圆锥曲线专题之第六章 极点极线篇.docx

圆锥曲线专题 第六章危楼高百尺 极点极线篇915§1投砾引珠，二次曲线的切线问题9151.1直线的一般式与二次曲线相切的充要条件和等效判别式9151.2切线斜率已知的二次曲线的切线方程9161.3处理切线的两个常用套路9191.4切线9211.5二次曲线的替换法则9231.6点在二次曲线上的切线方程9231.7点在二次曲线外的切线方程9281.8双切线方程928§2投砾引珠，二次曲线的切线问题9322.1预备知识：直线的同一法9322.2二次曲线的切点弦方程9322.3切点弦vs中点点差法9382.4过焦点的切点弦940§3钻坚仰高，极点极线vs切线9403.1极点极线的定义9403.2极点极线和调和分割9423.3调和分割与调和点列944§4登堂入室，极点极线vs相交弦9464.1极点极线的综合模型自极三角形9464.2自极三角形的应用举例9474.3一般情况的代数证明9474.4特殊的相交弦：顶点和轴上点组合953§5要而论之，极点极线的常见模型9575.1等角定理的特殊化模型9585.2等角定理的一般情况9705.3共轭点的等分点模型9745.4斜率等差模型9775.5斜率比值模型9835.6焦准距的平方和共圆模型9885.7椭圆的平行弦模型9965.8蝴蝶定理初步1004§1投砾引珠，二次曲线的切线问题1.1直线的一般式与二次曲线相切的充要条件和等效判别式1. 直线(其中A、B不同时为零)与二次曲线相切的充要条件：(1) 直线与椭圆相切的充要条件是：(2) 直线与圆相切的充要条件是：【】(3) 直线与双曲线相切的充要条件是：，且.【除去渐近线！】注：若是，则相切的充要条件是：，且(4) 直线与抛物线相切的充要条件是：.拓展直线与有心曲线相切的充要条件是：有心曲线的两个焦点到直线的距离之积满足具体证明与应用见附件直线与圆锥曲线位置关系判定的再探究直线与圆锥曲线相切的充要条件例已知椭圆与直线相切，且离心率，求此椭圆方程解，又，易得椭圆方程为例已知与为椭圆上的两个定点，P是椭圆上在第一象限内的任意一点，求APB的面积的最大值解点必须在平行于的椭圆在第一象限的切线上，利用上述公式，利用直线，例(2009湖北理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是( ) ABCD 解易得，然后利用等效判别式，易求得A例(2012广东文)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点，且点在上(1) 求的方程；(2) 设直线l同时与椭圆和抛物线相切，求直线l的方程解(1) ；(2) 易知直线l的斜率必定存在且不为0，因此，设直线l为，直线l与联立：，由可得：；直线l与联立：，由可得：；由解得：或，因此，直线l的方程为或1.2切线斜率已知的二次曲线的切线方程已知切线斜率为k的二次曲线的切线方程？切线有两条！根据二次曲线的形式不同，有四种情况，具体分别如下：(1) 切线斜率为k与圆相切的切线方程为：；切线斜率为k与圆相切的切线方程为：(1)切线斜率为k与椭圆相切的切线方程为：；切线斜率为k与椭圆相切的切线方程为：(1)切线斜率为k与双曲线相切的切线方程为：，；切线斜率为k与双曲线相切的切线方程为：，(1)切线斜率为k与抛物线相切的切线方程为：；切线斜率为k与抛物线相切的切线方程为：例(2014浙江理)如图，设椭圆，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限(1) 已知直线l的斜率为k，用a、b、k表示点P的坐标；(2) 若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为解(1) 法一设点，则直线l为：，与椭圆联立： 【计算量不小！】直线l与椭圆C只有一个公共点，故，即，即，进而，因此，点P的坐标是法二设直线l的方程为，与椭圆联立：，直线l与椭圆C只有一个公共点，故，即，进而解得点P的坐标为，又点P在第一象限，故点P的坐标为注此题的答案如果借助结论的话：利用即可解得！但是作为解答题，如何正确且简便的书写？是个难点！ 比如，多数同学在考场上很可能是会走法一的路子，因为求的坐标，所以先把坐标设出来，但是法一的那个联立方程，计算量不小的，虽然可以利用等效判别式计算，但是那个方程联立是避免不了的！ 相对于法一，法二的计算量就平和多了，因此，对于直线和椭圆（或双曲线）相切的问题，要积累这个书写套路！ (2) 由于直线过原点O且与l垂直，故直线的方程为，所以点P到直线的距离，即，当且仅当，即时，等号成立，因此，点P到直线的距离的最大值为例(2013山东理压轴)椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1(1) 求椭圆C的方程；(2) 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接设的角平分线PM交C的长轴于点，求m的取值范围；(3) 在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线的斜率分别为若，试证明为定值，并求出这个定值分析此题总的来说，答案易得，难度不大，唯一的难点就是答题步骤的规范书写！第(2)小问，设，利用结论易知点M 的坐标为，可以借助正弦定理规范书写；第(3)小问，点P处切线斜率的求解，可以利用替换法则：，或者利用中点点差法的极限形式：，即，即但是，如果要规范书写的话，就相对麻烦一些，不过，可以借助等效判别式进行简化运算： 解(1) 由题意可得：，解得，椭圆C的方程为(2) 在、中，利用正弦定理可得：，即，设，则，同理可得：，故，解得，由于，故(3) 设直线l为，与椭圆联立：，令，整理可得：，又，故，解得，又，故1.3处理切线的两个常用套路例(2012福建理)如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率过的直线交椭圆于A、B两点，且的周长为8(1) 求椭圆E的方程。(2) 设动直线与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解(1) ； (2) 法一特殊值引路，先猜后证法直线l与椭圆联立：，由于直线l与椭圆有且只有一个公共点，则，且，即，故，即易知点，假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上，取，此时，以PQ为直径的圆为，并且交x轴于点、；取，此时，以PQ为直径的圆为，并且交x轴于点、；因此，若符合条件的点M存在，则M的坐标必为接下来证明就是满足条件的点：由于，则，即MPMQ，因此，存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M法二正面求解，注意点的设法！前面同法一，得到点，点，假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上，不妨设，则，整理得：，若使得此式对任意m、k都成立，则须，解得，因此，存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点M法三利用替换法则快速定位椭圆的切线方程由题意知，直线l的斜率存在，因此，设，直线l为，与椭圆联立：，由，可得，即直线l为：，令，可得点，假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上，不妨设，则，整理得：，故注上面三种方法，实际上给出了此类相切问题的两个常用套路：切点；【以求切点为目标】；【以求斜率为目标】如果对此套路熟悉的话，显然就没有必要先猜后证了，直接用法二就可以了！此外，对于法三，后续的计算是很简洁的，但是“”的过程往往会相对很繁琐，计算量很大，但是，此法也有一个好处，就是化简的答案已事先知道，可以及时验证，避免计算错误！背景例(2006全国卷理)在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量求：(1) 点M的轨迹方程；(2) 的最小值解(1) 易得，即，；(2) 设，由于点P在第一象限，故，因此，切线AB的方程为：，进而可得点，设，由可得：，代入，可得点M的轨迹方程为【轨迹学名叫“圆椭”！】 (2) ，当且仅当，即时取等号，故的最小值为3注点M的轨迹学名叫“圆椭”，也可以设切线为，利用套路求解1.4切线 配图例(2005湖南文压轴、理)已知椭圆的左、右焦点为，离心率为e直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点关于直线l的对称点，设(1) 证明：；(2)(文)若，的周长为6，写出椭圆C的方程；(3) 确定的值，使得是等腰三角形解(1) 法一利用已知条件“M是直线l与椭圆C的一个公共点”，再结合所问，能猜到直线l和椭圆C是相切的，因此，直接联立解方程不会太麻烦！易得，直线l与椭圆C联立，可解得，其中，由于，代入可得：法二向量坐标化，然后利用坐标代入法易得，结合，求出点M的坐标为，然后代入椭圆C：，即，即，解得，故得证 (2)(文)当时，由的周长为6，得，解得，因此，椭圆C为(3) 法一因为，所以为钝角，要使为等腰三角形，必有，即，亦即点到直线l的距离为c，故，即，解得，即，是等腰三角形法二利用对称点公式暴力求解先把直线l写成：，故，代入可得：，两边同时除以，化简得，解得例(2012安徽理)如图，、分别是椭圆 的左，右焦点，过点作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点作直线的垂线交直线于点Q(1) 如果点Q的坐标为；求此时椭圆C的方程；(2) 证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点解(1) ，则，易得，设直线与x轴交于点M，则，由题意易得，即，即，解得，故椭圆C的方程为 (2) ，设，则，解得，即点Q为，故，直线PQ的方程为：，即为直线PQ和椭圆C联立：，解得，因此，直线PQ与椭圆C只有一个交点P注对于第(1)小问，由于图形中含有多个直角三角形，因此，可以优先尝试使用平几性质，简化解析运算！对于第(2)小问，实际上也是常见结论：直线和椭圆相切，其余性质，可以参考本题的条件说明1.5二次曲线的替换法则 对于一般的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，即得方程：曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均可由此方程得到！1.6点在二次曲线上的切线方程已知点在二次曲线上，求过点的切线方程？切线是一条！根据二次曲线的形式不同，有四种情况，具体分别如下：圆上一点处的切线方程是：；圆上一点处的切线方程是：；圆上一点处的切线方程是：椭圆上一点处的切线方程是：.双曲线上一点处的切线方程是：.抛物线上一点处的切线方程是相关拓展：以下两种情况和上述情况所得出的直线方程是完全一样的！已知点在二次曲线外，过点作二次曲线的两条切线，切点分别是，求出切点弦所在的直线方程？【极线定理！为极点，为极线，两者是一对！】已知点在二次曲线内，过点作一条直线交二次曲线于两点，再以两点为切点，作出两条切线和，为两条切线和的交点；类似地，过点再作一条直线交二次曲线于两点，再以两点为切点，作出两条切线和，为两条切线和的交点；求出直线的方程？两道题：例(2011江西理压轴)若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 解利用替换法则，易得直线AB为：，故，椭圆方程是例(1) 如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为，若直线AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为( ) ABCD (2) 如图，已知A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线lAB，l与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线CE、DF为椭圆的切线，则CE与DF的斜率之积等于( ) ABCD 解(1) 法一选C；不妨特殊化，设切线BD关于y轴的对称切线为BE，令切线AC和BE恰好重合为切线AB，则，即法二设，外层椭圆为，则，椭圆在点C处的切线为：，代入，可得，；椭圆在点D处的切线为：，代入，可得，；因此，即法三设直线AC为：，利用等效判别式：，解得；同理可得：，因此，(2) 选C；不妨在第一象限，令CD与该椭圆相切于点H，则切点F与H关于y轴对称，切点E与H关于x轴对称，此时有例(2013安徽文压轴)已知椭圆的焦距为4，且过点(1) 求椭圆C的方程；(2) 设为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E取点，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由解(1) ；(2) 这题虽然是压轴题，但是，实际上是送分题，直接把条件照着翻译一下即可易知，直线AD为，令，可得点，进而可得点，故直线QG为：，即，又，故，即为（显然是点Q处的切线！），将代入椭圆：，化简得：，解得，则，故直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点注将代入椭圆：，如果选择验证，显然，计算量会大很多的！例(2009安徽理)点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为(1) 证明：点P是椭圆与直线的唯一交点；(2) 证明：、构成等比数列分析本题的难点是第(1)问，估计多数学生会用“”去证明，即使利用等效判别式，计算量也会很感人，因此，不能死记公式，要根据题目灵活分析，选择合适的解法证明(1) 法一由得，代入椭圆可得： 将代入上式：，解得，因此，方程组有唯一解，即直线与椭圆有唯一交点P 法二显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得，即，由于，故，即P与Q重合法三在第一象限内，由可得：，椭圆在点P处的切线斜率，切线方程为，即，因此，就是椭圆在点P处的切线，P也是椭圆与直线的唯一交点(2) 由于，的斜率为，的斜率为，故，即、构成等比数列例椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1(1) 求椭圆C的方程；(2) 点P是椭圆C上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P作直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设l与y轴的交点为A，过点P作与l垂直的直线m，设m与y轴的交点为B，求证：PAB的外接圆经过定点解(1) ；(2) 设P(x0，y0)(y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0)联立 整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0由题意0，即(4x)k22x0y0k1y0 又，所以16yk28x0y0kx0，故k 所以直线l方程为，令x0，解得点A，又直线m方程为，令x0，解得点B，PAB的外接圆方程为以AB为直径的圆方程，即整理得：，分别令 解得圆过定点1.7点在二次曲线外的切线方程已知点在二次曲线外，求过点的切线方程？切线是两条！通法：设切线方程为，接着和二次曲线进行方程联立，然后利用，求出即可；若求得只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线，此时应补上！特殊地，对于圆，也可以利用圆心到直线之距等于半径即，求出1.8双切线方程椭圆设为椭圆外一点，则过点P作椭圆的两条切线的方程为：双曲线设为双曲线外一点，则过点P作双曲线的两条切线的方程为：抛物线设为抛物线外一点，则过点P作抛物线的两条切线的方程为：注以椭圆为例，记，则椭圆的双切线方程即为，可类比中点弦、定比点差法的替换法则，实际上都是对椭圆的一般式方程进行的替换和组合应用！当点无限接近椭圆时，则双切线方程变为，即椭圆上点的切线方程 证明此处以椭圆为例进行证明，对于双切线方程的证明，如果利用常规方法，即使借助等效判别式，也是很难证明的，此处利用直线的定比分点式方程，即构造定比的二次方程进行证明过椭圆外一点作线段PQ，设，则分线段PQ所成的比为的点A的坐标为，假设点A在椭圆上，代入椭圆方程，并整理得：，如果线段PQ是椭圆的一条切线，则此方程的两个根必然相等，令可得：，此时，不妨令Q为切线上的动点，即将上式中Q的坐标改写为，即为：，此即为点对椭圆的双切线方程注也可以从曲线系的角度进行理解，把切点弦看成双重合直线，则双切线就是过该双重合直线与椭圆公共点的相交双直线，因此，椭圆的双切线方程可以表示为：，将双切线交点代入上述方程，解出即可例(2008联赛一试改编)从抛物线上的点向圆引两条切线分别与y轴交于B、C两点，则ABC的面积的最小值是 法一利用“双切线模型韦达定理”，不过，有两个构造思路思路1设线法：过点A的与圆相切的直线方程为，利用相切构造关于、的二次方程，最后化成关于的式子思路2设点法：设，利用直线AB、AC与圆相切，构造关于b、c的二次方程，最后化成关于的式子两个思路相比，显然，思路2要简单很多，有兴趣的不妨一试，具体过程此处略法二，其中D为直线AB和圆的切点又，故，即因此，当且仅当，即时取等号法三将圆化为：，则点关于此圆的双切线方程为：，令可得：，注意到，故，因此，当且仅当，即时取等号注通过此题我们也可以发现，和圆有关的题目，发现并利用好平几性质可以大大的简化运算！对于“”，可以利用“多项式的除法”，即“长除法”进行变形练习已知圆心在x轴上的圆C过点和，圆D的方程为(1) 求圆C的方程；(2) 由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A、B两点，求的取值范围解(1) ；(2) 法一设则直线PA方程为整理得：0直线PA与圆C相切，可得1，化简得0；同理可得PB方程0，因而a，b为0的两根，丨AB丨|ab|令t则|AB|配方可求得故答案为：法二几何法，和上题的法二实质是一样的，算两次的思想设，则，故，令，则法三双切线方程的作法此处略例如图，O是坐标原点，过的直线分别交抛物线于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线相交于点N则( )ABCD 答案选A 法一设，则直线AB的方程为：，代入点E可得：直线OB的方程为：，令，可得，即点M的坐标为设，则，只需要再得到一个关于、的式子即可直线MN的两点式方程为：，与抛物线方程联立：，令，可得，故法二利用到点对抛物线的双切线方程为：，代入点、，可得：，解得§2投砾引珠，二次曲线的切线问题2.1预备知识：直线的同一法例(2014湖北文)设a、b是关于t的方程的两个不等实根，则过，两点的直线与双曲线的公共点的个数为( ) A0B1C2D3 解易知直线AB的方程为，又双曲线的渐近线为，则直线AB为双曲线的渐近线，故选A2.2二次曲线的切点弦方程二次曲线的切点弦方程(1) 椭圆外一点对椭圆的切点弦的方程为：(2) 双曲线外一点对双曲线的切点弦的方程为：(3) 抛物线外一点对抛物线的切点弦的方程为：(4) 圆外一点对圆的切点弦的方程为：例如图，求证：椭圆外一点对椭圆的切点弦AB的方程为：证明设切点，则切线PA、PB的方程分别为：、又点在切线PA、PB上，则、，亦即切点，在直线上，因此，切点弦AB的方程就是 例如图，已知点为椭圆内一定点，求证：过点P的弦AB两端点的切线的交点Q的轨迹为：证明设，则点Q对应的切点弦AB为：，又定点在切点弦AB上，故，即点Q的轨迹为例(1) 过椭圆上一点M作圆的两条切线，点A、B为切点过A、B的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，则POQ的面积的最小值为( ) ABC1D (2) 已知双曲线，圆，过双曲线的任意一点作圆C的两条切线，其切点分别为A、B若直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点，则 ABCD解(1) 选B；设，则直线l的方程为：，易得，又，即，故(2)选A； 直线AB为：，令，；令，因此，例圆的切线与椭圆交于两点A、B，分别以A、B为切点的椭圆的切线交于点P，则点P的轨迹方程为 解设，则极点P对应的极线（切点弦）AB的方程为：，又直线AB和圆相切，故，即，即点P的轨迹方程为例(2008江西理)设点在直线上，过点P作双曲线的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点(1) 过点A作直线的垂线，垂足为N，试求的重心G所在曲线方程(2) 求证：三点A、M、B共线分析此题第(1)小问，个人认为也是一道坑题，因为含有一个未知数m，估计会有同学会陷入一个思维误区：就是在求曲线方程时，也会想方设法把未知数m也消掉，如果走上此题，解题无望了第(2)小问是赤裸裸的套路题，而且和第(1)小问没有半毛钱的关系，而且，不知道套路的同学，估计也很难在考场上做出来同时，第(2)小问的背景是极点极线，极点对应的极线AB为，显然点M也在极线AB上由于极线AB是切点弦，一般利用“同一法”进行求解解(1) 设，则垂线AN为：，与直线联立，解得，设重心，则，解得，代入可得：，即为重心G所在曲线方程(2) 设，易知，设切线PA的方程为：，与双曲线联立：，由和，可解得，因此，切线PA的方程为：，同理可得，切线PA的方程为：，又点在切线PA、PB上，即，即点、在直线上，又点也在直线上，因此，三点A、M、B共线例从直线上任一点M作抛物线的切线MP和MQ（P和Q是切点），求切点弦PQ的中点N的轨迹方程 分析设极线对应的极点为，又点关于抛物线的极线为，由于和是同一条直线，易得点T为此时切点弦PQ过定点，转化为常规的弦中点轨迹问题了，易得解设，利用同一法，易得点对应的切点弦PQ的方程为：，又，对比可知：切点弦PQ恒过定点当切点弦PQ的斜率不存在时，利用点差法：，即当切点弦PQ的斜率不存在时，中点N为亦满足上述方程例(2009浙江文压轴)已知抛物线上一点到其焦点的距离为(1) 求p于m的值；(2) 设抛物线C上一点P的横坐标为，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于M点，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N若MN是C的切线，求t的最小值 解(1) 抛物线的准线方程为，根据抛物线定义，点到焦点的距离等于它到准线的距离，故，解得，抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得 (2) 法一设线法韦达定理易知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ为：，令，可得直线PQ与抛物线联立：，可得， 即又，可得直线NQ的方程为：，与抛物线联立：，可得因此，由于故抛物线在点N处切线斜率为故，整理得，由可得（舍去），或，因此，t的最小值为法二设点法韦达定理注意到点M和直线ON是一对极点极线，设，则直线ON为：，与抛物线联立可解得【考试之时，需要正常求解，比较简单，故具体过程略】直线PQ为：，与抛物线联立：，由于，故由可得：，整理可得：，由可得：，结合，故，当时，符合题意，因此，t的最小值为例已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，(1) 求抛物线E的方程；(2) 过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P、Q、O（O为原点）三点共线，求点N的坐标解(1) 由已知得，设AB和x轴的的交点为D，则，在中，根据直角三角形的射影定理：，即，解得，故抛物线E的方程为(2) 根据题意，可知N、P、C、Q四点共圆，且以NC为直径，因此，设，则该圆的方程为，即为又圆C的方程为：，由可得直线PQ的方程为：，代入，可得，因此，点N的坐标为或注直线PQ为点N对应的切点弦，利用替换法则，易得直线PQ为：例已知点A是抛物线上的一个动点，过A作圆的两条切线，它们分别切圆D于E，F两点(1) 当，A点坐标为时，求两条切线的方程；(2) 对于给定的正数r，当A运动时，A总在圆D外部，直线EF都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围解(1) 或；(2) 设，由于点A总在圆D外部，故对于任意恒成立，又，因此，即点E、F既在圆上，也在以、为直径的圆上，即在上，由可得直线EF的方程为：，欲使得对任意，直线EF均不通过点，则关于的二次方程无解，即，即，因此，当A运动时，直线EF都不通过的点构成一个区域是圆面，其面积是，取值范围是2.3切点弦vs中点点差法性质一(1) 椭圆点P对椭圆的切点弦AB被OP平分，且AB不可能过椭圆的中心O注若椭圆的切点弦AB过中心O，则A、B两点处的切线互相平行，显然产生矛盾(2) 双曲线点P对双曲线的切点弦AB被OP平分，且AB不可能过双曲线的中心O(3) 抛物线点P对抛物线的切点弦AB被过点P与抛物线的对称轴平行的直线平分例求证：点对椭圆的切点弦AB被OP平分证明易知点对椭圆的切点弦AB为：当或时，显然有切点弦AB被OP平分当时，设AB的中点为M，利用中点点差法，易得：，又，故，又，故，即O、M、P三点共线，即OP平分切点弦AB例如图，已知椭圆弦AB的斜率为定值，求过端点A、B的两条切线的交点P的轨迹证明设，则点P对椭圆的切点弦AB为：，因此，即点P的轨迹为，范围是在椭圆外的部分性质二椭圆在椭圆中，直线的全部几何意义如下：(1) 直线在椭圆内的部分是斜率为k的平行弦的中点轨迹（图中的直径ST）(2) 直线与椭圆的交点处的切线与平行弦平行（图中点S、T处的切线）(3) 直线在椭圆外的部分是斜率为k的平行弦两端点的切线的交点轨迹（图中的切点弦AB、CD对应的点P、Q）注对于双曲线，规律类似，此处就不予讨论 抛物线在抛物线中，直线的全部几何意义如下：(1) 直线在抛物线内的部分是斜率为k的平行弦的中点轨迹（图中的直径ST）(2) 直线与抛物线的交点处的切线与平行弦平行（图中点S处的切线l）(3) 直线在抛物线外的部分是斜率为k的平行弦两端点的切线的交点轨迹（图中的切点弦AB、CD对应的点P、Q）性质三二次曲线内的极点P对应的极线与以点P为中点的中点弦平行2.4过焦点的切点弦椭圆点P对椭圆的切点弦AB过焦点F，则点P在与F对应的准线上，且PFAB双曲线点P对双曲线的切点弦AB过焦点F，则点P在与F对应的准线上，且PFAB抛物线点P对抛物线的切点弦AB过焦点F，则点P在准线上，且PFAB，PAPB【串联焦点弦模型】证明以椭圆为例，设点，则点P对应的切点弦AB为：，代入焦点，可得，因此，点P在与F对应的准线上当时，切点弦AB的斜率不存在，与x轴垂直，易知PFAB当时，则，故PFAB 注(1) 由于“焦点弦两个端点处的切线的交点在与焦点对应的准线上”，因此，可以借助此法，并结合椭圆的光学性质，作出焦点对应的准线(2) 对于抛物线中特有的“PAPB”的证明，可以参考阿基米德三角形或蒙日圆专题(3) 许多时候，在题目中，往往只给出一半的形式，此时，要能看到本质，如图所示，具体可参考例题§3钻坚仰高，极点极线vs切线3.1极点极线的定义 1. 二次曲线的替换法则对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代xy，用代x，用代y，常数项不变，可得方程：2. 极点极线的代数定义对于二次曲线，我们称点（非二次曲线的中心）与直线是关于曲线的一对极点极线，也称点P为直线l关于曲线的极点，直线l为点P关于曲线的极线高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下：(1) 圆极点关于圆的极线方程是：；极点关于圆的极线方程是：；极点关于圆的极线方程是：(2) 椭圆极点关于椭圆的极线方程是：(3) 双曲线极点关于双曲线的极线方程是：(4) 抛物线极点关于抛物线的极线方程是：注极点极线是成对出现的！我们熟知的焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点极线！对于中点弦，弦中点方程也可由上述方程得到！具体参见前面的相关专题3. 极点极线的几何意义(1) 若极点P在二次曲线上，则极线是过点P的切线方程(2) 若极点P在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹如图所示，过点P的弦AB、CD的两端端点作切线，得到的直线MN即为点P对应的轨迹【极线和二次曲线必定相离】(3) 若极点P在二次曲线外部，分成两种情况：极线在二次曲线内的部分是点P对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】极线在二次曲线外的部分是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹4. 极点极线的配极性质点P关于二次曲线的极线p经过点Q点Q关于二次曲线的极线q经过点P直线p关于二次曲线的极点P在直线q上直线q关于二次曲线的极点Q在直线p上说白了，就是点P和点Q是二次曲线的一组调和共轭点例(2010湖北文压轴)已知椭圆的两焦点为,点满足，则的取值范围为_，直线与椭圆C的公共点个数_解结合图形可得：，即；可以借助等效判别式，易得公共点个数为0当然，背景是：直线是点对应的极线，由于点P在椭圆内部，故公共点个数为0例已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 解由于极线与双曲线没有公共点，则对应的极点在双曲线的内部，故，即的取值范围是3.2极点极线和调和分割性质设点P关于二次曲线的极线为l，过点P作任一割线交于点A、B，交l于点Q，则或，即点P、Q调和分割线段AB，或者称点P与Q关于调和共轭简言之，也就是点P关于二次曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线，而这条直线就是极点P对应的极线下面以椭圆为例进行严格的证明例过异于原点的点引椭圆的割线PAB，其中点A、B在椭圆上，Q是割线PAB上的一点，证明：P、Q调和分割A、B的充要条件是点Q在定直线上 证明参见前面的定比点差法专题！例过点的动直线l交圆于点A、B，O为坐标原点，若在线段AB上的点Q满足，则 答案；Q点的轨迹就是极点M对应的极线！推论(1) 设点P关于有心二次曲线的调和共轭点为点Q，直线PQ经过的中心O，交于点R，则有；反过来，若有成立，则点P与点Q关于调和共轭(2) 设极点P关于抛物线的极线为l，过点P作平行于抛物线对称轴的平行线，分别交极线、抛物线于Q、R两点，则证明结合调和点列的背景，推论是显然成立的！ 例(1995全国卷理压轴)已知椭圆，直线P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线法一设，则点，将点P、R坐标分别代入相应的方程：，又，即，即，即，两边同时乘以：，设，则，因此，上式变为：，此即为点Q的轨迹方程，同时，由于，故Q不能为原点法二由于，故可令，进而可得：，即，代入，消去可得：，即为，因此，点Q的轨迹方程是，其中不包括原点注也可以设直线OP为：，利用，消去k即可！其实，这三种方法实质是一样的，不过，极坐标相对比较容易上手！应用举例等角定理模型3.3调和分割与调和点列1. 调和点列的引入如左图，点P在线段AB上，则满足的点P是唯一存在的但是，如果将线段AB改为直线AB，此时，满足的点有两个，如右图，不妨即另一个点为Q，则在此种情况下，我们称点A、P、B、Q为调和点列，或者称称点P、Q调和分割A、B其中，点A、B为基点组，点P、Q为分点组，点P和点Q分别是线段AB的内分点和外分点 特别的，当时，即点P为AB的中点，则Q为无穷远点 Q在无穷远处，AQ、QB都趋于无穷大，两者趋近于相等，则l1这个一般在抛物线的极点极线的性质分析时会用到！2. 调和点列的性质对于线段AB的内分点C和外分点D满足C、D调和分割线段AB，即，设O为线段AB的中点，则有以下结论成立： 【熟练掌握前三个性质即可！】(1) 点A、B也调和分割C、D，即；【共轭性质：基点组和分点组互换，亦满足调和点列】(2) (AB是AC与AD的调和平均数)；【调和性质：最左侧（或最右侧）的点到同侧三个点的三条线段成调和平均数的关系】(3) ；【等比性质：基点组（或分点组）的中点到同侧三个点的三条线段成等比关系（几何平均数）】(4) ；(5) ；(6) 证明如图所示，设，（类似向量的基底），则，由于C、D调和分割线段AB，即，上面的六个结论最终都可以化到这个等式3. 调和点列vs调和线束从调和点列A、B、C、D所在直线的外一点P引射线PA、PB、PC、PD，则称该线束为调和线束，且PA与PB共轭，PC与PD共轭 相关命题对线段AB的内分点C和外分点D，以及直线AB外一点P，则下面四个条件中，任取两个条件作为题设，都可以推得另外两个：PC是APB的角平分线；PD是APB的外角平分线；C、D调和分割线段AB；PCPD注(1) 可以理解为调和点列从“线”向“面”的扩展！(2) 调和线束，其实说白了，就是三角形的角平分线定理！(3) 阿波罗尼斯圆的背景也是基于此，具体可参照阿波罗尼斯圆专题例(2011山东文理压轴)设、是平面直角坐标系中两两