高二文科数学秋季讲义第8讲.直线与椭圆的位置关系.pdf

I第 8 讲 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 满 分 晋 级 解 析 几 何 11级 双 曲 线 与 抛 物 线 的 基 考 点 1.直 线 与 椭 圆 的 交 点 问 题 暑 假 知 识 回 顾 直 线/：Ax+By+C=O(A、3 不 同 时 为 0)与 椭 圆 C：/(x,y)=0 的 位 置 关 系：直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 可 分 为：相 交、相 切、相 离.这 三 种 位 置 关 系 的 判 定 条 件 可 归 纳 为:设 直 线/：Ax+By+C=0,椭 圆 C：f(x,y)=0,由!Ax+)+C=f(x,y)=0消 去 y(或 消 去 x)得：ax2+bx+c=0.此 时 一 定 有“NO,=一 4ac,A A OO 相 交；A c O o 相 离；A=练 习 1 若 直 线 丫=-2 和 椭 圆 x2+92=9有 两 个 公 共 点，则 后 的 取 值 范 围 为【解 析】kB3 3 消 去 y 整 理 得（9公+1*-3 6 代+27=0,x+9y-=9则 A=（-364）2 _4 x27（9公+1）=108（3公-1）,当（）,即/一 班 或 苴 时，直 线 与 椭 圆 有 两 个 公 共 点 3 3经 典 精 讲【例 1】*若 直 线 y=+l（h R）与 椭 圆 二+其=1恒 有 公 共 点，求 实 数 机 的 取 值 范 围.5 m*已 知 以 6（-2,0），6（2,0）为 焦 点 的 椭 圆 与 直 线 x+6 y+4=0有 且 仅 有 一 个 交 点，则 椭 圆 的 长 轴 长 为（）A.3夜 B.2/6 C.2x/7 D.4夜*已 知 一 条 直 线/与 椭 圆 三+亡=1相 切 于 点 3 1,求 切 线/的 方 程.4 3 I 2）【解 析】解 法 一：y=kx+由 V2 可 得(5 二+切*+10自+5-5机=0,-F=1,5 m A=20m(6+5 4 2 1)2 0即 相 2-5 攵？+1，V-5A:2+1 1，机 2 1 且 机 w5解 法 二：直 线 恒 过 一 定 点（0,1）当“5 时，椭 圆 焦 点 在 x 轴 上，短 半 轴 长 Z?二,要 使 直 线 与 椭 圆 恒 有 交 点 则 4m 2 1 即 1W m 5 时，椭 圆 焦 点 在 y 轴 上，长 半 轴 长=，而 可 保 证 直 线 与 椭 圆 恒 有 交 点 即 m5综 述：2 1且 6 w 5解 法 三：直 线 恒 过 一 定 点（0,1）A2 I2要 使 直 线 与 椭 圆 恒 有 交 点，即 要 保 证 定 点（0,1）在 椭 圆 内 部 匕+L 4 1即 5 m/.机 2 1 且 C2 2设 椭 圆 方 程 为 三+亲=1（4/?0）.由,b x+c i二 y cib=0,得 年+3阳/+8回 r卜,+16从、一/加=。，x+V3y+4=0,直 线 与 椭 圆 有 且 仅 有 一 个 交 点/.=192Z/*-4（/+3H）（16廿-a2b2）=0可 得/=7,：.2 a=2币.设 过 点 011,|卜 勺 直 线/的 方 程 为 y g=-1）,将 其 与 椭 圆 的 标 准 方 程 r上 2+2v12=1联 立，4 3消 去 参 数 y 可 得 方 程（3+4攵 2）+（12左 一 8攵 2）工+4/一 12左 一 3 二 0,因 为 该 直 线 与 椭 圆 相 切，所 以 其 判 别 式 A=（12一 一 弘 2）2-4（3+4）（4人 2一 1 2:-3）=0=-,22Q 1 1，该 直 线 方 程 为,_二=_/(工 _1),即 y=-x+2.【点 评】我 们 知 道 当 点 尸(工 0,%)在 圆 f+V=/时，过 该 点 p(%,%)的 切 线 方 程 为 2 2同 样 可 得，当 点 尸(%，)在 椭 圆 二+马=1时，过 该 点 p(x,%)的 切 线 方 程 为 a h更+纨=1a2 b2 尖 子 班 学 案 1【拓 2】直 线 y=2k与 曲 线 9/+丁=18公|x|(A e R,且 女 关 0)的 公 共 点 的 个 数 为()1.1 B.2 C.3 D.4【解 析】D将 y=2k代 入+/=18/|x|得 9 G+4k2=lSk2x,即 9|x-18|x|+4=0,显 然 该 关 于|x|的 方 程 有 两 正 解，即 x 有 四 解，所 以 交 点 有 4 个.目 标 班 学 案 1【拓 3】若 椭 圆 和 连 结 他 1),5(2,3)两 点 的 线 段 恒 有 公 共 点，则 实 数 的 取 值 范 围 为()A.M，+1 B 也+/C.型，叵 D 也 亘 一 L6 J L2 J L2 2 J 6 2【解 析】C线 段 45 与 椭 圆 有 公 共 点，其 等 价 条 件 是 点 A 在 椭 圆 内 或 边 界 上，点 5 在 椭 圆 外 或 边 界 上,I2+C!2/T由 此 得 4 2 解 之 得 独 故 选 C.0，3?2 2 22+2【错 因 分 析】误 区：过 点 A(l,1),8(2,3)的 直 线 方 程 为 y=2x-l.椭 圆 Y+匕=42m。)与 线 段.恒 有 公 共 点，方 程 组 y=2x-l,y2 恒 有 解，消 去 y 得 6f-4*+1-2/=0.(*),方 程(*)有 实 x+=a2数 根，A N 0,由 此 得 逅，因 此 选 A.6【例 2】篇 已 知 中 心 在 坐 标 原 点 O 的 椭 圆 C 经 过 点 A(2,3),且 点 尸(2,0)为 其 右 焦 点.(1)求 椭 圆 C 的 方 程；是 否 存 在 平 行 于。4的 直 线/,使 得 直 线/与 椭 圆 C 有 公 共 点，且 直 线。4与/的 距 离 等 于 4?若 存 在，求 出 直 线/的 方 程；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【解 析】依 题 意，可 设 椭 圆 C 的 方 程 为 三+1=1(人 0),且 可 知 左 焦 点 为 广(2,0),a b从 而 有 c=22a=|AF|+|AF|=3+5=82 2又/=+/所 以 廿=12,故 椭 圆。的 方 程 为 工+X=i.16 123 假 设 存 在 符 合 题 意 的 直 线/,其 方 程 为 y=+由,3y=x+t,2,得 31+3a+产-12=0.-1-=116 12因 为 直 线/与 椭 圆 有 公 共 点，所 以 有=（3/）2-4x3（r 7 2）0,解 得 T 后 另 一 方 面，由 直 线 0 4 与/的 距 离 4 可 得：萼=4,从 而 1=2了，由 于 2而 仁-4 K,4 6,所 以 符 合 题 意 的 直 线/不 存 在.【备 选】己 知 椭 圆 上+=1,/4 是 过 点（0,，），且 相 互 垂 直 的 两 条 直 线，问 实 数 S 在 什 么 范 围 16 9时，直 线 4 都 与 椭 圆 有 公 共 点.【解 析】设（：y=kx+m,则。：y=一+与 椭 圆 有 公 共 点=+v+/?=j有 实 根 1 2k 16 92 八 o（16府）2（9+16&2）（16，/-144）,0,即 火?2 气 二.同 理 与 椭 圆 有 公 共 点、病 一 9少-16,于 是-1,即 何 阵 5.由 于 网 5时,16 16 16=1,而 二 与 B必 有 一 个 不 超 过 1,这 时 4,4 不 可 能 都 与 椭 圆 有 公 共 点.综 上 所 述，制 4 5.时，过 点（0,m）存 在 两 条 相 互 垂 直 的 直 线 4,4 都 与 椭 圆 有 公 共 点，又 丫=兀+加 与 y=x+%与 与 椭 圆 都 有 公 共 点.in e-5,5.考 点 2：椭 圆 中 的 弦 长 问 题 暑 假 知 识 回 顾 1.两 根 差 公 式：如 果 王,工 2满 足 一 元 二 次 方 程：公 2+hx+c=O,5-a a c ylh2-4ac VZ-=(A0).同 连 结 椭 圆 上 两 个 点 的 线 段 称 为 椭 圆 的 弦.求 弦 长 的 一 种 求 法 是 将 直 线 方 程 与 椭 圆 的 方 程 联 立，求 出 两 交 点 的 坐 标，然 后 运 用 两 点 间 的 距 离 公 式 来 求；另 外 一 种 求 法 是 如 果 直 线 的 斜 率 为 3 被 椭 圆 截 得 弦 两 端 点 坐 标 分 别 为（不，%）,（，为），则 弦 长 公 式 为|A5|=川+A3-X2=l+k2=1 X 卜 2.涉 及 到 直 线 被 椭 圆 截 得 的 弦 的 中 点 问 题 时，常 用 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系（韦 达 定 理），这 样 可 直 接 得 到 两 交 点 的 坐 标 之 和，也 可 用 作 差 方 法（“点 差 法”）找 到 两 交 点 坐 标 之 和，直 接 与 中 点 建 立 联 系.4练 习 2|已 知 椭 圆 C:工+y=l,-4-若 斜 率 为 1的 直 线 过 椭 圆 的 右 焦 点，交 椭 圆 于 A,5 两 点，求 弦 口 的 长？20 若 直 线 为 y=2x+?，问 当 机 为 何 值 时，直 线/被 椭 圆 C 所 截 得 的 弦 长 为 台？【解 析】设 A,%),B(X2,y2),由 椭 圆 方 程 得/=4,h2=l,C2=3,.右 焦 点 尸 便，0),.直 线 方 程 为 y=x-6,代 入/+4 2=4 中 整 理 得：5X2-8/3X+8=0,.*.=64x3-20 x 8=32,二|A8|=1+.2当=叵=a 5 5y=2%+?，由 方 程 组 0,即-&7 根，万 时，方 程 组 有 两 个 解，直 线 与 椭 圆 相 交;；.|A8|=J1+A 在 一 岳 4 4 7-广 一 型 解 之 得 加=2百.1|a|17 17即 当 机=26时，直 线/被 椭 圆 C 所 截 得 的 弦 长 为 型.17所 以 直 线/的 倾 斜 角 为 工 或 变.4 4经 典 精 讲【例 3】在 已 知 椭 圆 C:二+9=1,。为 坐 标 原 点.A 为 椭 圆 的 右 顶 点，点 尸(异 于 点 A)为 椭 圆 C4上 一 个 动 点，过 O 作 线 段 A P 的 垂 线/交 椭 圆 C 于 点 瓦。，求 陷 的 取 值 范 围.AP【解 析】显 然 直 线 M 的 斜 率 存 在，可 设 直 线 转：y=R(x-2),当 4 w 0 时，直 线。E:y=-x.k联 立 直 线 A P 与 椭 圆 方 程 化 简 得：(4储+1 16/工+16公 一 4=0,/.AP=-Jl+k2-4-16公）2-4（16/-4）（4公+1）451+/4k2+联 立 直 线。E 与 椭 圆 方 程，有 4F+1X2-4=0,.M E?2 串 于 是 由、得 瑞 关 空 设=E”2,nlDE 4r2-15,15则=-=4z eAP t t 2,+00 当 k=0 时,AP=4,DE=2,：.M=1|AP|2综 上,陷 的 取 值 范 围 是 1I,+00网 2【备 选】（2013北 京 朝 阳 二 模）v-2 v2已 知 椭 圆 C*+方=1（a b 0）的 右 焦 点 为*1,0）,短 轴 的 端 点 分 别 为 与，且 FB、-FB2=-a.求 椭 圆 C 的 方 程；过 点 F 且 斜 率 为 人（人 工 0）的 直 线/交 椭 圆 于 M,N 两 点，弦 M N 的 垂 直 平 分 线 与 x 轴 相 交 于 点。.设 弦 的 中 点 为 P,试 求 口 的 取 值 范 围.|MN|,_（一 1,0）（-1,-b=-a【解 析】八 八）/=从+1解 得 a=2h=xfi2 2,椭 圆 的 标 准 方 程 为 三+二=1.4 3 设 yj,N（%，丫 2），比;%）,直 线/:%=冲+1则 直 线/的 垂 直 平 分 线 的 方 程 为：x=_L/y 2t&+S a,m 2）2其 中 加=工，k则 啥 那 詈,。X=畋+1由,丁）2 消 去 x 得 R m?+4）V+6nzy 9=0,彳 十 丁 一=，心+必）+2=高，|MN|=J1+*J（6 z+36（3 川+4）2（+）37?+4 3 72+4尸（高，肃 3 V rn2+13帆*+4.二 飞 府+1 二 4+l）4A/+I1 DP 1 加=上 工 0,A 0 J 一，k MN 4即 口 驾 的 取 值 范 围 为（0,|MN|1 4）尖 子 班 学 案 2【拓 2】已 知 椭 圆；+27=1（40）与 直 线 x+y=l交 于 A、3 两 点，|4例=生 色，A B 的 中 点 Ma2厅 3与 椭 圆 中 心 连 线 的 斜 率 为 L,求 椭 圆 的 方 程.2【解 析】设 A（X,y）,8（马，必），M（x（）,%）,E f=由,消 去 y 整 理 得 3 2+/及 2-242+/-/=。，%+y=1所 以 田 的，玉+x2 a2 b2所 以 寸=5%=l f:市.因 为 k m=g，%=&=0.|倜=而，4=而 也 且 三=逑|a|3 3解 得。2=1,代 入 检 验 满 足 条 件，所 以/=2.故 所 求 椭 圆 的 方 程 为 工+y2=i.2提 高 班 学 案 10【铺 1】已 知 椭 圆+匕=1的 左 右 焦 点 分 别 为 耳，工，若 过 点 尸（0,-2）及 6 的 直 线 交 椭 圆 于 A,B两 点，求 AAB居 的 面 积.【解 析】解 法 一：设 4（%,%）,8（，%）,则 由 题 可 知：直 线 3 方 程 为 2x+y+2=0,y=-2x-2由 L y2 可 得 9y2+4）-4=0,+=12 1M 一%|=J（X+%）2-4x%=,S/、=；|KE|x 解 法 二：F,到 直 线 A B 的 距 离 力=迪-5y=-2x-2由 y2 可 得 9d+16x+6=0,又 I 2 1T=g|阴=乎.|AB|=y/l+k2,-x2|=【例 4】由 已 知 椭 圆 方 程 为 三+工=1,射 线 y=2x（x这 0）与 椭 圆 的 交 点 为 M,过 M 作 倾 斜 角 互 补 的 2 8两 条 直 线，分 别 与 椭 圆 交 于 力、5 两 点(异 于 M).(1)求 证：直 线 他 的 斜 率 心=2；求 面 积 的 最 大 值.【解 析】；斜 率%存 在，不 妨 设&0,求 出 2).直 线 M 4 方 程 为 y+2=k(x+l),直 线 用 8 方 程 y+2=-x+1)分 别 与 椭 圆 方 程 联 立，可 解 出/=-k2-4k-4 k2+4k-4/+4%=-P 7 4以 一 力 _/4+4+2)_,.-乙，,8 一 乙 2 2(2)设 直 线 A B 方 程 为 y=2x+m,与 工+二=1联 立,2 8消 去 y 得 8x2+4tn)c+(m2-8)=0.由 A=16/w2-32(m2-8)=16(16 加 2)0得 4 m/2 时，得 Smax=2.尖 子 班 学 案 3【拓 2】【解 析】如 图，直 线 y=Ax+6 与 椭 圆 1+丫 2=1交 于 A、8 两 点,求 在 2=0,02/1-b2所 以 S=g 加 入 一|=2by-h2 b2+-h2=当 且 仅 当 人=、一 时，S 取 到 最 大 值 1.2y=kx+b(2)由,得(4二+1)Y+8次+4/一 4=0+y-=114-A=16(4jt2-/,2+l)同 二 百 省 二 百 呵 五 二 2a 4k+1记 AO8的 面 积 为 S.又 因 为。到 A 3 的 距 离 2=_=且-=1,所 以=公+1 V i T F IA例 代 入 并 整 理，得 4犬 一 4犬+1=01 Q解 得，/=上,/=3,代 入 式 检 验，a。，故 直 线 4?的 方 程 是 2 2872 76.0 R H 72 76.72 76y=x-A y=x-双 y=-XH-双 y=-x-.2 2 2 2 2 2 2 2目 标 班 学 案 22 2【拓 3】如 图，椭 圆=+斗=1上 的 点 M 与 椭 圆 右 焦 点 工 的 连 线 M 巴 与 x轴 垂 直，且 O M(O 是 坐 标 a b原 点)与 椭 圆 长 轴 和 短 轴 端 点 的 连 线 4 5 平 行.求 椭 圆 的 离 心 率;过 工 且 与 4 5 垂 直 的 直 线 交 椭 圆 于 尸、。，若 的 面 积 是 2()6,求 此 时 椭 圆 的 方 程 及|尸。|的 长.【解 析】易 得 kO M=,kAB=-a)ac a 设 直 线 尸。的 方 程 为 y=-(x-C),即 丫=-&(-。).b代 入 椭 圆 方 程 消 去 x 得:整 理 得：5y2-2 77-2c2=0,Sgt?=；2c“X-=2 0 g,02=25.因 此/=50,%?=25,所 以 椭 圆 方 程 为 二+2-=1.50 25pQ=(2/2c)-4 x 5 x(2c2)_ 6-2、_ 65y5 5考 点 3：椭 圆 上 存 在 点 关 于 直 线 对 称 的 问 题 1.点 关 于 点 的 对 称：由 中 点 坐 标 公 式 知，点(x,y)关 于 点(a,力 对 称 的 点 的 坐 标 为(2a-x,2b-y)2.已 知 点 4%,%),直 线/:y=H+。(女 工 0),求 点 A 关 于/的 对 称 点 A(w，)，则 称 点 A 的 连 线,kAA=TA4被 直 线/垂 直 平 分，即 y,+y,x+x,解 方 程 组 得 马，女 _=k-+b2 2经 典 精 讲 一.【例 5】六 试 确 定 机 的 取 值 范 围，使 得 椭 圆+=1上 有 不 同 两 点 关 于 直 线 y=4x+?对 称.【解 析】法 一：设 出 对 称 的 两 点 及 其 所 在 的 直 线 方 程，再 利 用 判 别 式 A 0及 中 点 在 对 称 轴 上 来 求 解.设 椭 圆 C 上 关 于 直 线/对 称 的 两 点 为 P(%,y),Q(X2,y2),其 所 在 直 线 的 方 程 为 y=-x+b,代 入 椭 圆 的 方 程 中 整 理 得：413 X2-8Z?X+16/72-48=0./.A=-192(4/72-13)0,*2 产 x/13 V13 公 解 仔:-b-2 2又+W=皿，)1+%=1 芭 二 12 2-2-4-2 V3 9而 点(号，汽 上)又 在 y=4 x+加 上，机=入 产 4 号=一 s 把 代 入 得：一 名 叵 团 型 3.13 13法 二：C 上 存 在 不 同 的 两 点 关 于 直 线/对 称，等 价 于 存 在 c 的 弦 被/垂 直 平 分，且 垂 足 必 在 椭 圆 c 的 内 部，因 此，这 类 问 题 可 考 虑 利 用 交 点 在 曲 线 c 的 内 部 建 立 不 等 式.设 椭 圆 C 上 关 于 直 线/对 称 的 两 点 为 尸(斗，X),Q(x2,y2),弦 P Q的 中 点 为 M 5,%),代 入 椭 圆 方 程 得：21二 旦=_ 2乜=占 一 X 2 4%4由 点 A f在 直 线 y=4x+，上 得：y0=4x0+m.由 解 得 x0=-m,%=-3m.：M(-m,-3 在 椭 圆 的 内 部,:.3(-m)2+4(-3根 了 1 2.短 产 2x/13 2万 用 隼 何-m 力 0)的 两 个 焦 点 片、F,点。在 椭 圆 C 上，且 尸 耳，耳 月，|明|=3,a a 3附 I号.求 椭 圆 C 的 方 程；(2)若 直 线/过 圆/+2+4-2丫=0 的 圆 心 M 交 椭 圆 于 A、8 两 点，且 A、B 关 于 点“对 称，求 直 线/的 方 程.【解 析】(1)因 为 点 尸 在 椭 圆 C 上，所 以 2a=归 用+|尸 用=6,a=3.在 RtZkPf；6 中，恒 用=丽 狞 j另=2 6，故 椭 圆 的 半 焦 距 c=石，从 而 从=/一:2=4,所 以 椭 圆 C 的 方 程 为 土+工=19 4(2)法 一:设 A,8 的 坐 标 分 别 为(%,%),区,y2).由 圆 的 方 程 为(x+2)2+(y-l)2=5，所 以 圆 心 用 的 坐 标 为(-2,1).从 而 可 设 直 线/的 方 程 为 y=k(x+2)+l,代 入 椭 圆 C 的 方 程 得(4+9k2)x2+(36k2+18Z)x+36+36k-27=0.因 为 A,8 关 于 点 M 对 称.所 以 士 力=_ 1 8 K+9 A=_ 2,解 得=目，2 4+9 公 910所 以 直 线/的 方 程 为 y=，x+2）+l,即 8x-9y+25=0.（经 检 脸，符 合 题 意）法 二：已 知 圆 的 方 程 为（x+2）2+（y-l）2=5,所 以 圆 心 M 的 坐 标 为（一 2,1）.设 A,8 的 坐 标 分 别 为（石，y）,（x2,%）.2 2 2 2由 题 意 占 WX,且 工+义=1 也 1+互=1 9 4 9 4由-得 a 一 马）（%+%）+（%-）2）（x+力）=（）9 4因 为 A,B 关 于 点 M 对 称，所 以+w=-4,y+%=2,代 入 得 江 港=,即 直 线/的 斜 率 为 日，x,-x2 9 9Q所 以 直 线/的 方 程 为 y-l=（x+2）,即 8x9y+25=0.（经 检 验，所 求 直 线 方 程 符 合 题 意）.考 点 4：直 线 与 椭 圆 的 综 合【例 6】再 已 知 椭 圆 方 程 为+2=1,定 点 E（-l,0）,直 线 y=fcc+2与 此 椭 圆 交 于 C、D 两 点.是 否 存 在 实 数 3 使 得 以 线 段 8 为 直 径 的 圆 过 E 点.如 果 存 在，求 出 火 的 值；如 果 不 存 在，请 说 明 理 由.【解 析】设 C（3,yj,D（X2,y2）,若 存 在 实 数%,使 得 以 线 段 8 为 直 径 的 圆 过 E 点，则 E C J.E D,即（+1,y,）（x2+1,丫 2）=。=西/+%+毛+1+M%=。，=（左 2+1）玉 W+（2攵+1）（%+;）+5=0,.y=kx+2由）消 去 y 得（1+3 卜 2+12米+9=0，丁）=A=（12*）2-36（1+3*2）=36（*2-1）0,即 公 1,-12k 9%+=T，刀 看=T-1+3/勺 2 1+3公 把 代 入 得：枣 RL凶 经 却 1+3公 1+3公 7+5=0,解 得=.满 足 题 意,67.存 在 实 数 左=-，使 得 以 线 段 8 为 直 径 的 圆 过 E 点.6【备 选】椭 圆 中 心 是 坐 标 原 点 O,焦 点 在 x轴 上，e=正，过 椭 圆 左 焦 点 尸 的 直 线 交 椭 圆 于 尸、Q 两 2点，|P Q|=,且 OP，。，求 此 椭 圆 的 方 程.2 2【解 析】设 椭 圆 方 程 为 5+与=1（ah0）优 bA2 2（1）PQ_Lx轴 时,F（-c,0）,FP=,又 I fQ|=|FP|且 OP_LOQ,.|OE|=|FP|,即 c=解 得 6=垦 1 与 题 设 6=且 不 符，所 以 P Q 不 垂 直 X 轴.2 2 PQ:y=A(x+c),P 5,%),Q(X2,y2),e=,a2-c2,b2=-c2,2 3 3所 以 椭 圆 方 程 可 化 为：3x2+12y2-4 c2=0,将 P。方 程 代 入，得(3+12 k)x2+2442cx+12%2c2-4 c2=0,；.占+x,=二 空，x x,=二 41-3+12 炉 1-3+12*A=(24丘 7-4(3+12公 用 2丘 2 _4 c2)=48c2(1+A:2)由 间 得 G.峥 组 型 1 1 9 3(1+4廿)9V O P L O Q,入 匹 二 一 1即 工 2+乂%=0，%x2/.(+k2)xx2+k2c(x+x2)+c2k2=0 把 入+工 2，$工 2 代 入，解 得 公=,把 公=(代 入 解 得 C、2=32：.a2=4,6=1,则 所 求 椭 圆 方 程 为 工+y 2=i.【例 7】t t（2012 北 京 理 19）已 知 曲 线 C:（5-/M）x 2+（m-2）y 2=8（/MwR）（1）若 曲 线 C 是 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆，求?的 取 值 范 围；设 m=4,曲 线 C 与 y 轴 的 交 点 为 A,B（点 A位 于 点 3 的 上 方），直 线 y=fcc+4 与 曲 线 C交 于 不 同 的 两 点“，N,直 线 y=l 与 直 线 交 于 点 G.求 证：A,G,N 三 点 共 线.2 2【解 析】原 曲 线 方 程 可 化 简 得：一+一=1O O5-m m-28 8-5-m m-2Q 7由 题 意 可 得：0,解 得：-/n 0,解 得：k2一 同?4由 韦 达 定 理 得：XM+XN-r-,XMXN-T T T-,乙 K 十 1 乙 K 1设 N Q N,4/+4),M(XM,kxM+4),G(XG,1)MB 方 程 为:y=k X6x-2,则 G(工 一，1,%3.M+6 J/.AG=X,-1 AN=(xN,kxN+2)1 5 1+6)f欲 证 A,G,N 三 点 共 线，只 需 证 AG,A N共 线 即 3：(xNk+2)=-xN 成 立，化 简 得：(3A+k)xMxN=-6(xw+xN)+612将 代 入 易 知 等 式 成 立，则 A,G,N 三 点 共 线 得 证.【例 8】H(2 010天 津 理 20)已 知 椭 圆+/叱 力。)的 离 心 率 e邛，连 接 椭 圆 的 四 个 顶 点 得 到 的 菱 形 的 面 积 为 今【解 析】求 椭 圆 的 方 程；设 直 线/与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 A,B,已 知 点 A 的 坐 标 为(-a,0),点。(0,%)在 线 段 4?的 垂 直 平 分 线 上，且 QAQB=4,求 为 的 值.由 e=,得 3a2=4c*,再 由 c?=一 从，得 a=2ba 2由 题 意 可 知，一 x 2。x 2 Z?=4,即=2解 方 程 组 2a=2b，.付 a=2,h=ab=2 所 以 椭 圆 的 方 程 为 三+丁=14由(1)可 知 A(-2,0).设 3 点 的 坐 标 为(4，%),由 题 意 可 知 直 线/的 斜 率 存 在，设 直 线/的 斜 率 为 左，则 直 线/的 方 程 为 y=-x+2),y=k(x+2)于 是 A,3 两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组，f+y=1I 4-由 方 程 组 消 去 y 并 整 理，得(1+4公)Y+16 X+(16A2-4)=0,c 16k2-4 p 2-8公 彳 由 办 二 7 7 记 侍 寸 TT充 从 而 尸 设 线 段 4 3 是 中 点 为 则/的 坐 标 为-4k1+4 公 弘 2 2kl+422 1+4吃 以 下 分 两 种 情 况：当 A=0 时，点 8 的 坐 标 为(2,0).线 段 A fi的 垂 直 平 分 线 为 y 轴，于 是 QA=(-2,%),Q8=(2,_%)由 QA.QB=4,得=2 0 当 斤 力 0 时，线 段 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 y-竺 可=二 1(%+也 干)1+4&k 1+4 左-令 x=0,解 得 由 QA=(-2，-%),QB=a,X-%)QA QB=-2 x1-y0(y,-y0)_-2(2-8/)1+4公 6k 4 A 6k1+4公 1+4/+1+4公 4(1 6/+1 5 公+4公 111=4整 理 得 7k2=2,故 Z=土 弓 所 以 为=1y综 上%=272 或 yQ=.华 山 论 剑(2010安 徽 理 19)已 知 椭 圆 E 经 过 点 4(2,3),对 称 轴 为 坐 标 轴，焦 点耳，K 在 x轴 上，离 心 率 e=g.求 椭 圆 E 的 方 程；求 N-A K 的 角 平 分 线 所 在 直 线/的 方 程；在 椭 圆 E 上 是 否 存 在 关 于 直 线/对 称 的 相 异 两 点？若 存 在,请 找 出；若 不 存 在，说 明 理 由.2 2【解 析】设 椭 圆 E 的 方 程 为+4=1a b由 e=L,即=!,a=2c,得/=a=3c2,2 a 22 2椭 圆 方 程 具 有 形 式 二+马=1.4c2 3c2i a将 A（2,3）代 入 上 式，得 二+二=1,解 得 c=2,c cr2 v2椭 圆 E 的 方 程 为 土-+=1.16 12 解 法 1:-2由 知 百（-2,0）,6（2,0）,所 以 直 线 A耳 的 方 程 为：y=：（x+2）,即 3 x-4 y+6=0,直 线 A名 的 方 程 为：x=2.由 点 A在 椭 圆 E 上 的 位 置 知，直 线/的 斜 率 为 正 数.设 P（x,y）为/上 任 一 点，则 围?+“I=_ 2）若 3 x-4 y+6=5 x-1 0,得 x+2y 8=0（因 其 斜 率 为 负，舍 去）.于 是，由 3 x-4 y+6=-5x+10,得 2 x-y-l=0所 以 直 线/的 方 程 为：2x y l=0解 法 2:V 4（2,3）,耳（一 2,0）,.（2,0）,AF,=（-4,-3）,AF2=（O,-3）.二 扇+询 i 7+扣，-3）=一 如 2）.K=2,；./:y-3=2（x-2）,即 2x y 1=0.解 法 1:假 设 存 在 这 样 的 两 个 不 同 的 点 8（%,%）和 C（王，%），,?B C r i,：.kKC=%-X=-“占 2设 8 C 的 中 点 为%）,则%=七 受，由 于 M 在/上，故 2%-%-1=0.2 2 2 2叉 B,。在 椭 圆 上，所 以 有 a+&=1与 玉+&=1.16 12 16 12两 式 相 减，得 仝+3=0,即。+一（七 3）+*）（%-）1）=0.16 12 16 12将 该 式 写 为 三 土 三+追 二 上-入 士&=0,并 将 直 线 8 c 的 斜 率 kK：和 线 段 8 c 的 中 点 8 2 x2-x 6 2表 示 代 入 该 表 达 式 中，得！/一-y0=0,即 3%一 2yo=0.8 1214 x2-得 x0=2,%=3,即 8 c 的 中 点 为 点 A,而 这 是 不 可 能 的.不 存 在 满 足 题 设 条 件 的 点 3 和 C.解 法 2:假 设 存 在 8（百，%），%）两 点 关 于 直 线/对 称，则/，8C,.怎 c=-g.1 r2 y2设 直 线 8 C 的 方 程 为 丁=-士 工+机，将 其 代 入 椭 圆 方 程 二+乙=1,2 16 12得 一 元 二 次 方 程 3/+4（-;x+mj=48,即 X?-优+）/-12=0.则 X）与 x2是 该 方 程 的 两 个 根.由 韦 达 定 理 得+W=m,于 是 y+必=一 耳（玉+W）+26=-,：.B,C 的 中 点 坐 标 为 仁，空）.又 线 段 B C 的 中 点 在 直 线 y=2x 1上，.即=机-1,得?=4.4即 3,C 的 中 点 坐 标 为（2,3）,与 点 A 重 合，矛 盾.不 存 在 满 足 题 设 条 件 的 相 异 两 点.实 战 演 练 2 2【演 练 1】直 线 y=x+m 与 椭 圆 三 一+）144 25=1有 两 个 公 共 点,则 加 的 取 值 范 围 是（)A.(-5,5)B.(-12,12)C.(-13,13)D.(-15,15)【解 析】C【演 练 2】若 椭 圆 2犬+丫 2=/5 0）与 连 结 4,2）,8（2,3）的 线 段 没 有 公 共 点，则 的 取 值 范 围 是.【解 析】（0,纵 即,+oo）由 题 意，要 使 线 段 4 5 与 椭 圆 无 公 共 点，则 A 在 椭 圆 外 或 3 在 椭 圆 内，即 2 1+2 2/或 2-22+32/,-R a/17 或 x/17,又 Y a。，0 a#或 我 为 所 求.【演 练 3】设 直 线/:2x+y+2=0 关 于 原 点 对 称 的 直 线 为,若/与 椭 圆 f+=l的 交 点 为 A、B,点 尸 为 椭 圆 上 的 动 点，则 使 a R 钻 的 面 积 为 4 的 点 尸 的 个 数 为（）2A.1 B.2 C.3 D.4【解 析】B直 线/:2x+y+2=0 关 于 原 点 对 称 的 直 线 为/的 方 程 为：2x+y-2=0,2 x+y-2=0，f _n(_2r,消 去，得 卜 i叫=6x2+=1,171=2,y2=0,4设 点 P(x,y)，点 P 到 A B的 距 离 为!2 j+.y 2lV22+l2二 E4B的 面 积 为 1 X1 X|4 8|=L/2：+)2三 石=1|2 x+y-2|=1,2 V F 7 F 2 V F T F 2 2：.2 x+y-2=,又.点 P 为 椭 圆 上 的 动 点,1 2x+y-2 1=1,2 x+y-2=l,：.,y2.1 2 消 去 y,得 8 f_ 1 2 x+5=0 x+=1,X-+=1,4 42x+y-2=-1,，y2 消 去 y,得 8犬-4犬 一 3=0,A 0,有 两 解.X 4-=1,4A 6 0),；左 顶 点 A(-2石,0),AC 1 CO,I AC|=|CO|.A a2=12,C(-G,G)又：C在 椭 圆 上，163 3五+方=1，=42 2二.椭 圆 的 标 准 方 程 为 三+汇=1.12 4 设 M（x，y）,M w，%）V=1,设 直 线/的 方 程 为 y=x+？，代 入 工+匕=1,得 4 f 6mx+3,7?-1 2=0.12 4A=36加 2 4 4（3 5-1 2）0,3机 芯+入 2=-3 M-1 2 2=:.M N=3.&=娓 小 6-而 4 2又 C 到 直 线/的 距 离 1=m7F二 CM/V的 面 积 S=g“M N|d=j%2.（6-/）&号+：一，”=2 6,当 且 仅 当 m2=i6 m2时 取 等 号，此 时 7=2*/2满 足 题 中 条 件,直 线/的 方 程 为 x y 2近=0.大 千 世 界（2009年 清 华 大 学 自 主 招 生 保 送 生 测 试 4）V2 V2已 知 椭 圆 鼻+2=1，过 椭 圆 左 顶 点 A（-“，0）的 直 线/与 椭 圆 交 于 Q,与 y 轴 交 于/?,过 原 点 与/平 行 的 直 线 与 椭 圆 交 于 P.求 证：AQ,41OP,AR成 等 比 数 列.【解 析】由 题 可 知 直 线/的 斜 率 存 在 且 不 为 0,设 直 线/的 解 析 式 为 y=M x+“），则 A 点 为（0,如）.由 卜 厂+万 y=11y=4（工+）可 得：（层+/公）/+2a5k2x+aAk2-a2b2=0由 韦 达 定 理 得：。陷-3二”,，则 AR=J i”，A Q=产；百 7?b+ak-b ak）b+cTkY v2式 y_ _ i由（?b2,可 得：伊+/&2 卜 2 二 片 占：！y=kx设 人 a，X）,则 2。尸=*+幻=笔 黑 Q.A R.