2023年高考数学圆锥曲线复习题附答案.pdf

2023年 高 考 圆 锥 曲 线 复 习 题 1.已 知 抛 物 线 C：2 p x(p 0)的 焦 点 为 点 F,P 为 C 上 一 点，若 点 P 到 原 点 的 距 离 与 3点 P 到 点 F 的 距 离 都 是 一.2(1)求 C 的 标 准 方 程；(2)动 点 M 在 抛 物 线 C上，且 在 直 线 x=2 的 右 侧，过 点 M 作 椭 圆 E：+*=1的 两 条 切 线 分 别 交 直 线 x=-2 于 4,8 两 点.当 依 8|=10时，求 点 M 的 坐 标.【分 析】(1)不 妨 取 点 P 在 第 一 象 限，设 P(xo,J 布)，结 合 抛 物 线 的 定 义 和 勾 股 定 理，即 可 得 解；(2)不 妨 设 kMA=k,kMB=k2,A(xi,y i),B(X2,”)，M t2,2 t)(t V 2),写 出 过 点 M 的 切 线 方 程，并 将 其 与 椭 圆 的 方 程 联 立，再 结 合 韦 达 定 理 和 弦 长 公 式，即 可 得 解.【解 答】解：(1)不 妨 取 点 P 在 第 一 象 限，设 P(xo,J2p%o),由 抛 物 线 的 定 义 知，|PQ=xo+%家 r 9由 勾 股 定 理 知，|OPr=x l+2pxo=联 立 上 述 两 个 方 程，消 去 刈 可 得，p2-2p=0,解 得 p=2或 0,因 为 p 0,所 以 p=2,故 C 的 标 准 方 程 为)?=4工(2)不 妨 设 kMA=A I,kMB=ki,A(xi,y i),B(%2,y2),M(t2,2 t)(t V 2).设 过 点 M 作 椭 圆 的 切 线 方 程 为)，=&(x-/2)+2t，1=4X2y_3-+2y/_4/)l立 联 得(3+4 r)x2+Sk(2/-?左)1+4(2/-P 左)2-12=0,由=(),得(r4-4)F-4 m 4?-3=0,第 1 页 共 4 页所 以 卜 1+卜 2=计 1 卜#2 4,在 中 令 x=-2,得 y=-(A2)k+2t,所 以|AB|=|yx-y2l=(t2+2)1-fc2|=(+2)V(fcx+k2)2-4kxk2-2|2J3t4+攻 2-12_(+2)一 百 不=10,解 得 P=4,所 以 点 M 的 坐 标 为(4,4).【点 评】本 题 考 查 抛 物 线 的 定 义 与 几 何 性 质，直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，考 查 数 形 结 合 思 想、逻 辑 推 理 能 力 和 运 算 能 力，属 于 中 档 题.2.根 据 下 列 条 件 写 出 抛 物 线 的 标 准 方 程：(1)焦 点 到 准 线 的 距 离 是 5；(2)焦 点 尸 在 y 轴 上，点 A(/n,-2)在 抛 物 线 上，且|AQ=3.【分 析】(1)首 先 求 得 p 的 值，然 后 结 合 抛 物 线 的 类 型 即 可 确 定 其 标 准 方 程；(2)首 先 设 出 抛 物 线 的 方 程，然 后 由 抛 物 线 的 定 义 确 定 p 的 值 即 可 求 得 抛 物 线 方 程.【解 答】解：(1)由 题 意 知 p=5,则 2P=10,因 为 没 有 说 明 焦 点 所 在 坐 标 轴 和 开 口 方 向，所 以 四 种 类 型 的 抛 物 线 都 有 可 能，故 方 程 为 y2=i0 x 或/=-10 x 或 7=10)，或/=-10y.(2)由 题 意 可 设 抛 物 线 的 标 准 方 程 为/=-2py(p0)由 忸 用=3,得+2=3,所 以 p=2,所 以 抛 物 线 的 标 准 方 程 为-4y.【点 评】本 题 主 要 考 查 抛 物 线 方 程 的 求 解，分 类 讨 论 的 数 学 思 想 等 知 识，属 于 基 础 题.x23.己 知 椭 圆-7+y2=i(1)的 左 顶 点 为 A,上 顶 点 为 8,右 焦 点 为 尸.(1)若 SAAB/=2，求。的 值;(2)点 P 在 椭 圆 上，且 在 第 二 象 限 内，线 段 A P 的 垂 直 平 分 线 交 y 轴 于 点 Q.若 APQ为 正 三 角 形，求 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围.【分 析】(1)根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 S=：X(q+c)X b,即 可 求 得。的 值；第 2 页 共 4 页（2）设 直 线 A P 的 方 程，代 入 椭 圆 方 程，利 用 韦 达 定 理 及 中 点 坐 标 公 式，即 可 求 得 P 点 坐 标 及 M 点 坐 标，即 可 求 得 A尸 的 垂 直 平 分 线 的 方 程，当 x=0,求 得。点 坐 标，根 据 两 点 之 间 的 距 离 公 式 可 得|4。|2=4忸 例|2,即 可 求 得“4=3,P 在 第 二 象 限，则 人 即 可 求 得 的 取 值 范 围，根 据 椭 圆 的 离 心 率 公 式 即 可 求 得 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围.【解 答】解：（1）由 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上，b=,=I,i Q _ r ABF 的 面 积 S=)x(a+c)XZ?=),则 a+7a 1=3,解 得：4=3-a的 值*(2)设 P(X,y),x0,A(-a,0),B(0,1),设 AP 的 中 点 M(xo,yo)由 P 在 第 二 象 限，则 显 然 直 线 A P 的 斜 率 存 在，设 直 线 A P 的 方 程：y=k（x+a）,y=fc(x+a)整 理 得：(i+J必)f+2/必 x+J必 _/=o,+azyz=0解 得：x=-a,x=一。(。2 寸),l+a2ra3 k2即 M(匕 3,1+a2d由 中 点 坐 标 公 式 可 得 xo=-a3k2)=kaka1+a2k2)则 直 线 A P 的 方 程 垂 直 方 程:y一 kal+a2k2告）令 x=。,则 尸 序 a3k _.2)1+a2k2 1+a2k2则。（0,ka(l-a2)l+a2k2）则 皿 2=办 2 黑 炉 则 H M 2 王 熹+小（kal+a2k22_ a2(l+fc2)一(1+次 必)2由 APQ为 正 三 角 形，则|AQ|2=4|AM|2，小 仁 2a2（：一 口 二 小（l+a2fc）1 1 1整 理 得：4%2=3,由 攵 解 得：/3,则 我 Q2(1+必)(1+a2 k2产 由 椭 圆 的 离 心 率 e=?=V6y/6椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围（0,y）.【点 评】本 题 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程，直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，考 查 韦 达 定 理，中 点 坐 标 公 式，椭 圆 的 离 心 率 公 式，考 查 计 算 能 力，属 于 中 档 题.第 3 页 共 4 页第 4 页 共 4 页