课时规范练59 二项式定理.docx
课时规范练59二项式定理基础巩固组1.(2021山东泰安模拟)1-3x2(1+x)5的展开式中x2项的系数为()A.5B.10C.-10D.-5答案:D解析:1-3x2(1+x)5=(1+x)5-3x2×(1+x)5,则x2项的系数为C52-3C54=-5,故选D.2.3x-1x6的展开式中有理项的项数为()A.0B.1C.2D.3答案:C解析:3x-1x6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r3(-1)rx-r2=(-1)rC6rx12-5r6,当x的指数是整数时为有理项,所以当r=0或r=6时为有理项,故选C.3.(2021广东模拟)(x+2)(1x-1)5的展开式的常数项是()A.-3B.-2C.2D.3答案:D解析:(x+2)1x-15=x1x-15+21x-15,常数项是C54×(-1)4+2×C55×(-1)5=3,故选D.4.(2021广东茂名二模)(yx-3xy)5的展开式中1xy的系数为()A.15B.-15C.10D.-10答案:D解析:Tr+1=C5ryx5-r(-3xy)r=(-1)rC5rx4r3-5y5-2r,令4r3-5=-1,5-2r=-1,解得r=3,所以展开式中1xy的系数为(-1)3C53=-10.故选D.5.(2021河北张家口模拟)(x+2y-3z)5的展开式中所有不含y的项的系数之和为()A.-32B.-16C.10D.64答案:A解析:(x+2y-3z)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(x-3z)5-r(2y)r.若展开式中的项不含y,则r=0,此时符合条件的项为(x-3z)5展开式中的所有项.令x=z=1,得这些项的系数之和为(-2)5=-32.故选A.6.若(x6+1xx)n的展开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.3B.4C.5D.6答案:C解析:由题意(x6+1xx)n的展开式的通项为Tr+1=Cnr(x6)n-r·1xxr=Cnrx6n-6r-32r=Cnrx6n-152r,令6n-152r=0 ,得n=54r,当r=4 时,n取到最小值5.故选C.7.(2021广东湛江二模)(1+3x)2+(1+2x)3+(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3+a4=()A.49B.56C.59D.64答案:C解析:令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(1+3)2+(1+2)3+(1+1)4=59.故选C.8.(2021上海,6)已知二项式(x+a)5展开式中,x2项的系数为80,则实数a=. 答案:2解析:由已知有C53a3=80,解得a=2.9.(2021安徽桐城模拟)x(a-x)5的展开式中x3的系数为-1 250,则实数a=. 答案:-5解析:x(a-x)5展开式中x3的系数为C52×a3×(-1)2=10a3=-1 250,解得a=-5.10.(2020浙江,12)二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4=,a1+a3+a5=. 答案:80122解析:由题意可知a4表示x4的系数,即a4=C54·24=80;当x=1时,a0+a1+a2+a3+a4+a5=35,当x=-1时,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,-得2(a1+a3+a5)=35+1.所以a1+a3+a5=122.综合提升组11.(2021广东韶关一模)已知(1+x)10=a0+a1(2+x)+a2(2+x)2+a10(2+x)10,则a9=()A.-10B.10C.-45D.45答案:A解析:(1+x)10=1-(2+x)10=a0+a1(2+x)+a2(2+x)2+a10(2+x)10,则Tr+1=C10r-(2+x)r,a9=C109(-1)9=-10.故选A.12.已知nN+,设5x2-1xn的展开式的各项系数的和为M,二项式系数的和为N,若M-N=992,则展开式中x的系数为()A.-250B.250C.-500D.500答案:A解析:5x2-1xn的展开式取x=1得到M=4n,二项式系数的和为N=2n,M-N=4n-2n=992,解得n=5,Tr+1=C5r(5x2)5-r-1xr=C5r55-rx10-3r(-1)r,取r=3,则展开式中x的系数为-250,故选A.13.若a0x2 016+a1x2 015(1-x)+a2x2 014(1-x)2+a2 016(1-x)2 016=1,则a0+a1+a2+a2 016的值为()A.1B.0C.22 016D.22 015答案:C解析:1=x+(1-x)2 016=C2 0160x2 016+C2 0161x2 015(1-x)+C2 0162 016(1-x)2 016,a0+a1+a2 016=C2 0160+C2 0161+C2 0162 016=22 016.故选C.14.(2021广东江门一模)在展开式(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+anxn(nN+)中,所有项的二项式系数之和为64,则a1+a2+an=. 答案:0解析:由已知条件可知二项式系数和为2n=64,可得n=6,令f(x)=(2x-1)6,则a1+a2+an=a1+a2+a6=f(1)-f(0)=1-1=0.故答案为0.15.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律,最早在中国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中出现.如下图,在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中,第10行中从左至右第5与第6个数的比值为. 答案:56解析:由题意第10行的数就是(a+b)10的展开式中各项的二项式系数,因此从左至右第5与第6个数的比值为C104C105=56.16.已知在(3x2+3x2)n的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992,则展开式中系数最大的项为. 答案:405x263解析:(3x2+3x2)n展开式各项系数的和为(312+3×12)n=4n;二项式系数的和为2n.又各项系数的和比二项式系数的和大992,所以4n-2n=992,即(2n)2-2n-992=0,解得2n=32,所以n=5,设第r+1项的系数为tr+1,则tr+1=C5r3r,由tr+1tr+2,tr+1tr,即C5r3rC5r+13r+1,C5r3rC5r-13r-1,解得72r92,又rN,所以r=4,展开式系数最大项为C5434x263=405x263.创新应用组17.在(3x-1x)n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之和为128,则下列选项不正确的是()A.二项式系数和为64B.各项系数和为64C.常数项为-135D.常数项为135答案:C解析:在(3x-1x)n的展开式中,二项式系数和为2n,令x=1,得各项系数和为2n,由题意得2×2n=128,得n=6,即二项式系数和及各项系数和都为64.(3x-1x)6展开式的通项为Tk+1=C6k·(3x)6-k·(-1x)k=C6k·(-1)k36-k·x6-32k,令6-32k=0,得k=4,因此,展开式中的常数项为T5=C64·(-1)4·32=135.故选C.18.在x12xn的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,则系数最小的项是()A.第6项B.第5项C.第4项D.第3项答案:C解析:由题意x12xn的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,故n=8,二项式展开式的通项为Tr+1=C8r(x)8-r·-12r(x)-r=-12rC8r(x)8-2r.要使得系数最小,则r为奇数,当r=1时,-12×C81=-4,当r=3时,-123×C83=-7,当r=5时,-125×C85=-74,当r=7时,-127×C87=-116,故当r=3时,系数最小,则系数最小的项是第4项,故选C.19.(2021广东汕头二模)(x+1x-2)5展开式的常数项为. 答案:-252解析:(方法1)当x>0时,(x+1x-2)5=(x-1x)10,Tr+1=C10r(x)10-r(-1x)r=(-1)rC10r(x)10-2r,当r=5时,常数项为-C105=-252;当x<0时,(x+1x-2)5=-(-x+1-x)10,同理可得常数项为-C105=-252.(方法2)(x+1x-2)5=x+1x-2x+1x-2x+1x-2x+1x-2x+1x-2,要得到常数项有以下方式:(1)5个式子都取-2相乘得(-2)5=-32;(2)5个式子取1个x,余下的取1个1x,再余下的都取-2得C51C41C33(-2)3=-160;(3)5个式子取2个x,余下的取2个1x,再余下的都取-2得C52C32C11(-2)1=-60.所求常数项为(-32)+(-160)+(-60)=-252.
