高考数学艺术生第27讲平面向量的数量积（解析版）-高考数学一轮复习讲义（基础版全国通用版）.pdf

第 2 7讲 平 面 向 量 的 数 量 积 1、向 量 的 数 量 积（内 积）对 于 两 个 非 零 向 量 Z 与 我 们 把 数 量|Z|g|c o s 叫 做 和 B 的 数 量 积（或 内 积），记 作 即 a-b=a b cos。2、两 个 向 量 内 积 有 如 下 重 要 性 质（1）如 果 e 是 单 位 向 量，则。e=e Q=|Q|c o s（Q W。）.（2）a A.b a-b=0 a Q 二|a/或 Q=yja-a一 一 ci,h（4）cos=.a b（5）|a-6|a|S|题 型 一：平 面 向 量 数 量 积 的 定 义 1.（2021 江 西 景 德 镇 一 中 高 一 期 中（理）在 A/B C中，若 就.而 0，则 此 三 角 形 为（）A.钝 角 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.锐 角 三 角 形 D.等 腰 三 角 形 2.（2021 北 京 东 城）若 石 都 是 单 位 向 量，则 下 列 结 论 一 定 正 确 的 是（）A.a=b B.a b=C.a l lb D.p|=p|3.（2021 上 海）下 列 等 式 正 确 的 是（）A.0-c=0 B.a b c）=（a-b）-c C.a0=O D.。石=04.（2021 全 国）下 列 命 题 正 确 的 是（）A.a-b=ab B.7 B w 0 o|Z|+历|w0C.a b=0 o|a b=0 D.（a+b）c=a c+b c5.（2021 全 国 高 一 课 时 练 习）下 列 命 题 正 确 的 个 数 是 A B+BA=0;O ZB=O;A B-A C=BC;0 8=0A.1 B.2 C.3 D.46.（2021 浙 江 高 一 单 元 测 试）设 5、B、乞 是 非 零 向 量，则 下 列 说 法 中 正 确 是 A.（a-b）-c=（c-b）-a B.归 一 3卜 卜+同 C.若 限 5=G N，则 B=下 D.若,|瓦 万|修，则 题 型 二：平 面 向 量 数 量 积 的 意 义 1.（2021 江 西 九 江 一 中 高 一 期 中）向 量 3=（-1,1）在 向 量 石=（-3,-4）上 的 射 影 为（）A.昱 B.一 也 C.-1）.-2 2 5 52.（2021 四 川 成 都 外 国 语 学 校 高 一 期 中（理）已 知 同=6,何=3,向 量。在 R方 向 上 投 影 是 4,则）石 为（）A.12 B.8 C.-8 D.213.（2021 河 北 巨 鹿 中 学 高 一 月 考）已 知 同=2,向 量 与 向 量 否 的 夹 角 为 120。，）是 与 否 同 向 的 单 位 向 量，则 在 上 的 投 影 向 量 为（）A.e B.-y 3e C.y/3e D.e4.（2021 浙 江 绍 兴）己 知 向 量=（3,-1）,6=（1,0）,则 在 不 方 向 上 的 投 影 是（）A.-1 B.0 C.1 D.35.（2021 江 苏 省 太 湖 高 级 中 学 高 一 期 中）已 知 向 量=（2,1）,6=（1.-1）.向 量 在 方 向 上 的 投 影 向 量 为（）A.（2,-2）B.（；,）C.（,）D.）2 2 5 5 2 26.（2021 全 国 高 二 课 时 练 习）若 同=4,问=2,和 5 的 夹 角 为 30。，则 在 5 的 方 向 上 的 投 影 向 量 的 模 长 为（）A.2 B.6 C.2港 D.47.（2021 湖 北）已 知 向 量=（0,-20）,6=（1,73）,与 B 同 向 的 单 位 向 量 为 3,则 向 量 Z 在 B 方 向 上 的 投 影 向 量 为（）A.B.3e C.D.-3e题 型 三：模 1.（2021 嘉 峪 关 市 第 一 中 学 高 二 期 末（文）己 知 向 量 入 书 的 夹 角 为 60。，忖=1,恸=2,则 囚-可=（）A.1 B.26 C.出 I）.22.（2021 全 国）已 知 2 为 单 位 向 量，且 G=2。，S=-3e，则|3-45|=（）A.3 B.5 C.10 D.143.（2021 梁 河 县 第 一 中 学 高 二 月 考）已 知 同=4,问=8,1 与 石 的 夹 角 为 120,则 a-可=（）A.85/3 B.6yli C.5-73 D.8 04.（2021 河 西 天 津 实 验 中 学）平 面 向 量 与 否 的 夹 角 为 60,=（2,0）,忖=1,则|+2q等 于（）A.G B.2百 C.4 D.125.（2021 海 口 中 学 高 三 月 考）已 知 质|=2,历|=2,1 5=1,贝 亩=（）A.&B.2 C.2板 D.36.（2021 遵 义 市 第 三 中 学 高 一 期 中）已 知 向 量 Z，b，满 足 5=0,同=1,忖=2.则 囚-卜（）A.4 B.2/2 C.6 D.87.（2021 泾 县 中 学 高 一 月 考）设 向 量 7，均 为 单 位 向 量，且 满 足/J,则 曰+37卜（）A.V13B.13 C.4 D.58.(2021 湖 南)已 知 向 量,区 的 夹 角 为,4a=(-3,4),6T-S=10则 wA.272 B.26C.3石 D.4729.（2021 陕 西 汉 中 高 三 月 考（理）若 单 位 向 量 正 满 足 伍-2习+可=-；，则 口-囚 等 于（）2A.1 B.y/2 C.y/i D.詈 10.（2021 酉 阳 土 家 族 苗 族 自 治 县 第 三 中 学 校 高 三 模 拟 预 测）已 知 向 量 a,b满 足 内=历|=|+加=1,则 忻+,=（）A.3 B.8 C.7 D.近 11.（2021 全 国 高 三 模 拟 预 测（理）平 面 向 量 万 与 B 的 夹 角 为 60。，同=2,H）,贝 IJ|22 彼|=（）A.12 B.2 M C.6 D.7612.（2021 西 藏 拉 萨 中 学 高 三 月 考（文）已 知 平 面 向 量 与 B 的 夹 角 为 30。，且=（1,仃），为 单 位 向 量，则|+为 加=（）A.1 B.V13 C.721 D.7+2 e13.（2021 全 国 高 三 月 考）已 知 平 面 向 量 与 石 的 夹 角 为 60,=（2,0）,|加=1,则*2 可 的 值 为（）A.V2 B.2C.4 D.y14（2021 威 远 中 学 校 高 一 月 考（文）已 知 心 一 满 足:a=3,b=2,a+b=4,则”8=（）A.出 B.5/5 C.yfl D.VlO题 型 四：平 行 与 垂 直 关 系 1.（2021 广 东 惠 州 高 一 期 中）已 知 向 量=（1,-1）,6=（-1,0）且 L 贝=（）A.-2 B.2 C.-1 D.12.（2021 厦 门 市 湖 滨 中 学）已 知 向 量 a=（2,-1,2）,4（-1,x,l）,5（1,-1,1）,若 力 通,则 实 数 x 的 值 为（）A.-5 B.0 C.-1 D.53.（2021 沙 坪 坝 重 庆 八 中 高 三 月 考）已 知 向 量 1=（7,4）,L，若。_ LB，贝 l Z_2，=（）A.(-5,20)B.(-5,-12)C.(-5,5)D.(-5,3)4.（2021 贵 州 凯 里 一 中 高 二 期 末（文）若|=1,_1_九 贝 IJ1-2）=（）A.-1 B.1 C.-2 D.25.（2021 全 国 高 一 课 时 练 习）已 知 向 量 值=（-1,2）,b=（2,/）,且，那 么 1等 于（）A.-4 B.-1 C.1 D.46.（2021 四 川 射 洪 中 学 高 三 月 考（文）已 知 万=（3,1）,1=（2/）,若 则 实 数 X 的 值 为（）2 3 2 3A.B.C.-D.-3 2 3 27.（2021 湖 南 高 二 月 考）向 量 Z=（4,2）=（6,y）,若/店，贝 1 匕=（）A.3 B.-3 C.12 D.-12题 型 五：夹 角 1.（2021 全 国）二 了 为 平 面 向 量，已 知:=（1,2）/=（1,0），则 二 工 夹 角 的 余 弦 值 等 于（）A.立 B.一 立 C.-D.-5 5 5 53）2.（2021 云 南 省 南 涧 县 第 一 中 学 高 一 月 考）设 向 量 a=（3,4）,=（-1,1）,则 cos=（A O 3.Vio r V2 n VioA-J-L/U-10 10 5 53.（2021 山 西 临 汾）设 力=（行,1）,5=（-3,6）,则）与 日 的 夹 角 为（）A 冗 c 万 八 2乃 n 3兀 A.-B.-C.D.2 3 3 44.（2021 浙 江 郸 州 宁 波 咸 祥 中 学 高 一 期 中）已 知 Z=（2,-l）=（1,3）,则 5夹 角 的 余 弦 值 等 于（A.正 B.-正 C.I）.一 也 5 5 10 105.（2021 江 苏 江 都 高 一 期 中）已 知 向 量=（-石,1）,石=（2,-26）,则 与 B 的 夹 角 为（）A 九 5 c 冗 n 3兀 A.-B.一 兀 C.D.6 6 3 4）6.（2021 山 东 黄 泽 高 一 期 末）设 向 量 二（8,1）,=（x,-3）,若 石 J.Z，则 与 的 夹 角 为（）A.30 B.60 C.120 D.1507.（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（文）已 知 非 零 向 量=&0）4=（-1,6）,若 石=一 4,则+25与 否 的 夹 角 为（）8.（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（理）设 向 量 Z=（x,-4）,*=（1,-X）,向 量 与 否 的 夹 角 为 锐 角，则 x 的 取 值 范 围 为（）A.（-2,2）B.（0,+oo）C.（0,2）u（2,+oo）D.-2,29.（2021 嫩 江 市 第 一 中 学 校 高 一 期 末）已 知 非 零 向 量 上 满 足|向=0 同，且 R“）“3Z+25）,则 与 书 的 夹 角 为（）A.45 B.135 C.80 1）.12010.（2021 河 南 南 阳 高 二 期 末（理）已 知 向 量 在=（1,2）,CD=（-2,m）,则“杨 1”是“在，诟 为 钝 角”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 C.充 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 4第 2 7讲 平 面 向 量 的 数 量 积 1、向 量 的 数 量 积（内 积）对 于 两 个 非 零 向 量 与 我 们 把 数 量|Z|g|c o s Z,g 叫 做 和 书 的 数 量 积（或 内 积），记 作 即 a-b=a b cos。2、两 个 向 量 内 积 有 如 下 重 要 性 质（1）如 果 e 是 单 位 向 量,则。e=e Q=|Q|c o s（w 6）.（2）a A.b a-b=0 a Q=|a/或 二 yja-a一 一 ci,h（4）cos=.-M l（5）|a-6|a|S|题 型 一：平 面 向 量 数 量 积 的 定 义 1.（2021 江 西 景 德 镇 一 中 高 一 期 中（理）在 A/B C中，若 就.而 0，则 此 三 角 形 为（）A.钝 角 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.锐 角 三 角 形 D.等 腰 三 角 形【答 案】A【详 解】5.C=|s|.|J c|c o s/l 0,cos/0,乙 4是 钝 角，则/8 C是 钝 角 三 角 形.故 选：A.2.（2021 北 京 东 城）若 石 都 是 单 位 向 量，则 下 列 结 论 一 定 正 确 的 是（）A.a=b B.a-b-C.a I lb D,卜|=1【答 案】D【详 解】方 向 相 同 大 小 相 等 的 向 量 是 相 等 向 量，但 是 不 一 定 方 向 相 同，故 A错 误；a-=|a|-|-cosa=l,a 为,坂 的 夹 角，因 为 a e 0,句，所 以 cosa e-1,1,所 以 5 不 一 定 等 于 1,故 B错 误：方 向 相 同 或 者 相 反 的 向 量 是 平 行 向 量，但 是 不 一 定 方 向 相 同 或 相 反，故 C错 误；因 为 石 都 是 单 位 向 量，所 以 同=烟=1,所 以 口 咽，故 D正 确，故 选：D.3.（2021 上 海）下 列 等 式 正 确 的 是（）A.0 c=0 B.5b c）=（a b）-c C.0=O D.6-fe=0【答 案】D【详 解】5对 A,0.c=6,故 A错 误；对 B,由 于 向 量 的 数 量 积 为 数，所 以 向 量 不 满 足 乘 法 的 结 合 律，故 B错 误；对 C,6-6-故 C 错 误，对 D,向 量 的 数 量 积 为 数，故 正 确.故 选：D.4.(2021 全 国)下 列 命 题 正 确 的 是()A.B.a-bOa+bQC.a-h=0|6Z|=0 D.(a+h)c=a c+b c【答 案】D【详 解】解：对 于 A：卜 刑=琲 眄 故 A 错 误；对 于 B：由 a.否#0可 以 得 到|a|+历,0,但 是 由|a|+,0得 不 到 a/w 0,当 a_L5时 a_B=0，故 B错 误;对 于 C：若 鼠 刃=0 则|。|由=0或 _1_5,故 C 错 误；对 于 D：(a+b)c=a c+b c,故 D 正 确；故 选：D5.(2021 全 国 高 一 课 时 练 习)下 列 命 题 正 确 的 个 数 是 J B+BA=O;0-AS=0；AB-A C=BC 0.方=0A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】A【详 解】由 两 相 反 向 量 的 和 为 零 向 量 知 正 确；由 于 两 向 量 的 数 量 积 结 果 为 一 实 数 知 错 误，正 确 结 果 应 为 0：由 向 量 的 减 法 运 算 法 则 方-%=无，错；由 向 量 数 乘 的 意 义 知 o.荏=0，错，即 正 确 的 个 数 是 1,故 选 A.6.(2021 浙 江 高 一 单 元 测 试)设 2、B、5是 非 零 向 量，则 下 列 说 法 中 正 确 是 A.(a-b)-c=(c-h)-a B.归-6卜 忖+同 C.若,则 5=?D.若 不|很,可 了，则 511d【答 案】D【详 解】由 题 意 得，对 于 A 中，(万 Z)N 表 示 与 3共 线 的 向 量，(14)4 表 示 与 万 共 线 的 向 量，所 以 不 正 确；对 于 B 中，2-3=0时,此 时|方+同=0,而 归 叫=2忖 0,所 以 不 正 确:6对 于 C 中，若 G.b=G=0，而 此 时 B 与 不 一 定 是 相 等 向 量，所 以 不 止 确；对 于 D 中，因 为 彳、B W 是 非 零 向 量，若 Q/E,2/W,则 B/,是 正 确.故 选：D.题 型 二：平 面 向 量 数 量 积 的 意 义 1.(2021 江 西 九 江 一 中 高 一 期 中)向 量 2=(-1,1)在 向 量 5=(-3,-4)上 的 射 影 为()A.包 B.也 C.-D.-2 2 5 5【答 案】D【详 解】向 量=(-1,1)在 向 量 B=(-3,-4)上 的 射 影 为 a-b _(-l)x(-3)+1x(-4)_ 1W-7(-3)2+(-4)2-51故 选：D2.(2021 四 川 成 都 外 国 语 学 校 高 一 期 中(理)已 知 同=6,问=3,向 量 G 在 在 方 向 上 投 影 是 4,则 限 行 为()A.12 B.8 C.-8 D.2【答 案】A【详 解】解：设 两 个 向 量 的 夹 角 为。，由 题 意 已 知 同=6,|可=3,.a-b向 量 值 在 彼 方 向 上 投 影 是 4,则 4=同，所 以 鼠 5=4问=12；故 选：A.3.(2021 河 北 巨 鹿 中 学 高 一 月 考)已 知 同=2,向 量 与 向 量 办 的 夹 角 为 120。，是 与 不 同 向 的 单 位 向 量，则 在 石 上 的 投 影 向 量 为()A.e B.yfie C.yf3e D.e【答 案】D【详 解】解：因 为 同=2,向 量 鼠 与 向 量 9 的 夹 角 为 120。，是 与 5 同 向 的 单 位 向 量，所 以 在 否 上 的 投 影 向 量 为|a|cosl20-e=2xf-je=-e,故 选：D74.（2021 浙 江 绍 兴）已 知 向 量=（3,-1）,否=（1,0）,则 在 方 向 上 的 投 影 是（）A.-1 B.0 C.1 I）.3【答 案】D【详 解】IT-7 a-b 3x 1-Z 在 B 方 向 上 的 投 影 为 忖 cos=可=7=3.故 选：D5.（2021 江 苏 省 太 湖 高 级 中 学 高 一 期 中）已 知 向 量=（2,1）,5=（1,-1）,向 量 在 各 方 向 上 的 投 影 向 量 为（）A.（2,-2）B.（；,!）C.（-）D.）2 2 5 5 2 2【答 案】B【点 睛】a-b 2-1 6向 量 在 g 方 向 上 的 投 影=下|=+（）2=因 为 投 影 向 量 与 5 方 向 相 同，g=（L T）6（万 所 以 向 量 在 方 向 上 的 投 影 向 量 为 学 故 选：B6.（2021 全 国 高 二 课 时 练 习）若 问=4,同=A.2 B.百【答 案】C【详 解】a b=|cos 30,=4 x 2 x=4百，在 B 的 方 向 上 的 投 影 向 量 为 邛 际 3 0%g所 以 Z 在 各 的 方 向 上 的 投 影 向 量 的 模 长 为 故 选：C.7.（2021 湖 北）已 知 向 量 5=（0,-2JJ）,为（）A.显 B.3e【答 案】D【详 解】一 T，产，省，2 J 3 2）-=2,和 否 的 夹 角 为 30。，则 在 5 的 方 向 上 的 投 影 向 量 的 模 长 为（）C.26 D.4=3 1=勒 2 2 0=2状 6=（1,73）,与 同 向 的 单 位 向 量 为 限 则 向 量 在 方 向 上 的 投 影 向 量 C.-y/3e D.-3e8.在 不 方 向 上 的 投 影 为 禀=0 x1+(丁 拘 M y,又 3 是 与 各 方 向 相 同 的 单 位 向 量，在 各 方 向 上 的 投 影 向|A|V1+3量 为-33故 选：D题 型 三：模 1.(2021 嘉 峪 关 市 第 一 中 学 高 二 期 末(文)已 知 向 量,各 的 夹 角 为 60。，同=1,恸=2,则 悔 5 卜()A.1 B.26 C.y/l D.2【答 案】D【详 解】,向 量 a，B 的 夹 角 为 60,忖=1,%=2,a%=1 x2xcos6()o=1，；12a 耳=-J(2a-bf=V 4a-4a-b+b=V 4 4+4=2故 选：D.2.(2021 全 国)已 知 G 为 单 位 向 量，且 2=22,h=-3e，则|)-4日|=()A.3 B.5 C.10 D.14【答 案】D【详 解】因 为 省 为 单 位 向 量,所 以|即=1,a-4b yl(a-4h)2=-J(2e+2e)2=yj(14e)2=14.故 选：D3.(2021 梁 河 县 第 一 中 学 高 二 月 考)已 知 同=4,问=8,2 与 石 的 夹 角 为 120,则 恢-可=()A.85/3 B.673 C.573 D.8尤【答 案】A【详 解】la 一 同=J(2I 肛=yl4a2-4a-b+b2=4x42+4x4x8xl+82=8.故 选：A4.(2021 河 西 天 津 实 验 中 学)平 面 向 量 与 否 的 夹 角 为 60,=(2,0)，W=l,则 归+2可 等 于()A.也 B.26 C.4 D.12【答 案】B【详 解】因 为 l=(2,0)，W=l,所 以 向=2,9因 为 向 量 与 1 的 夹 角 为 60,所 以 4.5=忖 cos 60=2xlxy=1,所 以 1/+2=4。+4.方+4坂=4+4+4=2行，故 选：B5.（2021 海 口 中 学 高 三 月 考）己 知|=2,向=2,75=1,则 0-同=（）A.V6 B.2 C.2&1）.3【答 案】A【详 解】a-b=a-la-b+b=4 2xl+4=6,所 以|Z-B|=&.故 选：A6.（2021 遵 义 市 第 三 中 学 高 一 期 中）已 知 向 量,b,满 足 7 5=0，同=1，W=2.则 忸（）A.4 B.2、/I C.6 D.8【答 案】B【详 解】因 为 5=0,=1 W=2 2a-b=yl4a2-4a-b+b2=，4-0+4=2 后,故 选：B7.（2021 泾 县 中 学 高 一 月 考）设 向 量 7，）均 为 单 位 向 量，且 满 足/J,则 2；+3 卜（）A.V13 B.13 C.4 D.5【答 案】A【详 解】因 为 7 _ L,所 以 7j=o所 以 区+3y|=J（27+3=M 1+9+1 2 7 j=.故 选：A8.（2021 湖 南）已 知 向 量,石 的 夹 角 为 5，=（-3,4）,1 5=10，则 恸=（）A.2-72 B.2卡 C.3百 D.4 0【答 案】A【详 解】解：由 2=(3,4),|a|=V(-3)2+42=5,10TT因 为 向 量 Z，否 的 夹 角 为 1 5=10，4所 以 同 Wcos?=10,所 以 5 x W=10,解 得 呵=2 0，故 选：A9.(2021 陕 西 汉 中 高 三 月 考(理)若 单 位 向 量 2 满 足 伍-2 h(2+-；,贝 平-耳 等 于()A.1 B.72 C.G D.当【答 案】C【详 解】解：因 为 3为 单 位 向 量，所 以(4_24(+3)=卜|_.5-2恸=-a b-,所 以 Q,5=g,所 以 口 斗 狂.=小 卜 叫 卜 痒 故 选：C.10.(2021 酉 阳 土 家 族 苗 族 自 治 县 第 三 中 学 校 高 三 模 拟 预 测)已 知 向 量 石 满 足 内=向=|+同=1,则 悔+可=()A.3 B.Q C.7 D.不【答 案】B【详 解】:向 量 a 满 足|a|=|61=|a+61=1,-.|a+6|2=|a|2+2a-b+b=2+2a-b=,2a-b=-,27+邸=41 片+4屋 用 W=4-2+1=3,;j2a+闸=石,故 选：B11.(2021 全 国 高 三 模 拟 预 测(理)平 面 向 量 方 与 6 的 夹 角 为 60。，同=2,B=S),则|2)-8|=()A.12 B.243 C.6 D.在【答 案】B【详 解】由 已 知 I1 1=2,2a-b=(2a-b)2=4a2-4ab+h2=4x22-4x2x2xcos60+22=E,2a-ft 1=273.故 选：B.12.(2021 西 藏 拉 萨 中 学 高 三 月 考(文)已 知 平 面 向 量 与 否 的 夹 角 为 30。，且 Z=(I,JI),各 为 单 位 向 量，则|+6 M=)11A.1 B.713 C.V2T D.7+2JJ【答 案】B【详 解】由 已 知 可 得|Z|=2,|B|=1,贝 I J 7 E=|Z|B|COS3(T=6,所 以 I a+=(a+gB)。=，+B+3石=4+6+3=13,则|a+|=J T.故 选：B.13.(2021 全 国 高 三 月 考)已 知 平 面 向 量 与 否 的 夹 角 为 60,a=(2,0),b=,则 口-2可 的 值 为()A.y/2 B.2C.4 D.【答 案】B【详 解】因 为=(2,0),所 以|=2,又 平 面 向 量 与 的 夹 角 为 60,向=1p-2 年 7l|2-4lll*lc o s 6 0+4l|2=22-4x2xlx1+4xl2=2故 选：B14.(2021 威 远 中 学 校 高 一 月 考(文)已 知 万，万 满 足：同=3,问=2,归+可=4,则 归-司=()A.73 B.75 C.y/2 D.710【答 案】D【详 解】|j+i|+|a-fc|=(a+b)2+(a-b)2=J-2.坂+坂+J+2。.5+片=2a+2 7=2x32+2x22=26,所 以 忖 一.=26-|a+f e|=10,|-6|=/10.故 选：D.题 型 四：平 行 与 垂 直 关 系 1.(2021 广 东 惠 州 高 一 期 中)已 知 向 量 2=(1,-1),6=(-1,?),且 2,5,则/=()A.-2 B.2 C.-1 D.1【答 案】C【详 解】由 题 知 I,向 量 a=(l,-l),6=(-1,r),若 川,则 lx(-l)+(T)=0,f=_L故 选：C.2.(2021 厦 门 市 湖 滨 中 学)已 知 向 量 方=(2,-1,2),/(-1,居 1),5(1,-1,1),若 小 而,则 实 数 x 的 值 为()A.-5 B.0 C.-1 D.5【答 案】A12【详 解】由 题 意 得，a=(-l,x,l),丽 所 以 方=丽 怎=(2,_l-x,0),因 为 j_刀，所 以 方=0，所 以 7 万=2x2+(-l)x(-l-x)+2x0=0,得 x=-5.故 选:A3.(2021 沙 坪 坝 重 庆 八 中 高 三 月 考)已 知 向 量 2=(-1,4),5=(2,机)，若,贝 lJZ-2；=()A.(5,20)B.(-5,-12)C.(5,5)D.(-5,3)【答 案】D【详 解】ill 条 件，a石=2+4/n=0，所 1 以 机=万，从 而 3 2*=(-5,3).故 选：D4.(2021 贵 州 凯 里 一 中 高 二 期 末(文)若|=1)，几 贝 工 日 2)=()A.-1 B.1 C.-2 D.2【答 案】C【详 解】a-(b-2a)=a-b-2 f=0-2=-2故 选：C5.(2021 全 国 高 一 课 时 练 习)已 知 向 量 万=(-1,2),b=(2,t),且 切 区，那 么 t等 于()A.-4 B.-1 C.1 D.4【答 案】A【详 解】因 为 4=(T,2),b=(2,t),且,所 以 引 为=乂 即-Ixf=2x2,解 得 t=T故 选：A6.(2021 四 川 射 洪 中 学 高 三 月 考(文)已 知 Z=(3,1),3=(2,2),若 否，则 实 数 2 的 值 为()2 3 2 3A.B.C.-D.-3 2 3 2【答 案】C【详 解】2因 为 所 以 32-2=0,解 得 2=故 选：C7.(2021 湖 南 高 二 月 考)向 量 2=(4,2和=(6,#,若 房 区，则=()A.3 B.-3 C.12 D.-12【答 案】A【详 解】13由 于 所 以 4y-2x6=0,解 得=3.故 选：A题 型 五：夹 角 1.(2021 全 国)；了 为 平 面 向 量，已 知 展=(1,2)工=(1,0),则 W工 夹 角 的 余 弦 值 等 于()A.在【答 案】A【详 解】设 二 工 向 量 的 夹 角 为“，则 cos6=1X1 y/57?=T故 选：A.2.(2021 云 南 省 南 涧 县 第 一 中 学 高 一 月 考)设 向 量 Z=(3,4),=则 cos=()正 A 五 10【答 案】A【详 解】因 为=(3,4),6=(-1,1),D.叵 a-b _3x(-l)+4xl5x2 10-故 选：A.3.(2021 山 西 临 汾)设。=(6,1),5=(-3,我,则 一 与 B 的 夹 角 为(3兀 T【答 案】c【详 解】解：因 为 万=(-3,6),所 以|)|=2,/上 2 0，1.5=6x(-3)+lx 括=-2 正,设 向 量 2 与 很 的 夹 角 6，又 0叙 乃,所 以 3 与 5 的 夹 角 为 号.故 选：C.4.(2021 浙 江 邺 州 宁 波 咸 祥 中 学 高 一 期 中)已 知 3=(2,-1)=(1,3),则 1 夹 角 的 余 弦 值 等 于()14A.立 B.正 C.变 D.一 也 5 5 10 10【答 案】D【详 解】/-r a-1 V2依 题 意 8 s卜 丹=丽=及 前=而.故 选：D5.（2021 江 苏 江 都 高 一 期 中）已 知 向 量 2=（-石,1）,5=（2,-26），则 公 与 5 的 夹 角 为（）A 兀 5 c 冗 n 3兀 A.-B.7i C.-D.6 6 3 4【答 案】B【详 解】g.g _-73x2+1x（-273）_ 73同.阿 一 V T M V 4+12-2 所 以（哂=9，故 选：B.6.（2021 山 东 荷 泽 高 一 期 末）设 向 量=（百），B=（X,-3）,若 以，则 与）的 夹 角 为（）A.30 B.60 C.120 D.150【答 案】B【详 解】解：因 为 向 量。=（6），B=（X,-3）,bLa所 以 VJx-3=0，解 得 x=百，所 以 坂=（石,-3）,则-坂=（0,4）,八（a-bVa 4 1设 I B 与 的 夹 角 为 仇 则 8=西 同=至=5，TT因 为。0,力，所 以。=彳，即。=60。，故 选：B7.（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（文）已 知 非 零 向 量”=&0）=（-1,6）,若 石=一 4,则+25与 否 的 夹 角 为（）A.-B.-3 2C.工 D.竺 6 3【答 案】A【详 解】15*a b=l=-t 片 4,a=(4,0),又 否.+21=(2,2 6).设+2B与 书 的 夹 角 为。，贝 i cose 二(a+2b)b-2+6 _ 1 _卜+2斗 B|2x4 2因 为 0 0,刈，所 以。=.故 选：A.8.(2021 全 国 高 三 专 题 练 习(理)设 向 量 Z=(x,-4),6=(1,-X),向 量 与 否 的 夹 角 为 锐 角，则 x 的 取 值 范 围 为()A.(-2,2)B.(0,+oo)C.(0,2)u(2,+a)D.-2,2【答 案】C【详 解】由 向 量=(X,-4),彼=(1,-X),因 为 向 量 与 g 的 夹 角 为 锐 角，则 x x l+(-4)x(-x)0且：#於，解 得 x 0且 x w 2,即 X的 取 值 范 围 为(0,2)5 2,+8).故 选：.C.9.(2021 嫩 江 市 第 一 中 学 校 高 一 期 末)已 知 非 零 向 量,B满 足|昨&同，且(工-可“32+2可，则 与 B的 夹 角 为()A.45 B.135 C.80 D.120【答 案】B【详 解】因 为(a 5)，(3+2否)，向=，团,所 以(1一 可.(3。+2 可=3 7 一 1一 2片=-a-b-a=0,所 以 设 与 B的 夹 角 为 8,则 cosOa-b _-a _ V2而 请 团 的 犷 F因 为 强 0。,180。,所 以 6=135。.故 选：B10.(2021 河 南 南 阳 高 二 期 末(理)已 知 向 量 方=(1,2),CD=(-2,m),则“加 1”是“荏，丽 为 钝 角”的()A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 16C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】B【详 解】若 力 反。为 钝 角，则 9.丽 0且 刀 与 而 不 共 线，即/八 八，即 7 1且 加 工-4,加 一（一 4）w 0所 以“加 1”是“在，丽 为 钝 角”的 必 要 不 充 分 条 件.故 选：B.17