课时规范练33 简单线性规划.docx
课时规范练33简单线性规划基础巩固组1.(2021云南高三第一次统一检测)已知实数x,y满足约束条件x+2y2,xy,x+20,则z=3x+y+13的最大值等于()A.43B.83C.2D.3答案:D解析:由约束条件作出可行域如图,联立x=y,x+2y=2,解得A23,23,由z=3x+y+13,得y=-3x+z-13,由图可知,当直线y=-3x+z-13过点A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为3×23+23+13=3.2.(2021河南名校联盟4月联考)若实数x,y满足约束条件2x-y+10,2x+y-20,x-30,则z=43x+2y的最小值为()A.14B.423C.419D.1答案:B解析:画出不等式组2x-y+10,2x+y-20,x-30表示的平面区域如图,令t=3x+2y,结合图形可知直线t=3x+2y经过点A(3,7)时,t最大,经过点C(3,-4)时,t最小,所以1t23,则当t最大时,z最小,zmin=423.3.(2021贵州黔东南模拟预测)设x,y满足约束条件y0,x+y3,3x+y3,则x2+y2的最小值为()A.910B.31010C.1D.9答案:A解析:x2+y2的几何意义为点(x,y)到原点距离的平方,作出约束条件表示的可行域如图,可知原点到直线3x+y-3=0的距离的平方最小,故x2+y2的最小值为3102=910.4.(2021西藏日喀则模拟)设z=x+y,实数x,y满足x+2y0,x-y0,0yk,若z的最大值为6,则z的最小值为()A.-3B.-2C.-1D.0答案:A解析:作出可行域,如图所示,由z=x+y,得y=-x+z,则当直线y=-x+z过点A(k,k)时,zmax=6,即6=k+k,k=3,则B(-6,3),当直线y=-x+z过点B时,zmin=-6+3=-3.5.(2021贵州贵阳一中月考)若实数x,y满足不等式组x-y+20,x-5y+100,x+y-80,且ax+y+10恒成立,则实数a的取值范围是()A.-45,+B.-,-45C.-54,-1D.1,54答案:A解析:作出可行域,如图,其中A(5,3),C(3,5),因为ax+y+10恒成立,结合图形知x0,y>0,所以当x=0时,y+10恒成立;当x>0时,则a-y+1x,即a-y+1xmax,而-y+1x表示可行域内的点(x,y)与点(0,-1)所形成的直线的斜率的相反数,因此当直线ax+y+1=0经过点A(5,3)时,-y+1x最大,此时-3+15=-45,所以a-45.6.(2021陕西宝鸡大联考)已知不等式组x-10,kx-y0,x+3y-330表示的平面区域为等边三角形,则z=x+3y的最小值为()A.2+33B.1+33C.2+3D.1+3答案:D解析:作出不等式组表示的平面区域,如图所示,因为该平面区域为等边三角形,则由图像可得,直线kx-y=0的斜率k=tan 30°=33.目标函数z=x+3y可化为y=-13x+z3,当直线y=-13x+z3过点A时,直线在y轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值,又由x-1=0,33x-y=0,解得A1,33,所以目标函数z=x+3y的最小值为zmin=1+3×33=1+3.7.(2021安徽江淮十校第三次联考)已知实数x,y满足约束条件x-y0,x+y-40,y1,则z=122x-y的最小值为. 答案:132解析:画出不等式组x-y0,x+y-40,y1表示的平面区域,如图,令t=2x-y,则y=2x-t,结合图形可知,直线y=2x-t经过点(3,1)时,tmax=2×3-1=5,由指数函数性质可知,此时z取最小值,zmin=125=132.8.(2021黑龙江哈尔滨九中高三月考)已知点P(a,3),aZ在不等式组x-4y+30,3x+5y-250,x1表示的平面区域内,则a的取值范围为. 答案:1,2,3解析:由约束条件作出可行域如图,联立y=3,3x+5y-25=0,解得A103,3,可得直线y=3上有三个整点(1,3),(2,3),(3,3)在可行域内.则a的取值范围为1,2,3.9.(2021江西九江一中高三月考)不等式组3x+y-30,x-y-10,(x-1)2+y24所表示的平面区域的面积为. 答案:56解析:作出可行域如图阴影部分所示,由题意可知,BAD=4,OAC=3,BAC=-34=512,阴影区域的面积为S=12×512×22=56.10.(2021江西南昌模拟)若实数x,y满足约束条件3x+2y3,2x-3y2,则z1=x2+y2-2x-4y的最小值是,z2=2x+y2的最小值是. 答案:-4913149解析:如图,根据不等式组画出可行域.z1=(x-1)2+(y-2)2-5表示可行域内的点到定点(1,2)距离的平方,再减5,根据图像可知定点(1,2)到直线3x+2y=3的距离最小,即d=|3+4-3|32+22=413,所以z1的最小值是4132-5=-4913;z2=2x+y2,变形为y2=-2x-z22,表示开口向左的抛物线,对称轴是x轴,由图像可知,当抛物线和直线3x+2y=3有一个交点时,z2最小,联立3x+2y=3,z=2x+y2,得3y2-4y+6-3z=0,令=16-12(6-3z)=0,求得z2=149.综合提升组11.(2021浙江温州中学模拟)若变量x,y满足约束条件y0,yx,y2-x,则x2-y的最小值为()A.-14B.-12C.0D.14答案:A解析:画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分,令m=x2-y,则y=x2-m,则由图像可得当曲线y=x2-m与直线y=x相切时,m取得最小值,联立方程y=x2-m,y=x,可得x2-x-m=0,令=1+4m=0,解得m=-14,故x2-y的最小值为-14.12.(2021江西六校3月联考)过平面区域x-y+20,y+20,x+y+20内一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,记APB=,则当最大时cos 的值为()A.12B.910C.0D.-12答案:C解析:由约束条件可得可行域如图,D(-2,0),F(-4,-2),E(0,-2),由图知,sin2=1|OP|0<2<2,则cos =1-2sin22=1-2|OP|2,要使最大,则|OP|最小,即在可行域内找到离O点距离最小的P点即可,显然,当OPDE且P在DE上时最大,而ODE为等腰直角三角形,P为DE的中点,此时|OP|min=2,此时2=4,则cos =0.13.(2021江西上饶高三月考)已知x,y满足x+y-10,x-2y-40,2x-y-20,如果目标函数z=y+1x-m的取值范围为0,2),则实数m的取值范围为()A.(-,0B.-,12C.0,2)D.0,+)答案:B解析:由约束条件可得可行域如图阴影部分所示,z=y+1x-m表示点(x,y)与点(m,-1)连线的斜率,点(m,-1)在直线y=-1上,当点(m,-1)位于A右侧时,存在z<0的情况,不合题意;当点(m,-1)位于线段AB(不含端点B)上时,存在z>2的情况,不合题意;当点(m,-1)与B重合时,存在z=2的情况,不合题意;当点(m,-1)位于B左侧时,z0,2),满足题意.由2x-y-2=0,y=-1,得x=12,y=-1,即B12,-1,故m<12,即实数m的取值范围为-,12.14.已知实数x,y满足-1x+y3,42x-y9,则()A.1x3B.-2y1C.24x+y15D.13<x-y<233答案:C解析:画出不等式组-1x+y3,42x-y9表示的平面区域,如图所示,由x+y=-1,2x-y=4,求得点A(1,-2),由x+y=-1,2x-y=9,求得B83,-113,由x+y=3,2x-y=9,求得C(4,-1),由x+y=3,2x-y=4,求得D73,23,所以x的取值范围是1x4,故A错误;y的取值范围是-113y23,故B错误;设z=4x+y,画出直线z=4x+y,由图像知,当直线z=4x+y过点A时,z取得最小值为zmin=4-2=2,过点C时z取得最大值为zmax=16-1=15,所以24x+y15,故C正确;设z'=x-y,画出直线z'=x-y,由图像知,当直线z'=x-y过点D时,z取得最小值为z'min=7323=53,过点B时z'取得最大值为z'max=83-113=193,所以53x-y193,故D错误.15.(2021四川成都七中高三月考)若实数x,y满足的不等式组y0,2x+y-20,(aR)ax+2y-10表示的平面区域是直角三角形,则yx+3的取值范围是. 答案:0,29解析:根据约束条件作出可行域如图所示,因为不等式组所表示平面区域为直角三角形,且直线ax+2y-1=0的斜率存在,所以直线ax+2y-1=0与2x+y-2=0垂直,所以2a+1×2=0,所以a=-1.yx+3表示可行域内的点(x,y)与点(-3,0)连线的斜率,因为2x+y-2=0,-x+2y-1=0,所以x=35,y=45,所以A35,45,令2x+y-2=0中y=0,所以x=1,所以B(1,0),由图可知,当取点A时,此时yx+3取最大值,所以yx+3max=4535+3=29,当取点B时,此时yx+3取最小值,所以yx+3min=01+3=0,所以yx+3的取值范围是0,29.创新应用组16.(2021广西贵港模拟)关于x的方程x2+ax+2b=0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内,则b-2a-1的取值范围为()A.14,12B.14,1C.12,1D.(1,2)答案:B解析:b-2a-1表示点(a,b)与点M(1,2)连线的斜率.因为x2+ax+2b=0两根在(0,1)与(1,2)内,令f(x)=x2+ax+2b,必须满足f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即b>0,1+a+2b<0,2+a+b>0,画出可行域如图所示.点M(1,2)与阴影部分连线的斜率k的取值范围为kAM<k<kBM,因为A(-3,1),B(-1,0),所以14<b-2a-1<1.17.已知函数sgn(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则约束条件x2+y24,xx2+y-sgn(x)2-10表示的阴影部分是()答案:B解析:不等式x2+y24表示的平面区域为以原点为圆心,2为半径的圆的内部(包括边界).当x>0时,xx2+y-sgn(x)2-1=xx2+(y-1)2-10,即x2+(y-1)21,表示的平面区域为以(0,1)为圆心,1为半径的圆的外部(包括边界)且在y轴的右侧的部分;当x<0时,xx2+y-sgn(x)2-1=xx2+(y+1)2-10,即x2+(y+1)21,表示的平面区域为以(0,-1)为圆心,1为半径的圆的内部(包括边界)且在y轴的左侧的部分.综上所述,原不等式组表示的平面区域为选项B图形中的阴影部分,故选B.18.(2021河南洛阳高三调研)不等式组x+y-20,x-2y-20,x0表示的平面区域为M,一圆面可将区域M完全覆盖,则该圆半径的最小值为. 答案:102解析:不等式组对应的平面区域为图中阴影部分,易知A(0,-1),B(2,0),C(0,2),ABC为锐角三角形且BCA=45°,|AB|=12+22=5,故其外接圆直径为|AB|sinACB=522=10,则所求圆半径的最小值为102.
