专题09 导数及其应用- 2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）（解析版）.docx

专题09 导数及其应用-（新课标全国卷）1已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.（新课标全国卷）2已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）ABeCD【答案】C【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，故，即，即a的最小值为故选：C（新课标全国卷）3若函数既有极大值也有极小值，则（    ）ABCD【答案】BCD【详解】函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD（新课标全国卷）4（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围【答案】（1）证明见详解（2）【详解】（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，则，由（1）可得，且，所以，即当时，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为.（全国乙卷数学（文）5函数存在3个零点，则的取值范围是（    ）ABCD【答案】B【详解】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，当，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.（全国乙卷数学（文）6已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程(2)若函数在单调递增，求的取值范围【答案】(1)；(2).【详解】（1）当时，则，据此可得，所以函数在处的切线方程为，即.（2）由函数的解析式可得，满足题意时在区间上恒成立.令，则，令，原问题等价于在区间上恒成立，则，当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则，当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，满足题意.当时，由可得，当时，在区间上单调递减，即单调递减，注意到，故当时，单调递减，由于，故当时，不合题意.综上可知：实数得取值范围是.（全国乙卷数学（理）7设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是_.【答案】【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.（全国乙卷数学（理）8已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析.(3).【详解】（1）当时，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.（2）由函数的解析式可得，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满足题意，故.即存在满足题意.（3）由函数的解析式可得，由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;令，则，令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，当时，在区间上单调递减，此时，在区间上无零点，不合题意;当，时，由于，所以在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，所以在区间上无零点，不符合题意；当时，由可得，当时，单调递减，当时，单调递增，故的最小值为，令，则，函数在定义域内单调递增，据此可得恒成立，则，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故，即(取等条件为)，所以，且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.当时，单调减，当时，单调递增，所以.令，则，则单调递减，注意到，故当时，从而有，所以，令得，所以，所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数得取值范围是.（全国甲卷数学（文）9曲线在点处的切线方程为（    ）ABCD【答案】C【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C（全国甲卷数学（文）10已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围【答案】(1)在上单调递减(2)【详解】（1）因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递减.（2）法一：构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，故在上恒成立，所以当时，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；当时，因为，令，则，注意到，若，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.（全国甲卷数学（文）11已知(1)若，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围【答案】(1)答案见解析.(2)【详解】（1）令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减（2）设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以.所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.（新高考天津卷）12已知函数(1)求曲线在处切线的斜率；(2)当时，证明：；(3)证明：【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1），则，所以，故处的切线斜率为；（2）要证时，即证，令且，则，所以在上递增，则，即.所以时.（3）设，则，由（2）知：，则，所以，故在上递减，故；下证，令且，则，当时，递增，当时，递减，所以，故在上恒成立，则，所以，累加得：，而，因为，所以，则，所以，故；综上，即.1（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（    ）A0B1C2D无数【答案】C【详解】根据题意可知，直线与曲线和曲线都相切，所以对于曲线，则，所以，所以切点，对于曲线，则，所以，切点，易知A,B不重合，因为公切线过两点，所以，进而可得，令，则，令，则所以在单调递增，因为，所以存在使得，即，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，故.又因为，所以，当时，因为，所以在内存在，使得，当时，因为，所以在内存在，使得，综上所述，存在两条斜率分别为，的直线与曲线和曲线都相切，故选：C.2（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）已知函数的最小正周期为T，若，且是的一个极值点，则（    ）AB2CD【答案】A【详解】函数的最小正周期为，于是，解得，因为是的一个极值点，则，解得，所以.故选：A.3（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数，若存在，使得成立，则的最小值为（    ）ABCD【答案】A【详解】由题设，即，由，则上，递减；上，递增；，且，图象如下：  由图知：时，即且，所以，令且，则，时，递减；时，递增；所以，即的最小值为.故选：A4（2023·山东聊城·统考三模）若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）A0B1C2D【答案】B【详解】设切点坐标为，因为，所以，故切线的斜率为：，则.又由于切点在切线与曲线上，所以，所以.令，则，设，令得：，所以当时，是增函数；当时，是减函数.所以.所以的最大值为：1.故选：B.5（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ）ABCD【答案】B【详解】由有意义可知，.由，得.令，即有.因为，所以，令，问题转化为存在，使得.因为，令，即，解得；令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.又，所以当时，.因为存在，使得成立，所以只需且，解得.故选：.6（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.(1)求函数的极值点个数；(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.【答案】(1)极值点个数为1(2)4【详解】（1）已知，可得令，则，函数单调递减，且当时，故函数先增后减，当时，其中，当时，函数只有一个零点，函数的极值点个数为1.（2）变形，得，整理得，令，则，若，则恒成立，即在区间上单调递增，由，此时可取的最大整数为2，若，令，则，令，则，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上有最小值，于是问题转化为成立，求的最大值，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，在处取得最大值，此时可取的最大整数为4.综上，可取的最大整数为4.7（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.(1)讨论函数极值点的个数；(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）由题意知：定义域为，令，则，令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，当时，恒成立，大致图象如下图所示，    则当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减，无极值点；当时，与有两个不同交点，此时有两个变号零点，有两个极值点；当时，与有且仅有一个交点，此时有且仅有一个变号零点，有且仅有一个极值点；综上所述：当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，有且仅有一个极值点.（2）由题意知：当时，恒成立；设，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，即，又恒成立，即实数的取值范围为.8（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）（1）当时，求证：.（2）已知函数有唯一零点，求证：且.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【详解】（1）设                            ，                            在上单调递增， ，得，即.                    （2）因为，所以，令，则，当时，函数在单调递减，即在单调递减，当时，函数在单调递增，即在单调递增.所以当时，函数取最小值，当时，又，所以当，单调递减，当，单调递增.所以当时，函数取最小值，因为函数有唯一零点，则，即，即，将代入，得，即，若，则，矛盾，设，则，当时，在单调递增.                                            因为，由，得，等式两边取自然对数，得根据（1）中时，            ，得            设，则，所以函数在上单调递减，所以当时，所以当时，得，令，当时，所以在上单调递增，由，方法一：，则函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，又，由二次函数图象可得，故，所以.综上，方法二：，方程的根为，因为，所以，又，所以，又，所以，即，又，解得方法三：设，则，所以函数在上单调递增，.9（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）已知函数(1)若函数在处的切线斜率为，求实数的值；(2)若函数有且仅有三个不同的零点，分别设为（i）求实数的取值范围；（ii）求证：【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【详解】（1）因为，函数在x1处的切线斜率为，所以，则；（2）(i）因为x0，所以，令，因为函数有且仅有三个不同的零点，所以函数有且仅有三个不同的零点，设，则，当即时，所以在上单调递减，所以不可能有三个不同的零点，即函数不可能有三个不同的零点，舍去；当即时，有两个不同的零点，由，得，所以，又因为开口向下，所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，因为，且，所以，所以，因为，令，则，所以在上单调递增，所以，即，由函数零点存在性定理可知，在区间上有唯一的一个零点，因为，又，所以，则，所以在区间上有唯一的一个零点，故当时，有且仅有三个不同的零点，2，综上，实数a的取值范围是；(ii）证明：因为函数的三个不同的零点分别为所以由(i）可知，10（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若函数有两个零点，且(1)求a的取值范围；(2)若在和处的切线交于点，求证：【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当，在上单调递减，不可能两个零点；当时，令得，单调递增，单调递减，  ，时，单调递减，单调递增，  所以，即时，恒成立，当且仅当时取等号，所以，而，所以；有唯一零点且有唯一零点，满足题意，综上：；（2）曲线在和处的切线分别是，联立两条切线得，由题意得， 要证，即证，即证，即证，令，即证，令，在单调递减，得证综上：11（2023·山东日照·三模）已知函数有三个零点.(1)求的取值范围；(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为定义域为，又，（）当单调递减；（）当，记，则，当；当，所以在单调递增，在上单调递减，又，所以，当，则单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；当，由（）知，有两个零点，记两零点为，且，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为，令，则，所以，所以，且趋近0，趋近于正无穷大，趋近正无穷大，趋近负无穷大，所以函数有三零点，综上所述，；（2）等价于，即，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，由（1）可得，则，所以，所以，则满足，要证，等价于证，易知，令，则，令得，令得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，下面证明，由，即证，即证，即证，即证，令，令，则，所以，所以，则，所以，所以，所以，所以，所以原命题得证.12（2023·山东烟台·统考三模）已知函数，其中(1)讨论方程实数解的个数；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）由可得，令，令，可得，当，函数单调递减，当，函数单调递增，所以函数在时取得最小值，所以当时，方程无实数解，当时，方程有一个实数解，当时，故，而，设，则，故在上为增函数，故，故有两个零点即方程有两个实数解.（2）由题意可知，不等式可化为，即当时，恒成立，所以，即，令，则在上单调递增，而，当即时，在上单调递增，故，由题设可得，设，则该函数在上为减函数，而，故.当即时，因为，故在上有且只有一个零点，当时，而时，故在上为减函数，在上为增函数，故，而，故，故因为，故，故符合，综上所述，实数的取值范围为13（2023·山东德州·三模）已知函数，其中(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围【答案】(1)(2)答案见解析(3)【详解】（1）当时，定义域为，所以，所以，又，所以函数在处的切线方程为，即.（2）的定义域是，令，则当或，即时，恒成立，所以在上单调递增当，即时，由，得或；由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减（3）由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；当时，有两个极值点，即方程有两个正根，所以，则在上是减函数所以，因为，所以，令，则，所以在上单调递减，又，且，所以，由，又在上单调递减，所以且，所以实数的取值范围为14（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，.(1)求证：；(2)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：由于，则等价于.令，则，令，则，因为，所以，即在上为增函数，所以，故为增函数，所以，即成立.（2）设，由于，则，所以在上为增函数，所以，即.又由于，由，得，由（1）知当时，此时，当时，函数没有零点，不合题意，故舍去.当时，因为，所以，设，.当时，恒成立，所以即单调递增.当时，设，.因为，所以，所以即单调递增.又，因此在上存在唯一的零点，且.当时，所以即单调递减；当时，所以即单调递增.又，因此在上存在唯一的零点，且.当时，所以单调递减；当时，所以单调递增.又，所以在上没有零点，在上存在唯一零点，因此在上有唯一零点.综上，的取值范围是.15（2023·山东聊城·统考三模）已知函数(1)讨论的单调性；(2)证明：当，且时，【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【详解】（1），当，即时，在区间单调递增当，即时，令，得，令，得，所以在区间单调递增；在区间单调递减当，即时，若，则，在区间单调递增若，令，得，令，得，所以在区间单调递减；在区间单调递增综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减；时，在区间单调递增时，在区间单调递减、在区间单调递增（2）证明：要证，即证，即证令，则，所以在区间单调递增，所以时，即时，令，则在时恒成立，所以，且时，单调递增，因为时，且，所以，且时，即所以，且时，16（2023·河北·统考模拟预测）已知函数.(1)若不等式有解，求实数的取值范围；(2)若有两个不同的零点，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由，即在上有解，所以在上有解，令，只需，由，当，则，递增，当，则，递减，所以最大值为，故.（2）由题意，有两个零点，则有两个解，令与有两个交点，而，且，当，则，故在上递增，且值域为；当，则，故在上递减，且值域为；所以最大值为，故，且，图象如下，  不妨令，要证，即证，需证，先证：又，则，所以，故，令，则，故，可得，所以，要证，即证，即证，令且，则，令，则，即在上递增，所以，即在上恒成立，故，所以在上递增，故，即成立，综上，；再证：由，故上，递减，上，递增，所以，则零点在两侧，所以，要证，即，又，需证，而，所以，只需，即，即证，且，即证，且，只需，令，且，则，令，则，在时，即递增，所以，故，即在上递减，由，故，即恒有，综上，成立；所以，.17（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值(1)求实数的值；(2)当时，证明：【答案】(1)，(2)证明见解析【详解】（1），由题意知，则，即，由，知，即（2）由（1）得，设，则设，则在上单调递增，且，所以存在唯一，使得，即当时，单调递减；当时，单调递增设，则，当时，单调递减，所以，所以，故当时，18（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆C：与y轴交于，两点，椭圆上异于A，B两点的动点D到A，B两点的斜率分别为，已知(1)求椭圆C的方程；(2)过定点与动点D的直线，与椭圆交于另外一点H，若AH的斜率为，求的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）取在椭圆上,又，椭圆的方程为.（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为,其中,将直线方程带入得,其判别式为,或，取为交点,又,取,，令，解得，令，在上单调递减,在上单调递增,又的值域为,即的取值范围为.当直线的斜率不存在时，则点关于轴对称，则，综上的取值范围为.  19（2023·山东泰安·统考模拟预测）若，则实数最大值为_.【答案】【详解】， 定义域为，则，令，则，在上单调递增，且时，当时，使得 即当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，所以，由得，即，代入得，整理得，故的最大值为3.故答案为：320（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是定义在上的可导函数，若，且时，恒成立，则的取值范围是_.【答案】【详解】解：由于，因为，设，则，所以当时，此时为增函数；当时，此时为减函数；所以，即，故在上是减函数.又由于时，恒成立，所以，设，易知该函数为单调增函数，故时，只需，即.又由于化为，设，由，得，故等价变形为当时，令，则，故当时，为增函数，所以若使在上恒成立，只需，即.综上，.故答案为：学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司