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矢量分析与场论第一章矢量分析一内容概要1矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函 数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究 过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析 中的推广。2本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数4（。，但在后边场论 部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函 数4（占），）或者A（mn，z）,对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导 数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其 有关的相应概念加以推广而得出。3本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢4（。的几何意 义，即4（，）是位于4（，）的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线 上对应t值的点处，且恒指向t值增大的一方。如果将自变量取为矢端曲线的弧长S,即矢性函数成为4 = 4（5）,则4（s） ="不仅是一个恒指向S增大一方的切向矢量，而且是一个单位 as切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。4矢量A（r）保持定长的充分必要条件是A与其导矢4（。互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数M，） = cosfi + sin3为单 位矢量，故有此外又由于。故矢）（圆函 数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。5在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函 数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：（1 ）A = xy2z2i + z2 sin yj + x2eyk ,求山M和/54。11三种特殊的矢量场。即有势场、管形场和调和场。其中以有势场 为重点。设矢量场A为有势场，是指在场中存在单值函数（"）满足：A = graclu,称函数v =为这个场的势函数。从而矢量A与其势函数v 之间存在下列关系：A = -gradv,但在流体力学中，也直接把定义为 矢量场A的势函数。12具有曲线积分f与路径无关性质的矢量场A称为保守场。如Jab静电场、引力场、重力场都是保守场。根据第五节定理1及其证明， 可知：在线单连域内，“场有势”，“场无旋”，“场保守”以及“表达 式A.4= Pc/x+Q6fy+&/z为某个函数的全微分（这个函数叫做表达式 AW7的原函数）”这四者是等价的。一般通过考察场A是否无旋，即 是否有加丛=0来判断其余三者是否成立。由此知：若有加3 =（）,则A.力存在原函数，且此原函数就是满 足A = gradu的函数（M）,它可以用如下公式来计算出：“（X, X z） = J： Mx, %, z0 总 + J 2（x, y, z0 My + J： R（x, y, z）7z + C其中（x。,%,z。）为场中任意一点，为了计算简便通常取为坐标原点；C 为任意常数。容易看出，在求得后，有势场A的势函数八-就随 之得到了。此外，若A为保守场，则曲线积分九A .成=) |卜- 其中"(M)为A4的一个原函数，可用上面公式求出。计算曲线积分 的这个公式与计算定积分的牛顿一莱布尼茨公式完全相似，都是通过 原函数来计算，用起来很方便。13矢量场A为管形场，是指它恒有散度力M = 0,即A为无源场。管 形场中存在矢量8满足加出=A，矢量夕叫做管形场A的矢势量。教 材为了说明它的存在，直接给出了从已知管形场矢量 A = P(M)f + G(M)j + /?(M>计算其矢势量3 = Ui + V +皿的如下计算公 式：U 二Q(x,y,zWz-R(尤,y,ZoM)， L。JJo< V = - p(x,y,z"/zw = cdW dv D =I dy dz简要给出其推证：由的5 = A,有幽一乎二Q dz dxdV du =K dx dy(1)(2),为简便起见，(3)我们取W = C (C为常数)，然后在(1)与(2)式两边对z积分，得: V= -j Pdz+ d乂 y), U = -j Qdz + q/x, y),这里(p(x, y), y)都是，X, y的任意函数，将此两式带入(3)可得：一门名+酗小生一丝=R(4)dy J dx dy再由条件由以=0即理+/+理=0 =竺=/竺+为带入上式得： dx dy dz dz (dr /,r dR . d(p di/D% dz oxdy或者 R(x, y,z)- R(x, y, z。) + 婴一空=R ,即 ex dy? 一半二R(”z。) dx oy为简单起见，再在其中取M% y)=o即得:代,y） = -J： R（x, y, z0）dy +研x）其中“x）为X的任意函数，再取=0,就得到:（国 丁）二一： Mx,y zoMy(5)(6)(7)(8)将（7）, （8）依次带入（5）与（6）即可得出U,V,再由W=0既可得出所推证的矢势量的计算公式。从上面的推证过程也可以看出，如果不取W = C,夕（x,），） = 0, 。（» =（）而将之取为别的合于条件的函数，则计算矢势量的公式随 之变化，这表明同一个管形场A ,存在着无穷多的矢势量，而不 限于有这里所推证的公式计算出来的。14若矢量场A恒有力M = 0和厂”4=0,则称A为调和场。简而言 之调和场是一个既无源又无旋的矢量场。在调和场中，由于有 rot A = 0 ,故调和场也是有势场，因此存在函数“满足A = ， 又由于有由M = 0,既有：digrachi) = 0或者写为:d,u d2u d2ur + r + r = 0 dx dydz2这是一个二阶偏微分方程，叫做拉普拉斯方程，对于满足拉普拉 斯方程且有二阶连续偏导数的函数，叫做调和函数，可见上述函 数u以及势函数v=-u都是调和函数。15特别应注意的是平面调和场，就是既无源又无旋的平面矢量 场，它与空间调和场相比，有其特殊性。设A =+为平面调和场，则有人”4 = 0,故存在势函数U满足A = -g%/y,又因其有diu4 = (),由此可以推出满足 -Qi+? = g%八的函数U,这个函数U叫做A的力函数。函数U 和u可用下面公式来求出：心力一工如根+：%,加)i，(x, y) =P(x, 先 依 -(0(x,)林函数和u还满足如下的关系式：du _ dv du _ dv dx dy ，dy dx由此可以得到：d2v d2v密.歹二°d2u d2u京+豕这说明函数和u均为满足二维拉普拉斯方程的调和函数，故又 称二者为共辄调和函数。应用这个共筑条件，便可以从和u中 的一个求出另一个。此外，力函数和势函数的等值线依次叫做平面调和场的力线和等势线，其中力线就是矢量场4的矢量线，而势线就是与矢量线相互正交的一族曲线。典型例题：p71-73 例 1, 2, 3, 4, p76 例 5, p78 例 6, p80 例 7,习题6©（1 ）证明 A = （）/+2忘21 +（2町-z）j +（2x2z-y + 2z）fc 为有势场，并 求其势函数。（2）解微分方程（z3 -4xy）dx+（6y-2x2）dy +（3xz2 + ）dz = 0 0（3）证明A =（2xy + 3）i + （/ -4z）j-4亦为保守场，并计算曲线积分 从力，其中1是从点A（3,-1,2）到点8（2,-1）的任意路径。（4）证明A =2i + R + “为调和场，并求出场的调和函数和矢 势量各一个。（5）已知A = 3+3y2z1+ 6x）勿+秋，其中函数R适合”=0,且 dz当X=y = 0时R = o,求R使矢量场A存在函数U满足 A = g"l，并判断A是否为管形场。（6）矢量场4 = （），2+9一（2个+），）/是否为平面调和场？若是，求其力函数和势函数人第三章哈密顿算子1哈密顿算子 =?是一个矢性微分算子。就是说它在运算中具有矢量和微分的双重性质，其运算规则是: du. du . du.vw = i + 1 + kdx dy dz .八+乜dx dy dzVx A =8z JdAxdA.由此可见，场论中的梯度、散度、旋度都可以用哈密顿算子来表 示:gradu = Nu , divA= V - A , rot A = V x A从而场论中的一些公式，也可以通过该算子来表示。此外，为了某些公式中应用方便，又结合哈密顿算子引入 了一个数性微分算子:d . . d . . d .A = 4, i + j + A. kx dx y dy ' dz其运算规则是:(A味噂"嘴"噂A"C)"7 ”小，旷 z 及此处的4与. A是完全不同的。2教材中把场论中的一些常见公式用算子表示，并将其汇集列出便于查用(p85),其中：(1)公式(1)(11)前八个是最基本的公式，后三个则是比 较常用的。(2)公式(15)(17)公式(15)表示：dMgad") = Au,说明“梯度场的散度就是调和 量”，而公式(16)和(17)分另!J表示：r”(gmd) = O和O 分别说明“梯度场无旋”，“旋度场无源”。(3)公式(19)(21)是一组关于矢径的基本公式，是经常 用到的。此外(27), (28)分别是奥氏公式与斯托克斯公式用哈密顿算子 表达的形式。典型例题：例1到例8 (p86-90)习题7补充：(1)证明：(A-VX«C)=(A-VW)C,(A-V)B = (AVBa(2)设 = /yz, V = 2+J2-Z2,计算：和x(7xVu)(3)已知速度y(x,y,z"),其中X, y, z为点的坐标，且都是时间 ，的函数，证明：虫=生+ (了”» dt dt(4)若 A 与 B均为调和场，证明：(A V)B = iV(4-B)-Vx(AxB)o 2(5)己知函数满足(")2=4和.() =10，计算曲面积分用黑於，其中S为中心在坐标原点的单位球面，电为沿S的 ,dndn向外单位法矢。的方向导数。(6)设为封闭曲面S的向外单位法矢，证明：(1) - ndS =- A + Vn - AS£1(2) (AxB)-/iJS = |JB(VxA)-A-(VxB) sc(7)证明?"="("u).dS,其中为曲面s的单位法矢，/ I s为S的有向边界曲线，其正向与符合右手法则，口都是点M的函数。(8)设S为区域C的边界曲面，为S的向外单位法矢，若矢量产和G在。中满足/=(, xF=VxG,证明在。中有尸=G。(提示利用格林第一公式：(wVv)-JS =JJj(Vy .) + 取 =v的5Q情况)一内容概要1矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函 数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究 过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析 中的推广。2本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数4(f),但在后边场论 部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函 数4(工)，)或者A(x,y,z),对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导 数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其 有关的相应概念加以推广而得出。3本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢4(。的几何意 义，即4(/)是位于4(。的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线 上对应t值的点处，且恒指向t值增大的一方。如果将自变量取为矢端曲线的弧长S,即矢性函数成为A = 4(s),则 H(s) ="不仅是一个恒指向S增大一方的切向矢量，而且是一个单位 as切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。B'dt = A B-B AdtJAxS/ = Axb + "x4 力前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式-一致，后者由两项相减 变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。6在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量 构成一一对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量 与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量 分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性 函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极 限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。7矢性函数极限的基本运算公式(14)、导数运算公式(pl 1)、不定积分 的基本运算公式(pl6)典型例题：教材p6例2、plO例4、pl2例6、pl3例7。习题一(pl920) 此外还有上课所讲的例题。补充：1 )设/=华(。)+乩，求 S2 ) 一质点以常角加速度沿圆周,=馥3)运动，试证明其加速度“=一匚，其中n为速度羽的模。a-3 )已知矢量A = -24+In求，B = + sin tj-3tk,计算积分Ja，力。4 )已知矢量 A = + 2), B= cos/i + sin / + e'k,计算积分 JAxB,力。第二章场论一内容概要1本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场的 概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描述场 的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭 示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具有某种特 性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。2空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线 等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量（历）或矢量4（M）在 场中的宏观分布情况而引入的概念。比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场中 等值面的例子；而地形图上的等高线即为平面数量场中等值线的例 子。在矢量场中，矢量线可以体现场矢量的分布状况，又能体现场矢 量的走向。例如流场中的流线，体现了流速的分布状况和它们的走向。 此外，由于矢量场中的每一点都有一条矢量线通过，因此对于场中的 任一条曲线C （非矢量线），在其上的每一点也皆有一条矢量线通过， 这些矢量线的全体，就构成一曲面，称为矢量面，特别的，当曲线C 为封闭曲线时，矢量面就成为一管形曲面，称之为矢量管。3有一种空间场（矢量场或者数量场）具有这样的一种几何特点：就 是在场中存在一族充满场所在空间的平行平面，场在其中每一个平面 上的分布，都是完全相同的（若是矢量场，其场矢量同时也平行于这 些平面）。对于这种场，只要知道场在其中任一平面的中的特性，则 场在整个空间里的特性就知道了，因此，可以将这种场简化到这族平 面中的任意一个平面上来研究，因而，也把这种场称为平行平面场。 在平行平面场中，通常为了研究方便，通常取所研究的这一个平面为 xoy平面。此时，在平行平面场中，场矢量就可以表示成为平面矢量 A = A（x,），）i + 4（x,y）j,在平行平面数量场中，其数量就可以表示成为 二元函数= （X,），），并且这样的研究结果适用于任何一块与xoy面平 行的平面。典型例题：习题2 (最好能全部做一下)(1)求数量场 =In8+),2+ z?)通过点颁1,2,1)的等值面。(2 )求矢量场力=i + j + (x + 2y2通过点M(2,1,1)的矢量线方程。4数量场中函数(M)的方向导数是一个数量。它表示在场中的一个点 处函数“(M)沿某一方向的变化率。详细点说：其绝对值的大小，表示 沿该方向函数变化的快慢程度，其符号的正负，则表示沿该方向函数 的变化是增加还是减小的。若在点M处，函数“(M)可微，则函数沿/方向的方向导数在 迪卡尔坐标下的计算公式为：du dudu万8=cosa + cosp +cos/ dl dxdy dz5数量场的梯度是一个矢量，场中的每一点都对应着一个梯度矢量。梯度矢量有两个重要性质：(1)梯度在任一方向上的投影，正好等于函数在该方向上的方向导数，grad/ =据此可以推出：梯度自身的方向就是方向导数最大 cl的方向，其模就是这个最大方向导数的数值。(2)数量场中每一点处的梯度都垂直于此数量场过该点的等值面，且指向函数值增大的一方。梯度在直角坐标系中的表达式为：此外，从梯度的基本运算公式可以看出，他与一元函数中导数运算的 公式完全类似，这一点可以帮助大家掌握梯度的基本运算(p39)。典型例题p34例2, p37例3,例4, p38例5, 6,习题3。（1 ）求函数u = 3x2 +z2-2yz + 2xz在点 M（l,2,3）处沿矢量 a = yzi + xzj + xyk方向的方向导数。（2）求函数=邙在曲面在点M（2,3,3）处沿曲面下侧法线方向的方向 导数力”。on（3）求函数“ = 3/）,-y2在点m（2,3）处沿曲线y = /_i朝大增大一方的 方向导数。（4）设R是从点如（4也c）到任意一点M（x,y,z）的距离，求证是 在R =方向上的单位矢量。（5）已知一可微的数量场（x，y，z）在点处，朝点M（2,2,l）方向 的方向导数是4,朝点加2（1,3,1）方向的方向导数为-2,朝点MJ120）方 向的方向导数为1，试确定在/处的梯度，并求出朝点用,（4,4,7）方向 的方向导数。（6）求数量场在点M（IQO）处沿过点M的等值面的外法线方向 r的方向导数勺，其中为矢径d + 0+zA的模。 cl6矢量场A穿过某一曲面S的通量6 =是从某些物理量，诸如S流速场中的流量、电场中的电通量、磁场中的磁通量以及热流场中的 热量等等概念中抽象出来形成的一个数学概念。因此通量是具有若干 物理意义的。如果S是一个封闭曲面，则矢量场4穿出S的总通量为二 4 . c/S ,5(1)当>0时' 则S内必有产生通量的源头；(2)当中<()时，则S内必有吸收通量的漏洞；这两种情况，合称为S内有源(源头为正源，漏洞为负源)。(3)当中=0时，不能断言S内无源，因为这时，在S内正源和负源互相抵消，也可能恰好出现总通量为零的情况。由此可见，从穿出某个封闭曲面的总通量，可以初步了解在S内通量 产生的情况，当然这仅仅是一种整体性的粗略了解，这由此引出了矢 量场中散度的概念。7矢量场A的散度divA,是指在场中的一点处，矢量场A穿出一个 包含该点在内的微小区域。的边界曲面AS的通量对Ml的体积变 化率，即&AdSAO 也divA =lim= lim -AQ->0 VAV它是一个数量，表示此矢量场在这个点处散发通量或者吸收通量的强 度。具体来说，散度以绝对值表示在该点处源的强度大小。当其不为 零时，以正负号表示该点处的源为正源或者负源；当其为零时，则表 示该点无源，从而将散度恒为零的矢量场称为无源场。与散度相对应 的场称为散度场。由于散度场为数量场，故亦可通过其等值面、方向 导数和梯度等来揭示其分布规律和变化情况。在直角坐标系中，矢量场A = P(M)i + Q(M)/ + RGw,在点M处的散度表示式为:7 4 dP dQ OR div A =+ dx dy dz由此可以得出奥氏公式(高斯定理)的矢量形式为：丹 A . 4S = jjj divAdV sQ此式表明了通量和散度之间的一种关系：穿出封闭曲面S的通量，等 于S所包围的区域。上的散度在上。的三重积分。P52散度的基本运算公式。典型例题p44例1, p52例4,例5,习题4。(1)设S为由圆柱面/ +)3 =/及平面z=()和z = 所围成的封闭曲 面，求，=.显+0+Z4穿出S的柱面部分的通量。(2)已知 A = (cixz +-> + xy2)j + (z- z2 + cxz- 2xyz)k，试确定阿 a, b,。使得A是一个无源场。(3)求矢量场 A =(3x2 - 2yz> + (y3 + yz2 )j + &yz - 3xz2 k 所产生的散度场 通过点的等值面及其在点M处沿Ox轴正向的变化率。(4)已知 g/zzd(dM(r)r) = O,其中/* =疝 + 0+zk, r =|r| ,求/(厂)。8矢量场A沿有向闭曲线/的环量= fA.力也是从某些物理量，如力 I场中的功、流场中的环流以及磁场中的电流强度等概念抽象形成的一 个数学概念，和通量概念的形成极为类似，通量是一个曲面积分，环 量是一个曲线积分。二者在矢量场中都是一种整体性的概念，为了研 究矢量场的局部性质，前面从通量引入了散度，这里又可以从环量引 入环量面密度的概念：在矢量场A中的一点M处，取定一个方向为，再经过点M处以为法矢作一微小曲面婚，同时以与表示其面积，其边界/之正 向与法矢构成右手螺旋关系，则场A沿/之正向的环量与面积AS之比，当AS沿其自身缩向M点时，其极限就称为矢量场A在点M处沿方向的环量面密度（就是环量对面积的变化率），即:jAc/l可见，环量面密度概念与散度概念（通量的体密度）的构成是非常类 似的，二者都是一种局部性的概念。设矢量场A = P（M）i + QW）j+R（M,，则场A在点M处沿方向的环量面密度在直角坐标系下的计算公式为:4” = (Ry _ Qz )cos« +(E - R)cos0 + 依- pjcosy9环量面密度与散度这两个概念的构成虽然很相似，且都是一种变化 率，但二者有着重要的差别，这就是：散度和矢量场中之点能构成一 一对应关系，二环量面密度不仅与场中的点位置有关，而且还与从该 点出发的方向有关，从一个点出发的方向有无穷多个方向，对应的也 有无穷多个环量面密度的值，所以，换辆面密度与矢量中的点不能构 成一一对应的关系。环量面密度和散度的上述差别正是环量面密度和方向导数相一 致的地方。这就诱导我们去寻找一种矢量，使它在一个点处和环量面 密度之间的关系恰如梯度和方向导数之间的关系一样，循此探索，就 得出了旋度的概念。10矢量场A在M点处的旋度/"4,是这样一个矢量，它在任一方向 上的投影，就等于场A沿该方向的环量面密度，即有：，叫 A = 4由此可知：旋度的方向就是环量面密度最大的方向，其模也就是这个 最大环量面密度的数值。如果把旋度,“4与矢量场A中的点一一对应 起来，又得到一个矢量场，叫做有矢量场A产生的旋度场。对于那种恒有3/4 = 0的矢量场，叫做无旋场。矢量场4 = P（M）i + Q（M）/+R（MM的旋度，在直角坐标系下的计算公 式为：.=低- 0 ） + 但一 Rjj + - P、ijk或者写为：rot A =g dxdxdxPQR据此可以将斯托克斯公式写成矢量形式：,A 力=（加/A） dS/ s此式表明了环量和旋度之间的一种关系：即沿有向封闭曲线/的环量, 等于旋度沿与I的方向构成右手螺旋的方向穿过以/为边界的曲面S 的通量。旋度之所以得名是因为在流场中速度的旋度恰好是流场中该点 旋转角速度矢量乘上一个常数2,即加”=为。P65旋度的基本运算公式。典型例题：p58例1, p60例2, p63例3, p65例6,习题5。