高三数学第六章不等式讲义.pdf

第 六 章 不 等 式 第 一 节 不 等 关 系 与 不 等 式 内 容 要 求 考 题 举 例 考 向 规 律 了 解 现 实 世 界 和 日 常 生 活 中 存 在 着 大 量 的 不 等 关 系，了 解 不 等 式(组)的 实 际 背 景 2020新 高 考 I卷 T”(比 较 大 小)2017山 东 高 考 外(比 较 大 小)2017.北 京 高 考.714(命 题 的 构 造)考 情 分 析：以 考 查 不 等 式 的 性 质 为 重 点，同 时 考 查 不 等 关 系，常 与 函 数、数 列、几 何、实 际 问 题 等 相 结 合 进 行 综 合 命 题 核 心 素 养：逻 辑 推 理、数 学 运 算 教 材 回 扣 基 础 自 测 自 主 学 习 知 识 积 淀 1上 础 梳 理 为 设 咨&得 幄 4.I.两 个 实 数 的 大 小 比 较(1)abqb0.(2)a=bab=0,(3)abbb,bc=aCo(3)可 加 性：aba+ch+c；ab,cd=a+cb+Jo(4)可 乘 性：ab,c0=achc；ab,cacb0,cd0=acbdo(5)可 方 性：a0,0 a(22)；ab0f nGN*0/i 义 尿 n22)。(6)倒 数 性 质：abf ab00思 而 0 4 办(7)分 数 性 质：abOf m0,h+m b bm,mT-(bm0 且 a关 切).a-a-m a-ani W+/fl-w 八 口 一、国？布 R L 且 后 小 小 建 欢.演 练 小 目 友 一、常 规 题 1.设 M=2a(a2),1=3+1)3 3),则 有()A.MN B.M 2 NC.M0,所 以 故 选 A。答 案 A2.若 小 都 是 实 数，则“夜 一 亚 0”是 护 o”的()A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 解 析 yci-yb()ycib=ab=!a2b1,但 a2-b20D=/y/ay/b0,答 案 A3.设 方 J,dc,则 下 列 不 等 式 中 一 定 成 立 的 是()A.a-cbd B.acb+d D.a-db-c解 析 由 同 向 不 等 式 具 有 可 加 性 可 知 C 正 确。答 案 c二、易 错 题4.（乘 法 运 算 未 注 意 符 号 的 影 响）若 4加 0,c v k o,则 一 定 有（）A.C 怨 B.2 0D.喂 解 析 因 为 c a c,又 因 为。介 0,所 以 即 转。答 案 D5.（搞 错 绝 对 值 的 意 义）若 a 7a-b 4C.|祖 加 C 1 1B.D.a2 lr答 案 A6.（求 范 围 时 忽 视 a0）若 一 与 则 a f i的 取 值 范 围 是，解 析 因 为。夕，所 以 a60：又 一 枭 S 4，一，v一 A与 所 以 一 兀。一 如 五，因 此 一 7 r a一 夕 0。答 案（一 兀，0）考 点 例 析 对 点 微 练 互 动 课 堂 考 向 探 究 考 点 一 比 较 大 小 hr（T-【例 1】若 a0,X 0，则=+不 与 4=。+的 大 小 关 系 为（）A.pq D.p q解 析（作 基 法 一 行/?_=宁+千=S一 端 4=归 沪 叽 七 嘿 0,因 为。0,/）0,所 以。+0。若 a=b,则 p q=O,故 p=g;若“W b,则 p g 0,故 p b 0,比 较 4 护 与 aht f 的 大 小。解 因 为 窸=3=修 卜，又 e b 0,故 号 1,a-bOf所 啜 卜 1,即 需 1,又 M X）,所 以 所 以 挟 与 d 次 的 大 小 关 系 为 比 较 大 小 的 常 用 方 法 1.作 差 法：（1）作 差；（2）变 形；（3）定 号；（4）结 论。2.作 商 法：（1）作 商：（2）变 形：（3）判 断 商 与 1的 大 小 关 系；（4）结 论。【变 式 训 练】（1）已 知 p R,M=（2 p+l）S 3）,N=（p 6）（p+3）+1 0,则 M,N 的 大 小 关 系 为（）A.MNC.MWN D.M 2 N解 析 因 为 M N=（2+l）（p 3）（p 6）（p+3）+10=p22 p+5=（p l）2+4 0,所 以 MN。答 案 B 若 G 0,且 a W 7,则（）A.7 Td,D.与 7苏 的 大 小 不 确 定 解 析 器=7 7-7=|2，则 当。7时，0*1,7。1,所 以 7 7呦；当 0 7 时，则 已 卜 1,所 以 770a“a7。综 上，7。4 7*答 案 C考 点 二 不 等 式 性 质 的 应 用 微 专 题 微 考 向 1:运 用 性 质 判 断 不 等 式【例 2】（1）下 列 说 法 中 正 确 的 是（）A.若 是“A c”的 充 分 条 件，则 2 c”B.若“Gb是“”的 充 分 条 件，则“Wc”C.若 是“e c”的 充 要 条 件，则 D.若、访 是 c”的 必 要 条 件，贝 解 析 令 人=岫 加，B=alact C=aac”的 充 分 条 件，则 有 4 G&则 6 2 c,故 选 项 A 正 确，选 项 B 错 误；若 公 坊”是 ac”的 充 要 条 件，则 有 A=B,则 力=c,故 选 项 C 错 误；若。幼”是“ac”的 必 要 条 件，则 有 这 是 不 可 能 的，故 选 项 D 错 误。故 选 A。答 案 A（2）（多 选）（2020山 东 潍 坊 二 模）若 中 水 一 1,c 0,则 下 列 不 等 式 中 定 成 立 的 是（）1,1 1,1A.a-07 B.a-fO D.馀 物 解 析 由 函 数 y（x）=x：在（-8,一 i）上 为 增 函 数 可 知，当 少 1时，。一：。一 看 故 A 错 误：由 函 数 g（x）=x+1在（-8,1）上 为 增 函 数 可 知，当 ab时，即 a-*vb-：,故 B 正 确；由 a 0,但 不 确 定 人 一 与 I 的 大 小 关 系，故 InS 4）与 0 的 大 小 关 系 也 不 确 定，故 C 错 误：由 牛 6，则 邮 M 2 卜，故 D 正 确。故 选 BD。答 案 BD判 断 不 等 式 是 否 成 立 的 方 法 1.逐 一 给 出 推 理 判 断 或 反 例 说 明。2.结 合 不 等 式 的 性 质 及 对 数 函 数、指 数 函 数 的 性 质 进 行 判 断。微 考 向 2：中 间 量 法 判 断 不 等 式【例 3】已 知 实 数”=卧 2,匕=2+2 ln 2,C=（ln2）2,则 a,A c 的 大 小 关 系 是（）A.cba B.cabC.bac D.ac2t c=（ln 2）2e（0,l）,所 以 bac。故 选 B。答 案 B（2）设 x0,P=2+2 i,Q=（sinx+cosx）2,则（）A.PQ B.P 2;又（sinx+cos力=1+sin 2A-,而 s in 2 x W l,所 以。W2。于 是 P。故 选 A。答 案 A中 间 量 法 比 较 大 小 的 思 路 利 用 中 间 量 法 比 较 不 等 式 大 小 时 要 根 据 已 知 数 式 灵 活 选 择 中 间 变 量。指 数 式 比 较 大 小，一 般 选 取 1和 指 数 式 的 底 数 作 为 中 间 值；对 数 式 比 较 大 小，般 选 取 0 和 1作 为 中 间 值，其 实 质 就 是 根 据 对 数 函 数 兀 0=lo g“x的 单 调 性 判 断 其 与 y（i）,贝）的 大 小。微 考 向 3：特 殊 值 法 判 断 不 等 式【例 4】设 a 0,下 列 各 数 小 于 I 的 是（）A.2小 B.像 c.那 D.总 卜 解 析 解 法 一：（特 殊 值 法）取 4=2,匕=1,代 入 验 证。D 成 立。解 法 二：令=（0 且 a#l）。当 al,x 0时，y l;当 0va l,x 0时，0勺 0,所 以 a-b0,1,0-1O 由 指 数 函 数 性 质 知，D 成 立。答 案 D 若 夕 如 则 下 列 结 论 不 正 确 的 是（）A.a2b2 B.ab|a+b|解 析 由 于:不 妨 令 a=-1,b=2,可 得。2。2,故 A 正 确。a b=2,护=4,故 B 正 确。a+b=-3 心 3,危 尸 手，则 下 列 各 结 论 中 正 确 的 是（）A.人 幻 讨 我）辨 并 B.1A匹）勺，豹 勺 仍）c./（V丽 符/（a）D.加）虫 豹 勺 卜 麻）解 析 因 为 b a 3,所 以 3。/超 哆 纥 瓦 又/（力=匕 辱，当 x（e,+）Ht,f（x）0,所 以 的 数/（x）在 区 间（e,+8）上 单 调 递 减，则 有/（力）bc B.hca.y满 足 优 3（0asin yC.cba D.cab解 析 c=0.620,Z?=log20.6=log20.6log20.5=1,即（1,0）,a=Iogo.b2=j 0 6=e（,1）,所 以 cba。故 选 C。答 案 C2.（微 考 向 3、4）已 知 实 数 x,A.1 0（+1）10（24-1）C.丁 少 解 析 因 为 实 数 x,y 满 足/砥 0 y。对 于 A,取 x=l,），=一 3,不 成 立；对 于 B,取 x=n,y=T i,不 成 立：对 于 C,由 于 贝%）=片*在 R 上 单 调 递 增，故 A3:/成 立；对 于 D,取 x=2,.y=1,不 成 立。故 选 C。答 案 C3.（微 考 向 3）（多 选）已 知 0k）&2 020log/,2 0 2 0,则 下 列 说 法 正 确 的 是（）_ 1.1.-c b+mC.-+0,则 不 京 解 析 因 为 0log“2 020 l,比 1,又。器 二；霁 怆 6检 a,b 1,所 以 2（）；打 2,所 以 B 项 正 确；因 为 机 0,ab 1,所 以“一 白=瞿 三 一 2。，所 以 D 项 正 确。故 选 BD。丫 a-rm a（a+/w）a答 案 BD4.（微 考 向 1）已 知 一 则 xy 的 取 值 范 围 是 o解 析 因 为 一 lx3,1 3,所 以 一 3一 尸 I,所 以 一 4r）4。又 因 为 xyt所 以 又 一 y0,所 以 一 4v）l,所 以。4。答 案 0,0.前 项 和 为 S”则 沿 意 的 大 小 关 系 为 _。解 析 当 g=l 时，J=3,J=5,所 琮 吟。当 0 且 衿 时，一=f。3 45 6 5，？。3。5 q）aq-q）包 2沪 产=%，所 陪 青 综 上 可 4 亲（fq）q ay as a?as答 案 IQvcvH 1,则 下 列 不 等 式 不 正 确 的 是（）A.10g2 0lM10g2 01布 B.logQlogfmC.（。一 力）4，（。一 份 廿 D.m 一 c）（ac）/解 析 由 已 知 可 得。lbc0,所 以 A,B 中 的 不 等 式 正 确：因 为 且。一 反 0,a-c0,所 以（c-b）ac（c-b）abt（a-c）a（a-c）abt所 以 C 中 不 等 式 正 确，D 中 不 等 式 错 误。故 选 D。答 案 D【例 3（配 合 例 3 使 用）已 知 三 个 正 数 a,c 满 足 aWb+cW2a,bWa+cW2A,则，的 取 值 范 围 是（）A.信 1 B.3+8）C.2,3 D.1,2h r h c h解 析 因 为 三 个 正 数 a,b,c 满 足 aWb+cW2a,b&b,所 以 1或+*，解 唳 沁 故 选 人 答 案 A第 二 节 一 元 二 次 不 等 式 及 其 解 法 内 容 要 求 考 题 举 例 考 向 规 律 1.会 从 实 际 情 境 中 抽 象 出 一 元 二 次 不 等 式 模 型 2.通 过 函 数 图 象 了 解 元 二 次 不 等 式 与 相 应 的 二 次 函 数、一 元 二 次 方 程 的 联 系 3.会 解 一 元 二 次 不 等 式，对 给 定 的 一 元 二 次 不 等 式，会 设 计 求 解 的 程 序 框 图 202（）.浙 江 高 考 T H 不 等 式 恒 成 2018浙 江 高 考 了 6 元 二 次 不 等 式 的 解 法）2016全 国 I 卷 了 4（一 元 二 次 不 等 式 的 解 法）2016全 国 II卷-T”一 元 二 次 不 等 式 的 解 法）考 情 分 析：元 二 次 不 等 式 的 解 法 常 与 其 他 知 识 结 合 考 查，单 独 考 查 较 少 核 心 素 养：数 学 运 算、直 观 想 象 教 材 回 扣 基 础 自 测 自 主 学 习 知 识 积 淀 础 为 uliM!2*楂，.1.一 元 二 次 不 等 式 的 特 征 一 元 二 次 不 等 式 的 二 次 项（最 高 次 项）系 数 不 等 于 0。2.一 元 二 次 不 等 式 的 解 集 判 别 式 A=b14acJ 0 1=0 J 0二 次 函 数 y=axL+bx-c(a 0)的 图 象 I叫 k。/必 工 共 一 元 二 次 方 程 ax2+/x+c=0(。0)的 根 有 两 相 异 实 根 Xl,X 2(Xl 0(a 0)的 解 集 IxVxi 或 RaF+Zur+cVO(a 0)的 解 集 Ixi 处)0 03.(x-a)(x-b)0或。-4)。一)0 型 不 等 式 的 解 法 不 等 式 解 集 a b(xa)(x匕)0 小 V a或 x bxUV方 或(xa)(xb)O(vO)时 不 要 忘 记 讨 论 当。=0 时 的 情 形。2.不 等 式 五+区+c0(0,(1)不 等 式 o?+b X+c 0对 任 意 实 数 x 恒 成 立 0 或 LoO(J0oa=b=0,14V 0,(2)不 等 式 以 2+以+”0 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 0 八 或,八 1 3 0|J 0 o、小 题 改 演 练 小 信 及 lit.一、常 规 题 1.设 集 合 A=x|一 4x+3 0,则 A G 8=()A.3,一 胃 B.!3 或 解 析 集 合 4=(1,3),8=修,+),所 以 A C 8=(1,3)。答 案 D2.设 x R,使 不 等 式 3 f+x 20成 立 的 x 的 取 值 范 围 为。2解 析 3片+.12。+1)0,令 3 f 2x2=0,得 第=1 f,X2,所 以 3 f 2x2乂)的 解 集 为 卜 8,空 u(苧，+4答 案(一 8,3 U(苧，+T二、易 错 题 4.(不 等 式 变 形 必 须 等 价)不 等 式 _r(x+5)3(x+5)的 解 集 为 o解 析 原 不 等 式 等 价 于(x+5)(x-3)0,解 得 一 5令 3,即 该 不 等 式 的 解 集 为(一 5,3)。答 案(-5,3)5.(注 意 二 次 项 系 数 的 符 号)不 等 式(x+l)(3-2 x)2 0的 解 集 为。解 析 由(.r+l)(3-2 x)2 0,得(x+l)(2 x-3)W 0,所 以 不 等 式 的 解 集 为 4一 1答 案 一 i w|)考 点 例 析 对 点 微 综 互 动 课 堂 考 向 探 究 考 点 一 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 自 主 练 习 1.已 知 集 合 4=4一 叙+5忘 0,8=x|y=k)g2(x-2),则 AG8=()A.(1,2)B.1,2)C.(2,5 D.2,5解 析 由 题 意，集 合 4=K*6x+5W0=x|l WxW5,B=x|y=log2(x_2)=xx2,所 以 A G 8=x|2aW5=(2,5。故 选 C。答 案 C2.设 则 关 于 x 的 不 等 式(1a)(x 卜 一 十 卜。的 解 集 是()A.(-8,4)U区+B.(a,+)C.卜，D.1-8,/m，+)解 析 由 a 1,得 1 a0,解 得 或 xa,所 以 不 等 式 的 解 集 为 1 8,)u(a,+)0故 选 D。答 案 D3.关 于 x 的 不 等 式/一 3+1 以+亦 0 的 解 集 中 恰 有 两 个 整 数，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是()A.(-2,-1U3,4)B.-2,-1U3,4JC.-2,-1)U(3,4 D.(-2,-1)U(3,4)解 析 不 等 式 x2(a+l)x+avO,即(xl(xa)vO。若 al,则 不 等 式 的 解 集 为(1,a)。要 保 证 不 等 式 的 解 集 中 恰 含 有 两 个 整 数，则 一 2Wa 0 的 解 集 为(一 4,1),则 不 等 式 方(r+1)4。+3)+00的 解 集 为()D.(8,1)U 生+H 4+1=一 解 析 由 题 意 知 a 0,4,1是 方 程 公 的 两 个 根，所 以 V 得 Z?=3a,c=-4 X 1=4a,不 等 式 及 F+1)a(x+3)+c0 可 化 为 3 a2+1)o(x+3)4 0,即 3(+1)(x+3)40,解 得 一 4lxo 故 选 Bo答 案 B解 一 元 二 次 不 等 式 的 一 般 步 骤 1.化 为 标 准 形 式(二 次 项 系 数 大 于 0)。2.确 定 判 别 式/的 符 号(若 4 2 0,则 可 求 出 该 不 等 式 对 应 的 一 元 二 次 方 程 的 根，若/V0,则 对 应 的 一 元 二 次 方 程 无 根)。3.结 合 二 次 函 数 的 图 象 得 出 不 等 式 的 解 集。考 点 二 不 等 式 恒 成 立 问 题 微 专 题 微 考 向 1：在 R 上 恒 成 立 问 题【例 1】若 不 等 式(a21+2(-2)x40对 一 切 x R 恒 成 立，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是()A.(-OO,2 B.-2,2C.(-2,21 D.(-8,-2)解 析 当。-2=0,即 a=2 时，不 等 式 为 一 40,对 一 切 x R 恒 成 立。当。W 2 时，则20,f 一 20,=4A仅，一 2r产、2_+L 1”6（。-2c）、0c,即 卜 2。V%/解 得 一 2ax+c0 a0,Jx+c0 aX),/WOar+/?x+c0 a0,J0a?+法+cW()a/WO微 考 向 2：在 给 定 区 间 上 的 恒 成 立 问 题【例 2】已 知 危）=-ZF+Z JX+C,不 等 式 段）0的 解 集 为（一 1,3）。若 对 任 意 的 工 引 一 1,。，段）+用 24恒 成 立，则，的 取 值 范 围 是（）A.（一 8,2 B.（-8,4 C.12,+8）D.4,+8）（,o b b-1+3 一 行，解 析 由 题 知 一 1,3是 方 程 一 2?+以+c=0 的 两 根，得 J 所 以=4,c=6,所（-1）X3=-,以 人 幻=2X2+4工+6。解 法 一：因 为 对 任 意 的 工 1,0,y（x）+w?24恒 成 立，所 以 对 任 意 的 1,0,/货 一 4x2 恒 成 立，因 为 uZx2 2 在 1,0 上 的 最 大 值 为 4,所 以 及 4。故 选 D。解 法 二：对 任 意 的 工-1,0，1Ax）+，2 4 恒 成 立，即 双 幻=2/一 射 一 2一 小 忘 0（工 一 1,0）恒 成 立，于 jg（一 l）=4-/wW0,是 m 9 0恒 成 立。设 g=a-l）f+F-2x+1。由 产 一 4忘 0,得 一 2 W W 2,所 以 原 问 题 等 价 于 函 数 g 在 区 间-2,2 上 恒 大 于 0,所 以 1(-2)=/41+3乂),1(2)=寸 _10,解 得.v3或 x0对 实 数 x R 恒 成 立，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是（）f 1A.?!D.解 析 当 初=0 时，不 等 式 为 x0 且 力=。-1）24/?2；。综 上，的 取 值 范 围 为?：。故 选 C。答 案 C2.（微 考 向 2）（多 选）若 不 等 式-2x-3W0对 Vxa,a+2恒 成 立，则 实 数。的 值 可 能 为（）A.-2 B.-1C.1 D.2解 析 不 等 式 f-2r3 W 0 的 解 集 是 因 为 不 等 式 f-2%3 W 0 对。+2恒 成 立，所 以 a,a+2C-l,3,所 以（+2 V 3 解 得 一 台 力，所 以 实 数 a 的 值 可 能 为 一 1,；。故 选 BC。答 案 BC3.（微 考 向 2）己 知 关 于 x 的 不 等 式 底 一 次+34（）在（0,2上 有 解，则 实 数。的 取 值 范 围 是（）A（一 8,阴 B.卜 8,WC.停,+oo）D.枝,+8）解 析 因 为 x（0,2,所 以 不 等 式 以 22x+3a0可 化 为 三，令 危）=百 币 x（0,2,则/（%）=表 高 由 题 意 知。勺&）max,/（X）在（0,小 上 单 调 递 增，在（小，2上 单 调 递 减，所 以 yU）nm=/（/）=乎，所 以 实 数。的 取 值 范 围 是（一 8,唱。答 案 A4.（微 考 向 3）若 对 于 小 2,2,不 等 式 后 一 次 一 1一 机+5 恒 成 立，则 实 数 x 的 取 值 范 围 是。解 析 不 等 式 解 一 LtIv?+5 可 化 为（x2x+1）/%60,令 加）=（炉-x+l）m 6,则 对 于/一 2,2,不 等 式 如 2mvlv1+5 恒 成 立 等 价 于/（MmaxVO,5 S2,2。因 为 一 x+1=*恒 成 立，所 以 人 为 一 2,2上 的 增 阳 数，所 以 Dmaxn/nZC？-x+D-G v O,解 得 一 1今 2。答 案（一 1,2）X 教 师 备 用 题【例 1】（配 合 考 点 一 使 用）解 下 列 不 等 式：（l）0r-x-24：(3)加 一(a+1)x+1 0)&/-r9()片 一 X2W4p-x-20,j(x-2)(x+l)0,卜 一 X-6W0 力(%-3)。+2户 0卜 2 或 xv 1,-2WxW3。借 助 于 数 轴，如 图 所 示,原 不 等 式 的 解 集 为 x|-2Wx1或 25或 所 以 原 不 等 式 的 解 集 为 或 Q 5，。（3）原 不 等 式 变 为（以 一 l）（x-1）0,所 以。卜 一 j（x l）0o所 以 当 即:1时，解 为:al：当 a=1时，解 集 为当()/1,即 时，解 为 1令 2。综 上，当 0。时，不 等 式 的 解 集 为 4Vl【例 2(配 合 考 点 二 使 用)函 数 凡*)=/+以+3。(1)当 x R 时，人 幻 2。恒 成 立，求 实 数 的 取 值 范 围；(2)当 工-2,2 时，力。2 恒 成 立，求 实 数”的 取 值 范 围；(3)当。仁 4,6 时，J(x)20恒 成 立，求 实 数 x 的 取 值 范 围。解(1)因 为 当 x R 时，/+公+34 2 0 恒 成 立，需/=一 4(3一。)0,即+4a-2W0,所 以 实 数 a 的 取 值 范 围 是-6,2。(2)当 工 2,2 时，设 g(x)=f+or+30 2 0,分 如 下 三 种 情 况 讨 论(如 图 所 示)：如 图，当 g(x)的 图 象 恒 在 x 轴 及 其 上 方 且 满 足 条 件 时，有/=一 4(3-a)W0,即 一 6WaW2。如 图，g(x)的 图 象 与 轴 有 交 点，但 当 2,+8)时，g(x)20,420,4(34)20,即%=券 _ 2,即，一 狂 一 2,、g(-2)20,14 一%+3 20,或 6,可 得 心 4，无 解。0时，火 x)=V2x,则 不 等 式 凡 的 解 集 用 区 间 表 示 为。解 析 设 人 V O,则 一 x0,因 为/(x)是 奇 函 数，所 以 凡)=一 4 x)=-(f+Zr)。又 0,x工 等 价 于 2 c 或 2,解 得 Q 3 或 一 34V0。故 不 等 式 的 解 集 为(-3,0)U(3,+8)。|.广-2xx-x 2xxt答 案(一 3,O)U(3,+8)深 度 探 究 素 养 达 成 课 外 阅 读 增 分 培 优 一 元 二 次 方 程 根 的 分 布 一 元 二 次 方 程 根 的 分 布 一 般 要 考 虑 以 下 几 点（1）一 元 二 次 函 数 的 开 口 方 向。（2）一 元 二 次 函 数 的 判 别 式。（3）一 元 二 次 函 数 的 对 称 轴 与 区 间 的 关 系。（4）一 元 二 次 函 数 在 区 间 端 点 处 的 符 号。只 要 能 准 确 把 握 以 上 四 点，这 类 问 题 就 能 够 顺 利 解 决。【例 1】已 知 方 程 一（?+1口+加=0 有 两 个 不 等 正 实 根，求 实 数 机 的 取 值 范 围。（解】设“）=2?（?+J0,I 6 八 八（m+1）28加 0,上 J 一（?+1）由 1-乂 引?一 1,购 0卜 3+22,fn0=03+2啦，即 小 的 取 值 范 围 为（0,32媳）U（3+2啦，+8）。【名 师 微 点】本 题 结 合 二 次 函 数 y=2x2（m+l）%+m 的 图 象 解 决，另 外，也 可 以 利 用 根 与 系 数 的 关 系 解 决（自 行 完 成）。【例 2】已 知 二 次 函 数 於）=（?+2）/（2?+4.+36+3与 轴 有 两 个 交 点，一 个 大 于 1,一 个 小 于 I,求 实 数 机 的 取 值 范 围。【解】由（m+2）逃 1）2V A M 0,|m+20,f(l)0 即 的+2皿 1)0。第 三 节 二 元 一 次 不 等 式（组）与 简 单 的 线 性 规 划 内 容 要 求 考 题 举 例 考 向 规 律 1.会 从 实 际 情 境 中 抽 象 出 二 元 一 次 不 等 式（组）2.了 解 二 元 一 次 不 等 式 的 几 何 意 义，能 用 平 面 区 域 表 示 二 元 一 次 不 等 式（组）3.会 从 实 际 情 境 中 抽 象 出 一 些 简 单 的 二 元 线 性 规 划 问 题，并 能 加 以 解 决 2020全 国 I卷 不 出 目 标 函 数 的 最 值）2020全 国 III卷 3（目 标 函 数 的 最 值）2019天 津 高 考 了 2（目 标 函 数 的 最 值）2018全 国 I 卷 13（目 标 函 数 的 最 值）2018全 国 II卷（目 标 函 数 的 最 值）考 情 分 析：主 要 考 查 线 性、非 线 性 目 标 函 数 的 最 值，兼 顾 由 最 优 解（可 行 域）情 况 确 定 参 数 的 范 围，以 及 简 单 线 性 规 划 问 题 的 实 际 应 用，加 强 转 化 与 化 归 和 数 形 结 合 思 想 的 应 用 意 识 核 心 素 养：直 观 想 象 教 材 回 扣 基 础 自 测 自 主 学 习 知 识 积 淀 旗 础 细 Mi理.1也.金&K推”.I.二 元 一 次 不 等 式（组）表 示 的 平 面 区 域 不 等 式 表 示 区 域 Ar+5)+0 0 直 线 4t+B.v+C=0某 一 侧 的 所 有 点 组 成 的 平 面 区 域 不 包 括 边 界 直 线 Ar+8y+C20 包 括 边 界 直 线 不 等 式 组 各 个 不 等 式 所 表 示 平 面 区 域 的 公 共 部 分 2.线 性 规 划 中 的 有 关 概 念 名 称 意 义 约 束 条 件 由 变 量 q y组 成 的 不 等 式（组）线 性 约 束 条 件 由,y 的 一 次 不 等 式 组 成 的 不 等 式 组 目 标 函 数 关 于 x,y 的 函 数 解 析 式,如 z=x+2y线 性 目 标 函 数 关 于 x,y 的 一 次 解 析 式 可 行 解 满 足 线 性 约 束 条 件 的 解（x,y）可 行 域 所 有 亟 邂 组 成 的 集 合 最 优 解 使 目 标 函 数 取 得 最 大 值 或 最 小 值 的 可 行 解线 性 规 划 问 题 在 线 性 约 束 条 件 下 求 线 性 目 标 函 数 的 最 大 值 或 最 小 值 问 题 3.确 定 二 元 一 次 不 等 式（组）表 示 的 平 面 区 域 的 方 法 确 定 二 元 一 次 不 等 式（组）表 示 的 平 面 区 域 时，经 常 采 用“直 线 定 界，特 殊 点 定 域”的 方 法。（1）直 线 定 界：不 等 式 含 等 号，直 线 在 区 域 内；不 含 等 号，直 线 不 在 区 域 内。（2）特 殊 点 定 域：在 直 线 上 方（下 方）取 一 点，代 入 不 等 式 成 立，则 区 域 就 为 直 线 上 方（下 方），否 则 就 是 直 线 下 方（上 方）。特 别 地，当 C#0时，常 把 原 点 作 为 测 试 点；当 C=0时，常 选 点（1,0）或 者（0,1）作 为 测 试 点。微 提 醒 在 通 过 求 直 线 z=a r+b），S#0）的 截 距 京 的 最 值 间 接 求 出 z 的 最 值 时，要 注 意：当 力 0时，截 距 楙 取 最 大 值 时，Z也 取 最 大 值，截 距 宗 取 最 小 值 时，z 也 取 最 小 值；当/?（）时，截 距 钝 最 大 值 时，Z取 最 小 值，截 距 宗 取 最 小 值 时，Z取 最 大 值。小 题 改 演 练 小.一、常 规 题%3y-F601.不 等 式 组.表 示 的 平 面 区 域 是（）解 析.丫-3），+6 0表 示 直 线 x-3 y+6=0左 上 方 部 分，工 一），+2 2 0 表 示 直 线 彳 一），+2=0 及 其 右 下 方 部 分。故 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 为 选 项 C 所 示 阴 影 部 分。故 选 C。答 案 C,众 0,j+1 NO,2.不 等 式 组 内+3），2 4,所 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 等 于（.3x+yW43 2A.2 B.jC.1 D.1解 析 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 中 阴 影 部 分 所 示。由 4 0,g,18cl=4 所 以 黑 瓦=；乂 寺 乂 1=,。故 选 C。X1 3x+y=4 x+3y答 案 C2x+y2W0,3.（2020全 国 1卷）若），满 足 约 束 条 件 卜 一 厂 1 2，)x+3_y=4Q 1/可 得 A(l，D,易 得 8(0.4),3x+y=4,则 z=x+7 y的 最 大 值 为 _。答 案 1fxy-1=0,x=解 析 作 出 可 行 域，如 图 中 阴 影 部 分 所 示，由.二 c 八 得 2 x+y-2=0,1y=0,数 形 结 合 可 知，当 直 线 z=x+7），过 点 4 时，z=x+7），取 得 最 大 值，2x+y-2=0 Vyi x-y-l=01 上+7户 07 T=I,八 故 A（l,0）o 作 出 直 线.v+7y=0 最 大 值 为 1。二、易 错 题 4.(目 标 函 数 的 几 何 意 义 不 清)已 知 上 一 y+1 WO,则.F+)2的 最 小 值 是.、2xy2W0,1,解 析 作 出 卜 一 y+lWO,表 示 的 可 行 域，如 图 中 阴 影 部 分 所 示，易 求 得 点 A(l,2),8(3,4)。f+y2的 2i-y-2W0几 何 意 义 为 可 行 域 内 的 点 到 原 点。的 距 离 的 平 方。由 图 知，可 行 域 内 的 点 A 到 原 点 的 距 离 最 小，所 以 9+y2的 最 小 值 是 12+22=5 O若 z=yax取 得 最 大 值 时 解 析 画 出 不 等 式 组 表 示 的 可 行 域，如 图 中 阴 影 部 分 所 示，由 z=yor,得 y=at+z,要 使 z取 得 最 大 值 时 的 最 优 解 有 无 数 个，则 直 线 y=ar+z必 平 行 于 直 线 y工+1=0,所 以=1。答 案 I考 点 例 析 对 点 微 练 互 动 课 堂 考 向 探 究 考 点 一 二 元 一 次 不 等 式(组)表 示 平 面 区 域 自 主 练 习 LQ02L佛 山 模 拟)不 等 式 组 l|xe2yv+42。0,表 示 的 平 面 区 域 是()解 析-2)，+4 2 0 表 示 的 区 域 在 直 线 x2y+4=0 的 下 方 及 直 线 上，x-y+2()表 示 的 区 域 在 直 线 x一 y+2=0 的 上 方，则 对 应 的 区 域 为 选 项 B。答 案 Bx-y2O,2.已 知 实 数 x,y 满 足 不 等 式 组，2x+yW6,则 点(心 y)构 成 的 平 面 区 域 的 面 积 是()x+y22,5A.3 B.23C.2 D.2解 析 根 据 题 意 作 出 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域，如 图 中 阴 影 部 分 所 示。分 别 求 出 三 个 点 的 坐 标 A(2,2),3(4,-2),求 出 点 5 到 直 线.y=.i的 距 离 d=3近，H C|=&,所 以 SAc=；X|4C|Xd=gxX3也=3。答 案 A3.已 知 点 P(l,-2)及 其 关 于 原 点 的 对 称 点 均 在 不 等 式 2x+切 一 1 vO表 示 的 平 面 区 域 内，则 实 数。的 取 值 范 围 是。解 析 根 据 题 意，设。与 P(l,2)关 于 原 点 对 称，则。的 坐 标 为(一 1,2),若 P,。均 在 不 等 式 2r+外(22/?10,1 3(13)一 10表 示 的 平 面 区 域 内，则 有 ci,，八 解 得 5板 5，即 b 的 取 值 范 围 为 卜，5。2十 2。10,乙 乙 U 右 答 案 fr 1)平 面 区 域 的 形 状 问 题 主 要 有 两 种 题 型 1.确 定 平 面 区 域 的 形 状，求 解 时 先 画 出 满 足 条 件 的 平 面 区 域，然 后 判 断 其 形 状。2.根 据 平 面 区 域 的 形 状 求 解 参 数 问 题，求 解 时 通 常 先 画 出 满 足 条 件 的 平 面 区 域，但 要 注 意 必 要 时 对 参 数 进 行 讨 论。考 点 二 求 目 标 函 数 的 最 值 微 专 题 微 考 向 1：求 线 性 目 标 函 数 的 最 值【例 I】(2020.全 国 川 卷)若 x,y满 足 约 束 条 件(2xy20,则 z=3x+2y的 最 大 值 为.解 析 根 据 约 束 条 件 作 出 可 行 域，如 图 中 阴 影 部 分 所 示。结 合 图 形 可 知，当 直 线=-|*+楙 过 点 4(1,2)时，z取 得 最 大 值，且 Zm”=3Xl+2X2=7。答 案 7E 滂 刘 1副 求 线 性 目 标 函 数 的 最 值 线 性 目 标 函 数 的 最 优 解 般 在 平 面 区 域 的 顶 点 或 边 界 处 取 得，所 以 我 们 可 以 直 接 解 出 可 行 域 的 顶 点，然 后 代 入 目 标 函 数 以 确 定 目 标 函 数 的 最 值。微 考 向 2：求 非 线 性 目 标 函 数 的 最 值【例 2】x-y-2 0,已 知 x,y满 足 约 束 条 件 卜+2，-520,j2W0,解 析 画 出 满 足 条 件 的 平 面 区 域，如 图 所 示：则 2=洋 詈 的 取 值 范 围 是.(y=2,lx-y-2=0,x+v+2 y+1 y+1由 s-n 解 得 A(l,2),由 解 得 8(3,1),而 2=二=1+K,而 K T 的 lx+2y5=0,U+2y5=0,x十 1 工 十 1 人 十 I几 何