高二文科数学暑期讲义第4讲直线与圆锥曲线初步教师版.pdf

第 4 讲 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 初 步 U 满 分 晋 级 4.1直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 考 点 1:直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 知 识 点 睛 直 线/：Ax+3y+C=0 与 圆 锥 曲 线 C：f(x,y)=0 的 位 置 关 系：直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 可 分 为：相 交、相 切、相 离.这 三 种 位 置 关 系 的 判 定 条 件 可 归 纳 为:设 直 线/：Ax+By+C=O,圆 锥 曲 线 C：f(x,y)=0,由 九+约+=fix,y)=Q消 去 y(或 消 去 x),得 到 关 于 x(或 y)的 方 程：ax2+bx+c=O(ay2+by+c=0).方 程 组 的 解 的 个 数 与 方 程 以 2+法+c=0 的 解 的 个 数 是 一 致 的.若。工 0,A=Z 2 4ac A O u相 交：A c O o 相 离；A=0 o 相 切，若 a=0,直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交，且 只 有 一 个 交 点.教 师 备 案 4=0的 情 况：当 直 线 平 行 于 抛 物 线 的 对 称 轴 时；当 直 线 平 行 于 双 曲 线 的 渐 近 线 时.所 以 直 线 与 抛 物 线、双 曲 线 有 一 个 公 共 点 是 直 线 与 抛 物 线、双 曲 线 相 切 的 必 要 条 件，但 不 是 充 分 条 件.40以 抛 物 线 y2=2px为 例，直 线 Ax+B)，+C=O,只 有 当 A=0 时，代 入 抛 物 线 方 程，才 会 转 化 成 一 次 方 程，此 时，直 线 平 行 于 抛 物 线 的 对 称 轴.经 典 精 讲 r2 v2【例 1*已 知 椭 圆 上+二=1,直 线/：y=x+m 与 椭 圆 有 两 个 交 点 时，机 的 取 值 范 围 为 4 3 直 线 y=1与 椭 圆 V+4产=1有 且 只 有 一 个 交 点，则 nr=.*直 线 y=fcv+2与 椭 圆/+：=1的 交 点 个 数 为()A.0 B.1 C.2 D.以 上 都 不 对【解 析】-V7m/7；3-;4(3)D;【点 评】直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，只 需 考 虑 判 别 式 即 可.提 高 班 学 案 1【拓 1】已 知 两 点 给 出 椭 圆 与+9=1,问 在 椭 圆 上 是 否 存 在 点 P,使 得|MP|=|NP|?【解 析】M N 的 中 点 坐 标 为 卜：，0),斜 率 为 人=g,故 的 中 垂 线 方 程 为/:y=-2x-3,根 据 题 意 知，本 题 即 判 断 直 线/与 椭 圆 有 无 公 共 点 的 问 题.y=-2x 一 3联 立,消 去 y 得 9V+24x+16=0,此 式 的 判 别 式=242-4x9x16=0,+y=12-故 有 且 仅 有 一 个 交 点.当 然 也 可 以 设 出 P 点 的 坐 标，直 接 计 算.【例 2】判 断 下 列 直 线 与 双 曲 线 工-t=1 的 位 置 关 系：5 4 y=x-l；2x-后 y+1=0；y=2x-l；y=x-2 我 若 过 点(3,0)的 直 线/与 双 曲 线 4x2 _9y2=36只 有 一 个 公 共 点，则 这 样 的 直 线 有 一 条.【解 析】(1)相 切；相 交(只 有 一 个 交 点)；相 离；相 交.(2)3;教 师 备 案 过 一 个 定 点 P 与 双 曲 线 只 有 一 个 公 共 点 的 直 线 的 条 数：(图 中 区 域 不 包 括 边 界)P 在 双 曲 线 上，有 3条；P 在 区 域(2),有 2 条；P 在 渐 近 线 上 但 不 是 原 点，有 2 条:P 在 区 域，有 4 条；尸 是 原 点，有 0 条.【点 评】直 线 与 双 曲 线 的 位 置 关 系 更 多 时 候 利 用 数 形 结 合.尖 子 班 学 案 1r2 v2【拓 2】已 知 双 曲 线 工-二=1500)的 右 焦 点 为 F,若 过 点 F 且 倾 斜 角 为 60。的 直 线 与 双 曲 线 a b 的 右 支 有 且 只 有 一 个 交 点，则 此 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 是()A.(1,2 B.(1,2)C.2,+0 0)D.(2,+8)【解 析】C；1-4B.1-8 A.目 标 班 学 案 1【拓 3】直 线/:y=fcr+l与 双 曲 线 C:2f 丁=1的 右 支 交 于 不 同 的 人，3 两 点，求 实 数 上 的 取 值 范 围.【解 析】(一 2,-&)；【例 3】函 数 y=以 2+1的 图 象 与 直 线 丁 二%相 切，则。=()C.-D.12 由 直 线/:y=fcr+l,抛 物 线 C:y2=4x,当 k为 何 值 时，/与 C：有 一 个 公 共 点；有 两 个 公 共 点；没 有 公 共 点.【解 析】(DB(2)当 左=1或 左=0 时，直 线/与 C 有 一 个 公 共 点；当 A1时，直 线/与 抛 物 线 C 没 有 公 共 点.【点 评】一 般 地，直 线 与 抛 物 线 相 切，直 线 与 抛 物 线 只 有 一 个 公 共 点；反 过 来，直 线 与 抛 物 线 只 有 一 个 公 共 点，则 直 线 与 抛 物 线 不 一 定 是 相 切 的(如 图)因 此，直 线 与 抛 物 线 只 有 一 个 公 共 点 是 直 线 与 抛 物 线 相 切 的 必 要 而 非 充 分 条 件.过 定 点 P(0,1)且 与 抛 物 线 V=2x只 有 一 个 公 共 点 的 直 线 的 方 程 为【解 析】x=0 或 y=l或 y=；x+l【思 路】显 然，过 点(0,1)且 垂 直 于 x轴 的 直 线，即 y轴 满 足 题 意.42设 过 点 尸 且 不 垂 直 于 X 轴 的 直 线 的 斜 率 为 k,其 方 程 为=丘+1.代 入 抛 物 线 y2=2x中 得 JtV+2(-l)x+l=0当 氏=0 时，得 直 线 与 抛 物 线 只 有 一 个 交 点(；，1)满 足 题 意.当 W 0 时，令 A=4伏-1)2-4公=0,得=,2即 直 线 y=；x+l,与 抛 物 线 也 只 有 一 个 公 共 点.综 上 所 述，所 求 直 线 的 方 程 是 x=0 或 y=l或 y=1x+l.2【错 因 分 析】误 区 一 是 设 点 斜 式 不 能 表 示 过 P 点 垂 直 于 x 轴 的 直 线 而 y 轴 恰 满 足 题 意，误 区 二 是 忽 略 过 点 P 与 x 轴 平 行 的 直 线.)4.2直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 初 步 考 点 2：弦 中 点 的 坐 标 问 题 知 识 点 睛 直 线 Ar+8y+C=0 与 圆 锥 曲 线 X,y)=0 交 于 两 点 A/Q,),N，将&3y+C=0 代 入 x,y)=0,消 去 y(或 x),得 到 一 元 二 次 方 程 6 2+。=0,方 程 的 两 根 满 足 玉+x,=勺，M Na中 点 的 横 坐 标 即 为 土 口=-2.2 2a经 典 精 讲【例 4】直 线 y=x-l被 抛 物 线 丁=4x截 得 线 段 的 中 点 坐 标 是.2 2*直 线 y=x-3与 双 曲 线 3-3=1交 于 A,8 两 点，则 4 5 的 中 垂 线 方 程 为()A.y+21=0 B.x y-21=0 C.x+21=0 D.x-y+21=02 2 椭 圆,+工=1过 点 P(1,1)的 弦 恰 好 被 P 平 分，则 此 弦 所 在 的 直 线 方 程 是【解 析】(3,2)(2)C;x+2y-3=0;提 高 班 学 案 2【拓 1】(1)己 知 直 线 x-y=2 与 抛 物 线 V=4 x 交 于 A、B 两 点,那 么 线 段 4 5 的 中 点 坐 标 是 过 抛 物 线 V=4 x 的 焦 点 作 一 条 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 A、B 两 点,且 4 3 的 中 点 横 坐 标 为-，则 这 样 的 直 线（2A.有 且 仅 有 一 条 C.有 无 穷 多 条【解 析】（4,2）（2）B)B.有 且 仅 有 两 条 D.不 存 在 考 点 3：通 径 问 题 同 曲 知 识 点 瞳 口 经 过 抛 物 线 V=2 p x 的 焦 点 F,作 一 条 直 线 垂 直 于 它 的 对 称 轴，和 抛 物 线 相 交 于 两 点，线 段 M N叫 做 抛 物 线 的 通 径.类 似 的，我 们 也 可 以 定 义 椭 圆 和 双 曲 线 的“通 径”：过 椭 圆（双 曲 线）的 焦 点，作 垂 直 于 长 轴（或 实 轴）的 直 线，则 直 线 被 椭 圆（双 曲 线）截 得 的 线 段 叫 做 椭 圆（双 曲 线）的“通 径 抛 物 线=2px的 通 径 长 为 2p；椭 圆*+1=l（a b 0）的 通 径 长 为 子；双 曲 线?一 3=1（0 0）的 通 径 长 为,教 师 备 案 椭 圆（抛 物 线）的 通 径 是 过 椭 圆（抛 物 线）焦 点 的 弦 中 最 短 的 一 条.双 曲 线 的 通 径 是 过 双 曲 线 的 焦 点，同 支 的 弦 中 最 短 的.我 们 来 证 明 通 径 是 最 短 的.以 椭 圆 为 例.2 2设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 三+斗=1（。6 0）,直 线/过 椭 圆 的 右 焦 点 尸（c,0）,且 与 椭 圆 交 于 两 点 A,B,下 面 求 H 用 的 最 小 值.当 A 8 是 通 径 时，不 难 算 出|A8|=.当 非 通 径 时，直 线/的 斜 率 存 在，不 妨 设/的 方 程 为 y=&（x-c）,代 入 椭 圆 方 程 化 简 得（从+/%2）丁-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0,设 A（x,y）,B（X2,y2）,则 X）+x2=么：；3,.又 由 前 面 椭 圆 一 讲 知，恒 尸|=4-%，忸 尸|=-勿 2，其 中 e 为 椭 圆 的 离 心 率，则 1AB1=1AF1+1 B1F=2a-e（xt+x2）=2a-k=2 a-0 k,2a-=.V a b2+a2k2 a b2+a2k2 a a双 曲 线 和 抛 物 线 类 似 可 证.双 曲 线 需 要 注 意 焦 点 弦 所 在 直 线 的 斜 率 范 围，保 证 焦 点 弦 在 双 曲 线 的 同 支 上.经 典 精 讲 2 2【例 5】*已 知 双 曲 线 上-1=1的 焦 点 为 七、八，点 M 在 双 曲 线 上，且 轴，则 片 到 直 6 3线 鸟 用 的 距 离 为（）44A.侦 B.9 C.巫 D.25 5 6 62 2*设 过 椭 圆 上+&=1的 左 焦 点 F 的 弦 为 A B,则（）25 16A.|AB|6 B.|AB|=6 C.网 0）.当 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 丁=2px（p0）时，直 线 过 抛 物 线 的 焦 点 且 与 抛 物 线 相 交 于 C、。两 点,则 弦 长|CD|=xl+-+x2+-=xl+x2+p.教 师 备 案 圆 锥 曲 线 求 弦 长 时，都 有 一 定 的 计 算 量，求 弦 长 的 方 式 基 本 上 类 似，其 中 以 抛 物 线 的 计 算 相 对 较 为 简 单，预 习 阶 段 就 主 要 讲 抛 物 线，外 加 一 道 椭 圆 的 题。经 典 精 讲【例 6】*直 线 y=x+l与 抛 物 线 V=12X 相 交 于 A,8 两 点，求 弦 至 的 长.内 己 知 斜 率 为 2 的 直 线 经 过 抛 物 线 2=4x的 焦 点，与 抛 物 线 相 交 于 A,B 两 点，求 弦 的 长.【解 析】AB=S-j3（2）AB=5.尖 子 班 学 案 2【拓 2】设 抛 物 线 y2=4x被 直 线 y=2x+8截 得 的 弦 长 为 3 6，求。值.（2）以 中 的 弦 为 底 边，以 x 轴 上 的 点 P 为 顶 点 作 三 角 形，当 三 角 形 的 面 积 为 9 时,求 P 点 坐 标.【解 析】b=-4.（2）尸 点 坐 标 是（-1,0）或（5,0）.目 标 班 学 案 2【拓 3】正 方 形 钻 8 的 一 条 边 A 3 在 直 线 y=x+4 上，顶 点 C、Z）在 抛 物 线 丁=x 上，求 正 方 形 的 边 长.【解 析】正 方 形 的 边 长 为 3夜 或 5及.【例 7】由 已 知 椭 圆 C：W+Z=l（a 6 0）,直 线=1被 椭 圆 截 得 的 弦 长 为 2近，且 e=逅，a b a h 3过 椭 圆 C 的 右 焦 点 且 斜 率 为 G 的 直 线/,被 椭 圆 C 截 的 弦 AB,求 椭 圆 的 方 程；弦 A 3 的 长 度.【解 析】椭 圆 的 方 程 为 r2+v2=1.6 2（2）弦 钻 的 长 度 为 生 5 实 战 演 练【演 练 1】过 点（2,4）作 直 线 与 抛 物 线 V=8 x 只 有 一 个 公 共 点，则 这 样 的 直 线 条 数 为（）A.1 B.2 C.3 D.4【解 析】B46【演 练 2】给 定 双 曲 线 d=1,被 双 曲 线 截 得 的 弦 的 中 点 为（2,2）的 直 线 的 条 数 为（）A.0 B.1 C.2 D.3【解 析】B2 2 2【演 练 3】设 椭 圆,+方=1（。60）的 右 焦 点 为 五 直 线 4：x=:,若 过 点 片 且 垂 直 于 x轴 的 弦 的 长 等 于 点 F,到/,的 距 离，则 椭 圆 的 离 心 率 为.【解 析】-2【演 练 4】已 知 椭 圆 工+9=1,过 左 焦 点 F 作 倾 斜 角 为 巴 的 直 线 交 椭 圆 于 A,8 两 点，求 弦 回 的 长.9 6【解 析】|AB|=2.【演 练 5】求 顶 点 在 原 点，焦 点 在 x轴 上 且 被 直 线 2x-y+l=0所 截 得 的 弦 长 为 J盲 的 抛 物 线 方 程.【解 析】抛 物 线 方 程 为 V=12x或 V=-4x.U 大 千 世 界 2 2己 知 直 线/和 双 曲 线=1（。0 0）及 其 渐 近 线 依 次 交 于 A,8,C,四 点.求 证：|/1B|=|CD|.【解 析】只 需 证 A D 和 8 c 的 中 点 重 合 即 可.若 直 线/的 斜 率 不 存 在，即/与 x轴 垂 直，易 知 结 论 成 立.若/的 斜 率 存 在，设 其 方 程 为=履+加，代 入 双 曲 线 方 程，消 去 y,整 理 得（从-a22）%2-Icrkiwc-crnr-a2b2=0设 4（为，yj,。（，2），则.再 将 y=fcv+机 代 入 渐 近 线 方 程 从 x2-a2y2=0（也 可 以 分 别 与 两 条 渐 近 线 联 立），整 理 得-01k2-2a2knvc-a2nr=0设 8（*3，%），C（%，乂），则 工 3+几=J：黑,因 此 玉+/=/+/，即 A D 和 B C 的 中 点 重 合，故 AB=CD.