《高等数学1》期末复习提要1.doc

2009级高等数学期末复习提要第一章 函数极限与连续一、基本概念：函数：自变量x与因变量y的对应关系，记为y = f(x) 定义域D：自变量的取值范围复合函数：函数为函数与函数的复合函数，其中称为中间变量。二、函数的基本性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性.三、初等函数：1、基本初等函数：六种、12个常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2、初等函数：由基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合得到的函数称为初等函数。四、极限的基本形式:1、函数极限的描述性定义当函数在自变量的某一变化趋势下，函数值无限接近常数，则称函数极限存在，极限值为，记为：2、函数极限的精确定义：设函数在点附近有定义，若对于任意正数，均存在正数，使当时，总有不等式 成立，则称当时，极限存在，极限值为，记为 ：3、极限有七种基本形式 五、极限计算的基本方法:1、初等函数在其定义域内连续，即2、极限的基本运算法则:若存在，则：3、两个重要极限注意: 极限的抽象形式4、无穷大量与无穷小量为无穷小量为无穷大量为无穷小量为无穷大量为等价无穷小记为注：在乘积、商、乘方、开方的极限运算中，可进行等价代换，等价代换的常见公式有：（当时）6、罗必达法则（见第四章）六、函数的连续性1、在点连续2、重要结论：初等函数在其定义域内连续3、间断点：不连续点七、例题:例1设，求的定义域。解：由 得 2. 函数，则（ B ）。（A） 单调 （B） 有界 （C）为周期函数 （D）关于原点对称解：由函数性质可知。3若，则 ， ， 。解：，例2 当时，下列函数那个是其它三个的高阶无穷小（ ）。（A） （B） （C） （D）解：因为与是同阶无穷小,而所以 当时, 是其它三个函数的高阶无穷小,选择(D).例3 解：原式 例4 解：利用等价无穷小的性质计算： ， 原式 例5 解： 解故第二章 导数与微分一、导数的基本概念：1、定义：极限变化率2、导数定义公式：（1）导数记号：（2）等价定义公式：其中：增量3、几何意义：切线的斜率切线方程：4、连续与导数的关系：可导必连续, 连续不一定可导,不连续一定不可导.注意: 分段函数可导与连续的讨论.二、导数的基本运算:1、导数的基本公式（14个）3、复合函数求导：, 则 即：复合函数导数函数对中间变量求导×中间变量的导数4、隐函数求导：将视为中间变量，等式两边对求导。5、分段函数求导方法（1）在分段点不连续不可导（2）在分段点连续时，使用导数定义求导6、高阶导数7. 参数方程求导8.抽象函数求导注意求导符合的使用.三、函数微分1、定义：函数满足 （无关，的高阶无穷小）则，称为的微分，记为即：2、与导数的关系：四、例题: 例1. 曲线在（0，2）点的切线方程是 。解：y=2ex 切线斜率为 k=2 切线方程是例2. 已知，求解： 例3. ,dy解：dy = ex(sin x + cos x) d x例4. 设是由方程所确定的函数，求。解：第三章 导数应用一、中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理二、罗必达法则:1、基本未定型： ,2、其他未定型： 均可化为,型三、函数性态函数图象性质:1、单调性判别法： 2、极值：（1）定义：局部最大、最小值（2）判别法一：连续函数单调分界点：极值点例如：从单增到单减：极大值（3）判别法二：驻点：3、凹性、拐点（1）上凹：曲线总在切线上方下凹：曲线总在切线下方拐点：凹性分界点（2）判别法四、经济应用:五、例题: 例1 解：例2 函数y = x 2 - 2lnx的单调增加区间为 ，单调减少区间为 。解当时，单调减少, 当时，单调增加例3设曲线有一拐点（1，-1），且在x = 0处切线平行于直线y = x，求a，b，c及曲线方程。例4已知某商品的需求函数为x = 125 - 5 p，成本函数为C(x) = 100 + x + x 2,若生产的商品都能全部售出。求：(1)使利润最大时的产量；(2) 最大利润时商品需求对价格的弹性及商品的售价。例5证明：当。 例6某产品的产量为x（百台），总成本为C（x）万元，其中固定成本为5万元，边际成本为2万元/百台，假定产品能全部售出，且市场需求规律是x =1000 100p (其中p为价格)，求：（1）每年生产多少台时利润最大？（2）利润最大时的价格是多少？解:（1） 第四章 不定积分一、基本理论:1、不定积分概念（1）原函数注：积分是导数的逆运算（2）不定积分：的所有原函数2基本积分公式（13个）二、积分方法:1、分项积分2、凑微分法常见凑微分形式： 3第二换元法了解两类应用：有理代换、三角代换4分部积分法注：反对幂指三，谁先谁为,谁后谁凑为微分。三、例题: 例1若，则 。解：为f（x）的原函数，则 例2 解：例3 解：例4 解：例5 解：原式=例6计算不定积分。第五、六章 定积分及其应用一、基本理论:1、定积分的定义：2、几何意义：曲边梯形面积3、微积分基本定理：二、定积分计算:1、计算性质（1）（2）（3）可加性原理2、牛顿莱布尼茨公式3、定积分换元法：换元必换限，对应变换4、定积分分部积分法5、广义积分（1）无穷限积分（2）瑕积分三、-与经济应用:1、平面区域面积2、旋转体体积四、例题: 例1 。解：由微积分基本定理得：例2 当（ ）时，广义积分的收敛。A. B. C. D. 解：= 答案为 D例3 广义积分收敛，则 p =（ ） A. 1/2 B.1 C. 3/2 D. 2解：当 p<1时，收敛。答案 A.例4 已知，求.解： 因为 于是 而 所以 . 例5 解： 例6.求由曲线与直线及围成的平面图形的面积及由此图形绕着轴旋转而得的旋转体的体积。Oxy解： 例7. 14