北师大七年级（下）第一章：整式的乘除运算讲义（无答案）.docx

整式的乘除法【解题方法与策略】整式的乘法1）单项式与单项式相乘：系数、同底数暴分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.如：3b4，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母。的嘉分 别是。和,乘积中。的得是3 ,同理，乘积中b的累是另外，单项式。人中不含C的累，而3/b3c2中含 ，故乘积中含。2.2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加.公式为：川（。+ +。）=w +根 +"宓，其中根为单项式，4 + +。为多项式.13）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加.公式为：（根 + ）（Q + b） = ma + mb + na + nb整式的除法1）单项式除以单项式：系数、同底数的最分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因 式.如：3/b3c2+" = 3"2c2 ,被除式为32。3，除式为而，系数分别为3和1 ,故商中的系数为3，的黑分别 为"和。，故商中。的能为，同理，人的累为从，另外，被除式中含/ ,而除式中不含关于。的累，故 商中。的寨为，.2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加.公式为：+ + + m = a + m + b + +典例剖析【例1】以下计算正确的选项是()【例2】直接写出结果：1 3a2b - 2a3b2 =(3) 6b-a3b =I 3 )<3WiA【例3】计算： -a3be2 . 5加23(3)- x2yz).( q2z)J14.(a叫"50-a严7篦，其中根为单项式， + Z? + C为多项式.(2) x2y-xyz =58 -2a2b(-4h4) =2)(4/+，z3)(32>3z4)(3W 2) 5ab3 a3b abc3I 4只 3) 3(x-y-y一T【练习】计算卷（x+y）2 （-1-丁）3 一y）3q（y-）2.【例4】 计算： （2/.（加/（-3）2.（_2；”）3；-|）（6q）（-。）2（-3同卜尹y -;孙2（*力2.y力3（_2中）.（-切2（_3孙2）3例5假设。除 .(3"7/m)=3。63 ,那么加=.【例6】 如果-3/和：/+尸+8。是同类项【例7】 直接写出结果：(1) -6(/:-n-2)=(-2a + 5b)(-3砌=/1、(5) 一犬- %3+ (-3丁) =3)【例8】计算： 3cr(2a-b-acr -4")-x2F(3yH)2-(-2)3-x 一(5) _(f )4 . (-2x2y3)' -(2/ )3 6十 , n =.，那么这两个单项式的积是.2) 2cl(cT -ab-b=(-6+8x-4)(_gx = Q"?W-) =(2) 2(452 一必 + ) + 3"(一曲)_/ i A"|3(4 ab3 + b)-2a b-b2 (2优5)2 753【例9】 化简求值6/5"2（m+ 2- 1） + 4/%（3/xn），其中根=-1， = 2,24【例 10解方程 2x（x 2）6Mx-l） = 4x（l九） + 16.【练习】假设2x（3% l） + 6x（x 3） = 16，那么 x =.【例11解不等式 2%2（%2） + 4（/x）Wx（2d+5）3.【例12】对代数式进行恰当的变形求代数式的值（1）假设 x + 5y = 6，求 M+5 *+ 30y ；（2）假设"+利-1 =。，求加+2疗+2013 ；假设 2x+y =。，求4丁 + 29（x+y） + y3.【例13】直接写出结果：（6Z + /7）（m + 7?）=（x + 2）（尤-3） =（x-y）（3x + y） =【例14】以下计算正确的选项是：（）【例15】以下计算正确的选项是：（）【例 16】计算：（1） （3。+ 1）（2。3）（x+y）（x + 2y）（5） （。- 2）（。+ 2）（2 +1） ； 6【例 17】计算：（1） 。3 + 2）（。-3）(a + b)(m-2)=(y-3)(y-4) =(a-2)(2q-Z?) =(2) ( x+ 2)(4% )(-4-45)(-3)(/J?-%3/>(%2一,2) (0.加一02)(0.3“ + 0.4)(3) (2x -3y)(x + 2y) Q+y)2(4) (2a + b(2q 33 + 0) (-x+y)(-x-y)(2+x2)(x2+A + y)(x-j)【例18】a2_a_3=0，那么（3）m+2）的值是【例19】 假设（2x + 3）（4 5力="2+区+。，那么。=(2)假设(x-2)(x-)= x?-mx + 6，那么机=，=【例 20 （x + my）（x + ny） = x2 + 2xy -6y2，求（"2 + n）mn的值.【例21】先化简再求值：（3a + l）（2a 3）（4a 5）（ 4），其中 =2.【例22】直接写出结果:x5 4-X2=_X8=9（孙厂(-“22-x 13+ (%) =6(q_“+!他一。)4=10)(71-3.14)° =【例23】计算：1) x4m2x,n-xn(2/?)2(36z2)3(1 AanI 2 )(2)二 5-a824(5) 8 (m-n)- 4-(h m)【练习】计算：11) (41>)2+8/ *3)3 +加2 )2(0.8x2/)3-(42/)2【例24】-x3y 3，求、m、的值.【例25】【例26】化简求值:直接写出结果:2 V-a(-2/)2 .Q，其中a = 5.(6,91+12/3 = (12x3 -18x2 +6x)+(-6x)=_【例27】计算：- (-a4bJ - - a2b6) - (-ab3)2393(2)(28x3-14x2-7x)-(-7x) = (4)(6dy3 一813,2 +9%2丁)+(-2刈= 2) (|a%2 g/ 一1 8c”)+(o $对a2x +rz3x4 -0.9ax5 +0.6ax )5222m(7n3m3+28疗/ -2lm5n3+(-7冽，)【例28】先化简，再求值：（/人4（ +4（3，其中二,b = l.【练习】（3 + 2b）（3a 2b） + （。一23（5一26）卜4，其中【例29】【练习】【例30】【例31】a-b-c =、? 1%2-6x + 1 = 0，求x +f的值. X3x2-5x-3 = 0，求/+4的值. x多项式三一212+办的除式为区一1，商式为犬一 X + 2，余式为2，求、/?的值.将一多项式07/一3% + 4）-（62+法+ 4,除以（5X + 6）后，得商式为（2x + l）余式为1求【例32（X+ 3）与（2x m）的积中不含x的一次项，那么相=【例33】如果（x + l）（栗-5以+。）的乘积中不含上项，那么a为【练习】(5-3% +/2-6/)(1-2工)的计算结果中不含X3的项，那么加的值为.【例 34计算(-1 + 2x2- 5)(2x2-3x+1).【例35】g? +区+ i与一 3x + l的积不含丁的项，也不含x的项，试求与b的值.【练习】使(Y + px + 8)(f 一3%+幻的积中不含工2和工3，求，4的值.【例36在(公+办+/(2/3%-1)的积中 3项的系数是5 ,%2项的系数是-6，求Q、b的值.【练习】多项式/ +丁 +/ +2三(/ +g+)(工2 +依+2)，求加与雇的值.【例37】实数a、b、x、y满足以+b=3 ,缈一区=5,求+62)(%2+ 9)的值.【例38】规定一种新运算“*：人=(。+ 2)0 + 5)(。+ 3)0 + 4)，试化简(根1)*( + 1).【练习】规定一种新运算“*：对于任意实数(1，门恒有(x，V)*(x ,y) = (x+y + l «2一y一1).假设实数。,b 满足(a ,6)*(。,b) = (b 9a)，那么a，。的值为多少?【例39(2x + l)> =ax5 +Z?x4 +cx3+ex + f，那么 a + + c + d + e + / 的值为； a-b + c-d + e- f的值.【练习】(3x-2)6 = ax6 + bx5 + ex4 + ex2 + fx- g，那么 a + c + e + g 的值为；b + d + f的值为.乘法公式知识回忆计算： (% + 2)(%-2) (3x + l)(3x-l) (a + b)(a-J) (2x + 3)(2x 3) (x + 1)2(2x-l)2(4 + 0)2(_32【解题方法及策略】平方差公式平方差公式的特点：即两数和乘以它们的差等于这两数的平方差.左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边是乘方中两项的平方差相同项的平方减去相反项的平方).注意：公式中的。和可以是具体的数也可以是单项式或多项式.如：(。+ 2)(。- 2) = a? _ 4 ； (x + 3yx尤-3y) = x2 - 9y2;不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形.如：97x103 = (100 3)(100 + 3) = 9991 ； (a + /?)(-/? + a) = (a + b)(a - b) = a1- b?完全平方公式即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍.完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项 式中的每一项的平方，另一项为哪一项左边二项式中两项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方， 积2倍在中央.注意：公式中的。和匕可以是单项式，也可以是多项式。一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，【例1】如图，从边长为。的正方形内去掉一个边长为。的小正方形，然后将剩余局部拼成一个长方形，上述操 作所能验证的公式是.【练习】如图，在为。的正方形中剪去一个边长为匕的小正方形(人)，把剩下的局部拼成一个梯形，分 别计算这两个图形的面积，验证了公式.【例2】如图，四张全等的矩形纸片拼成的囱形，请利用图中空白局部面积的不同表示方法，写出一个关于、Z?的恒等式.a h【练习】如下图的几何图形可以表示的公式是【例3】直接写出结果：1） （、+），）（尤一y） =（2） （y + %）（x-y） =（3（丁一%）（丁 + 工）=（4（x+y）（y + x）=（3） （%-y）（-x-y） =（r-y）（r+y）=【例4】运用平方差公式计算：（x-3y）（x + 3y）（x + ab）（x-a。）（3）（合+/乂片12）（4） a2y-Xx2y + ）5） （。'+犷）（"一"）6） 2' 3）1” + 2x3【例5】运用平方差公式计算：(2 + c)(-2b + c)(2)(-岛2 +- 2)（-4。- 1）（-4。+ 1）【练习】以下各式中能使用平方差公式的是（【例6】利用平方差公式简化计算：x y、4-2, (2 102x98(3) 123462-12345x1234711514x15【例7】：x、y为正整数，且4d9丁=31，求出满足条件X、的值. 如果（2q + 2Z? + 1）（2 + 2Z? 1） = 63 ，那么 + 的值是.【练习】下面计算（7 +人）（7 ，一。）正确的选项是1）A .原式=(-7 + 6Z + )-7 -(6Z + Z?) = 72 +(6Z + Z?)2 B.原式=(7 + Q + b)7 (a + ) = 72(a + b)2 C.原式=(7 ab)(7 + + ) = 72 (q + bp D.原式=(7 + a) + b(7 + a) 习=(7 + q一 【例 8】计算:(x+l)(x2+l)(x-l)(x4+l) (2 + l)(224-l)(24+l)(28 + l)L(2m + 1)(6z+3)(tz2 +9)(<7-3)(a4 +81)(1V 【练习111 + - 14-2)22【练习 2（3 +1）（32 +1）（34 +1）（38 4- 1）L（32#，4-1）【例9】296 1有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数.【练习】324 -1可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数.【例10】直接写出结果：（x + 5）2 =（2）（T+y=【例n】计算：（4m+）21 9()2_(-x-j)2 =(2) (x-3y)2(3) (3x 2y)2If【练习计算：11）（8a + l仍）2（11）（3。2 + 0.5 /了【例H】计算：（1） 2982【例12】计算：（1） （a +方+。）2(2) (-2x-3j)2(4) (11。'13少产(1 丫 101-(a-b-c)2(。-2b+ 3。)2【例13】先化简，再求值：(x»+(x+y)(xy) + 2x，其中 x = 3 ,y = L5.(2) (3x + 2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)2，其中 x ='.【例 14】计算：(x + 2)2(x-2)2(a + 2> + 3c)(a + 2b-3c)(3) (a + b-hc)(a-b-c)4) (2x-y + 2)(y-2x + 2)(3) (x + 5y-9)(x-5y+ 9)(a + 3-4c)(-a + 3 + 4c)例5 填空：()2 +/=5 + 勿2 ；(2)+ 人2 = (a _ b)2+；13) cr -b + ；4)(一 h) = (a + Z?)2 .(4) a2 +Z?2 =16 , a+b = 5，求。Z? = .【练习】假设(x + 2)2+(x 3)2=13，那么(x + 2)(3 x) =.【例16】假设+=11 ,必=3 ,那么 + b=.【练习】a+b = 3, q/? = 1,求一。的值.【例17(。+4=7 ,伍-32=3，求必的值及/+的值.【练习】。(一1)一(。2 一)= 一5，求”；4。的值.【例18】假设x+y = 3，xy = 2 ，求/ + y4的值.【练习】a + b = 3 , a2b + ab2=-6 ，那么 /+2b2 +"一1=.【例19】设。"为有理数，且。+人=20，设/+片的最小值为加，。力的最大值为，那么2 + = *【例 20】填空：(1) f+4V =(x+2y)2；(2) 9a2-+12 仍 2=(3。一)2;(3)4/ + 4mn += (2m +)2. 4) + 6» += (3x + y)?.【例21(1)如果多项式/+履+ g是一个完全平方式，那么女的值为.(2)如果多项式/一日+4是一个完全平方式，那么女的值为.【练习1】如果4Y + g +9y2是完全平方式，试求。的值为.【练习2】假设整式4/+Q + 1是完全平方式，请你写满足条件的单项式。是.【例22】求以下式子的最值：(1)当x为何值时，/©+9有最小值；2)当了为何值时，f+6x 15有最大值.【练习】求q2+4一2q 4b + 3的最值.【例23】假设。，。为有理数，且2/_2" + /+4 + 4 = 0 ，那么/ + /=.【练习1】a、b、。满足2+26 = 7222c = 16a = 17 ,那么q + Z? + c的值为.【练习2】设Pn/k+s 9Q = 2ab-a2-4a，假设尸=Q，那么实数。工满足的条件是.【例24】假设。，匕为有理数，且片一2灿+ 22+4。+ 8 =。，那么ab =.【练习】假设代数式a4 + 1=3，那么代数式3 + 4尸+6 4"的值为.【例25】设、。是三角形A3。的三边长，且/+/+/=。 +人。+。，关于此三角形的形状有以下判断:是等腰三角形；是等边三角形；是锐角三角形；是斜三角形.其中正确的选项是.【例 26) a =2013x + 2012 ,b =2013x + 2013 ,c = 2013x4-2014 ,求多项式，> + 从一成一/。一比的值e【练习1】如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，相对的两个面上两个数之和相等，如果13 ,9 ,3的对面的数分别。、b、c，jjt a2 4-Z72 +c2-ah-hc-ac的值.【练习 2假设 a + 2/? + 3c = 12，a1 -tr -c1 =ab-bc + ca，那么4 + +/=.作业 (a-2b)(2b-a)1 .请设计一个几何图形，验证2 .计算：(1) (一2尤+ 3)2(4)(q- + ah + h )(6Z - cih + h)(4) (2x - y + 2)( y - 2x + 2)31313 .计算：(1) (xy)2(x+y)(xy)(2) (2x-y-z)(-y-z + 2x)4 . ct+b 3 , ab = 12，求以下各式的值：1片+从；(2cr ab + b1 - (3) (a-b)-5 .假设4d1工+ < = 0，那么x = . 假设炉+8町+公是一个完全平方式，那么=.(3)假设4*+也7 + 2是一个完全平方式，那么k =.6 .假设 4 = 199° , b = 1991, c = 1992 ,那么 / +/一"-be-ac =.7 .求多项式2f_4xy +5y2_12y + 13的最值.