2-命题及其关系、充分条件与必要条件练习题.docx
§ 1. 2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1.设集合 Z=x£R|x-2>0, 8=x£R|xV0,。= x£R|x(x2) >0,则是“才£。”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：/日夕=*£川*<0或工>2,。=丫£区|不<0或万>2,9：AUB=Q .x£/U8是不£。的充分必要条件.答案：C2.已知命题夕：3 /?eN, 2,2>1 000,则夕为（ ）.B. V £N, 2>1 000D. 3 £N, 2yl 000A. V £N, 2W1 000C. 3 £N, 2W1 000解析特称命题的否定是全称命题.即夕：3 xGM,夕（x）,则夕：Y xRM,A.答案A3 .命题“若一IVxVl,则/VI”的逆否命题是（）A.若x1或xW L则1B.若晨1,则一C.若 则 x>l 或 x< 1D.若则才21或xW 1解析：若原命题是“若则q”，则逆否命题为“若幺弟。则夕”，故此命题的逆否命题 是“若则或xW 1”.答案：D4 .已知明 £角的终边均在第一象限，则“ >£”是“sin 6/>sin £”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件60°解析 （特例法）当时，令 4=390° ， £=60° ，则 sin 390° =sin 30° =Vsin故 sin a >sin £ 不成立；当 sin a >sin £ 时、令 ct =60° , £=390° 满 乙意上式，此时<£,故是“sin >sin £”的既不充分也不必要条件.答案D【点评】本题采纳了特例法，所谓特例法，就是用特别值 特别图形、特别位置 代替题 设普遍条件，得出特别结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的推断,特例法的理论依 据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特别状况为真，即一般性寓于特别性之中. 常用的特例有取特别数值、特别数列、特别函数、特别图形、特别角、特别位置等.这种方 法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往非常奏效.5 .命题“若Hx）是奇函数，则M X）是奇函数”的否命题是（）A.若F（x）是偶函数，则/'（ X）是偶函数B.若/'（X）不是奇函数，则/'（一x）不是奇函数C.若/'（ 一 X）是奇函数，则/'（X）是奇函数D.若F（ 一x）不是奇函数，则F（x）不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论.答案：B6.设集合"=1,2, 2才,则 “a=l” 是 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：当a=l时，"=1,此时有AU",则条件具有充分性；当八之物时，有才=1或才 =2得到2 = 1, &= 1, =/，故不具有必要性，所以是“AU/， 的充分不必要条件.答案：A7 .若实数a, 6满意aNO, 620,且打6=0,则称h与6互补.记。（a, 6） =#+。一名 b,那么6 （a,6）=0是a与人互补的（）.A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件解析 若。（a,6） =0,即，？n =两边平方得ab=Q,故具备充分性.若620,ab=4,则不妨设a=0.。（2，6） =（+7一6=，百一5=0.故具备必要性.故选C. 答案C 二、填空题I 18 .若不等式I成立的充分不必要条件是32 ,则实数冽的取值范围是答案:J_ 42939 .有三个命题：(1) “若x+y=O,则力y互为相反数”的逆命题；“若a>b,贝的逆否命题；“若xW 3,则V+x6>0”的否命题.其中真命题的个数为(填序号-).解析(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易推断原命题的逆命题假，则原命题 的否命题假.答案110 .定义：若对定义域上的随意实数x都有f(x)=0,则称函数F(x)为上的零函数.依据以上定义，"F(x)是上的零函数或g(x)是上的零函数”为“Ax)与g(x)的积函数是上的零函数”的 条件.f0,-1, 0,解析设 3( 1, 1), f(x)=1、x,0, 1 ,xy1, 0,g(x)=J八 八1明显*x) =F(x) g(x)是定义域上的零函数，但/'(x)与0, x £ 0,1 ,g(x)都不是上的零函数.答案充分不必要11 . P：“向量a与向量8的夹角。为锐角”是6力0”的 条件.解析：若向量a与向量5的夹角9为锐角，则cos 0 =a b /b!>0,即 a 6>0；由 a b>0a b可得cos e=；八>0,故。为锐角或。=0。，故夕是q的充分不必要条件. /b/答案：充分不必要12 .已知。与b均为单位向量，其夹角为有下列四个命题P：0, -I<2 n 1r： | a+ b >1<=> el , n加 | ab >1« 9 e 0,A： | a-b >1« 071其中真命题的个数是.解析 由 | ”+6| >1 可得/+2a 6+/>1,因为 | “I =1, | 6| =1,所以故 0 £ 0, yj.当 £ 0, 时，a b> | a+b= /+2a bb>1,即 | a-b>1, 故口正确.由| h6| >1可得一2h , 6+比>1,因为| h|=1, |引=1,所以"6<也 故 乙。金仔，五，反之也成立，口正确答案2三、解答题13 .设：函数/5)=/一3在区间(生+8)上单调递增；q：l°ga2<l,假如“土” 是真命题，“p或彳”也是真命题，求实数的取值范围。解析：</()= "一3在区间(4, +8)上递增,.=|x_q|在+8)上递增，故<4(3分)q：由 log。2Vl = log, a n 0 < a < 1 或a > 2.又分)假如“力”为真命题，则为假命题，即。>4(8分)又因为或为真，则q为真，即0<<1或>20<<1或1>2由储>4可得实数Q的取值范围是。>4(12分)14 .已知函数/'(X)是(一8, +8)上的增函数，a、Z?eR,对命题“若a+Z?20,则/'(a) +a)+F( 3” .(1)写出其逆命题，推断其真假，并证明你的结论；写出其逆否命题，推断其真假，并证明你的结论.解逆命题是:若FE)+A6)2H a)+H 6),则为真命题.用反证法证明：假设a+bVO,则a< 6, b< a.F(x)是(一8, +8)上的增函数，则 F(a)Vf(一力,(一心,HM+F(b)<Aw)+H6),这与题设相冲突，所以逆命题为真.逆否命题：若 f(a)+F(6)VF( a)+F( 6),则a+5Vo为真命题.因为原命题=它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可.*/ a-: b,62 a.又二 Hx)在(一8,十8)上是增函数，/. fa)2F( 6), F(Z?) 2F( a), H a) + F( b) 2 F( a) + H 6).所以逆否命题为真.15.推断命题“若a20,则寸+xa=0有实根”的逆否命题的真假.解 法一 写出逆否命题，再推断其真假.原命题：若则f + xa=0有实根.逆否命题：若f+x4=0无实根，则aVO.推断如下： .丁+才一己=0无实根， /=1+4hV0, A<-1<0, “若f+xa=0无实根，则aVO”为真命题.法二 利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)推断 F20, 4a20, 4a+l>0,工方程4+xa=0的判别式/=4a+l>0, 方程f+xa=o有实根，故原命题“若则V+x=0有实根”为真.又二原命题与其逆否命题等价， “若h'O,则f+x己=0有实根”的逆否命题为真命题.法三利用充要条件与集合关系推断.命题,：q： V + x一司=0有实根，:p： A d£R| a20,<7： B aR| 方程 V+xa=0 有实根 = a£R| a2一即£8,“若D则q”为真，“若夕，则/'的逆否命题“若 q,则幺弟夕”为真.“若则f + x3=0有实根”的逆否命题为真.,1Vx6W0,16.设,：实数x满意V 4ax+3才<0,其中aWO, q：实数x满意* /+2%-8>0.若3=1,且夕Aq为真，求实数x的取值范围;若夕是。的必要不充分条件，求实数a的取值范围.解： 由 f4ax+3才<0,得(>3a) (xa) <0,当。=1时，解得即P为真时实数x的取值范围是lx<3.x x 6 W 0由21c 八八，得2<xW3,即，为真时实数X的取值范围是2<X<3. x+2%8>0若夕八。为真，则夕真且。真，所以实数x的取值范围是2<京3.(2)0是0的必要不充分条件，即7=>夕且夕多°,设/=x|/?(x), B= x q(x) ,则/呈况又 5= (2, 3,当於0 时,A= 3a)；水0 时，A= (3a, a).依2,所以当90时，有解得1QW2；3<3a,当水0时，明显力C3=0,不合题意.综上所述，实数a的取值范围是l<d<2.
