高中数学双曲线经典例题分类指导.docx

高中数学双曲线经典例题分类指导中学数学双曲线经典例题分类指导 本文关键词：双曲线，例题，中学数学，指导，经典中学数学双曲线经典例题分类指导 本文简介：例题定义类1，已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要留意是否满意，二要留意是一支还是两支，的轨迹是双曲线的右支.其方程为2双曲线的渐近线为，则离心率为点拨：当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，3某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听中学数学双曲线经典例题分类指导 本文内容：例题定义类1，已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要留意是否满意，二要留意是一支还是两支，的轨迹是双曲线的右支.其方程为2双曲线的渐近线为，则离心率为点拨：当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，3某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s:相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解析如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|PA|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，ABCPOxy依题意得a=680,c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型”4设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（）AB12CD24解析：又由、解得直角三角形，故选B。5如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（）A9B16C18D27解析，选C6.P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（）（A）（B）（C）（D）解析设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知，7，若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）A.B.C.D.【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为，故选A.求双曲线的标准方程1已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组解析解法一：设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.解法二：设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；解析设双曲线方程为，当时，化为，当时，化为，综上，双曲线方程为或3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解析抛物线的焦点为，设双曲线方程为，双曲线方程为4.已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为ABC（x>0）D解析，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B与渐近线有关的问题1若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系解析焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程2.双曲线的渐近线方程是()A.B.C.D.解析选C3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）ABCD解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B4，过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.依据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.5设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为，直线CD：y=m.代入（1）：.故有：.取双曲线右顶点.那么：.即CBD=90°.同理可证：CAD=90°.几何1设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）ABC.D【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知PF1F2是直角三角形，F1PF2=90°.选B.求弦1双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）A.B.C.D.【解析】设弦的两端分别为.则有：.弦中点为（2，1），.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.“设而不求”详细含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必需经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：2在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？假如存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.假如不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.换远（压轴题）1如图，点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.（）求双曲线的标准方程；（）若过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，设，当时，求直线的斜率的取值范围.【分析】第（）问中，线段PF的中点M的坐标是主要变量，其它都是协助变量.留意到点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向第（）中，直线的斜率是主要变量，其它包括都是协助变量.斜率的几何意义是有关直线倾斜角的正切，所以设置直线的参数方程，而后将参数用的三角式表示，是一个不错的选择.【解析】（）设所求双曲线为：.其左焦点为F（-c。0）；左准线：.由，得P（，1）；由FP的中点为.代入双曲线方程：依据（1）与（2）.所求双曲线方程为.（）设直线的参数方程为：.代入得：当，方程（3）总有相异二实根，设为.已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，.于是：.留意到在上是增函数，（4）代入（5）：双曲线的渐近线斜率为，故直线与双曲线的左右两支分别交必需.综合得直线的斜率的取值范围是.练习题1已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论解(1)如图，设双曲线方程为=1由已知得,解得a2=9,b2=12所以所求双曲线方程为=1(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2)则有，kl=l的方程为y=(x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0=164×280,所求直线l不存在2已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。错解设符合题意的直线存在，并设、则（1）得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将(4)、(5)代入（3）得若，则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在。其方程为剖析在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。应在上述解题的基础上，再由得依据,说明所求直线不存在。3已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？解：（1）设直线AB：代入得（）令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根且N是AB的中点k=1AB方程为：y=x+1（2）将k=1代入方程（）得或由得，CD垂直平分ABCD所在直线方程为即代入双曲线方程整理得令，及CD中点则，|CD|=，即A、B、C、D到M距离相等A、B、C、D四点共圆4.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程解析（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，（2）设渐近线与直线交于A、B，则，解得即，又，双曲线的方程为5.已知是双曲线的左，右焦点,点是双曲线右支上的一个动点,且的最小值为,双曲线的一条渐近线方程为.求双曲线的方程;解析,.的一条渐进线方程为，又由得6.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（）求双曲线C的方程（）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得故双曲线的方程为.（2）将代入得由直线与双曲线交与不同的两点得即且.设，则，由得，而.于是，即解此不等式得由+得故的取值范围为7已知双曲线C：的两个焦点为，点P是双曲线C上的一点，且（1）求双曲线的离心率；（2）过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于两点，若，求双曲线C的方程（1）设，则，（2）由（1）知，故，从而双曲线的渐近线方程为，依题意，可设，由，得由，得，解得点在双曲线上，又，上式化简得由，得，从而得故双曲线C的方程为XOY5-52·8已知动圆与圆C1:(x+5)2+y2=49和圆C2：(x-5)2+y2=1都外切，（1）求动圆圆心P的轨迹方程。解：（1）从已知条件可以确定圆C1、C2的圆心与半径。两圆外切可得：两圆半径和圆心距动圆半径r,依题意有7r|PC1|,1r|PC2|，两式相减得：|PC1|PC2|6|C1C2|。由双曲线定义得：点P的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支。（x3）（2）若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是（双曲线右支）若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是（双曲线左支）若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹是。（两定圆连心线的垂直平分线）18已知直线与双曲线交于、点。（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，恳求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）由消去，得（1）依题意即且（2）（2）设，则以AB为直径的圆过原点但由（3）（4），解得且满意（2）（3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直，即直线的方程为将代入（3）得AB中点的横坐标为2纵坐标为但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。9(1)椭圆C:(ab0)上的点A(1,)到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程;(2)设K是(1)中椭圆上的动点,F1是左焦点,求线段F1K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，P是椭圆上随意一点,当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPM、kPN时，那么是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。解：(1)(2)设中点为(x,y),F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上T(3)设M(x1,y1),N(-x1,-y1),P(xo,yo),xox1则为定值.10.已知双曲线方程为与点P(1,2),（1）求过点P（1，2）的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。(2)过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，求直线AB的方程；（3）是否存在直线，使Q（1，1）为被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0(*)()当2k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点()当2k20,即k±时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k,又k±,故当k或k或k时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.当0，即k时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当k,或k,或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C没有交点.（2）假设以P为中点的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=42(x1x2)=y1y1即kAB=1但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：.(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.11已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论解(1)如图，设双曲线方程为=1由已知得,解得a2=9,b2=12所以所求双曲线方程为=1(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2)则有，kl=l的方程为y=(x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0=164×280,所求直线l不存在12已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。错解设符合题意的直线存在，并设、则（1）得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将(4)、(5)代入（3）得若，则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在。其方程为剖析在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。应在上述解题的基础上，再由得依据,说明所求直线不存在。1.解：（1）易知（2）先探究，当m=0时，直线Lox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N,且猜想：当m改变时，AE与BD相交于定点证明：设，当m改变时首先AE过定点NKAN=KENA、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线AE与BD相交于定点(文)解：（1）易知（2）(文)设KAN=KENA、N、E三点共线2.解：（1）NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆且椭圆长轴长为曲线E的方程为（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得由设又整理得又又当直线GH斜率不存在，方程为即所求的取值范围是3.解：设Q（x0，0），由F（-c，0）（0，b）知设，得因为点P在椭圆上，所以整理得2b2=3ac，即2(a2c2)=3ac，,故椭圆的离心率e=由知，于是F（a，0），QAQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a所以，解得a=2，c=1，b=，所求椭圆方程为第27页 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