a“2c,；(3)是 否 存 在 4,使 得 q,g，4,成 等 差 数 列？假 设 存 在，求 出 所 有 这 样 的,假 设 不 存 在，说 明 理 由.【解 答】：(1)因 为 c0,q=-(c+2),故 4=/(4)=2|%+c+4|-|q+c|=2,(2)要 证 明 原 命 题，只 需 证 明/(x)Nx+c对 任 意 x e R 都 成 立，即 只 需 证 明 2|x+c+4|2|x+c|+x+c假 设 x+cWO,显 然 有 2|%+。+4以 工+。|+%+。=0成 立；假 设 x+c 0,那 么 2|x+c+4以 x+c|+x+c o x+c+4 x+c 显 然 成 立 综 上，/(x)Nx+c,恒 成 立，即 对 任 意 的 neN*,an+-anc(3)由(2)知，假 设%为 等 差 数 列，那 么 公 差 d 2 c 0,故 n无 限 增 大 时，总 有 见 0此 时，%=/(a“)=2(a“+c+4)-(a“+c)=a“+c+8即 4=c+8故 a?=/(q)=2|q+c+4|-16 Z|+c|+c+8,即 21 q+c+41=|4+c|+q+c+8,当 q+c N O 时，等 式 成 立，且 2 2时，4 0,此 时%为 等 差 数 列，满 足 题 意；假 设 q+c 2=1,曲 线：1 2 Y/及 1=1 X1+1.P 是 平 面 内 一 点，假 设 存 在 过 点 尸 的 直 线 与 G、。2都 有 公 共 点，那 么 称 尸 为“6-。2型 点(1)在 正 确 证 明 G 的 左 焦 点 是“G-c2型 点 时，要 使 用 一 条 过 该 焦 点 的 直 线，试 写 出 一 条 这 样 的 直 线 的 方 程(不 第 22题 图要 求 验 证)；(2)设 直 线 y=履 与 有 公 共 点，求 证 伙 11，进 而 证 明 原 点 不 是“。|一。2型 点；(3)求 证：圆 d+y 2=g 内 的 点 都 不 是“G G 型 点”.22.解：门)G 的 左 焦 点 为 尸(6,0),过 F 的 直 线=一 6 与 Ci交 于(一 百,土 丫 一)，与 C2交 于 2(一 百 出 百+1),故 Ci的 左 焦 点 为“C i 型 点”，且 直 线 可 以 为 x=-g；(2)直 线 y=依 与 C2有 交 点，那 么 y=kx1；|y|=|x|+l直 线 y=与 C2有 交 点，那 么 4 2 2 n(l 2/)丁=2,假 设 方 程 组 有 解，那 么 必 须 公 一 x2-2 y2=2 2故 直 线 y=Ax至 多 与 曲 线 Ci和 C2中 的 一 条 有 交 点，即 原 点 不 是“J-C2型 点。(3)显 然 过 圆+丁=g 内 一 点 的 直 线/假 设 与 曲 线 Ci有 交 点，那 么 斜 率 必 存 在；根 据 对 称 性，不 妨 设 直 线/斜 率 存 在 且 与 曲 线 C2交 于 点,/+1)20),那 么 直 线/与 圆 f+y 2=_ L 内 部 有 交 点，故 也 2 V F 71 2化 简 得，(1+/tk)-，(二+1)=/2但 此 时，因 为+即 式 不 成 立；2当 公=_1时，式 也 不 成 立 2,1综 上，直 线/假 设 与 圆/+丁=内 有 交 点，那 么 不 可 能 同 时 与 曲 线 CI和 C2有 交 点，2即 圆 fo+y 20=1 内 的 点 都 不 是“Q-C2型 点。23.(此 题 总 分 值 18分)此 题 共 有 3 个 小 题.第 1小 题 总 分 值 3 分，第 2 小 题 总 分 值 6 分，第 3 小 题 总 分 值 9 分.给 定 常 数 c 0,定 义 函 数/(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数 列 4,%,%，满 足%+i=/&)，eN*.(1)假 设 q=-c-2,求 出 及 4；(2)求 证：对 任 意 eN*,+,-anCi(3)是 否 存 在 q,使 得 q,a2,%，。成 等 差 数 列？假 设 存 在，求 出 所 有 这 样 的 4；假 设 不 存 在，说 明 理 由.23.解：(1)因 为 c0,%=-(c+2),故 g=/(4)=2|q+c+4|-|q+c|=2,(2)要 证 明 原 命 题，只 需 证 明/(x)2x+c对 任 意 x e R 都 成 立，即 只 需 证 明 2|x+c+4以 x+c|+x+c假 设 x+cW O,显 然 有 2|%+。-+4以 工+。|+工+。=0成 立；假 设 x+c0,那 么 2|x+c+4以+。|+%+。=%+。+4+。显 然 成 立 综 上，/(x)Nx+c恒 成 立，即 对 任 意 的 neN*,all+i-anc(3)由(2)知，假 设%为 等 差 数 列，那 么 公 差 d 2 c 0,故 n无 限 增 大 时，总 有 为 0此 时，。”+1=/()=2(a“+c+4)-(a“+c)=%+c+8即 4=。，+8故 a2=f(q)=2|q+c+4|-|q+c|0,此 时,为 等 差 数 列，满 足 题 意；假 设 q+c 0,那 么 14+c+4|=4 n q=-c-8,此 时，a2=0,弓=c+8,an=(-2)(c+8)也 满 足 题 意；综 上，满 足 题 意 的 q 的 取 值 范 围 是-c,+oo)u-c-8。