高考数学思想03运用函数与方程的思想方法解题（精讲精练）（解析版）.pdf

思 想 0 3 运 用 函 数 与 方 程 的 思 想 方 法 解 题【命 题 规 律】高 考 命 题 中，以 知 识 为 载 体，以 能 力 立 意、思 想 方 法 为 灵 魂，以 核 心 素 养 为 统 领，兼 顾 试 题 的 基 础 性、综 合 性、应 用 性 和 创 新 性，展 现 数 学 的 科 学 价 值 和 人 文 价 值.高 考 试 题 一 是 着 眼 于 知 识 点 新 颖 巧 妙 的 组 合，二 是 着 眼 于 对 数 学 思 想 方 法、数 学 能 力 的 考 查.如 果 说 数 学 知 识 是 数 学 的 内 容，可 用 文 字 和 符 号 来 记 录 和 描 述，那 么 数 学 思 想 方 法 则 是 数 学 的 意 识，重 在 领 会、运 用，属 于 思 维 的 范 畴，用 于 对 数 学 问 题 的 认 识、处 理 和 解 决.高 考 中 常 用 到 的 数 学 思 想 主 要 有 分 类 讨 论 思 想、数 形 结 合 思 想、函 数 与 方 程 思 想、转 化 与 化 归 思 想 等.【核 心 考 点 目 录】核 心 考 点 一：运 用 函 数 的 思 想 研 究 问 题 核 心 考 点 二：运 用 方 程 的 思 想 研 究 问 题 核 心 考 点 三：运 用 函 数 与 方 程 的 思 想 研 究 不 等 式 问 题 核 心 考 点 四：运 用 函 数 与 方 程 的 思 想 研 究 其 他 问 题【真 题 回 归】丫 2 V2 11.（2022.全 国 统 考 高 考 真 题）已 知 椭 圆 C:=4=1（。0）的 图 心 率 为 彳，4 分 别 为 C 的 左、右 顶 a b 3点，3 为 C 的 上 顶 点.若 3%=1,则。的 方 程 为（）【答 案】B【解 析】因 为 离 心 率 e=解 得 4=/a a2 3-9 9分 别 为 C 的 左 右 顶 点,则 A（-。,0）,&（。,0）,8 为 上 顶 点，所 以 8（0,。）.所 以 外=（一。，一 切，%=3,-3，因 为 睡=-1Q所 以 一/+从=_1,将 从 代 入，解 得/=9,加=8,故 椭 圆 的 方 程 为 方+卷=1.故 选:B.2.（2022 全 国 统 考 高 考 真 题）已 知 直 线/与 椭 圆+?=1在 第 一 象 限 交 于 A,8 两 点，/与 x 轴，y 轴 分 别 交 于 M N 两 点，且|MA|=|NB|,|MN|=26,则/的 方 程 为.【答 案】x+&y-2 夜=0【解 析】方 法 一：弦 中 点 问 题：点 差 法 令 A 3 的 中 点 为 E,设 4（不 3 8（，%），利 用 点 差 法 得 到 矶 5=3，设 直 线 A8：y=h-+m,k 0,求 出 M、N 的 坐 标，再 根 据|则 求 出 左、加，即 可 得 解；令 A 3 的 中 点 为 E,因 为|M4|=|AB|,所 以|的=闪 用，-2 2设 A（x,y）,B（x2,y2）,则 工+生=1,J A 1,6 3 6 3所 以 立 上+尤 上=0,即&一）&+）1（+%）（乂 一%）=06 6 3 3 6 3所 以（x,-x，2?”小 一：，即 自 E-3 B=，设 直 线 A8:y=+机，k0,2）（x,+x2）2 2令 才=0得 y=m，令 丫=0得 彳=-,即 M（-,0）,N（O,m）,m即 攵 x W=g,解 得 k=当 或 k=1（舍 去），2k又|MN|=2j5,即 1 MN|=J,+（应?）=2 G,解 得 m=2或 帆=一 2（舍 去）,所 以 直 线 A8:y=络 x+2,即 x+夜 y 2夜=0；故 答 案 为：x+yfly-2近=0 方 法 二:直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 常 规 方 法 由 题 意 知，点 E 既 为 线 段 A B的 中 点 又 是 线 段 的 中 点,设 4（%,乂），B（x2,y2）,设 直 线=/0.则 以 一 半,。N（0,m）,飞 一 条 幻，因 为 N M=2 6,所 以|OE|=gy=kx-vm联 立 直 线 4 B与 椭 圆 方 程 得/2 消 掉），得。+2&2）/+4”加+2/-6=0_:L-=I 6 3其 中 二(4/欣)2-4(1+2k2)(2m2-6)0,+x,=-J，；：.AB中 点 E 的 横 坐 标/又 EI+2Kin m 2mk乐 维=一,m2k：kQ,又|OE|=J（令）?+（、）2=G，解 得 切=2所 以 直 线 A B:y=-冬+2,即 x+V J y _ 2 0=O 方 法 三:令 A B的 中 点 为 E,因 为|砌=|八 倒，所 以|岫=|隔，/Y 2 2 2 2设 A(X Q J,8(左,以)，则 上+-=1,三+辽=1,6 3 6 3所 以 立 一 迂+支 一 应=0,即（七 占）（占+&）+（凶+%）。7 2）=06 6 3 3 6 3所 以 卜+（x n2）即。蝴=-（，设 直 线 A8:y=fcr+m,&0,a+刍）2 2令 彳=0得 丁=机，令 y=（）得 乂=；,即 Mk（-T0）N（O，M，所 以 嗫 3m即 k x，一=-2，解 得 及=-*或 左=立（舍 去），m 2 2 22k又|M N|=2 6,即 IMN|=+（后）=26，解 得 z=2或 6=一 2（舍 去）,所 以 直 线 AB:y=-冬+2,即 x+/2y-2近=0；故 答 案 为：x+/2y 2/2=03.(2022全 国 统 考 高 考 真 题)写 出 与 圆 f+y 2=i和。一 3)2+(k 4)2=16都 相 切 的 一 条 直 线 的 方 程【答 案】)3 5 或=小 7-三 25或 L 14 4 24 24【解 析】方 法 一:显 然 直 线 的 斜 率 不 为 0,不 妨 设 直 线 方 程 为 x+6y+c=0,丁 曰 Id|3+4 c|于 是 中=1，飞 方=4 故=1+，|3+4 Z?+c|=|4c|.于 是 3+4 Z?+c=4c,或 3+4 Z?+c=T c,f,24 f 4他=0 b=-b=q再 结 合 解 得，或 二 或,c=1 25 51 c=-c=I 7 1 3所 以 直 线 方 程 有 三 条，分 别 为 x+l=0，7 x-2 4 y-2 5=0,3x+4 y-5=0.(填 一 条 即 可)方 法 二:设 圆 f+y 2=i的 圆 心 0(0,0),半 径 为 耳=1,圆(x-3)2+(y-4)2=1 6的 圆 心 C(3,4),半 径 4=4,则|OC|=5=q+4，因 此 两 圆 外 切,又 由 方 程(X3)2+(y 4)2=16和 Y+y2=1相 减 可 得 方 程 3x+4y-5=0,即 为 过 两 圆 公 共 切 点 的 切 线 方 程，又 易 知 两 圆 圆 心 所 在 直 线 0 C 的 方 程 为 4 X-3)，=0,4直 线 0 C 与 直 线 x+l=O 的 交 点 为(-),设 过 该 点 的 直 线 为)，+=心+1),则 _|，解 得=三，3 标 24从 而 该 切 线 的 方 程 为 7x-24y-25=0.(填 一 条 即 可)方 法 三:圆 X?+y2=l的 圆 心 为。(0,0),半 径 为 1,圆(%-3)2+(y-4)2=16 的 圆 心 01为(3,4)，半 径 为 4,两 圆 圆 心 距 为 正 寿=5,等 于 两 圆 半 径 之 和，故 两 圆 外 切，4 3 3当 切 线 为/时，因 为 所 以&=-，设 方 程 为）=一；+）0 至 I的 距 离 d=5 3 5一 厂 万 一，解 得 f=g,所 以/的 方 程 为 y=-：x+B，出 话 4 4 4当 切 线 为，”时，设 直 线 方 程 为+y+P=o,其 中。o,k 0 和 x 0 时 设 切 点 为（毛,瓜/），求 出 函 数 导 函 数，即 可 求 出 切 线 的 斜 率，从 而 表 示 出 切 线 方 程，再 根 据 切 线 过 坐 标 原 点 求 出 看,即 可 求 出 切 线 方 程,当 X V。时 同 理 可 得：因 为 y=i川 H，当 x 0 时 y=lnx,设 切 点 为（x（）,ln%）,由 y=L 所 以”.一=一,所 以 切 线 方 程 为 广 m/=L（x-x（）,X 工 0 xo又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以 T n%=，（-%）,解 得 x0=e,所 以 切 线 方 程 为），-l=1（x-e）,即 y=1 x；/e e当 x 0 时 y=ln（x）,设 切 点 为 H，ln（f）,由 y=L 所 以）1=工，所 以 切 线 方 程 为y-ln(-xj=(x-占)，x 又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以-M f)=(f),解 得=-e,所 以 切 线 方 程 为 y-l=(x+e),即 卜=4%e e故 答 案 为：y x；y=xe e 方 法 二:根 据 函 数 的 对 称 性，数 形 结 合 当 x0时 y=lnx,设 切 点 为(天 nx0),由 y=L 所 以*=%=，所 以 切 线 方 程 为 丁 一 仙 演)=(不 一),XXQXQ又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以-比/=(-%),解 得 x0=e,所 以 切 线 方 程 为 y-l=1(x-e),即 y=L；/e e 方 法 三:因 为 y=ln|H，当 x0时 y=lnx,设 切 点 为(,In%),由 y=L,所 以 yk%=一,所 以 切 线 方 程 为 卜 历 七 二,一 工。),X/玉)又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以 一 仙 与=-5(一%),解 得 x0=e,所 以 切 线 方 程 为 y-l=1(x-e),即 y=1x；与 ev e当 x0时 y=ln(x),设 切 点 为,由 y=，所 以 所 以 切 线 方 程 为 xxx又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以 Tn(F)=:(F),解 得 芯=-e,所 以 切 线 方 程 为 y-l=(x+e),即 丫=-三；故 答 案 为：y=-x；y=-x.e e【方 法 技 巧 与 总 结】1、函 数 与 方 程 是 紧 密 相 联、可 以 相 互 转 化 的.在 研 究 方 程 解 的 存 在 性、方 程 解 的 个 数、方 程 解 的 分 布 等 问 题 时，一 般 利 用 方 程 的 性 质，对 方 程 进 行 同 解 变 形，进 而 构 造 函 数，利 用 函 数 的 图 象 与 性 质 求 解 方 程 问 题.例 如，方 程 f(x)=O 解 的 个 数 可 以 转 化 为 函 数/(x)的 图 象 与 x轴 交 点 的 个 数，也 可 以 参 变 分 离，转 化 为 水 平 直 线 与 函 数 图 象 交 点 的 个 数，也 可 以 部 分 分 离，转 化 为 斜 线 与 函 数 图 象 交 点 的 个 数，也 可 以 构 造 两 个 熟 悉 函 数，转 化 为 两 个 函 数 图 象 交 点 的 个 数.2、在 研 究 函 数 问 题 时，运 用 方 程 的 思 想，设 出 未 知 数，通 过 题 目 中 的 等 量 关 系，建 立 方 程(组)，进 而 求 解 方 程(组)，或 者 将 方 程 变 形，构 造 新 函 数，更 易 于 研 究 其 图 象 和 性 质.例 如，在 研 究 曲 线 的 切 线 问 题 时，设 出 切 点 横 坐 标 M,得 到 切 线 斜 率=/(%),切 线 方 程 为/(%)(x-x),从 而 将 函 数 中 的 切 线 问 题 转 化 为 关 于 切 点 横 坐 标 x0的 方 程 问 题.3、函 数、方 程、不 等 式 三 位 一 体，常 常 相 互 转 化.在 研 究 不 等 式 的 解 集、不 等 式 恒 成 立、不 等 式 有 解、不 等 式 的 证 明 等 问 题 时，最 重 要 的 思 想 方 法 就 是 函 数 与 方 程 思 想，构 造 适 当 的 函 数，分 析、转 化 不 等 式 问 题.例 如，不 等 式 f(x)0或/。)0恒 成 立，可 以 转 化 为 或/(皿 l./(x)=-1x+a恰 有 两 个 互 异 的 实 数 解，则 实 数 的 取 值 范 围 是.r A.,(5-2忖(5)【答 案】-J 1-,+OoJ【解 析】当 xl 时，令 lnx+l=-L+a,贝!lnx+：x+1-a=0,4 4因 为 y=In x+!x 为 增 函 数，所 以 当 该 方 程 在 x 1时 无 实 数 根 时，49 所 以”4,*时，X 1时 有 一 个 解，所 以 xW l时，/一 2办+2。=一!工+有 一 个 解,4 4当 元（1时，y=Y+（：-2a）x+。是 递 减 的，4贝 iJl+L-2 a+a=*-a 0,4 4所 以 工 l时 无 解，4 4此 时 工 2 2+2 a=-x+tz,即 2 31+：=0,解 得 工=1或 二（舍 去），所 以 方 程 在 尤 4 1时 有 1个 解，即 当。=：时，方 程/（x）=-；x+a只 有 一 个 实 数 解，时，lnx+l=元+。在 x l时 无 解，4 4则 xW l时，x2-2ax+2a=-x+a,4所 以/+（1-2a）x+a=0,该 方 程 要 在 xW1时 有 2 个 不 等 的 实 数 解，4即 函 数（力=/+（；一 2 z z）x+a 在（-0 0 5上 有 2 个 不 同 的 零 点,所 以 1 ci 0,解 得 三 西 16 8综 上 所 述，”的 范 围 为 卜 先 三 普 例 2.（2023全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 函 数/（x）=4=（a-l）2*+2（0 4 x 4 2）.（1）若/（x）在 0,2 上 为 增 函 数，求 实 数。的 取 值 范 围；（2）若 A x）在 0,2 上 最 小 值 为 4,求 实 数。的 值；（3）若/5）在 0,2 上 只 有 一 个 零 点，求 实 数”的 取 值 范 围.【解 析】（1）由 0 4 x W 2 得 1 2A 4若 八 幻 在 0,2 为 增 函 数，则 4 1 所 以 a 3(2)令 2，=/?e l,4 即/(x)=g(f)=*_(a_l+2(l W 4)最 小 值 为 4n 1若-=02若 1三 1 4 贝 心=三 1 时 最 小(土 11 一 色 二 1工+2=4 无 解 2 2 L 2 J 2Z7-1 Q若，2 4 时 贝 卜=4时 最 小 得 舍 去 2 2:.a=0(3)g(r)=*-(a-l)f+2(1 4/44)只 一 个 零 点 由=()得=l+2V2,f=-V2 舍 去 或。=1+20,f=y/l若 g(f)有 二 个 零 点 且 只 一 个 在 1,4 内 则 g g(4)4 0即(4-机)(22-4，)l；(2)若/(x)在(0,+)只 有 一 个 零 点，求。的 值.【解 析】(1)方 法 一：【最 优 解】指 数 找 朋 友 当”=1 时，/(x)21 等 价 于(f+1,-*-140.设 函 数 g(x)=(f+l)eT 1,则 g，(x)=_(x2_2x+l)eT=_(x_l)2e7.g(x)0,所 以 函 数 户/&)在 区 间 0,+口)内 单 调 递 增，有/U)/(0)=l.方 法 三 1:【最 优 解】指 对 等 价 转 化 当 x 2 0 时，/(x)=e-x2*4lln(x2+l).2只 有 一 个 零 点 时，a=.4令 g(x)=x-hi(x2+l),/(x)=l-二=(”)2 0,函 数 产 g(x)在 区 间 0,+8)上 单 调 递 增，故 g(x)2g(0)=0,有 x2ln(/+l),故 当 x z o 时，/(x)l.(2)方 法 一:指 数 找 朋 友 设 函 数 九(X)=1-/0-*,/(X)在(0,+8)只 有 一 个 零 点 当 且 仅 当 网 可 在(0,+力)只 有 一 个 零 点.(i)当 a 4 0 时，/?(x)0,/?(龙)没 有 零 点；(U)当 a 0 时,ti(x)=axx-2)ex.当 xe(0,2)时,/i,(x)0.所 以/(x)在(0,2)单 调 递 减，在(2,内)单 调 递 增.故 力(2)=1 一 代 是/(X)在 0,+)的 最 小 值.若 人(2)0,即?,(x)在(0,+8)没 有 零 点;若 限)=0,4 在(0,+到 只 有 一 个 零 点;若 耳 2)d,由 于/i(O)=l,所 以 艇 可 在(0,2)有 一 个 零 点,z.X,16a,.16/由(1)知，当 x 0 时，e r f,所 以 l-T=l-0(24 a故(x)在(2,4a)有 一 个 零 点，因 此/z(x)在(0,+“)有 两 个 零 点.综 上，/(x)在(0,+8)只 有 一 个 零 点 时，“=方 法 二:等 价 转 化 为 直 线 与 曲 线 的 交 点 个 数 令/(幻=0,得”鼠 x令 必 盼=0),*)=半 0.则 函 数 y=(x)在 区 间(0,2)内 单 调 递 减，在 区 间(2,+O。)内 单 调 递 增，X Xe2贝 U WWlmin=僦 2)=1.当。时，”(X)f田，当 X f 中 时，f 3,故 函 数/子。)在 区 间(。,+8)内 方 法 三 1:等 价 转 化 为 二 次 曲 线 与 指 数 函 数 图 象 的 交 点 个 数 函 数 y=f(x)在 区 间(0,+8)内 只 有 一 个 零 点 等 价 于 函 数 y=e，的 图 象 与 函 数 y=的 图 象 在 区 间(0,内)内 只 有 一 个 公 共 点.由 y=e与 y=加 的 图 象 可 知 它 们 在 区 间(0,内)内 必 相 切 于)，轴 右 侧 同 一 点，设 切 点 为(毛，)，贝，解 方 程 组 得“=J，经 验 证 符 合 题 意-=2ax0 4 方 法 四:等 价 转 化 为 直 线 与 曲 线 的 交 点 个 数 当 x 0 时，/(x)=0 o a r=,原 问 题 转 化 为 动 直 线 了=与 曲 线(x)=在 区 间(。,田)内 只 有 一 个 公 X X共 点.由(x)=殳 二 宰 得 函 数、=力。)在 区 间(0,1)内 单 调 递 减，在 区 间(1,+8)内 单 调 递 增.设 了=依 与 Xy=(x)的 切 点 为/与,纪，则 1(%)=卜 一？e；,于 是 函 数 尸(x)在 点 P 处 的 切 线 方 程 为 上=()_ 力 由 切 线 过 原 点 可 得 看=2,故。=/?，(2)=h./4 方 法 五:【通 性 通 法】含 参 讨 论 因 为/(%)=e v-2ax,X G(0,+OO),当 a 4 0 时，/(x)在 区 间。+8)内 单 调 递 增，又)=1 0,故/无 零 点；当 a 0 时,/(x)=er-2a.当 0 0,y=f(x)在 区 间(0,+oo)内 单 调 递 增，有 尸(x)f(0)=l,/(x)在 区 间(0,+与 内 单 调 递 增，又 八 0)=1 0,故/(x)无 零 点；当 m V a W l时，令/(x)=0,得 X=ln2a,故 函 数 y=/(x)在 区 间(0,ln2a)内 单 调 递 减，在 区 间(ln2“,+oo)内 单 调 递 增.八 切 而 产 八 卜 2a)=2a(l-ln2a)N0,从 而 y寸(x)单 调 递 增.又 八 0)=1,所 以 人 力 无 零 点.当”|时，:(切 而 0,无 零 点；1 XX X I I-ia0时，f(x)=0 ax=0f 记(p(x)=”-&ix，则。(力 二 万-Ja；当 时，d(x)2 0,函 数 y=e(x)在 区 间(0,+8)内 单 调 递 增，则 有 9。)夕(0)=1,故 火 幻 无 零 点；当 时.，当 x21n26 时，*(x)单 调 递 诚，当 x21n2右 时、夕(x)O,*(x)单 调 递 增，当 x f 04时，0(x)f 1,当 X-时，奴 2故 9(x)1nhi=以 21n2&)=2&2-石 In2&=0,得“=?.【整 体 点 评】(1)方 法 一：根 据 指 数 找 朋 友，将 不 等 式 等 价 转 化 为(f+l卜-1 4 0,这 样 可 以 减 少 求 导 的 次 数，便 于 求 最 值，是 该 题 的 最 优 解.；方 法 二：常 规 的 直 接 求 导，研 究 函 数 的 单 调 性 求 最 值，是 该 题 的 通 性 通 法；方 法 三：利 用 指 对 互 化，将 不 等 式 等 价 转 化 为 x-ln(x 2+l)0,这 样 可 以 减 少 求 导 的 次 数，便 于 求 最 值，是 该 题 的 最 优 解.(2)方 法 一：根 据 指 数 找 朋 友，原 函 数/(x)在(0,+巧 只 有 一 个 零 点 等 价 于(力=1-加 e-*在(0,+时 只 有 一 个 零 点，再 分 类 讨 论 以 及 利 用 导 数 研 究 其 单 调 性 即 可 解 出；方 法 二：利 用 函 数 零 点 个 数 与 两 函 数 图 象 交 点 个 数 关 系，等 价 转 化 为 直 线 与 曲 线 的 交 点 个 数，即 可 解 出；方 法 三：利 用 函 数 零 点 个 数 与 两 函 数 图 象 交 点 个 数 关 系，等 价 转 化 为 二 次 曲 线 与 指 数 函 数 图 象 的 交 点 个 数，即 可 解 出；方 法 四：同 方 法 二；方 法 五：直 接 含 参 讨 论 函 数 的 单 调 性 确 定 最 值，再 根 据 零 点 存 在 性 定 理 判 断 即 可 解 出，是 该 类 型 题 的 通 性 通 法；方 法 六：易 知 当 时 函 数 无 零 点，只 需 考 虑”0时 的 情 况，/(x)=0=1-a=0,再 含 参 讨 论 函 数 0()=-疝 的 单 调 性，研 究 其 最 值 即 可 解 出，是 本 题 的 最 优 解 核 心 考 点 二：运 用 方 程 的 思 想 研 究 问 题【典 型 例 题】例 4.(2023全 国 高 三 专 题 练 习)已 知/(x)=log“x,g(x)=a*,其 中“1.(1)请 利 用=山 的 导 函 数 推 出“X)导 函 数，并 求 函 数(x)=x)-焉 的 递 增 区 间；(2)若 曲 线 y=/(x)在 点(x j Q)处 的 切 线 与 曲 线 尸 g(x)在 点 心 送(切)的 切 线 平 行，求”外)+*2(化 简 为 只 含。的 代 数 式)；(3)证 明：当“次 脑 寸，存 在 直 线/，使 得/既 是 y=/(x)的 一 条 切 线，也 是 y=g(x)的 一 条 切 线.【解 析】(D 对 于 y=l n x,则 y=L又 力 5 篙 所 以 小)徐)=瞥 福 因 为/z(x)=x)-FInxIn i,所 以 In“5所 以 当 0 x 0,所 以(无)的 单 调 递 增 区 间 为(0,1)；(2)由/3=+，可 得 曲 线 尸/在 点(J(xJ)处 的 切 线 的 斜 率 为 廿.山 g(x)=alna,可 得 曲 线 y=g(x)在 点(9超()处 的 切 线 的 斜 率 为 心 Ina.,这 两 条 切 线 平 行，故 有 小 lna=；,即+*na)2=l,x In a两 边 取 以。为 底 数 的 对 数，得 log.,玉+毛+21og.ln=0,二/(4)+为=2 In In aIna(3)证 明：曲 线 y=g(x)在 点(内,小)处 的 切 线 4：.y-a=”na(x-xj.曲 线 y=fx)在 点(9,log,%)处 的 切 线 4:y-bg“七=:焉(x-x?).要 证 明 当 时，存 在 直 线/，使/是 曲 线 y=/(x)的 切 线，也 是 曲 线 y=g(x)的 切 线,只 需 证 明 当 aNe?时，存 在 e(Yo,+),3 w(0,E)使 得 乙 与 6 重 合，1。白 a*In a=-即 只 需 证 明 当 2/时，方 程 组 赴 ax-x1 In=由 得 9=品 屋 代 入 得:x-1 2 In In(7ci1 x,ci1 In ci-x,4-1-In a In a=0,因 此，只 需 证 明 当。之 时，关 于 看 的 方 程 存 在 实 数 解 设 函 数 心)“na+x+高+普，既 要 证 明 当 一 时，函 数 存 在 零 点.M,(x)=l-(lna)2xar,可 知 xe(-oo,0)时，u(x)0；xe(0,+0,u(Ur)=l-a标 0,使 得(%)=0,即 1-(也 4)2不 短=0.由 此 可 得，“（X）在（-8,%）上 单 调 递 增，在（%,+8）上 单 调 递 减,“（X）在 X=X。处 取 得 极 大 值（X。）.aeL 故 InlnaN-l./、才 上.1 2 In In rzU(XQ)=a-x()“In+/+-+-na na1 2 In In Q 心 2+2 In In a-7+x0+H x0(ln a)-na na0卜.面 证 明 存 在 实 数 f,使 得 0 时（x）0,当 x 0 时”（x）J 时，有 Inaw（,x、）（八 1+xl1 n a）、（八 l-xl1 n ci）、+x1 2nna 八 x2 2,1 2 In In aH-1-=-（In a）x+x+1 H-1-.Ina Ina Ina Ina 存 在 实 数 f,使 得 0,k-1）由（I）知，/）为 奇 函 数，且 X|X H O 所 以，f（x）在（y,0）和（0,+8）上 单 调 递 增.2 2在（0,+8）上，/（1）=1-1-=-0e-l e-1所 以（X）在（0,一）上 有 唯 一 零 点 演，即 f（x,）=o.又 f（x）为 奇 函 数，-%0,/（一%）=-/（%1）=0.故 f W 在（-8,0）上 有 唯 一 零 点-X,.综 上，f（x）有 且 仅 有 两 个 零 点.（III）因 为 Inef=-%,故 点 B（e f,-玉,）在 曲 线 y=lnx上.由 题 设 知/（%）=0,即/=罟，连 接 A3,龙。+1+Xq则 直 线 A B 的 斜 率 左=j 1=7=*毛-e A _ VL X0-%+1曲 线 y=In x 在 点 B（e f，-X。）处 切 线 的 斜 率 是 小；曲 线 y=e*在 点 4 超,泊）处 切 线 的 斜 率 也 是 ev.所 以 曲 线？=靖 在 点 A（Xo，e“）处 的 切 线 也 是 曲 线 y=lnx的 切 线.例 6.（2023吉 林 白 山 抚 松 县 第 一 中 学 校 考 一 模）若 直 线 产 船+是 曲 线 丫=产 的 切 线，也 是 y=e+2 的 切 线，贝 必=（）A.In2 B.-In2 C.2 D.-2【答 案】C（解 析】设 直 线 y=丘+）与 y=e+2 和 y=et+l的 切 点 分 别 为（西,e+2）,（&,e*川），则 切 线 方 程 分 别 为，y-（e、+2）=ei（x-办），y-e-J e&r）,化 简 得，y=e*1 x+e1+2-军”1y=ei;+1x-A-2eVj+l+et2+1依 题 意 上 述 两 直 线 与 y=+。是 同 一 条 直 线，e*i=e&s所 以，X。、r+1，解 得=ln2,ex,+2-工 炉 因=/e+e*所 以 上=e*=e,n2=2.故 选：C.例 7.（2023 全 国 高 三 专 题 练 习）若 直 线 丫=丘+方 是 曲 线 y=lnx+2 的 切 线，也 是 曲 线 y=ln（x+l）的 切 线，贝 依=（）A.2 B.4 C.e2 D.e【答 案】A【解 析】对 于 y=lnx+2,设 切 点 为（为，/），y,则 切 线 方 程 为 y-%=(x-xj,y=-x-l+lnx|+2=x+lnx|+l,玉 玉 占 即&=,6=111占+1；对 于 y=ln(x+l),y=,设 切 点 为(巧，)，1 X则 切 线 方 程 为 丫-丫 2=-(x-x2),y=-x-、+ln(z+l),x2+1 x2+1 x2 4-1&=占/=岫+1)-三 y；人 I 1 4 I 1山 得:1 _ 1X X2+1,1,1解 得 毛=-彳，.,=-77=2;In Xj+1=ln(x2+1)故 选：A.核 心 考 点 三：运 用 函 数 与 方 程 的 思 想 研 究 不 等 式 问 题【典 型 例 题】例 8.(2023春 广 西 高 三 期 末)已 知 函 数/(x)=J d-2 奴+/+k-2 a+l|,aeR,(1)当 a=3时，求 x)的 最 小 值；(2)若 对 Vme(O,6),WxeR,不 等 式/(x)七 次 22加 恒 成 立,求 a 的 取 值 范 围.【解 析】(1)化 简 得 f(x)=|x-a|+|x-2a+l|,当 a=3时,fix)=|x31+|x 51|(x3)(x 5)|=2,当 3 4 x V 5 时 等 号 成 立，所 以/*)的 最 小 值 为 2；(2)由 基 本 不 等 式 得 mJ2 2m=y j m-2 2)=g,当 且 仅 当 2=12-2租，即 机=4 时;等 号 成 立.又 因 为 J(x)=|x-q|+|x-2a+l N x-a)-x-2a+)=a-,当 且 仅 当(x-a)(x-2a+l)M0时,等 号 成 立.所 以,|a-l|8.a-l8 或。一 1 9 或 a v 7.例 9.(2023 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数=X2+2x,x 0，若/(a)+/()40,求”的 取 值 范 围()A.B.-2,0C.0,2 D.-2,2【答 案】D【解 析】若 a 0，则 一。0,f(a)=a2-2a,7(-。)=/-勿，+0HP a2-2a+a2-2a 0 a2-2a 0,解 得 0 a 4 2；若 0,/(a)=a2+2a,/(-a)=6+2a,f()+f(a)0 HP a2+2a+a2+2a0 a2+2a 4 0，解 得-24a 0：若 a=0,/(-a)=/()=/(0)=0/(-a)+/(a)=0,满 足,综 上 所 述，-2 0,求 a 的 取 值 范 围()A.(-co,-1 B.(co,0 C.1,0 D.0,1【答 案】B【解 析】由 题，得/(x)=2cosx-(cosx-xsinx)-l=cosx+xsinx l,设 g(x)=/(x),贝 i jg(x)=cosx+xsinx-l,g(x)=xcosx.当 T。,?，g，(x)0,g(x)单 调 递 增；当 g，(x)0,g(O=-2,故 g(x)在(0,乃)存 在 唯 一 零 点,即 r(x)在(0,zr)存 在 唯 一 零 点.山 题 设 知/(I)万(%)=。，可 得 a V O.因 为/(x)在(0,万)存 在 唯 一 零 点，设 为,且 当 xe(O,Xo)时，广(幻 0；当 乃)时，f M 0.又 当 a40,xe0,w|时，a x 0,故/(x)Nax.因 此，a 的 取 值 范 围 是(田,01.故 选：B核 心 考 点 四：运 用 函 数 与 方 程 的 思 想 研 究 其 他 问 题【典 型 例 题】例 11.(2023春 重 庆 九 龙 坡 高 三 重 庆 市 育 才 中 学 校 考 开 学 考 试)已 知 A 8 C 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 是 a,h,c,.A B C 的 面 积 为 S,且 满 足(2力 一 c)cosA=acosC,/?cosC+ccosB=l.(1)求 A 和 a 的 大 小；(2)若 4 3 c 为 锐 角 三 角 形，求 4 3 c 的 面 积 S 的 取 值 范 围.【解 析】因 为 侬-c)cosA=aco sC,由 正 弦 定 理 得：(2 sin B-sin C)cos A=sin 4 cos C所 以 2sin Bcos A=sin Ceos A+sin Acos C,所 以 2sin Bcos A=sin(C+A)=sin 8,因 为 一 ABC中 sin8 w O,所 以 cosA=,2因 为 Aw（0,兀），所 以 A=；,因 为 Z?cosC+ccos8=l,由 余 弦 定 理 得:+/1+”+j=,解 得 q=,2ab 2ac综 上,A=Q,夕=1.,7tA(2)由(1)知：3,a=,由 正 弦 定 理 得：b=a S m=-=sinB,sm A 73(7sin C _ 2sin A y/isinC=因 为 ABC为 锐 角 三 角 形，故，得 BeI从 而 ABC的 面 积 S=5 6 csin A=-sin8-sin7 1 兀 6 2-sin B H-cos B2 2=3 i n 2 8+&n B 6 s j=乌 i s 2 B3(2 2)3 4+sin2B4又 Be。=*研 0身 2忑 s in1|3-T i-f i所 以$出（2 8-。&1,从 而 M C 的 面 积 的 取 值 范 围 为 恃 与 V2 V2例 2 3春 河 北 张 家 口 高 三 张 家 口 市 第 一 中 学 校 考 阶 段 练 习）已 知 椭 圆。1+=9 人。）的 离 心 率 为 李，其 中 一 个 焦 点 在 直 线），=向-3上.（1）求 椭 圆 C 的 方 程；（2）若 直 线/：y=x+f与 椭 圆 交 于 P,Q两 点，试 求 三 角 形。尸。面 积 的 最 大 值.【解 析】（1）椭 圆 的 一 个 焦 点 即 为 直 线 与 X 轴 的 交 点（g,0）,所 以 c=后,又 离 心 率 为 李 则 a=2,b=l,所 以 椭 圆 方 程 为 1+丁=1；（2）联 立 若 直 线，：y=x+t与 椭 圆 方 程 得 5幺+8 a+4/-4=0（*）,令=（&）?4x5（4 4）0,得-百 r 石 设 方 程(*)的 两 根 为 和 超，则 xt+x2=,&=4/s 4，PQ=叫 J a+X 2-4X|X2=二 f,点。到 直 线 的 距 离 dk lS“=；|PQ|d=后 可 4 号 宜？d=1当 且 仅 当 5产=产,即/=叵 或.=-巫 时 取 等 号，而=典 或/=-叵 满 足 一 石 f 石，2 2 2 2所 以 三 角 形。P Q 面 积 的 最 大 值 为 1.例 13.（2023春 陕 西 咸 阳 高 三 陕 西 咸 阳 中 学 校 考 期 中）已 知 数 列 为 是 各 项 均 为 正 数 的 等 差 数 列.（1）若 6=2,且 电，的，+成 等 比 数 列，求 数 列%的 通 项 公 式；（2）在（1）的 条 件 下，数 列%的 前 项 和 为 S“，设 勿=一 一+一 一+,+白，若 对 任 意 的 G N“，不 等 3”+1，+2 32n式 2 4 k 恒 成 立，求 实 数 k 的 最 小 值.【解 析】（1）依 题 意，4=2,a；=4（a4+l）,设 正 项 等 差 数 列 4 的 公 差 为 4,则 d30,于 是 得（2+2df=（2+）（3+34），解 得 4=2或 4=一 1（舍 去），则=2+（-1 2=2”,所 以 数 列“的 通 项 公 式 是 勺=2.（2）因 数 列 5 的 前 项 和 为 5,，则 由（1）知：5,=杵 上=（+1）,bn=-1-h-H-=7-77-C+7-77-7+-7-r。SQ S2(+l)(+2)(+2)(+3)2(2+l)1 1 1 1 1 1 1 Iz z z，-+-+-,+1+2 n+2 n+3 2n 2+1 n+2n 4-1,1 1,1 1、2 1b b-(,-j=-,+1 n+2 2/t+3 n+2+l(2+1)(2+3)(+l)(+2)2(+1)(/1+2)-(2+1)(2+3)2/+2 一 1 八=-=-0,(+1)(+2)(2+1)(2+3)(+l)(n+