圆锥曲线专题之第六章 极点极线篇 .docx

9 1 3圆锥曲线 专题第 六 章 危 楼 高 百 尺 极 点 极 线 篇.错误！未定义书签。1 投砾引珠，二次曲线的切线问题.9 1 51.1 直 线 的 一 般 式 与 二 次 曲 线 相 切 的 充 要 条 件 和 等 效 判 别 式.9 1 51.2 切 线 斜 率 已 知 的 二 次 曲 线 的 切 线 方 程.9 1 61.3 处 理 切 线 的 两 个 常 用 套 路.9 1 91.4 切 线.9 2 11.5 二 次 曲 线 的 替 换 法 则.9 2 41.6 点 在 二 次 曲 线 上 的 切 线 方 程.9 2 41.7 点 在 二 次 曲 线 外 的 切 线 方 程.9 2 81.8 双 切 线 方 程.9 2 82 投砾引珠，二次曲线的切线问题.9 3 22.1 预 备 知 识：直 线 的 同 一 法.9 3 22.2 二 次 曲 线 的 切 点 弦 方 程.9 3 32.3 切 点 弦 v s 中 点 点 差 法.9 3 92.4 过 焦 点 的 切 点 弦.9 4 03 钻坚仰高，极点极线 v s 切线.9 4 13.1 极 点 极 线 的 定 义.9 4 13.2 极 点 极 线 和 调 和 分 割.9 4 33.3 调 和 分 割 与 调 和 点 列.9 4 64 登堂入室，极点极线 v s 相交弦.9 4 84.1 极 点 极 线 的 综 合 模 型 自 极 三 角 形.9 4 84.2 自 极 三 角 形 的 应 用 举 例.9 4 84.3 一 般 情 况 的 代 数 证 明.9 4 94.4 特 殊 的 相 交 弦：顶 点 和 轴 上 点 组 合.9 5 55 要而论之，极点极线的常见模型.9 5 95.1 等 角 定 理 的 特 殊 化 模 型.9 6 05.2 等 角 定 理 的 一 般 情 况.9 7 35.3 共 轭 点 的 等 分 点 模 型.9 7 69 1 45.4 斜 率 等 差 模 型.9 8 05.5 斜 率 比 值 模 型.9 8 65.6 焦 准 距 的 平 方 和 共 圆 模 型.9 9 05.7 椭 圆 的 平 行 弦 模 型.9 9 95.8 蝴 蝶 定 理 初 步.1 0 0 79 1 5 1 投 砾 引 珠，二 次 曲 线 的 切 线 问 题1.1 直 线 的 一 般 式 与 二 次 曲 线 相 切 的 充 要 条 件 和 等 效 判 别 式1.直 线 0 A x B y C(其 中 A、B 不 同 时 为 零)与 二 次 曲 线 相 切 的 充 要 条 件：(1)直 线 0 A x B y C 与 椭 圆 2 22 21 0 x ya ba b 相 切 的 充 要 条 件 是：2 2 2 2 2a A b B C(2)直 线 0 A x B y C 与 圆2 2 2x y r 相 切 的 充 要 条 件 是：2 2 2 2 2r A r B C【2 2 2a b r】(3)直 线 0 A x B y C 与 双 曲 线 2 22 21 0,0 x ya ba b 相 切 的 充 要 条 件 是：2 2 2 2 2a A b B C，且2 2 2 20 a A b B.【除 去 渐 近 线！】注：若 是2 22 21y xb a，则 相 切 的 充 要 条 件 是：2 2 2 2 2a A b B C，且2 2 2 20 a A b B(4)直 线 0 A x B y C 与 抛 物 线22 y p x 相 切 的 充 要 条 件 是：22 p B A C.拓 展 直 线 0 A x B y C 与 有 心 曲 线2 22 21x ya b 相 切 的 充 要 条 件 是：有 心 曲 线 的 两 个 焦 点 到 直 线0 A x B y C 的 距 离 之 积 满 足21 2d d b 具 体 证 明 与 应 用 见 附 件 直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 判 定 的 再 探 究 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 切 的 充 要 条 件 例 已 知 椭 圆2 22 21x ya b 与 直 线 2 3 10 0 l x y：相 切，且 离 心 率32e，求 此 椭 圆 方 程 解2 24 9 100 a b，又222114bea，易 得 椭 圆 方 程 为2 2116 4x y 例 已 知(8,0)A 与(0,4)B 为 椭 圆2 2164 16x y 上 的 两 个 定 点，P 是 椭 圆 上 在 第 一 象 限 内 的 任 意 一 点，求 A P B 的 面 积 的 最 大 值 解 点 P 必 须 在 平 行 于 A B 的 椭 圆 在 第 一 象 限 的 切 线 上，利 用 上 述 公 式，12 8 2 02k x y，利 用 直 线 A B 2 8 0 x y，max8 2 1116 2 12 5A P BD S A B D 9 1 6例(2 0 0 9 湖 北 理)已 知 双 曲 线2 212 2x y 的 准 线 过 椭 圆2 2214x yb 的 焦 点，则 直 线 2 y k x 与 椭 圆 至多 有 一 个 交 点 的 充 要 条 件 是()A 1 1,2 2k B 1 1,2 2k C 2 2,2 2k D 2 2,2 2k 解 易 得23 b，然 后 利 用 等 效 判 别 式，易 求 得 A 例(2 0 1 2 广 东 文)在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，已 知 椭 圆 2 21 2 21 0 x yC a ba b：的 左 焦 点1(1 0)F，且 点(0,1)P 在1C 上(1)求1C 的 方 程；(2)设 直 线 l 同 时 与 椭 圆1C 和 抛 物 线224 C y x：相 切，求 直 线 l 的 方 程 解(1)2212xy；(2)易 知 直 线 l 的 斜 率 必 定 存 在 且 不 为 0，因 此，设 直 线 l 为 y k x m，直 线 l 与1C 联 立：2 2 2(1 2)4 2 2 0 k x k m x m，由10 可 得：2 22 1 m k；直 线 l 与2C 联 立：2 2 22(2)0 k x k m x m，由20 可 得：1 k m；由 解 得：222km或222km，因 此，直 线 l 的 方 程 为222y x 或222y x 1.2 切 线 斜 率 已 知 的 二 次 曲 线 的 切 线 方 程已 知 切 线 斜 率 为 k 的 二 次 曲 线 的 切 线 方 程？切 线 有 两 条！根 据 二 次 曲 线 的 形 式 不 同，有 四 种 情 况，具 体 分 别 如 下：(1)切 线 斜 率 为 k 与 圆2 2 2x y r 相 切 的 切 线 方 程 为：21 y k x r k；切 线 斜 率 为 k 与 圆 2 22x a y b r 相 切 的 切 线 方 程 为：21 y b k x a r k(1)切 线 斜 率 为 k 与 椭 圆 2 22 21 0 x ya ba b 相 切 的 切 线 方 程 为：2 2 2y k x a k b；切 线 斜 率 为 k 与 椭 圆 2 22 21 0y xa ba b 相 切 的 切 线 方 程 为：2 2 2y k x b k a(1)切 线 斜 率 为 k 与 双 曲 线 2 22 21 0,0 x ya ba b 相 切 的 切 线 方 程 为：2 2 2y k x a k b，bka；9 1 7 切 线 斜 率 为 k 与 双 曲 线 2 22 21 0,0y xa ba b 相 切 的 切 线 方 程 为：2 2 2y k x a b k，akb(1)切 线 斜 率 为 k 与 抛 物 线22 y p x 相 切 的 切 线 方 程 为：2py k xk；切 线 斜 率 为 k 与 抛 物 线22 x p y 相 切 的 切 线 方 程 为：22pky k x 例(2 0 1 4 浙 江 理)如 图，设 椭 圆 2 22 21 0 x yC a ba b：，动 直 线 l 与 椭 圆 C 只 有 一 个 公 共 点 P，且 点P 在 第 一 象 限(1)已 知 直 线 l 的 斜 率 为 k，用 a、b、k 表 示 点 P 的 坐 标；(2)若 过 原 点 O 的 直 线 l1与 l 垂 直，证 明：点 P 到 直 线 l1的 距 离 的 最 大 值 为 a b xyO1llP解(1)法 一 设 点0 0 0 0(,)(0)P x y x y、，则 直 线 l 为：0 0()(0)y y k x x k，与 椭 圆 联 立：2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0()2()()0 a k b x k a k x y x a k x y a b【计 算 量 不 小！】直 线 l 与 椭 圆 C 只 有 一 个 公 共 点，故 0，即2 2 2 20 0()a k b k x y，即2 2 20 0a k b k x y，进 而2 2 2 2 2 2 20 0 0 00 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22()()()2()k a k x y k a k x y k a a k b a kxa k b a k b a k ba k b，202 2 2bya k b，因 此，点 P 的 坐 标 是2 22 2 2 2 2 2,a k ba k b a k b 法 二 设 直 线 l 的 方 程 为(0)y k x m k，与 椭 圆 联 立：2 2 2 2 2 2 2 2 2()2 0 b a k x a k m x a m a b，直线 l 与 椭 圆 C 只 有 一 个 公 共 点，故 0，即2 2 2 20 b m a k，进 而 解 得 点 P 的 坐 标 为2 2 22 2 2 2 2 2,a k m b mb a k b a k，又 点 P 在 第 一 象 限，故 点 P 的 坐 标 为2 22 2 2 2 2 2,a k ba k b a k b 注 此 题 的 答 案 如 果 借 助 结 论 的 话：利 用2 20 02 220201x ya by bkx a 即 可 解 得！但 是 作 为 解 答 题，如 何 正 确 且 简 便9 1 8的 书 写？是 个 难 点！比 如，多 数 同 学 在 考 场 上 很 可 能 是 会 走 法 一 的 路 子，因 为 求 的 坐 标，所 以 先 把 坐 标 设 出 来，但 是 法 一的 那 个 联 立 方 程，计 算 量 不 小 的，虽 然 可 以 利 用 等 效 判 别 式 计 算 0，但 是 那 个 方 程 联 立 是 避 免 不 了 的！相 对 于 法 一，法 二 的 计 算 量 就 平 和 多 了，因 此，对 于 直 线 和 椭 圆（或 双 曲 线）相 切 的 问 题，要 积 累 这个 书 写 套 路！(2)由 于 直 线1l 过 原 点 O 且 与 l 垂 直，故 直 线1l 的 方 程 为 0 x k y，所 以 点 P 到 直 线1l 的 距 离2 22 2 2 2 2 221a k b kb a k b a kdk，即2 2 2 22 2 22 2 2 222a b a bd a bb b a abb a a kk，当 且 仅 当22 22ba kk，即2bka 时，等 号 成 立，因 此，点 P 到 直 线1l 的 距 离 的 最 大 值 为 a b 例(2 0 1 3 山 东 理 压 轴)椭 圆 2 22 21 0 x yC a ba b：的 左、右 焦 点 分 别 是1 2F F、，离 心 率 为32，过1F且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 被 椭 圆 C 截 得 的 线 段 长 为 1(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)点 P 是 椭 圆 C 上 除 长 轴 端 点 外 的 任 一 点，连 接1 2P F P F、设1 2F P F 的 角 平 分 线 P M 交 C 的 长 轴 于点(,0)M m，求 m 的 取 值 范 围；(3)在(2)的 条 件 下，过 点 P 作 斜 率 为 k 的 直 线 l，使 得 l 与 椭 圆 C 有 且 只 有 一 个 公 共 点 设 直 线1 2P F P F、的 斜 率 分 别 为1 2k k、若 0 k，试 证 明1 21 1k k k k 为 定 值，并 求 出 这 个 定 值 分 析 此 题 总 的 来 说，答 案 易 得，难 度 不 大，唯 一 的 难 点 就 是 答 题 步 骤 的 规 范 书 写！第(2)小 问，设0 0(,)P x y，利 用 结 论 易 知 点 M 的 坐 标 为20(,0)e x，可 以 借 助 正 弦 定 理 规 范 书 写；第(3)小 问，点 P 处 切 线 斜 率 的 求 解，可 以 利 用 替 换 法 则：0014x xy y，或 者 利 用 中 点 点 差 法 的 极 限形 式：22 P O Pbk ka，即0014Pykx，即004Pxky 但 是，如 果 要 规 范 书 写 的 话，就 相 对 麻 烦 一 些，不 过，可 以 借 助 等 效 判 别 式 进 行 简 化 运 算：2 2 20 0 0 0 0 00 0222 214 1(4)2)41 00y kxyx x k x y k yk x y y k xk 解(1)由 题 意 可 得：221ba，222114bea，解 得 2 a，1 b，椭 圆 C 的 方 程 为2214xy(2)在1P F M、2P F M 中，利 用 正 弦 定 理 可 得：9 1 91 2 1 21 1 2 2sin sinsin sinP F P F P M F P M FF M M P F M P F F M，即1 12 2P F F MP F F M，设0 0 0(,)(2)P x y x，则22 2 2 01 0 0 0 03(3)(3)1 24 2xP F x y x x，同 理 可 得：2 0322P F x，故0032323 322xmmx，解 得034m x，由 于02 x，故3 3,2 2m(3)设 直 线 l 为0 0()y y k x x，与 椭 圆 联 立：2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0(1 4)8 4()(0)2 1 k x k y k x x y k x y k x，令 0，整 理 可 得：2 2 20 0 0 0(4)2 1 0 x k x y k y，又22 0014xy，故2 2 20 0 0 016 8 0 y k x y k x，解得004xky，又0103ykx，0203ykx，故0 01 2 1 2 0 04 2 1 1 1 1 18y xk k k k k k k x y 1.3 处 理 切 线 的 两 个 常 用 套 路例(2 0 1 2 福 建 理)如 图，椭 圆 2 22 21 0 x yE a ba b：的 左 焦 点 为1F，右 焦 点 为2F，离 心 率12e 过1F 的 直 线 交 椭 圆 于 A、B 两 点，且2A B F 的 周 长 为 8 yxAB1F2FO(1)求 椭 圆 E 的 方 程。(2)设 动 直 线 l y k x m：与 椭 圆 E 有 且 只 有 一 个 公 共 点 P，且 与 直 线 4 x 相 交 于 点 Q 试 探 究：在 坐标 平 面 内 是 否 存 在 定 点 M，使 得 以 P Q 为 直 径 的 圆 恒 过 点 M？若 存 在，求 出 点 M 的 坐 标；若 不 存 在，说 明理 由 解(1)2 214 3x y；(2)法 一 特 殊 值 引 路，先 猜 后 证 法直 线 l 与 椭 圆 联 立：2 2 2(4 3)8 4 12 0 k x k m x m，由 于 直 线 l 与 椭 圆 有 且 只 有 一 个 公 共 点0 0(,)P x y，9 2 0则 0 m，且 0，即2 24 3 0 k m，故0 20 04 44 33k m kxk my k x mm，即4 3,kPm m 易 知 点(4,4)Q k m，假 设 平 面 内 存 在 定 点 M 满 足 条 件，由 图 形 对 称 性 知，点 M 必 在 x 轴 上，取 0 k，3 m，此 时(0,3)P，(4,3)Q，以 P Q 为 直 径 的 圆 为2 2(2)(3)4 x y，并 且 交 x轴 于 点(1,0)、(3,0)；取12k，2 m，此 时31,2P，(4,0)Q，以 P Q 为 直 径 的 圆 为2 25 3 452 4 16x y，并 且 交 x轴 于 点(1,0)、(4,0)；因 此，若 符 合 条 件 的 点 M 存 在，则 M 的 坐 标 必 为(1,0)接 下 来 证 明(1,0)M 就 是 满 足 条 件 的 点：由 于(1,0)M，则4 3 12 121(1 4)0(0 4)3 3 0k k kM P M Q k mm m m m，即 M P M Q，因 此，存 在 定 点(1,0)M，使 得 以 P Q 为 直 径 的 圆 恒 过 点 M 法 二 正 面 求 解，注 意 点 的 设 法！前 面 同 法 一，得 到 点4 3,kPm m，点(4,4)Q k m，假 设 平 面 内 存 在 定 点 M 满 足 条 件，由 图 形 对 称 性 知，点 M 必 在 x 轴 上，不 妨 设(,0)M t，则4 3(4)0(0 4)0kM P M Q t t k mm m，整 理 得：24(1)4 3 0kt t tm，若 使 得 此 式对 任 意 m、k 都 成 立，则 须21 04 3 0tt t，解 得 1 t，因 此，存 在 定 点(1,0)M，使 得 以 P Q 为 直 径 的 圆 恒过 点 M 法 三 利 用 替 换 法 则 快 速 定 位 椭 圆 的 切 线 方 程由 题 意 知，直 线 l 的 斜 率 存 在，因 此，设0 0 0(,)(0)P x y y，直 线 l 为0 0()y y k x x，与 椭 圆 联 立：，由 0，可 得0034xky，即 直 线 l 为：0 014 3x x y y，令 4 x，可 得 点003(1)4,xQy，假 设 平 面 内 存 在 定 点 M 满 足 条 件，由 图 形 对 称 性 知，点 M 必 在 x 轴 上，不 妨 设(,0)M t，则000 0()(4)(0)030(1)M P M Q txyx t y，整 理 得：0(1)(3)0 t t y，故 1 t 注 上 面 三 种 方 法，实 际 上 给 出 了 此 类 相 切 问 题 的 两 个 常 用 套 路：2 2 22 22 2(4 3)8 4 12 01 4 3 04 30k x k m x mx yk my k x m 切 点4 3,kPm m；【以 求 切 点 为 目 标】9 2 120 00 0002()1 304 3414 3y y k x xx x y yxkx yy；【以 求 斜 率 为 目 标】如 果 对 此 套 路 熟 悉 的 话，显 然 就 没 有 必 要 先 猜 后 证 了，直 接 用 法 二 就 可 以 了！此 外，对 于 法 三，后 续 的 计 算 是 很 简 洁 的，但 是“”的 过 程 往 往 会 相 对 很 繁 琐，计 算 量 很 大，但 是，此 法 也 有 一 个 好 处，就 是 化 简 的 答 案 已 事 先 知 道，可 以 及 时 验 证，避 免 计 算 错 误！背 景例(2 0 0 6 全 国 卷 理)在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，有 一 个 以1(0,3)F 和2(0,3)F 为 焦 点、离 心 率 为32的 椭 圆，设 椭 圆 在 第 一 象 限 的 部 分 为 曲 线 C，动 点 P 在 C 上，C 在 点 P 处 的 切 线 与 x、y 轴 的 交 点 分 别为 A、B，且 向 量 O M O A O B 求：(1)点 M 的 轨 迹 方 程；(2)O M 的 最 小 值 解(1)易 得 221 0,04yx x y，即22 1(0 1)y x x，221xyx；(2)设0 0(,)P x y，由 于 点 P 在 第 一 象 限，故20 02 1 y x，0004x xxyy，因 此，切 线 A B 的 方 程 为：0014y yx x，进 而 可 得 点01,0 Ax，040,By 设(,)M x y，由 O M O A O B 可 得：01xx，04yy，代 入22 0014yx，可 得 点 M 的 轨 迹 方 程 为 2 21 41 1,2 x yx y【轨 迹 学 名 叫“圆 椭”！】(2)2 2 2 2224 41 5 4 5 9111O M x y x xxx，当 且 仅 当22411xx，即 3 1 x 时取 等 号，故 O M 的 最 小 值 为 3 注 点 M 的 轨 迹 学 名 叫“圆 椭”，也 可 以 设 切 线 为 y k x m，利 用 套 路 求 解 1.4 切 线配 图例(2 0 0 5 湖 南 文 压 轴、理)已 知 椭 圆 2 22 21 0 x yC a ba b：的 左、右 焦 点 为1 2F F、，离 心 率 为 e 直9 2 2线 l y e x a：与 x 轴、y 轴 分 别 交 于 点 A、B，M 是 直 线 l 与 椭 圆 C 的 一 个 公 共 点，P 是 点1F 关 于 直 线 l 的对 称 点，设 A M A B(1)证 明：21 e；(2)(文)若43，1 2M F F 的 周 长 为 6，写 出 椭 圆 C 的 方 程；(3)确 定 的 值，使 得1 2P F F 是 等 腰 三 角 形 解(1)法 一 利 用 已 知 条 件“M 是 直 线 l 与 椭 圆 C 的 一 个 公 共 点”，再 结 合 所 问，能 猜 到 直 线 l 和 椭圆 C 是 相 切 的，因 此，直 接 联 立 解 方 程 不 会 太 麻 烦！易 得,0aAe，(0,)B a，直 线 l 与 椭 圆 C 联 立，可 解 得2,bM ca，其 中2 2c a b，由 于2a bA M ce a，,aA B ae，代 入 A M A B 可 得：221a ace eebaa 法 二 向 量 坐 标 化，然 后 利 用 坐 标 代 入 法易 得,0aAe，(0,)B a，结 合 A M A B，求 出 点 M 的 坐 标 为(1),aae，然 后 代 入 椭 圆 C：222 2(1)()1aa ea b，即2 22 2(1)11 e e，即4 2 22(1)(1)0 e e，解 得21 e，故21 e 得 证(2)(文)当34 时，12cea，由1 2M F F 的 周 长 为 6，得 2 2 6 a c，解 得 2 a，1 c，23 b，因此，椭 圆 C 为2 214 3x y(3)法 一 因 为1P F l，所 以1 2 190 P F F B A F 为 钝 角，要 使1 2P F F 为 等 腰 三 角 形，必 有1 1 2P F F F，即112P F c，亦 即 点1F 到 直 线 l 的 距 离 为 c，故2 2|()0|1 1e c a a e cce e，即2211eee，解 得213e，即2213e，1 2P F F 是 等 腰 三 角 形 法 二 利 用 对 称 点 公 式 暴 力 求 解先 把 直 线 l 写 成：0 e x y a，故222 2222 2()0 3211 11()0 2(1)0 211 1PPe e c a ex c cee ee c a e ayee e，代 入1 1 2P F F F 可 得：2 22 222 2(3)2(1)41 1e c e ac ce e，两 边 同 时 除 以24 a，化 简 得2 222(1)1eee，解 得213e 9 2 3例(2 0 1 2 安 徽 理)如 图，1(,0)F c、2(,0)F c 分 别 是 椭 圆 2 22 21 0 x yC a ba b：的 左，右 焦 点，过点1F 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 C 的 上 半 部 分 于 点 P，过 点2F 作 直 线2P F 的 垂 线 交 直 线2axc 于 点 Q(1)如 果 点 Q 的 坐 标 为(4,4)；求 此 时 椭 圆 C 的 方 程；(2)证 明：直 线 P Q 与 椭 圆 C 只 有 一 个 交 点 yx O1F2FPQ解(1)(4,4)Q，则24ac，易 得2,bP ca，设 直 线2axc 与 x 轴 交 于 点 M，则22bF Mc，由 题 意 易 得1 2 2tan tan F P F Q F M，即1 21 2F F Q MP F F M，即2 22 4 cb ba c，解 得 2 a，1 c，23 b，故椭 圆 C 的 方 程 为2 214 3x y(2)2,bP ca，设20,aQ yc，则2 22 2 0()0(0)0a bF P F Q c c c yc a，解 得02 y a，即 点 Q 为2,2aQ ac，故222P Qbacaka acc，直 线 P Q 的 方 程 为：22c ay a xa c，即 为cy x aa 直 线 P Q 和 椭 圆 C 联 立：2 22 0 x c x c，解 得 x c，2bya，因 此，直 线 P Q 与 椭 圆 C 只 有 一 个交 点 P 注 对 于 第(1)小 问，由 于 图 形 中 含 有 多 个 直 角 三 角 形，因 此，可 以 优 先 尝 试 使 用 平 几 性 质，简 化 解析 运 算！对 于 第(2)小 问，实 际 上 也 是 常 见 结 论：直 线 y e x a 和 椭 圆 2 22 21 0 x ya ba b 相 切，其 余 性 质，可 以 参 考 本 题 的 条 件 说 明 9 2 41.5 二 次 曲 线 的 替 换 法 则对 于 一 般 的 二 次 曲 线2 20 A x B x y C y D x E y F，用0 x x 代2x，用0y y 代2y，用0 02x y x y 代 x y，用02x x 代 x，用02y y 代 y，即 得 方 程：0 0 0 00 002 2 2x y x y x x y yA x x B C y y D E F 曲 线 的 切 线，切 点 弦，中 点 弦，弦 中 点 方 程 均 可 由 此 方 程 得 到！1.6 点 在 二 次 曲 线 上 的 切 线 方 程已 知 点0 0(,)P x y 在 二 次 曲 线 上，求 过 点0 0(,)P x y 的 切 线 方 程？切 线 是 一 条！根 据 二 次 曲 线 的 形 式 不同，有 四 种 情 况，具 体 分 别 如 下：圆2 2 2x y r 上 一 点0 0(,)P x y 处 的 切 线 方 程 是：20 0 x x y y r；圆2 2 2()()x a y b r 上 一 点0 0(,)P x y 处 的 切 线 方 程 是：20 0()()()()x a x a y b y b r；圆2 20 x y D x E y F 上 一 点0 0(,)P x y 处 的 切 线 方 程 是：0 00 002 2x x y yx x y y D E F 椭 圆 2 22 21 0 x ya ba b 上 一 点0 0(,)P x y 处 的 切 线 方 程 是：0 02 21x x y ya b.双 曲 线 2 22 21 0,0 x ya ba b 上 一 点0 0(,)P x y 处 的 切 线 方 程 是：0 02 21x x y ya b.抛 物 线22 y p x 上 一 点0 0(,)P x y 处 的 切 线 方 程 是0 0()y y p x x 相 关 拓 展：以 下 两 种 情 况 和 上 述 情 况 所 得 出 的 直 线 方 程 是 完 全 一 样 的！已 知 点 0 0,P x y 在 二 次 曲 线 外，过 点0 0(,)P x y 作 二 次 曲 线 的 两 条 切 线，切 点 分 别 是,A B，求 出 切 点弦 A B 所 在 的 直 线 方 程？【极 线 定 理！P 为 极 点，A B 为 极 线，两 者 是 一 对！】已 知 点 0 0,P x y 在 二 次 曲 线 内，过 点0 0(,)P x y 作 一 条 直 线 交 二 次 曲 线 于,A B 两 点，再 以 两 点,A B 为切 点，作 出 两 条 切 线 A M 和 B M，M 为 两 条 切 线 A M 和 B M 的 交 点；类 似 地，过 点0 0(,)P x y 再 作 一 条 直线 交 二 次 曲 线 于,C D 两 点，再 以 两 点,C D 为 切 点，作 出 两 条 切 线 C N 和 D N，N 为 两 条 切 线 C N 和 D N 的交 点；求 出 直 线 M N 的 方 程？两 道 题：例(2 0 1 1 江 西 理 压 轴)若 椭 圆2 22 21x ya b 的 焦 点 在 x 轴 上，过 点11,2 作 圆2 2+=1 x y 的 切 线，切 点 分别 为 A、B，直 线 A B 恰 好 经 过 椭 圆 的 右 焦 点 和 上 顶 点，则 椭 圆 方 程 是 解 利 用 替 换 法 则，易 得 直 线 A B 为：112x y，故 1 c，2 b，椭 圆 方 程 是2 215 4x y 9 2 5例(1)如 图 所 示，内 外 两 个 椭 圆 的 离 心 率 相 同，从 外 层 椭 圆 顶 点 向 内 层 椭 圆 引 切 线 A C、B D，设 内 层椭 圆 方 程 为 2 22 21 0 x ya ba b，若 直 线 A C 与 B D 的 斜 率 之 积 为14，则 椭 圆 的 离 心 率 为()A 12B 22C 32D 34(2)如 图，已 知 A、B 分 别 为 椭 圆 2 22 21 0 x ya ba b 的 右 顶 点 和 上 顶 点，直 线 l A B，l 与 x 轴、y轴 分 别 交 于 C、D 两 点，直 线 C E、D F 为 椭 圆 的 切 线，则 C E 与 D F 的 斜 率 之 积C E D Fk k 等 于()A 22ab B 2 22a ba C 22ba D 2 22a bbABCDyx OABCDyEFOxl解(1)法 一 选 C；不 妨 特 殊 化，设 切 线 B D 关 于 y 轴 的 对 称 切 线 为 B E，令 切 线 A C 和 B E 恰 好 重 合为 切 线 A B，则222114bea，即32e 法 二 设1 1(,)C x y，2 2(,)D x y，外 层 椭 圆 为 2 22 2 2 21 1x ymm a m b，则(,0)A m a，(0,)B m b 椭 圆 在 点 C 处 的 切 线 为：1 12 21x x y ya b，代 入(,0)A m a，可 得1axm，1 211 y bm；椭 圆 在 点 D 处 的 切 线 为：2 22 21x x y ya b，代 入(0,)B m b，可 得2bym，2 211 x am；因 此，2 2 4 4 2 22 1 2 1 22 2 4 4 21 2 1 2211114 11A C B Daab x b x x x b b b m mk k ea y a y a y y a a bbm m，即32e 法 三 设 直 线 A C 为：()y k x m a，利 用 等 效 判 别 式：2 2 2 2 2 2a k b k m a，解 得21A Cbka m；同 理 可 得：21B Db mka，因 此，2 2221 141A C B Db b m bk ka aa m(2)选 C；不 妨 在 第 一 象 限，令 C D 与 该 椭 圆 相 切 于 点 H，则 切 点 F 与 H 关 于 y 轴 对 称，切 点 E 与 H关 于 x 轴 对 称，此 时 有22 C E D Fbk ka 9 2 6例(2 0 1 3 安 徽 文 压 轴)已 知 椭 圆 2 22 21 0 x yC a ba b：的 焦 距 为 4，且 过 点(2,3)P(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)设0 0 0 0(,)(0)Q x y x y 为 椭 圆 C 上 一 点，过 点 Q 作 x 轴 的 垂 线，垂 足 为 E 取 点(0,2 2)A，连 接A E，过 点 A 作 A E 的 垂 线 交 x 轴 于 点 D 点 G 是 点 D 关 于 y 轴 的 对 称 点，作 直 线 Q G，问 这 样 作 出 的 直线 Q G 是 否 与 椭 圆 C 一 定 有 唯 一 的 公 共 点？并 说 明 理 由 解(1)2 218 4x y；(2)这 题 虽 然 是 压 轴 题，但 是，实 际 上 是 送 分 题，直 接 把 条 件 照 着 翻 译 一 下 即 可 易 知0(,0)E x，02 2A Ekx，直 线 A D 为02 22 2xy x，令 0 y，可 得 点08,0 Dx，进 而 可 得点08,0 Gx，故 直 线 Q G 为：000088yy xxxx，即20 0 0(8)(8)x y y x x，又2 20 02 8 x y，故20 0 02(8)y y y x x，即 为0 018 4x x y y（显 然 是 点 Q 处 的 切 线！），将00 082xy xy x 代 入 椭 圆：2 2 2 20 0 0 0(2)16 64 16 0 x y x x x y，化 简 得：2 20 02 0 x x x x，解 得0 x x，则0y y，故 直 线 Q G 与 椭 圆 C 一 定 有 唯 一 的 公 共 点 注 将00 082xy xy x 代 入 椭 圆：2 2 2 20 0 0 0(2)16 64 16 0 x y x x x y，如 果 选 择 验 证 0，显 然，计 算 量 会 大 很 多 的！例(2 0 0 9 安 徽 理)点0 0(,)P x y 在 椭 圆2 22 21(0)x ya ba b 上，0cos x a，0sin y b，02 直线2l 与 直 线0 01 2 21x yl x ya b：垂 直，O 为 坐 标 原 点，直 线 O P 的 倾 斜 角 为，直 线2l 的 倾 斜 角 为(1)证 明：点 P 是 椭 圆2 22 21x ya b 与 直 线1l 的 唯 一 交 点；(2)证 明：tan、tan、tan 构 成 等 比 数 列 分 析 本 题 的 难 点 是 第(1)问，估 计 多 数 学 生 会 用“0”去 证 明，即 使 利 用 等 效 判 别 式，计 算 量 也会 很 感 人，因 此，不 能 死 记 公 式，要 根 据 题 目 灵 活 分 析，选 择 合 适 的 解 法 证 明(1)法 一 由0 02 21x yx ya b 得220 20()by a x xa y，代 入 椭 圆 可 得：9 2 72 2 2 22 0 02 4 2 2 20 0 02 11 0b x b x bx xa a y a y y 将00cossinx ay b 代 入 上 式：2 2 22 cos cos 0 x a x a，解 得 cos x a，因 此，方 程 组2 22 20 02 211x ya bx yx ya b 有 唯 一 解00 x xy y，即 直 线1l 与 椭 圆 有 唯 一 交 点 P 法 二 显 然 P 是 椭 圆 与1l 的 交 点，若 Q(cos,sin)(0 2)a b 是 椭 圆 与1l 的 交 点，代 入1l 的 方 程cos sin1 x ya b，得 cos cos sin sin 1，即 cos()1，由 于 02，故，即 P 与Q 重 合 法 三 在 第 一 象 限 内，由2 22 21x ya b 可 得：2 2by a xa，2 20