课时规范练62 离散型随机变量及其分布列.docx
课时规范练62离散型随机变量及其分布列基础巩固组1.(2021江苏淮安二模)如图,某系统使用A,B,C三种不同的元件连接而成,每个元件是否正常工作互不影响.当元件A正常工作且B,C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作.若元件A,B,C正常工作的概率分别为0.7,0.9,0.8,则系统正常工作的概率为()A.0.196B.0.504C.0.686D.0.994答案:C解析:由题意可知,系统正常工作分为两个步骤:A正常工作,B,C至少有一个正常工作.而A正常工作的概率为0.7;B,C至少有一个正常工作的概率为1-(1-0.9)×(1-0.8)=0.98,则系统正常工作的概率为0.7×0.98=0.686,故选C.2.(2021江西重点中学联考一)甲、乙两人投篮相互独立,且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3,则甲、乙两人各投篮一次,至少有一人命中的概率为()A.0.7B.0.58C.0.42D.0.46答案:B解析:甲、乙两人各投篮一次,至少有一人命中的概率为P=1-(1-0.4)×(1-0.3)=0.58.故选B.3.(2021广东汕头三模)现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子,将它们叠成一叠,则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下,黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为()A.110B.13C.14D.23答案:C解析:记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A,“黄色杯子和绿色杯子相邻,且黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B.则黄色杯子和绿色杯子相邻有A44A22=48种排列法;黄色杯子和绿色杯子相邻,且黄色杯子和红色杯子也相邻有A33A22=12种排列法.所以P(B|A)=n(AB)n(A)=A33·A22A44·A22=14.故选C.4.一工厂生产的100个产品中有90个一等品,10个二等品,现从这批产品中抽取4个,则其中恰好有一个二等品的概率为()A.1-C904C1004B.C100C904+C101C903C1004C.C101C1004D.C101C903C1004答案:D解析:由超几何分布的概率公式可知,所求概率为C903C101C1004.5.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量表示所选3人中女生的人数,则P(1)等于()A.15B.25C.35D.45答案:D解析:P(1)=1-P(=2)=1-C41C22C63=45.6.已知随机变量X的分布列为X-2-10123P112141311216112若P(X2<x)=1112,则实数x的取值范围是()A.4x9B.4<x9C.4x<9D.4<x<9答案:B解析:由随机变量X的分布列知X2的可能取值为0,1,4,9,且P(X2=0)=412,P(X2=1)=412,P(X2=4)=312,P(X2=9)=112.P(X2<x)=1112=412+412+312,实数x的取值范围是4<x9.故选B.7.(2021北京丰台模拟)在抗击新冠肺炎疫情期间,很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有:现场值班值守,社区消毒,远程教育宣传,心理咨询(每个志愿者仅参与一类服务).参与A,B,C三个社区的志愿者服务情况如下表:社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询A10030302020B12040352025C15050403030(1)从上表三个社区的志愿者中任取1人,求此人来自于A社区,并且参与社区消毒工作的概率;(2)从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况,以X表示负责现场值班值守的人数,求X的分布列.解:(1)记“从上表三个社区的志愿者中任取1人,此人来自于A社区,并且参与社区消毒工作”为事件D,则P(D)=30100+120+150=337.(2)从上表三个社区的志愿者中各任取1人,由表可知:A,B,C三个社区负责现场值班值守的概率分别为310,13,13.X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=710×23×23=2890=1445,P(X=1)=310×23×23+710×13×23+710×23×13=4090=49,P(X=2)=310×13×23+310×23×13+710×13×13=1990,P(X=3)=310×13×13=390=130.X的分布列为X0123P14454919901308.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列;(3)用Y表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差,求Y的分布列.解:(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”为事件M,则P(M)=C84C105=518.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,P(X=2)=C63C42C105=1021,P(X=3)=C62C43C105=521,P(X=4)=C61C44C105=142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142(3)由题意知Y可取的值为3,1,-1,-3,-5,则P(Y=3)=C44C61C105=142,P(Y=1)=C43C62C105=521,P(Y=-1)=C42C63C105=1021,P(Y=-3)=C41C64C105=521,P(Y=-5)=C65C105=142,因此Y的分布列为Y31-1-3-5P1425211021521142综合提升组9.(2021河北张家口一模)某大学进行“羽毛球”“美术”“音乐”三个社团选拔.某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”“音乐”三个社团的概率依次为a,b,12,已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为15.假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立,则该同学一个社团都不能进入的概率为()A.12B.35C.34D.310答案:D解析:因为三个社团中某同学恰好能进入两个的概率为15,所以ab1-12+12a(1-b)+12b(1-a)=15,得a+b-ab=25,所以该同学一个社团都不能进入的概率P=(1-a)(1-b)1-12=121-(a+b-ab)=12×1-25=310.故选D.10.(2021山东菏泽二模)某射击运动员每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是; (2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是. 答案:(1)45(2)12解析:(1)设第一次击中为事件A,则P(A)=45,第二次击中为事件B,则P(B)=45.由题意知,每次射击的结果相互独立,因此已知第一次击中,则第二次击中的概率为45.(2)设仅击中一次为事件C,则P(C)=C21×45×15=825,在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是P(B|C)=15×45825=12.11.(2021山东枣庄二模)天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获,实现了中国在深空探测领域的技术跨越.为提升探测器健康运转的管理水平,西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛,已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立,做对,三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目做对的概率0.80.60.4获得的奖金/元1 0002 0003 000规则如下:按照,的顺序做题,只有做对当前题目才有资格做下一题.(1)求甲获得的奖金X的分布列及均值;(2)如果改变做题的顺序,获得奖金的均值是否相同?如果不同,你认为哪个顺序获得奖金的均值最大?(不需要具体计算过程,只需给出判断)解:(1)分别用A,B,C表示做对题目,的事件,则事件A,B,C相互独立.由题意,X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000,P(X=0)=P(A)=0.2;P(X=1 000)=P(AB)=0.8×0.4=0.32;P(X=3 000)=P(ABC)=0.8×0.6×0.6=0.288;P(X=6 000)=P(ABC)=0.8×0.6×0.4=0.192.所以甲获得的奖金X的分布列为X01 0003 0006 000P0.20.320.2880.192EX=0×0.2+1 000×0.32+3 000×0.288+6 000×0.192=2 336.(2)改变做题的顺序,获得奖金的均值互不相同.猜想:按照由易到难的顺序做题,即按照题目A,B,C的顺序做题,得到奖金的期望值最大.12.(2021江苏常州模拟)已知某射手射中固定靶的概率为34,射中移动靶的概率为23,每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分,脱靶均得0分,每次射击的结果相互独立,该射手进行3次打靶射击:向固定靶射击1次,向移动靶射击2次.(1)求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率;(2)求该射手的总得分X的分布列和数学期望.解:(1)记“该射手射中固定靶”为事件A,“该射手射中移动靶”分别为事件B,C,“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D.则P(A)=34,P(B)=P(C)=23,D=ABC+ABC,其中ABC+ABC互斥,A,B,C,B,C相互独立,从而P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=34×23×1-23=16,P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=34×1-23×23=16,则P(D)=P(ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)=13,所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13.(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,5,则P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=14×13×13=136,P(X=1)=P(AB C)=P(A)P(B)P(C)=34×13×13=112,P(X=2)=P(ABC+A BC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)·P(B)P(C)=14×23×13+14×13×23=19,P(X=3)=P(ABC+ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)·P(B)P(C)=34×23×13+34×13×23=13,P(X=4)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=14×23×23=19,P(X=5)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=34×23×23=13.该射手的总得分X的分布列为X012345P13611219131913随机变量X的数学期望EX=0×136+1×112+2×19+3×13+4×19+5×13=4112.创新应用组13.(2021山东烟台一模)骰子通常作为桌上游戏的小道具,最常见的骰子是六面骰,它是一个质地均匀的正方体,六个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6,现有一款闯关游戏,共有4关,规则如下:在第n关要抛掷六面骰n次,每次观察向上面的点数并做记录,如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n+n,则算闯过第n关,n=1,2,3,4,假定每次闯关互不影响,有以下四个结论:直接挑战第2关并过关的概率为712,连续挑战前两关并过关的概率为524,若直接挑战第3关,设A表示“三个点数之和等于15”,B表示“至少出现一个5点”,则P(A|B)=113,若直接挑战第4关,则过关的概率是351 296.则正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:中,基本事件总数有36个,点数之和大于6的基本事件共有21个,P=2136=712,故正确;中,挑战第一关并过关的概率P1=12,前两关过关的概率P=12×712=724,故错误;中,由题意,抛掷3次的基本事件有63=216个.抛掷3次至少出现一个5点的基本事件共有63-53=216-125=91个,故P(B)=91216,而事件AB包含:含5,5,5的有1个,含4,5,6的有6个,一共有7个,故P(AB)=7216,所以P(A|B)=P(AB)P(B)=7216×21691=113,故正确;中,当n=4时,2n+n=20,基本事件共有64=1 296个,点数之和超过20的有以下几类:含5,5,5,6,有4个,含5,5,6,6,有6个,含5,6,6,6,有4个,含6,6,6,6,有1个,含4,6,6,6,有4个,含4,5,6,6,有12个,含3,6,6,6,有4个,总计35个,P=351 296,正确.即正确的结论有3个,故选C.
