单元质检卷五 平面向量、数系的扩充与复数的引入.docx
单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:60分钟满分:80分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021广西南宁一模)复数z=(1+i)(1-2i),则z的虚部是()A.-3B.-1C.1D.3答案:B解析:z=(1+i)(1-2i)=1-2i+i-2i2=3-i,因此复数z的虚部为-1.2.已知向量a=(-1,2),b=(3,-2),c=(t,2-t),若(2a+b)c,则t=()A.-32B.32C.-23D.23答案:D解析:由2a+b=(1,2),又(2a+b)c,2t=2-t,可得t=23.3.(2021山东聊城二模)已知复数z1=-2+i,z2=z1i,在复平面内,复数z1和z2所对应的两点之间的距离是()A.5B.10C.5D.10答案:B解析:z1=-2+i所对应的点为(-2,1),z2=z1i=-i(-2+i)-i2=1+2i对应的点坐标为(1,2),所以复数z1和z2所对应的两点之间的距离为(-2-1)2+(1-2)2=10.4.(2021云南昆明三模)已知向量a=(0,3),b=(4,0),则cos<a,a-b>=()A.35B.45C.-35D.-45答案:A解析:因为向量a=(0,3),b=(4,0),所以a-b=(-4,3),所以cos<a,a-b>=3×33×(-4)2+32=35.5.(2021山西名校联考三模)已知ABC的重心为O,则向量BO=()A.23AB+13ACB.13AB+23ACC.-23AB+13ACD.-13AB+23AC答案:C解析:如图,设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,由于O是三角形ABC的重心,所以BO=23BE=23×(AEAB)=23×12ACAB=-23AB+13AC.6.若向量a=(1,-3),b=(-2,6),则()A.abB.a与b同向C.a与b反向D.|a|=2|b|答案:C解析:a·b=1×(-2)+(-3)×6=-200,故A错误;b=(-2,6)=-2(1,-3)=-2a,a与b反向,故B错误,C正确;|a|=1+9=10,|b|=4+36=210,|b|=2|a|,故D错误.7.(2021四川泸州诊断测试)已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=1,|a+b|=|a-b|,则|a-2b|=()A.5B.5C.7D.7答案:C解析:|a+b|=|a-b|,|a+b|2=|a-b|2,即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,a·b=0,|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=3-4×0+4×1=7,|a-2b|=7.8.(2021湖北黄石模拟)原点O是ABC内一点,顶点A在x轴上,AOB=150°,BOC=90°,|OA|=2,|OB|=1,|OC|=3,若OC=OA+OB,则=()A.-33B.33C.-3D.3答案:D解析:建立如图所示的直角坐标系,根据题意,A(2,0),B-32,12,C-32,-332,因为OC=OA+OB,由向量相等的坐标表示可得2-32=-32,2=-332,解得=-3,=-33,即=3.9.(2021山东泰安考前模拟)已知向量a=(,1),a-b=(0,4),ab,则a-b在a方向上的射影为()A.2B.2C.3D.5答案:B解析:由a=(,1),a-b=(0,4),得b=(,-3),由ab,得a·b=2-3=0,解得=±3,所以|a|=2,故a-b在a方向上的射影为(a-b)·a|a|=42=2.10.(2021四川资阳中学高三月考)任何一个复数z=a+bi(其中a,bR,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cos +isin )(其中r0,R)的形式,通常称之为复数z的三角形式.已知有公式r(cos +isin )n=rn(cos n+isin n)(nZ),由公式可知,“n为偶数”是“复数cos2+isin2n(nZ)为实数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:C解析:由cos2+isin2n=cosn2+isinn2为实数,得sinn2=0,故n2=k,kZ,即n=2k,kZ;反之,若n为偶数,则设n=2k,kZ,则sinn2=sin k=0,则cos 2+isin 2n=cos n2+isin n2=cos n2,为实数.故“n为偶数”是“复数cos2+isin2n(nZ)为实数”的充要条件.11.(2021湖南岳阳一模)已知等边三角形ABC的边长为4,O为三角形内一点,且OA+OB+2OC=0,则AOB的面积是()A.43B.833C.433D.23答案:D解析:根据题意,设AB的中点为D,ABC是等边三角形,则CDAB,AB的中点为D,则OA+OB=2OD,又由OA+OB+2OC=0,则OC=-OD,则O是CD的中点,又由ABC的边长为4,则AD=2,CD=23,则OD=3,则SAOB=12×4×3=23.12.(2021天津南开中学三模)如图,已知B,D是直角C两边上的动点,ADBD,|AD|=3,BAD=6,CM=12(CA+CB),CN=12(CD+CA),则CM·CN的最大值为()A.4+132B.2+132C.4+134D.2+134答案:C解析:由题意,以点D为坐标原点,以DB方向为x轴正方向,以DA方向为y轴正方向,建立如图所示的直角坐标系,因为|AD|=3,BAD=6,所以BD=1,则D(0,0),B(1,0),A(0,3).又CM=12(CA+CB),CN=12(CD+CA),所以M,N分别为BA,DA的中点,因此M12,32,N0,32,又CDBC,所以点C可看作以BD为直径的圆上的点,设C(x,y),则(x-12)2+y2=14,即x2+y2=x,又CM=12-x,32-y,CN=-x,32-y,所以CM·CN=-12x+x2+343y+y2=12x-3y+34,令m=12x-3y,即x-23y-2m=0,所以点C(x,y)为直线x-23y-2m=0与圆(x-12)2+y2=14的一个交点,因此圆心12,0到直线x-23y-2m=0的距离小于等于半径12,即d=|12-2m|1+1212,解得1-134m1+134,所以CM·CN的最大值为1+134+34=4+134.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021全国甲,理14)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若ac,则k=. 答案:-103解析:ac,a·c=0,即a·(a+kb)=0,a2+ka·b=0,a=(3,1),b=(1,0),10+3k=0,解得k=-103.14.(2021福建莆田三模)写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z=. 答案:1+2i(答案不唯一)解析:设z=a+bi(a,bR,b0),则z2+3=a2-b2+3+2abi,因为z2+3为纯虚数,所以a2-b2=-3且ab0.任取不为零的实数a,求出b或任取不为零的实数b,求出a即可得,答案不唯一,如z=1+2i.15.(2021山东淄博二模)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=3,则向量a-b和b的夹角为. 答案:56解析:由|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=3,得a·b=1,由cos<a-b,b>=(a-b)·b|a-b|·|b|=a·b-b223=1-423=-32,所以向量a-b和b的夹角为56.16.(2021浙江嘉兴模拟)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若OC=xOA+yOB,其中x,yR.则x+y的最大值为;x-y的取值范围是. 答案:2-1,1解析:如图所示,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(1,0),B-12,32,设C(cos ,sin )023.由于OC=(cos ,sin ),OA=(1,0),OB=-12,32,根据OC=xOA+yOB,得到cos=x-12y,sin=32y,从而x=cos+13sin,y=23sin,故x+y=cos +3sin =2sin+6,当=3时,(x+y)max=2.x-y=cos -33sin =233cos+6,又6+656,-32cos+632,即-1x-y1.
