高考解答题专项六 概率与统计.docx
高考解答题专项六概率与统计1.(2021全国甲,理17)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:机床一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.635解:(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为150200=34;乙机床生产的产品中一级品的频率为120200=35.(2)由题意2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=400×(150×80-120×50)2200×200×270×13010.256>6.635.所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.2.(2020全国,理18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):空气质量等级锻炼人次0,200(200,400(400,6001(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?空气质量情况人次400人次>400好不好附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.635解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1100(100×20+300×35+500×45)=350.(3)根据所给数据,可得2×2列联表:空气质量情况人次400人次>400好3337不好228根据列联表得2=100×(33×8-22×37)255×45×70×305.820.由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.3.(2021黑龙江齐齐哈尔一模)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术,是实现人机物互联的网络基础设施.某大学为了解学生对“5G”相关知识的了解程度,随机抽取100名学生参与测试,并将得分绘制成如下频数分布表.得分30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100男性人数4912131163女性人数122211042(1)将学生对“5G”的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类,完成2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为学生对“5G”的了解程度与性别有关?性别不太了解比较了解合计男女合计(2)以这100名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率,现从该校学生中,有放回地抽取3次,每次抽取1名学生,设抽到“比较了解”的学生的人数为X,求X的分布列和数学期望.附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(2>k)0.100.050.01k2.7063.8416.635解:(1)由题意可得列联表如下性别不太了解比较了解总计男253358女53742总计30701002=100×(25×37-33×5)230×70×42×5811.291>6.635,所以有99%的把握认为学生对“5G”的了解程度与性别有关.(2)由题意可得抽取的100名学生中“比较了解”的频率为70100=710,故抽取该校1名学生对“5G”“比较了解”的概率为710,所以XB3,710,P(X=k)=C3k710k3103-k,k=0,1,2,3,即X的分布列如下X0123P271 0001891 0004411 0003431 000所以EX=np=3×710=2110.4.(2021河南驻马店期末)近年来,共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的A县城进行车辆投放.为了确定车辆投放量,对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计,得到了投放量x(单位:千辆)与年使用人次y(单位:千次)的数据如下表所示,根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示.x1234567y611213466101196(1)观察散点图,可知两个变量不具有线性相关关系,拟用对数型函数模型y=a+blg x或指数型函数模型y=c·dx(c>0,d>0)对两个变量的关系进行拟合,请问哪个模型更适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由),并求出y关于x的回归方程;(2)已知每辆单车的购入成本为200元,年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元,按用户每使用一次,收费1元计算,若投入8 000辆单车,则几年后可实现盈利?参考数据:yvi=17xiyii=17xivi100.5462.141.542 53550.123.47其中vi=lg yi,v=17i=17vi.解:(1)由散点图判断,y=c·dx适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型,由y=c·dx,两边同时取常用对数得lg y=lg(c·dx)=lg c+xlg d,设lg y=v,则v=lg c+xlg d.因为x=4,v=1.54,i=17xi2=140,i=17xivi=50.12,所以lg d=i=17xivi-7xvi=17xi2-7x2=50.12-7×4×1.54140-7×42=728=0.25,把(4,1.54)代入v=lg c+xlg d,得lg c=0.54,所以v=0.54+0.25x,所以lg y=0.54+0.25x,则y=100.54+0.25x=3.47×100.25x,故y关于x的回归方程为y=3.47×100.25x.(2)投入8千辆单车,则年使用人次为3.47×100.25×8=347千人次,每年的收益为347×(1-0.2)=277.6(千元),总投资8 000×200=1 600 000=1 600千元,假设需要n年开始盈利,则n×277.6>1 600,即n>5.76,故需要6年才能开始盈利.
