2021年4月00020高等数学（一）自考试卷（含答案）.pdf

绝 密 启 用 前 2 0 2 1年 4 月 高 等 教 育 自 学 考 试 高 等 数 学（一）试 题（课 程 代 码 00020）选 择 题 部 分 注 意 事 项：1.答 题 前，考 生 务 必 将 自 己 的 考 试 课 程 名 称、姓 名、准 考 证 号 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 或 钢 笔 填 写 在 答 题 纸 规 定 的 位 置 上。2.每 小 题 选 出 答 案 后，用 2B铅 笔 把 答 题 纸 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后,再 选 涂 其 他 答 案 标 号。不 能 答 在 试 题 卷 上。一、单 项 选 择 题（本 大 题 共 10小 题，每 小 题 3 分，3 0分）在 每 小 题 列 出 的 四 个 备 选 项 中 只 有 一 个 是 符 合 题 目 要 求 的，请 将 其 选 出 并 将“答 题 纸”的 相 应 代 码 涂 黑。错 涂、多 涂 或 未 涂 均 无 分。1.下 列 运 算 正 确 的 是 2.设 函 数 如 可 导，且/仁 卜 x,则 导 数 f 在 六 A.In6+ln3=ln9 B.In6-ln3=ln2C.(In6)(In3)=lnl8、ln6D.二 ln2ln3A.1XB.-1Xc.4D-?3.设 函 数 厂 则/上 A.一 y-xB.q冲 C.x-y2，D.x-y4.函 数 F&）=sin肝 c o sx是 A.奇 函 数 C.非 奇 非 偶 函 数 5.下 列 各 对 函 数 中，为 同 一 函 数 的 是 A.y=ln6?）与 尸 21nl*|B.偶 函 数 D.既 是 奇 函 数 又 是 偶 函 数 B.尸 tan（2x）与 尸 2tanxC.y玄 与 尸（五）Y2 1D.y=x-与 y=-x+6.设 函 数 f(x)=2*,g(x)=sinx,则 当 时 A.f(x)是 比 g(x)高 阶 的 无 穷 小 量 B.f(x)是 比 g(x)低 阶 的 无 穷 小 量 C.f(x)与 g(x)是 同 阶 但 非 等 价 的 无 穷 小 量 D.f(x)与 g(x)是 等 价 无 穷 小 量 3x2-4x+a,x 2A.a=l,b=4 B.a=0,C.a=,Z F 5 D.a=0,8.设 片 y(x)是 由 方 程 x/=厂 i所 确 定 的 隐 函 数，则 导 数/A.-l B.0C.1 D.29.已 知 函 数 片 acose1cos2x(其 中 a 为 常 数)在 行 上 处 取 得 极 值，则 a=2 2A.0 B.1C.2 D.310.设 函 数/(x)=2,则 下 列 结 论 正 确 的 是 xA.f(x)在(0,+8)内 单 调 减 少 C.F(x)在(0,+8)内 单 调 增 加 B.F(x)在(0,e)内 单 调 减 少 D.F(x)在(0,e)内 单 调 增 加 非 选 择 题 部 分 注 意 事 项：用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 或 钢 笔 将 答 案 写 在 答 题 纸 上，不 能 答 在 试 题 卷 上。二、简 单 计 算 题(本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 4 分，共 20分)11.求 极 限 lim+：x+/X oo 5xj+l12.设 函 数/U)在 产 0 处 可 导，且/(0)=1,f 5)=2.用 导 数 定 义 求 极 限 lim幽 匚 13.设 函 数 7(x)满 足 ff U)=12yfx且 f(l)=2,求 f(x).14.求 曲 线 尸 9-3 A M 的 拐 点.15.求 微 分 方 程 ey-e，J O 的 通 解.三、计 算 题（本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 25分）16.已 知 极 限 limh+勺=e 求 常 数 在 的 值.xe X）17.求 抛 物 线 y与 上 一 点，使 该 点 的 切 线 平 行 于 直 线 尸 4x-3.18.求 极 限 lim 吗 R.1 0 _X x19.计 算 定 积 分 1=f2 2 dx.J。2+x220.计 算 二 重 积 分 kJ J-l dxdy,其 中 D 是 由 直 线 产 x,尸 1及 a ylnxA=5所 围 成 的 平 面 区 域，如 图 所 示.四、综 合 题（本 大 题 共 4 小 题，共 25分）21.（本 小 题 6 分）设 某 厂 生 产 收 音 机 Q 台 时 的 总 成 本 为 C（Q）=2000+10Q（元），销 售 价 格 为 P=800-Q（元），假 定 产 销 平 衡.（1）求 利 润 函 数/（Q）；（2）问 该 厂 生 产 多 少 台 时 可 获 得 最 大 利 润?并 求 获 得 最 大 利 润 时 的 价 格.22.（本 小 题 6 分）设 D 是 由 抛 物 线 尸 l-f与 x 轴 所 围 成 的 平 面 区 域，如 图 所 示.求:（1）D 的 面 积 A-,（2）D 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 的 旋 转 体 体 积 V”.23.（本 小 题 6 分）设 z=z（x,y）是 由 方 程 2sin（2A+3厂 5z）=2户 3厂 5z所 确 定 的 隐 函 数，求 证 生+空=1.dx dy24.（本 小 题 7 分）计 算 定 积 分 1=dx.2 0 2 1年 4 月 高 等 教 育 自 学 考 试 高 等 数 学（一）参 考 答 案（课 程 代 码 00020）一、单 项 选 择 题（本 大 题 共 10小 题，每 小 题 3 分，3 0分）1.B 2.D.3.C.4.C.5.A.6.A 7.B 8.C 9.A 10.D非 选 择 题 部 分 二、简 单 计 算 题（本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 4 分，共 2 0分）r3+3r2+211.求 极 限 lim 匚 x e 5x+112.设 函 数/t r）在 产 0 处 可 导，且/（0）=l,f，（X）=2.用 导 数 定 义 求 极 限 lim 1 匕 L解：原 式=lim 一 一 1=lim/(X)一 0)=/(x)=2x-0 X x-x-013.设 函 数/U)满 足/(x)=2yJX且 A 1)=2,求 F(x).解：./(x)=j fxdx=j=dx=Vx+cJ?A l)=2,2=VT+c,c=1,故./(x)=&+l14.求 曲 线 y=x-3x-l的 拐 点.解：yr=3x2-6 x,yn=6 x-6令 y”=6 x-6=0 得 x=l,代 入 得 y=F 3 x 1 2-1:3故 拐 点 为（1,-3）15.求 微 分 方 程 e-/=0 的 通 解.解:.,eydy=e3vtZr两 边 积 分 得：.J eyd y=1Xdx故：ey=-e3 v+C3三、计 算 题（本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 2 5分）16.已 知 极 限+=e?,求 常 数 的 值.XX 卜 X）解：lim l+A=e2,/.ek=e2 f l X）故 去=217.求 抛 物 线 上 一 点，使 该 点 的 切 线 平 行 于 直 线 片 4尸 3.解：.旷=2%又&=4,贝 吃 了=4故 x=2,y=4 即 切 点 为(2,4)18.求 极 限 l i m-吗.5 _x x-1解：原 式=lim T n g+x)=H m_ U x=l i m_1_ 与 应 等 于 1 0 X J XTO 2X 2(1+x)、题 20图 19.计 算 定 积 分 1=d”.J。2+x2解：原 式=x+*2)=皿 2+年 2)之:冰,2=N 应 等 于 Jo 2+x2(2+x2),2 2+x2 0、(ln6-ln2)/2=(ln3)/220.计 算 二 重 积 分 F j j!dxdy,其 中 D 是 由 直 线 尸”,尸 1及 尸 5 所 围 成 的 平 面 区 域，如 图 所 示.a y In x解：1=InxtZr=/小=4Jl Inx/y Ji Inx 1四、综 合 题(本 大 题 共 4 小 题，共 25分)21.(本 小 题 6 分)设 某 厂 生 产 收 音 机 Q 台 时 的 总 成 本 为 C(Q)=2000+10Q(元)，销 售 价 格 为 P=800-Q(元)，假 定 产 销 平 衡.求 利 润 函 数/(Q)；(2)问 该 厂 生 产 多 少 台 时 可 获 得 最 大 利 润?并 求 获 得 最 大 利 润 时 的 价 格.(1)解：利 润 函 数 L(Q)=;?(Q)C(Q)=Q2+790Q-2000(2)(Q)=-2Q+790,令(Q)=0 得 Q=395故 当 生 产 395台 时 可 获 得 最 大 利 润，此 时 的 价 格 为 0=800395=405(元)22.(本 小 题 6 分)设 D 是 由 抛 物 线 片 V 与 x 轴 所 围 成 的 平 面 区 域，如 图 所 示.求:D 的 面 积 4(2)D绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 的 旋 转 体 体 积 V.(.解：(1)S=jrl(l-r)0 ir=-4题 22图(2)Vx=乃/2(X心=乃(1*2)2公=4(1 2x?+x4)dx=23.（本 小 题 6分）设 z=z（x,0 是 由 方 程 2sin（2户 3厂 5z）=23厂 5z所 确 定 的 隐 函 数，求 证 二+上=1.dx dy证 明：令 F(x,y,z)=2x+3y-5z-2sin(2x+3y-5z)F；=2 4cos(2x+3y-5z),F：=3 6cos(2x+3y-5z),F；=-5+10cos(2x+3y 5z)dz F：2-4 c o s(2x+3y-5z)2dx F-5+10cos(2x+3y-5z)5dz _ Fy _ 3-6 co s(2x+3y-5z)_ 3dy F-5+10 cos(2x+3y-5z)5,r dz dz 2 3故：1=F=1&5 524.(本 小 题 7分)计 算 定 积 分 1=解：令 正=t,x=td x=3fclt,当 x=0 时 f=0 当 x=8 时/=2则 5-f=I-dt=31+x/x J。1+r J。(x-l+辿 1+r