圆锥曲线专题之第四章 技巧套路篇.docx

圆锥曲线专题 第四章心有猛虎，技巧套路篇510§1 犬吠水声中， 韦达定理基础篇(设线法)5101.1韦达定理公式全家福和硬解定理5101.2整体替换，避免重复计算5131.3隐形的斜率比5161.4选择合适的直线方程进行联立5161.5直线方程复杂时的换元联立5191.6求另一个交点5211.7点乘转化为双根算法5261.8 距离或者向量投影坐标化5281.9非对称韦达问题530§2 桃花带雨浓，韦达定理进阶篇5362.1 和圆相关5362.2 直线的定比分点式方程5382.3 双切线问题542§3 树深时见鹿，双切线同构法5423.1 利用韦达定理转化5423.2 蒙日圆5473.3 斜率等差5493.4 彭色列闭形定理5493.5 和切点弦相关5533.6 抛物线的双切线模型5533.7 其他类型553§4 溪午不闻钟，垂直平分线和对称性问题5554.1圆锥曲线垂直平分线的性质5554.2 对称问题内部法5664.3 点关于直线的对称点公式570§5 野竹分青霭，点差法篇5765.1 两种点差法5765.2中点点差法的应用5885.3 对称点点法差法vs点的斗转星移5985.4 对称点点法差法vs斜率和积商vs定点6085.5 两个曲线点差6205.6 隐形的点差6245.7 对称点差法的使用技巧总结6285.8 中点点差法vs定点6315.9 截距点差法6355.10 定比点差法6495.11 两类点差法的综合运用684§6 飞泉挂碧峰，圆锥曲线的极坐标方程6866.1 圆锥曲线统一的极坐标方程6866.2 统一极坐标方程的伪装法6896.3 焦半径和焦点弦的性质6926.4题型：6996.5 非统一极坐标系702§7 无人知所去，直线参数方程7107.1基础知识7107.2 设点法vs设线法7127.3 应用举例721§8 愁倚两三松，构造齐次方程7258.1 定点在圆锥曲线上7258.2定点在原点725第四章心有猛虎，技巧套路篇§1 犬吠水声中，韦达定理基础篇(设线法)思路流程：将已知和所求最终肯定得化成坐标的形式，然后，再利用韦达定理，把坐标转化为一个变量的式子，这是韦达定理的通法1.1韦达定理公式全家福和硬解定理1. 一元二次方程公式全家福(1) 求根公式设是二次方程的两个根，则有注推导方法一般利用配方法，即；记忆方法或者结合对称轴和判别式，简记为(2) 韦达定理设是二次方程的两个根，则有，.拓展公式，即 注的用法见后面的非对称韦达定理专题2. 硬解定理此处以直线和椭圆方程的联立为例进行说明联立消去y，可得：(1) 韦达定理，注，等效判别式的前半部分；消去y时，都有；中的强记一下；中的，消去谁就减去谁如果是消去x，只需要把公式中的字母中的a、A分别换为b、B即可，而分母和C均不用变！即，考试的时候，可以先写出韦达定理，再逆推出联立的方程！(2) 完全判别式，注一定要和“等效判别式”区分开！对于等效判别式，可以借助三角函数进行记忆判别式中的，消去谁就留谁！故消去x，对应的判别式为：(3) 弦长公式注公式的分母都是；，这部分是一顺写记忆口诀这个公式有点“二”，小方积、大方和，大方小方成对去虐单C方，虐完C方去下方公式的好处传统的弦长公式有两个，一定要注意区分两者的区别！因此，熟记上述弦长公式，可以避免由于用错弦长公式而带来的错误！消y版：；消x版：和判别式串联显然利用中的公式，也可轻松逆推出判别式或易错提醒如果是椭圆，公式中绝对值符号可以直接拿掉！但是，对于双曲线，绝对值符号不能省略！同时，直线和双曲线的渐近线二合一方程“”，也不能用此弦长公式！(4) 求根公式写出通式，利用上面韦达定理和判别式相应代入即可！不过，实际没啥用！请思考如果是直线和双曲线联立，即，此时又当如何？分析由于，只需要将替换上面的即可，也就是的前面添个负号！其实，如果把上述推导过程中的分别换为，则更显然！易错提醒对于直线和双曲线的渐近线二合一方程“”联立，即，上述硬解定理是不成立的！使用说明硬解定理以前在网络上还是很流行的，所以本人在此给出一个简单总结，其中包含的公式有很多，但是，个人认为，只有那个弦长公式还有点实用性，毕竟解析几何大题中，经常用到弦长公式，考试之时，可以作为检验之用！同时，弦长公式有口诀，也不是很难记忆！至于韦达定理公式，实际上也没啥大用，毕竟把直线和圆锥曲线联立，这个过程并不复杂；至于完全判别式公式，实际解题时，往往“等效判别式”就足够用的了，因此，也么啥用例已知椭圆，过点的直线l与椭圆交于A、B两点，过点的直线与椭圆交于M、N两点(1) 当l的斜率是k时，用a、b、k表示出的值；(2) 若直线的倾斜角互补，是否存在实数，使得为定值，若存在，求出该定值及，若不存在，请说明理由答案(1) ；(2) ，定值是例(2011北京理)已知椭圆.过点作圆的切线I交椭圆G于A、B两点(1) 求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2) 将表示为m的函数，并求的最大值例(2007浙江文理)如图，直线与椭圆交于A、B两点，记AOB的面积为S(1) 求在，的条件下，S的最大值；(2) 当，时，求直线AB的方程1.2整体替换，避免重复计算例(2016全国理)已知椭圆的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A、M两点，点N在E上，(1) 当，时，求的面积；(2) 当时，求k的取值范围解(1) ，椭圆E为，由于，且，由椭圆的对称性，可得，则直线AM的方程为：，与椭圆联立：，可得，故(2) 法一 通法先行，设k韦达法，这也是常见的模型，定点交叉双直线模型，直线和圆锥曲线的另一个交点可以求出来的同时，注意到隐藏条件，设直线AM为：，则直线AN为：，直线AM与椭圆联立：，由于，故，【硬解定理：】同理可得：，由于，可解得，因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得：，解得例(2016全国文)已知点A是椭圆的左顶点，斜率为的直线交E于A、M两点，点N在E上，(1) 当时，求的面积；(2) 当时，证明：解(1) ，和上面的理科相同，故略(2) 设直线AM为：，则直线AN为：；直线AM和椭圆联立：，由于，故，【硬解定理：】同理可得：，由于，可得：，令，则，所以在上单调递增，又，根据零点存在定理可知：例(2016山东文压轴) 已知椭圆的长轴长为4，焦距为(1) 求椭圆C的方程；(2) 过动点的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B(i) 设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值(ii) 求直线AB的斜率的最小值解(1) ；(2) (i)由于是线段PN的中点，所以设，则，故(ii) 设，直线PA为：，直线QB为：，直线PA和椭圆联立：，同理可得：故，其中，当且仅当，即，即时，直线AB的斜率的最小值是另解定比点差法，纯属娱乐，考试之时，通法先行，请勿模仿！设，则，其中，设，则，利用定比点差法易得：，故，其中，当且仅当，即时，直线AB的斜率的最小值是注最后的均值不等式，是利用待定系数法凑出来的：设，则，令，可解得1.3隐形的斜率比例如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的下顶点为B，点M、N是椭圆上异于点B的动点，直线BM、BN分别与x轴交于点P、Q，且点Q是线段OP的中点当点N运动到点时，点Q的坐标为(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设直线MN交y轴于点D，当点M、N均在y轴右侧，且时，求直线BM的方程略解(1) ；(2)；由于点Q是线段OP的中点，因此，设直线BM的斜率为k则直线BN的斜率为，接下来韦达求出M、N坐标，代入即可1.4选择合适的直线方程进行联立直线方程的设法根据定点位置的不同，分成如下两种情况：定点在x轴过直线过x轴的上的定点，就把直线方程设成“”的形式！但是，不包括斜率为0 的情况！定点在y轴过直线过y轴的上的定点，就把直线方程设成“”的形式！同时，根据题意，需要另行讨论斜率不存在的情况！注(1)按照上述规则设直线方程，在联立圆锥曲线方程的时候，以及对于后续的计算和化简，都会起到简化的作用！比如，过直线过x轴的上的定点，如果把直线方程设成“”的形式，不妨和椭圆方程联立，同时结合韦达定理，易知式子中含有的式子比较多，计算相对会复杂一些！(2)对于“”，许多资料被称为“反设直线”，但是，我更喜欢称作“倒斜率直线方程”，即，因为有些粗心的同学，很容易把t当成斜率k进行后续的计算(3)易错提醒无论使用哪种直线，都需要根据题意，讨论相应的斜率！(4)如何设方程？以避免讨论斜率优先？以定点位置优先？个人建议，以定点位置优先！具体可参考如下的例题，进行实质性的理解！例(2013江西理)如图，椭圆经过点离心率，直线l的方程为(1) 求椭圆C的方程；(2) AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在求的值；若不存在，说明理由解(1) ；(2) 法一参考答案解法，利用点斜式直线方程，不讨论斜率易知直线AB的斜率必存在，设直线AB为，则点，设，直线AB与椭圆联立：，则，注意到A、F、B三点共线，故，即，故，又，故，故存在常数符合题意注此解法中的“注意到A、F、B三点共线，故，即”，这步处理是关键，如果按照常规方法进行硬算，即，显然，这个式子的计算量是很庞大的！法二法一之所以会产生如此多的麻烦，归根结底，还是直线的方程没有设好，由于定点在x轴上，因此，设直线AB的方程为，与椭圆联立：，故，又，故当直线AB的斜率不存在时，易得，故综上所述，即存在常数符合题意注法二和法一相比，孰优孰劣很明显，尽管法二多讨论了斜率一步，但是，总体计算量明显比法一少了很多很多，对比之下，我们也可以了解到，在解析几何中，直线的方程不是随随便便设的！法三参考答案解法，设点法设，则直线FB为，令，可得，故直线FB与椭圆联立，解得，故，因此，即存在常数符合题意法四定比点差，纯属娱乐，考试慎用，请勿模仿设，设，则，即，由可得：，故，由可得：，故，即存在常数符合题意法五设点法对称点点差法，同样是纯属娱乐，请勿模仿设，则直线AB为，令，可得点，故又，即为，同理可得，则，展开作差可得：由于A、F、B三点共线，故，将代入可得：，即注通过这几种方法，定比点差法除外，可以发现，无论是设点法还是设线法，其实本质都是设参数，然后转化化归，即将其他未知的参数，都用所设的参数表达出来，然后结合条件进行相应的计算求解1.5直线方程复杂时的换元联立比如联立，显然会很复杂，因此，可以令，再联立就简单很多了例(2006天津理压轴)如图，以椭圆的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A连结OA交小圆于点B设直线BF是小圆的切线(1) 证明，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；(2) 设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明：解(1) 和圆有关的题，很多时候会牵扯到直角三角形，因此，和直角三角形相关的一些平几知识要熟练，比如，中线正逆判定，射影定理，由于AFOF，BFOA，因此，利用直角三角形的射影定理，显然有，即；易知点A的坐标为，故，直线BF的方程为：，令，可得，即直线BF与y轴的交点M的坐标为(2) 直线BF方程和椭圆方程中的a、b、c都是抽象的参数，显然直接联立，势必会很繁琐，因此，熟悉硬解定理的话，可以直接得到，当然，直接现推也不麻烦！由于同理，【直接替换利用即可！】对于，令直线BF方程为，则、，故，对于，令直线BF方程为，则、，故；因此，即注最后的计算，“”是化简的关键！1.6求另一个交点此类模型，很常见，一定要熟练识别和求解！单直线过圆锥曲线的顶点直线和圆锥曲线相交，其中的一个交点已知，这是一种很常见的模型，一般可以利用韦达定理求出另一个交点，同时，比较常见的是过顶点的直线！例(2014陕西理)如图，曲线C由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为A、B，其中的离心率为(1) 求a、b的值；(2) 过点B的直线l与分别交于P、Q（均异于点A、B），若，求直线l的方程略解(1) 易得，；(2) 直线l的方程为；易知，直线l与x轴不重合也不垂直，故设直线l为：，【如果设直线l为，明显计算量大一些！】直线l与椭圆联立，点B的坐标已知，利用韦达定理即可求得点P的坐标，同理，也可求得点Q的坐标，最后利用，即可解出m例 (2010江苏)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F设过点的直线TA、TB与椭圆分别交于点、，其中，(1) 设动点P满足，求点P的轨迹；(2) 设，求点T的坐标；(3) 设，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）解(1)(2) 略；(3) 由题设知，直线 AT 的方程为 y=m12x+3，直线 BT 的方程为 y=m6x3点 Mx1,y1 满足y1=m12x1+3,x129+y125=1,得x13x1+39=m2122x1+325.因为 x13，则x139=m2122x1+35,解得 x1=2403m280+m2，从而得 y1=40m80+m2点 Nx2,y2 满足y2=m6x23,x229+y225=1,解得x2=3m26020+m2,y2=20m20+m2.若 x1=x2，则由 2403m280+m2=3m26020+m2 及 m>0，得 m=210，此时直线 MN 的方程为 x=1，过点 D1,0若 x1x2，则 m210，直线 MD 的斜率kMD=40m80+m22403m280+m21=10m40m2,直线 ND 的斜率kND=20m20+m23m26020+m21=10m40m2,得 kMD=kND，所以直线 MN 过 D 点因此，直线 MN 必过 x 轴上的定点 1,0例(2016天津文理)设椭圆的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O 为原点，e为椭圆的离心率(1) 求椭圆的方程；(2)(理)设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若，且，求直线的l斜率的取值范围(2)(文)设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若，且，求直线的l斜率解(1) ；(2)(理)此问的关键是由“”得到，其余的就是计算了设直线l为：，与椭圆联立：，易知，由于，可得：，由，可解得，直线MH为：，与直线l联立，可解得，由于，故（三角形中大角对大边），即，化简得，即，解得或所以，直线l的斜率的取值范围为(2)(文)由于，故，即，化简得，即，解得例(2015天津文)已知椭圆的上顶点为B，左焦点为F，离心率为(1) 求直线BF的斜率；(2) 设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与x轴交于点M，(i) 求的值；(ii)若，求椭圆的方程解(1) 由及，可得，故(2) (i)设点，由(1)可得椭圆方程为，直线BF的方程为，与椭圆方程联立：，解得因为，所以直线BQ方程为，与椭圆方程联立得：，解得，又因为，及 得(ii)由于，所以，又，显然，椭圆方程为【当然，也可以转化为点M到直线BQ的距离，不过计算量稍大】用一个未知点表示另一个未知点例如图，在平面直角坐标系xOy中，已知分别是椭圆的左右焦点，A、B分别是椭圆E的左右顶点，是线段的中点，且(1) 求椭圆E的方程；(2) 若M是椭圆E上的动点（异于点A、B），连结并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ设直线MN、PQ的斜率存在且分别为，试问：是否存在常数t，使得恒成立？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由解(1) ；(2) 法一通法先行，设点法韦达定理，求解点P、Q的坐标设，直线MD的方程为：，和椭圆联立，整理可得：，则，即，从而，故点，同理可得点由M、N三点共线，可得：，故存在常数，且法二截距点差法设，对M、D、P三点，利用截距点差法：，解得点对N、D、Q三点，同理可得点由M、N三点共线，可得：故，故存在常数，且法三定比点差法双定比练习已知椭圆，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，点，直线AM、BM分别与椭圆C交于，求证：直线恒过定点答案例已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线直线与椭圆交于A、B两点，斜率为的直线与抛物线交于C、D两点，斜率为的直线与抛物线交于E、F两点（C、D与E、F分别在两侧，如图所示），证明：直线DF经过定点证明设，其中，；直线与椭圆方程联立：，故，设，则直线DF的方程为：，因此，只须将分别用点A、B的坐标表示出来即可直线的方程为：，与抛物线方程联立：，故，同理可得：，故，因此，直线DF的方程为：，显然，直线DF经过定点1.7点乘转化为双根算法例(2007山东文压轴、理)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标答案(1) ；(2) 定点为；下面给出第(2)问的几种常见解法法一通法先行！注意到题目中已经给出直线l的方程，因此，也就不需要讨论斜率的存在性问题！当然，如果没有给出直线l的方程，就要设成的形式，避免讨论斜率！设，联立得：，则，令，可解得由于以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，故，即，即，代入数据，整理可得：，解得，且均满足当时，l的方程，直线过点，与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点综上所述，直线l过定点，定点坐标为法二点乘双根算法此解法的思路和法一是一样的，不同之处是在计算的过程中，利用“双根法”省去了“许多”计算量此处只把不同之处写出，如下：因为是联立后方程的两个根，所以有：J由于以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，故，即令代入J式，可得：；令代入J式，可得：，因此，即为，后续过程同上，故略过注通过法一和法二的类比，个人认为，实际上，“点乘双根算法”并没有太多的优势，也节省不了多少时间同时，对于学生而言，毕竟“双根法”需要一定的变形技巧，不熟练不细心的话，就很容易出现计算错误，因此，不如老老实实展开计算的稳当！法三对称点点差法设，右顶点为，则，由于，故，即，作差可得：，利用横截距公式，显然，过定点1.8 距离或者向量投影坐标化韦达定理的解题思想，就是坐标化，因此，如果给出的是距离或者向量，就需要进行坐标化，例(2008浙江文压轴、理)已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹l是过点的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）(1) 求曲线C的方程；(2) 求出直线l的方程，使得为常数解(1) 直译即可，易得曲线C的方程为；(2) 易知直线l的斜率不为0，因此，设直线l为：，由于，只需要求出、即可，利用抛物线的设点法，设，则直线MA为：，与直线l联立，可解得，故 显然，只有当，即时，为常数，因此，直线l的方程为注也可利用平几性质，构造出如图所示的辅助线进行求解，具体过程略例(2011山东文压轴)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线于点(1) 求的最小值；(2) 若，(i) 求证：直线l过定点；(ii) 试问点B、G能否关于x轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由解(1) 直线l的斜率，因此，利用中定点差法，可得，即，即，故，即的最小值为2，当且仅当时取等号(2)(i) 此题的背景是：极线对应的极点是，故直线l过定点由(1)知直线OD为，与椭圆联立，可解得点，设直线l为，与直线OD联立，可解得点，又点，由可得：，即，即，故直线l为，显然，过定点  (ii) 假设点B、G能关于x轴对称，由(i)知点B的坐标为，代入直线l，整理得：，即，解得或，当时，产生矛盾，故舍去，故，即当时，又点，故点A为，易知ABG的外接圆的圆心在x轴上，直线AB的中垂线为：，令，可得圆心为，进而可得半径，因此，ABG的外接圆的方程为1.9非对称韦达问题非对称问题我们知道，利用韦达定理解题，一般是将已知条件转化为“”的式子但是，并不是所有的题都可以走这个套路，比如，有的题目将已知条件转化为方程后，会出现“”、“”、“”或“”的形式，此种情况，是无法直接利用韦达定理的，而这类题一般也称作非对称问题！类型一“”型处理方法例已知椭圆的离心率为，过点的直线l交椭圆C于A、B两点，且当直线l垂直于x轴时，(1) 求椭圆C的方程；(2) 若，求弦长的取值范围答案(1) ；(2) 解(2)当直线l的斜率为0时，易得或，故舍去因此，设直线l的方程为，与椭圆方程联立：，由于点M在椭圆内部，故必有，同时，设，则，故，由于，故，易得因此，类型二 “”型处理方法先凑出关于的形式：，即，两个式子相乘：，此时，就可以利用韦达定理了说明实际上，在实际解题时，此种情况的题型极少！此外，个人认为没有必要按照这个套路走，实际上，直接解方程组往往更快捷，可以参考如下的例题！例如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆经过点，其中e为椭圆C的离心率过点作斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点(A在x轴下方)(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M、N，求的值；(3) 记直线l与y轴的交点为P若，求直线l的斜率k答案(1)；(2)；(3)略解(1)，又，故，解得(2)设，直线l为，与椭圆联立：直线MN为，与椭圆联立，解得故【草稿上，也可以利用点乘双根算法：】(3) 法一消元法，由(2)可知：，三个未知数，三个方程，刚好可以解出k，由可得：，代入整理得：，解得或(舍去)，又，故法二利用非对称问题的处理套路，即，即，然后代入即可，具体过程略注对于第(3)问，也可以利用定比点差法：设，代入，整理可得： ，解得或，则或(舍)，故，对于第(3)问，两种方法对比而言，在计算量上，没有多大出入！例如图，在椭圆上，经过点的直线l交椭圆于E、F（E在F上方），直线MP交椭圆于点N(1) 求椭圆C的方程；(2) 若，求直线l的方程解(1) ；(2)，由得：，故法一常规韦达定理法设直线l的方程为：，与椭圆联立：，设，则由得：，即方向1直接利用消元，先求出，再代入即可方向2凑出韦达定理的对称结构，由变形：，即，即，再代入即可，方向3换元转化，令，则变形为：，即，此时，重新联立，再利用套路：即可显然，前两个方向的计算量都是巨大的，皆不可取；对于第3个方向，变形确实巧妙，不过，此法的本质就是下面的参数方程法二线段比的问题，优先使用参数方程法设过点P的直线l的参数方程为：(t为常数)，与椭圆联立：设点E、F对应的参数分别为，则，由得：，故，即，解得（不要被题目配图所骗），故直线l的方程为：类型三“”型处理方法一般有两种常用方法，具体参考如下例题例已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为、(1) 求椭圆C的方程；(2) 过直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由解(1) ；(2) 分析此题的背景是极点极线，所求直线是极点所对应的极线！法一韦达定理法典型的非对称问题联立可得：，直线的方程：，直线的方程：，联立消去y可得：，到这一步，有两个常用方向：方向1凑韦达消同一单元，解得方向2和积转化（强烈推荐熟练此法！）由得到：，故，解得法二定比点差法易知直线过定点，设，则，直线的方程：，直线的方程：，联立消去y可得：，解得法三截距点差法 设，易知直线过定点，由于P、M、Q三点共线，故，即又，可得：直线的方程：，直线的方程：，到这一步，可以有两个常用方向可走：方向1联立直接解出x，可得：方向2联立消去y可得：，由可得：，因此，解得练习(2020北京)已知椭圆过点，且(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求的值答案(1) ；(2)1§2 桃花带雨浓，韦达定理进阶篇2.1 和圆相关例(2011大纲卷文)设两圆都和两坐标轴相切，且都过点，则两圆心的距离( ) A4 B C8 D 答案选C 解易知两个圆都在第一象限，且圆心在直线上，故可设圆的方程为：，过点：，即，设为此方程的两个根，则的坐标为、，故，故选C例已知经过点的两个圆都与直线、相切，则这两个圆的圆心距等于 答案 解两条直线的方程互为反函数，图象关于对称，结合图象，可知圆心都在直线上，因此，可以设圆心，则是关于x的方程，即的两个根，故例已知点P为圆与圆的公共点，圆，圆，若，则点P与直线上任意一点M之间的距离的最小值为 解由于，故可以尝试凑出关于a、c的二次方程，因此，需要先把b、d换掉！设，则，代入可得：，同理可得：，因此，a、c是方程的两个根，故，即点P的轨迹方程为：，易得例(2015江苏联赛初赛)如图，在平面直角坐标系xOy中，圆、圆都与直线及x轴正半轴相切，若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，求直线l的方程解由于圆、圆都与直线及x轴正半轴相切，因此，圆心、在直线l和x轴的角平分线上，不妨设此直线为，则设圆、圆的半径分别为，则，可以尝试构造关于r的二次方程，然后，利用韦达定理易知圆的圆心为，则，即，即，同理可得：因此，是方程的两个根，故，即，进而，所以直线l的方程为背景圆、圆是位似圆，设圆、圆与x轴的切点分别为A、B，可以利用平几知识证明得到：，即，即练习已知两圆的圆心在直线上，且两圆均与x轴相切，两圆圆心的横坐标a、b满足若记两圆交点，且的最大值为10，求k的值解易求得a、b是关于方程的两个根，因此，又，故，即，因此，点P的轨迹是圆不妨令，则，解得类题如图，圆M和圆N与直线分别相切于A、B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若且，则实数k的值为( ) A1BCD 解选D；设圆M、圆N与x轴的切点分别为P、Q，圆M、圆N的半径分别为由于，故，即易知OM、ON分别是POA、BOQ的角平分线，因此，OMON，设ON的斜率为m，则，即为，解得因此，注也可以利用平几知识，易证得RtOPMRtNQO，则QOPM，2.2 直线的定比分点式方程直线的定比分点式方程经过两个不同的定点、的直线的参数方程为： (为参数，)；设为P、Q两点所确定的直线上的任意一点，参数的几何意义是动点M分有向线段即向量的定比，即，显然，利用定比分点的知识，可得到：当时，M为内分点；当，且时，M为外分点；当时，点M与Q重合注实际上，根据定点的个数，我们可以将直线的参数方程分为两种：利用一个定点，再利用直线的方向向量，以有向线段为参数的参数方程；利用两个定点，再利用定比分点的知识（实质也是向量的共线定理），以定比为参数的参数方程因此，直线的定比分点式方程实际上是属于直线的参数方程的一种！例已知点对椭圆的切点弦为AB，过点P的直线l交切点弦AB于Q，交椭圆于R、S，求证：证法一利用直线的参数方程设直线l为(t为参数)，易知切点弦AB为：，故直线l与椭圆方程联立可得：，则，故得证证法二借助调和点列的背景，即设，则，将坐标代入，可得：同理，设，则，代入，可得：由可知：是关于t的二次方程的两个根，故，又点在切点弦AB上，所以，则故，即，即，即例(2006山东理)双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线(1) 求双曲线C的方程；(2) 过点的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）当，且时，求Q点的坐标答案(1) ；(2) 解(2) 设，由得：，即，代入双曲线的方程：同理，由得：，故是关于的二次方程的两个根，故，解得，即点Q的坐标为注常规韦达定理方法：，设直线l的方程为：，其中，与双曲线联立：，后略；和上述方法相比，显然繁琐很多例(2007福建文压轴、理)如图，已知点，直线， P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值(3)(文)求的最小值解(1) ；(2) ；法一设，则，又，可得：；同理，由可得：；故是关于的二次方程的两个根，因此，法二利用平几性质由已知，得则如图，过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为、，则有：由得：，即(3)(文)设直线AB的方程为，则；直线AB的方程与C联立：，则，故，当且仅当，即时取得等号例已知椭圆的长轴长为4，A、分别为椭圆C的上、下顶点，P为椭圆C上异于A、的动点，直线PA与的斜率之积恒为(1) 求椭圆C的方程；(2)过点的直线l与椭圆C交于D、E两点，点Q满足：且，当直线l绕着T点转动时，求动点Q的轨迹方程答案(1) ；(2)略解(2)设，由得：，又D在椭圆C上，故，对于，同理得：，故、是关于t的二次方程的两个根，所以，解得练习已知抛物线，直线l不过原点O，且与抛物线相交于P、Q，与x轴交于点A，与y轴交于点B(1) 设，证明：；(2) 设直线OP与直线OQ的斜率分别为、，若，求证：直线l过定点解(1) 设，由得：，代入得：，同理，由得：，故、是二次方程的两个实根，因此，故得证(2) 设，则直线PQ的方程为：又，即，对比，显然直线PQ过定点2.3 双切线问题参考相应章节的总结§3 树深时见鹿，双切线同构法3.1 利用韦达定理转化例(2012湖南理)在直角坐标系xOy中，曲线的点均在外，且对上任意一点M，M到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值(1) 求曲线的方程；(2) 设为圆外一点，过P作圆的两条切线，分别与曲线相交于点A、B和C、D证明：当P在直线上运动时，四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值解(1) 法一设，根据题意可得：，易知上的点位于直线的右侧，于是，故，化简可得的方程为：法二根据题意可知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线故其方程为 (2) 当点P在直线上运动时，点P为，又，则过点P且与圆相切的直线的斜率k存在且不为0因此，设切线方程为，即为于是，整理得：，设过点P的两条切线PA、PC的斜率分别为，则，设四点A、B、C、D的纵坐标分别为，切线PA为：，与联立：，则，同理可得：， 故例(2012湖南文)在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆的圆心(1) 求椭圆E的方程；(2) 设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线，当直线都与圆C相切时，求P的坐标解(1) ；(2) 设，直线分别为：、，其中由直线与圆C相切可得：，即，同理可得：，因此，是方程的两个实根，则，且，又，联立解方程组得：或，经检验都满足式，故点P的坐标为或或或例(2011浙江理)已知抛物线，圆的圆心为点M(1) 求点M到抛物线的准线的距离；(2) 已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程解(1) ；(2)点P的坐标为，直线l的方程为法一通法就是设，设直线方程，利用相切条件，构造关于斜率、的二次方程，再利用韦达定理求解，具体过程此处略法二注意到P、