江苏省南京市江宁区2022-2023学年高二下学期期末数学试题含答案.pdf

江苏省南京市江宁区江苏省南京市江宁区 2022-2023 学年高二下学期期末数学试题含答学年高二下学期期末数学试题含答案案2022-2023 学年第二学期期末试卷学年第二学期期末试卷高二数学高二数学注意事项：注意事项：1本试卷考试时间为本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前答题前，务必将自己的姓名务必将自己的姓名、准考证号用准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第第卷（选择题卷（选择题共共 60 分）分）一一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1.已知集合105xAxx，4Bx x，则BA R（）A.14xx B.4x x C.14xx D.1x x 2.已知1 i1 i1 iz（i 为虚数单位），则复数z的模为（）A.1B.2C.2D.33.已知1e，2e 是平面中两个不共线的向量，若12aee，12bee，且/a br r，则（）A.1B.1 C.1D.1 4.各项均为正数的等比数列 na，公比为q，则“1q”是“na为递增数列”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.已知函数 2logf xx ax在区间0,1上单调递增，则a的取值范围是（）A.,2 B.2,0C.0,2D.2,6.五张卡片上分别写有1、2、3、4、5五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概率（）A.25B.12C.35D.477.故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似已知底面ABCD为矩形，EF底面ABCD，224ABBCEF，ADEV与BCF是全等的等边三角形，则该五面体ABCDEF的体积为（）A.2 3B.10 23C.7 23D.3 38.直线l过圆22:51Mxy的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为双曲线221916xy右支上一个动点，则PA PB 的最小值为（）A.0B.1C.2D.3二二、多项选择题多项选择题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有多项符合题目要求多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得全部选对得 5 分分，部分选对得部分选对得 2 分分，不选或有错选的得不选或有错选的得 0 分分9.某班50名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成50,60、60,70、70,80、80,90、90,100五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.a的值为0.015B.这50名同学成绩的平均数在60与70之间C.这50名同学成绩的众数是75D.估计这50名同学成绩的75百分位数为8510.下列说法正确的是（）A.已知命题P：任意xR，xx，则命题P的否定为：存在xR，xxB.若关于x的不等式20axbxc的解集为23xx，则0abc C.如果0 x，0y，39xyxy，那么3xy的最小值为 6D.函数 2254xf xx的最小值为 211.设函数 sincos0,2f xxx的最小正周期为，且过点0,2，则下列说法正确的是（）A.f x为偶函数B.f x的一条对称轴为2x C.把 f x的图象向左平移6个单位长度后得到函数 g x，则 2cos 26g xxD.若 f x在0,a上单调递减，则a的取值范围为0,212.已知F是抛物线2:4C yx的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（）A.抛物线C的准线方程为2x B.若4AF，则AOF的面积为3C.若直线AB过焦点F，且163AB，则O到直线AB的距离为12D.若OAOB，则32OA OB第第卷（非选择题卷（非选择题共共 90 分）分）三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上13.已知tan2，则1 sin2_14.621xx展开式中，3x的系数为_（以数字形式作答）15.曲线 2lnfxxxx在点()1,1-处的切线方程为_.16.在三棱锥PABC中，PA 面ABC，ABC为等边三角形，且3PAAB，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤17.袋子中有 6 个大小相同的小球，其中 4 个白球、2 个黑球.（1）每次从袋子中随机摸出 1 个球，摸完不放回，共摸 2 次，求第二次摸到的球是白球的概率；（2）一次完整的试验要求：从袋子中随机摸出 1 个球，记录小球的颜色后再把小球放回袋中.试验终止的条件是黑色小球出现两次，或者试验进行了 4 次.设试验终止时试验的次数为X，求随机变量X的数学期望.18.ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足：222coscos1acAaCbc，（1）求角C；（2）若2c，求ab的取值范围19.已知函数 2exf xax（1）讨论 f x的单调性；（2）证明：当0a 时，244fxaa20.已知数列 na的前n项和为nS，12a，nSn是公差为2的等差数列（1）求数列 na的通项公式；（2）若122nnnbban，且13b，数列1nb的前n项和为nT，求nT21.如图所示，在三棱锥PABC中，已知PA 平面ABC，平面PAB 平面PBC（1）证明：BC平面PAB；（2）若6PAAB，3BC，在线段PC上（不含端点），是否存在点D，使得二面角BADC的余弦值为105，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由22.已知椭圆222:102xyCbb的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，且212OM ABb （1）求椭圆C的方程；（2）已知圆22:3O xy，P为圆O上任意一点，过点P作椭圆C的切线，交圆O于点Q，若OP与OQ斜率都存在，求证：OPOQkk为定值2022-2023 学年第二学期期末试卷学年第二学期期末试卷高二数学高二数学注意事项：注意事项：1本试卷考试时间为本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分分钟，试卷满分 150 分，考试形式闭卷分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前答题前，务必将自己的姓名务必将自己的姓名、准考证号用准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第第卷（选择题卷（选择题共共 60 分）分）一一、单项选择题单项选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1.已知集合105xAxx，4Bx x，则BA R（）A.14xx B.4x x C.14xx D.1x x 【答案】C【解析】【分析】求出集合A，利用补集和交集的定义可求得集合BAR.【详解】因为1015xAxx xx 或5x，故15Axx R，又因为4Bx x，则14BAxx R.故选：C.2.已知1 i1 i1 iz（i 为虚数单位），则复数z的模为（）A.1B.2C.2D.3【答案】B【解析】【分析】先计算z，然后利用模的公式进行求解即可【详解】因为1 i1 i1 iz所以2i1 i2 12111 i11iiiiiiii1z ，所以2z 故选：B3.已知1e，2e 是平面中两个不共线的向量，若12aee，12bee，且/a br r，则（）A.1B.1 C.1D.1【答案】C【解析】【分析】利用两向量共线的基本定理，得到相应的关系式【详解】12aee，12bee，若/a br r，则Rt，使atb=，即1212eet ee ，由1e，2e 是平面中两个不共线的向量，则有1tt，即1.故选：C4.各项均为正数的等比数列 na，公比为q，则“1q”是“na为递增数列”的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】先根据1q，得到 na递增，充分性成立，再推导出必要性成立.【详解】因为 na各项为正数，且1q，所以11nnaqa，即1nnaa，所以 na为递增数列，充分性成立，若 na为递增数列，则1nnaa，因为 na各项为正数，所以11nnaqa，必要性成立.故选：C5.已知函数 2logf xx ax在区间0,1上单调递增，则a的取值范围是（）A.,2 B.2,0C.0,2D.2,【答案】D【解析】【分析】利用对数型复合函数单调性判断方法，结合条件列式计算作答.【详解】函数 2logf xx ax可看作函数2logyt，tx ax的复合函数，又函数2logyt在0,上单调递增，而函数 2logf xx ax在区间0,1上单调递增，则有函数2224aatx axx 在区间0,1上单调递增，且0 x ax在区间0,1恒成立，因此12a，解得2a，所以a的取值范围是2,.故选：D.6.五张卡片上分别写有1、2、3、4、5五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概率（）A.25B.12C.35D.47【答案】A【解析】【分析】利用排列计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】若这五张卡片组成的五位数是偶数，则个位数为偶数，其余各数位无限制，因此所求概率为44552A2A5P.故选：A.7.故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似已知底面ABCD为矩形，EF底面ABCD，224ABBCEF，ADEV与BCF是全等的等边三角形，则该五面体ABCDEF的体积为（）A.2 3B.10 23C.7 23D.3 3【答案】B【解析】【分析】将该五面体分割为四棱锥和三棱柱，结合棱柱和棱锥的体积公式求其体积.【详解】过点E作,EGEF EHEF，又EGEHE，,EG EH 平面EGH，所以EF平面EGH，过点F作,FMEF FNEF，又FMFNF，,FM FN 平面FMN，所以EF平面FMN，因为/EF底面ABCD，EF 平面ABFE，平面ABFE 平面ABCDAB，所以/AB EF，同理/CD EF，所以,ABEG CDEH，,ABFM CDFN，AB平面EGH，AB平面FMN，GH 平面EGH，MN平面FMN，所以,ABGH ABMN，因为224ABBCEF，ADEV与BCF是全等的等边三角形，由对称性可得，1AGDHBMCN，所以3EGEH，2GHMN，连接点E与GH的中点P，则2EP，所以12222EGHS，又2GM，所以三棱柱EGHFMN的体积为2 2，因为AB平面EGH，EP平面EGH，所以ABEP，又EPGH，,AB GH 平面ABCD，ABGHG，所以EP平面ABCD，又矩形 AGHD 的面积为 2，所以四棱锥EAGHD的体积为12 22233，由对称性可得四棱锥FMBCN的体积为2 23，所以五面体ABCDEF的体积为2 210 22 2233，故选：B.8.直线l过圆22:51Mxy的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为双曲线221916xy右支上一个动点，则PA PB 的最小值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】求出圆的圆心5,0M，根据题意可得MBMA、PMca，利用平面向量的线性运算可得21PA PBPM ，即可求解.【详解】圆2251xy，圆心5,0M，半径1r，因为直线l过圆2251xy的圆心，且与圆相交于A，B两点，所以MBMA，又双曲线221916xy，则3a，5c，右焦点为5,0，所以 PA PBPMMAPMMB 2221PMMAPMMAPMMAPM ，又PMca，即2PM ，所以213PM ，当点P在右顶点时取等号，即3PA PB ，所以PA PB 的最小值为3，故选：D.二二、多项选择题多项选择题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有有多项符合题目要求多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得全部选对得 5 分分，部分选对得部分选对得 2 分分，不选或有错选的得不选或有错选的得 0 分分9.某班50名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成50,60、60,70、70,80、80,90、90,100五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.a的值为0.015B.这50名同学成绩的平均数在60与70之间C.这50名同学成绩的众数是75D.估计这50名同学成绩的75百分位数为85【答案】ACD【解析】【分析】利用频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，求出a的值，可判断 A 选项；求出这50名同学成绩的平均数，可判断 B 选项；利用最高矩形底边的中点值为众数可判断 C 选项；利用百分位数的定义求出这50名同学成绩的75百分位数，可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，所以，0.01 20.030.035101a，解得0.015a，A 对；对于 B 选项，这50名同学成绩的平均数为55 0.1 65 0.1575 0.35 85 0.3 95 0.176.5，B 错；对于 C 选项，这50名同学成绩的众数是7080752，C 对；对于 D 选项，前三个矩形的面积之和为0.1 0.150.350.6，前四个矩形的面积之和为0.60.30.9，设这50名同学成绩的75百分位数为m，则80,90m，由百分位数的定义可得0.6800.030.75m，解得85m，D 对.故选：ACD.10.下列说法正确的是（）A.已知命题P：任意xR，xx，则命题P的否定为：存在xR，xxB.若关于x的不等式20axbxc的解集为23xx，则0abc C.如果0 x，0y，39xyxy，那么3xy的最小值为 6D.函数 2254xf xx的最小值为 2【答案】AC【解析】【分析】A 选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B 选项，根据不等式的解集得到方程的两根，利用韦达定理求出,a b c的关系，从而求出0abc；C 选项，变形后利用基本不等式求出最小值；D 选项，变形后利用基本不等式进行求解，但等号取不到.【详解】A 选项，命题P：任意xR，xx的否定为：存在xR，xx，A 正确；B 选项，关于x的不等式20axbxc的解集为23xx，则2,3为20axbxc的两根，故23,2 3bcaa，所以5,6ba ca，故560abcaaa，B 错误；C 选项，0 x，0y，93xyxy，由基本不等式得到2334xyxy，即2327334xyxy，解得36xy或318xy，当且仅当33xy时，等号成立.由于0 x，0y，故30 xy，318xy 舍去，3xy的最小值为 6，C 正确；D 选项，2222222254 11142424444xxf xxxxxxx，当且仅当22144xx时，等号成立，但22144xx无解，故最小值取不到，D 错误.故选：AC11.设函数 sincos0,2f xxx的最小正周期为，且过点0,2，则下列说法正确的是（）A.f x为偶函数B.f x的一条对称轴为2x C.把 f x的图象向左平移6个单位长度后得到函数 g x，则 2cos 26g xxD.若 f x在0,a上单调递减，则a的取值范围为0,2【答案】ABD【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，利用周期及特殊点求出函数解析式，然后利用余弦函数性质一一判断即可.【详解】sincos2sin4f xxxx，因为函数 f x最小正周期为，0，所以222T，则 2sin 24f xx，又函数 f x过点0,2，所以 02sin24f，即sin14，所以2,Z42kk，所以2,Z4kk，又2，所以4，所以 2sin 22cos22f xxx，易知函数 f x的定义域为 R，且2cos(2)2cos2()fxxxf x，所以 f x为偶函数，故 A 正确；令2,Zxkk，则,Z2kxk，当1k 时，f x的一条对称轴为2x，故 B 正确；令2(2,2),Zxkkk，则(,),Z2xkkk，当0k 时，f x在0,2上单调递减，若 f x在0,a上单调递减，则a的取值范围为0,2，故 D正确；把 f x的图象向左平移6个单位长度后得到函数 g x，则 2cos2()2cos 263g xxx，故 C 错误.故选：ABD12.已知F是抛物线2:4C yx的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（）A.抛物线C的准线方程为2x B.若4AF，则AOF的面积为3C.若直线AB过焦点F，且163AB，则O到直线AB的距离为12D.若OAOB，则32OA OB【答案】BD【解析】【分析】根据抛物线的几何性质，可判定 A 错误，结合抛物线的定义，可判定 B 正确；结合抛物线的焦点弦的性质和点到直线的距离公式，可判定 C 错误；设直线OA的方程为ykx（不妨设0k）求得42114OAkk和424OBkk，结合基本不等式，可判定 D 正确.【详解】对于 A 中，抛物线2:4C yx可得其准线方程为=1x，所以 A 错误；对于 B 中，设,A x y，因为4AF，可得14x，解得3x，可得2 3y，所以111 2 3322AOFSOFy，所以 B 正确；对于 C 中，抛物线2:4C yx，可得其焦点坐标为(1,0)F，当直线AB的斜率不存在时，可得AB4，不符合题意；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(1)yk x，联立方程组2(1)4yk xyx，整理得2222(24)0k xkxk，设1122(,),(,)A x yB xy，可得212224kxxk，根据抛物线的定义，可得21222416223kABxxk，解得3k ，所以直线AB的方程为3(1)yx，不妨取330 xy，所以O到直线AB的距离为22332(3)(1)，所以 C 错误；对于 D 中，设直线OA的方程为ykx（不妨设0k）由24ykxyx，可得244(,)Akk，则222424411()()4OAkkkk，因为OAOB，此时直线OB的方程为1 yxk，可得424OBkk，所以42224222161632111116 1 11 1 2kkkkkkOkkOAB ，当且仅当221kk时，即1k 时，等号成立，所以 D 正确.故选：BD.第第卷（非选择题卷（非选择题共共 90 分）分）三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上13.已知tan2，则1 sin2_【答案】95【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式结合弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为tan2，则222sincos1 sin212sincos1sincos 222tan2 2911tan1215 .故答案为：95.14.621xx展开式中，3x的系数为_（以数字形式作答）【答案】25【解析】【分析】由66621121xxx xx，结合二项式展开式求3x的系数.【详解】因为61x的展开式的通项为66166C1CkkkkkkTxx，0,1,2,3,4,5,6k，又66621121xxx xx，所以621xx展开式中，3x的项为4333366C2C25xxx，所以621xx展开式中，3x的系数为25.故答案为：25.15.曲线 2lnfxxxx在点()1,1-处的切线方程为_.【答案】0 xy【解析】【分析】利用导数的几何意义求解即可【详解】由 2lnfxxxx，得()ln1 2fxxx，所以切线的斜率为(1)ln1 121f ，所以所求切线方程为(1)(1)yx ，得yx，即0 xy，故答案为：0 xy16.在三棱锥PABC中，PA 面ABC，ABC为等边三角形，且3PAAB，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_【答案】7【解析】【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径 r 和球心距 d，可得球的半径 R，即可求出三棱锥PABC外接球的表面积【详解】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示，此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，设球心为 O，作OO 平面ABC，则O为ABC的外接圆圆心，连接AO AO,，则1322OOPA，设ABC的外接圆半径为 r，三棱锥PABC外接球半径为 R，由正弦定理，得322sin6032ABr，所以1r，Rt OO A中，222OAOOOA，所以222312R，解得72R，所以247SR故答案为：7四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤17.袋子中有 6 个大小相同的小球，其中 4 个白球、2 个黑球.（1）每次从袋子中随机摸出 1 个球，摸完不放回，共摸 2 次，求第二次摸到的球是白球的概率；（2）一次完整的试验要求：从袋子中随机摸出 1 个球，记录小球的颜色后再把小球放回袋中.试验终止的条件是黑色小球出现两次，或者试验进行了 4 次.设试验终止时试验的次数为X，求随机变量X的数学期望.【答案】（1）23（2）9827【解析】【分析】（1）利用全概率公式计算即可；（2）求出 X 的所有可能取值，求出对应的概率，代入数学期望公式计算即可.【小问 1 详解】设1A：第一次摸到的球是白球，2A：第一次摸到的球是黑球，B：第二次摸到的球是白球，124324265653P BP ABP A B；【小问 2 详解】X的可能取值为 2，3，4，2212669P X，1221143C33327P X ，20412327P XP XP X，所以X的分布列为：X234P194272027所以数学期望1420982349272727E X .18.ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足：222coscos1acAaCbc，（1）求角C；（2）若2c，求ab的取值范围【答案】（1）3C（2）2,2【解析】【分析】（1）根据余弦定理与正弦定理求得1cos2C，从而求得角C；（2）由正弦定理得用A表示,a b，用三角恒等变换化简得4 3sin33abA，用三角函数求得范围.【小问 1 详解】由已知得，2222coscosbacacAaC，由余弦定理，得2222cosbacabC，22coscoscosabCacAaC，0a，2 coscoscosbCcAaC，由正弦定理，有2sincossincossincossinsinBCCAACACB，sin0B，1cos2C，又0,C，3C【小问 2 详解】在三角形ABC中，23BA，由正弦定理sinsinsinabcABC得：sin4 3sinsin3cAaAC，sin4 34 32sinsinsin333cBbBAC，4 34 32sinsin333abAA4 3 134 3sincossin32233AAA，在三角形ABC中3C，0A，203BA，203A，显然333A，即33sin232A，则有4 32sin233A，所以ab的取值范围是2,219.已知函数 2exf xax（1）讨论 f x的单调性；（2）证明：当0a 时，244fxaa【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间确定导数值的正负，由此确定函数的单调性；（2）结合（1）由分析可得要证明原结论只需证明ln221aa，设 ln221g aaa，利用导数求其最大值即可.【小问 1 详解】由 2exf xax，得 2exfxa，当0a 时，0fx，f x在R上单调递减；当0a 时，令 0fx，得ln2xa，当,ln2xa 时，()0fx，f x单调递增；ln2,xa，0fx，f x单调递减；【小问 2 详解】由（1）知，当0a 时，maxln22 ln22fxfaaaa，要证：当0a 时，244fxaa，可证：22 ln2244aaaaa，因为0a，即证：ln221aa，设 ln221g aaa，12gaa，令 0ga，则12a，所以当10,2a时，0ga，g a单调递增；当1,2a时，0ga，g a单调递减，max102gag，所以 0g a，即ln221aa，所以当0a 时，244fxaa20.已知数列 na的前n项和为nS，12a，nSn是公差为2的等差数列（1）求数列 na的通项公式；（2）若122nnnbban，且13b，数列1nb的前n项和为nT，求nT【答案】（1）42nan（2）21nnTn【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式求得22nSn，再根据11,1,2nnnS naSSn可求得数列 na的通项公式；（2）利用累加法求出数列 nb的通项公式，然后利用裂项求和法可求得nT.【小问 1 详解】解：因为nSn是公差为2的等差数列，11211Sa，所以2122nSnnn，得22nSn，当2n时，142nnnaSSn；1n 时，12a 符合42nan，所以n N，42nan【小问 2 详解】解：由12284nnnbanbn，且13b，当2n时，则有 121321nnnbbbbbbbb284 1213 1220843412nnnn，又13b 也满足241nbn，故对任意的nN，241nbn，21111114121 212 2121nbnnnnn，则11111111112335212122121nnTnnnn21.如图所示，在三棱锥PABC中，已知PA 平面ABC，平面PAB 平面PBC（1）证明：BC平面PAB；（2）若6PAAB，3BC，在线段PC上（不含端点），是否存在点D，使得二面角BADC的余弦值为105，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析（2）存在；D是PC上靠近C的三等分点【解析】【分析】（1）过点A作AEPB于点E，由面面垂直性质定理可得AE平面PBC，由此证明AEBC，再证明PABC，根据线面垂直判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面ACD，平面ABD的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点D的位置；【小问 1 详解】过点A作AEPB于点E，因为平面PAB 平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AE 平面PAB，所以AE平面PBC，又BC平面PBC，所以AEBC，又PA 平面ABC，BC平面PBC，所以PABC，又因为AEPAA，AE，PA平面PAB，所以BC平面PAB【小问 2 详解】假设在线段PC上（不含端点），存在点D，使得二面角BADC的余弦值为105，以B为原点，分别以BC、BA 为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则0,6,0A，0,0,0B，3,0,0C，0,6,6P，3,6,0AC，0,0,6AP ，3,6,6PC ，0,6,0BA，设平面ACD的一个法向量为,mx y z，0,0,m ACm AP 即360,60,xyz取2x，1y，0z，所以2,1,0m 为平面ACD的一个法向量，因为D在线段PC上（不含端点），所以可设3,6,6PDPC ，01，所以3,6,66ADAPPD ，设平面ABD的一个法向量为,nx y z，0,0,n BAn AD 即60,36660,yxyz，取22x，0y，z，所以22,0,n为平面ABD的一个法向量，222221 00cos,522m n ，又01，由已知可得22222105522 解得23或2（舍去），所以，存在点D，使得二面角BADC的余弦值为105，此时D是PC上靠近C的三等分点22.已知椭圆222:102xyCbb的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，且212OM ABb （1）求椭圆C的方程；（2）已知圆22:3O xy，P为圆O上任意一点，过点P作椭圆C的切线，交圆O于点Q，若OP与OQ斜率都存在，求证：OPOQkk为定值【答案】（1）2212xy（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由条件结合向量的坐标运算列方程求b，可得椭圆方程；（2）在PQ的斜率不存在时求OPOQkk的值，当PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxm，联立直线与圆的方程结合设而不求法求OPOQkk，由直线与椭圆相切求,k m的关系，由此证明结论.【小问 1 详解】依题意可得2,0A，0,Bb，2,ABb ，2,22bM，所以2211122OM ABbb ，所以21b，所以椭圆C的方程为：2212xy【小问 2 详解】若PQ的斜率不存在，则2,1P，2,1Q或2,1P，2,1Q，此时12OPOQkk；若PQ的斜率存在时，可设直线PQ的方程为ykxm，11,P x y，22,Q xy，由22,3,ykxmxy联立消去y可得，2221230kxkmxm，方程2221230kxkmxm的判别式2222224413124120k mkmkm，12221kmxxk，212231mx xk，221212231mky ykxmkxmk，所以221221233OPOQy ymkkkx xm，当直线PQ与椭圆相切时，由22,1,2ykxmxy联立消去y可得，222214220kxkmxm，2222164 21220k mkm，化简得2221km，所以12OPOQkk，综上可得OPOQkk为定值12【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形