2023年高考真题——文科数学(全国Ⅲ卷)+含解析.pdf

绝 密 启 用 前 2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(新 课 标 m)文 科 数 学【试 卷 点 评】【命 题 特 点】2023年 新 课 标 i n 高 考 数 学 试 卷，试 卷 内 容 上 表 达 新 课 程 理 念，贴 近 中 学 数 学 教 学，坚 持 对 根 底 知 识、根 本 技 能 以 及 数 学 思 想 方 法 的 考 查。在 保 持 稳 定 的 根 底 上，实 行 适 度 的 改 革 和 创 新。2023年 的 数 学 试 卷“以 稳 为 主”试 卷 结 构 平 稳，同 时 题 目 平 和、无 偏 怪 题，难 度 控 制 理 想。“稳 中 求 进”试 卷 考 查 的 具 体 知 识 点 有 变 化。1、回 归 教 材，注 重 根 底 2 023年 新 课 标 H I 卷 遵 循 了 考 查 根 底 知 识 为 主 体 的 原 那 么，尤 其 是 考 试 说 明 中 的 绝 大 局 部 考 点，选 择 题、填 空 题 考 查 了 复 数、三 角 函 数、折 线 图、概 率、解 析 几 何、向 量、框 图、线 性 规 划 等 考 点，绝 大 局 部 属 于 常 规 题 型，是 学 生 在 平 时 训 练 中 常 见 的 类 型。同 时，在 立 体 几 何、导 数 等 题 目 上 实 行 了 一 些 微 创 新，与 实 际 相 联 系，这 些 题 目 的 设 计 回 归 教 材 和 中 学 教 学 实 际。2、适 当 设 置 题 目 难 度 与 区 分 度 与 往 年 课 标 I I I卷 相 比 照，今 年 的 难 度 设 置 在 最 后 21题。尤 其 以 选 择 题 第 1 2题 和 填 空 题 第 16道，只 要 能 认 真 分 析，解 决 此 问 题 的 是 不 成 问 题。3、布 局 合 理，考 查 全 面，着 重 数 学 方 法 和 数 学 思 想 的 考 察 在 解 答 题 局 部，对 高 中 数 学 中 的 重 点 内 容 时 行 了 考 查。包 括 三 角 函 数、立 体 几 何、概 率 统 计、解 析 几 何、导 数 五 大 版 块 和 二 选 一 问 题。以 知 识 为 载 体，立 意 于 水 平，让 数 学 方 法 和 数 学 思 统 方 式 贯 穿 于 整 个 试 题 的 解 答 过 程 之 中。4、命 题 考 察 的 沿 续 性 2 023年 新 课 标 I I I卷，在 力 求 创 新 根 底 上，也 有 一 些 不 变 的 东 西。例 如 2 02 3年 新 课 标 H I 卷 在 集 合、复 数、算 法、线 性 规 划 的 命 题 方 式 根 本 完 全 一 致。【试 卷 解 析】一、选 择 题：本 大 题 共 12小 题，每 题 5 分，共 60分。在 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 为 哪 一 项 符 合 题 目 要 求 的。1.集 合 A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,那 么 A B 中 元 素 的 个 数 为()A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】B【解 析】山 题 意 可 得：A(5=2,4,A B 中 元 素 的 个 数 为 2,所 以 选 B.【考 点】集 合 运 算【名 师 点 睛】集 合 的 根 本 运 算 的 注 重 点(1)看 元 素 组 成.集 合 是 由 元 素 组 成 的，从 研 究 集 合 中 元 素 的 构 成 入 手 是 解 决 集 合 运 算 问 题 的 前 提.(2)有 些 集 合 是 能 够 化 简 的，先 化 简 再 研 究 其 关 系 并 实 行 运 算，可 使 问 题 简 单 明 了，易 于 解 决.(3)注 意 数 形 结 合 思 想 的 应 用，常 用 的 数 形 结 合 形 式 有 数 轴、坐 标 系 和 Venn图.2.复 平 面 内 表 示 复 数 z=i(-2+i)的 点 位 于()A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限【答 案】C【解 析】由 题 意：Z=l 2 i,在 第 三 象 限.所 以 选 C.【考 点】复 数 运 算【名 师 点 睛】首 先 对 于 复 数 的 四 那 么 运 算，要 切 实 掌 握 其 运 算 技 巧 和 常 规 思 路，如(a+b ic+di)-(ac-b d)+(ad+bc)i,(a,b,Cjd e R).其 次 要 熟 悉 复 数 相 关 根 本 概 念，如 复 数。+尻(a/e R)的 实 部 为。、虚 部 为 力、模 为 J 2+、对 应 点 为(“,切、共 辗 为 a 加.3.某 城 市 为 了 解 游 客 人 数 的 变 化 规 律，提 升 旅 游 效 劳 质 量，收 集 并 整 理 了 2023年 1 月 至 2023年 1 2月 期 间 月 接 待 游 客 量(单 位：万 人)的 数 据，绘 制 了 下 面 的 折 线 图.月 接 待 游 客 量(万 人)根 据 该 折 线 图，以 下 结 论 错 误 的 选 项 是()A.月 接 待 游 客 逐 月 增 加 B.年 接 待 游 客 量 逐 年 增 加 C.各 年 的 月 接 待 游 客 量 顶 峰 期 大 致 在 7,8月 D.各 年 1 月 至 6 月 的 月 接 待 游 客 量 相 对 于 7 月 至 1 2月，波 动 性 更 小，变 化 比 较 平 稳【答 案】A【解 析】由 折 线 图，8 月 份 后 月 接 待 游 客 量 减 少，A 错 误；年 接 待 游 客 量 逐 年 增 加；各 年 的 月 接 待 游 客 量 高 峰 期 大 致 在 7,8月；各 年 1月 至 6月 的 月 接 待 游 客 量 相 对 于 7月 至 12月，波 动 性 更 小，变 化 比 校 平 稳 所 以 选 A.【考 点】折 线 图名 师 点 睛】用 样 本 估 计 总 体 时 统 计 图 表 主 要 有 1.频 率 分 布 直 方 图,(特 点：频 率 分 布 直 方 图 中 各 小 长 方 形 的 面 积 等 于 对 应 区 间 概 率，所 有 小 长 方 形 的 面 积 之 和 为 1)；2.频 率 分 布 折 线 图：连 接 频 率 分 布 直 方 图 中 各 小 长 方 形 上 端 的 中 点，就 得 到 频 率 分 布 折 线 图.3.茎 叶 图.对 于 统 计 图 表 类 题 目，最 重 要 的 是 认 真 观 察 图 表，从 中 提 炼 有 用 的 信 息 和 数 据.44.s in a-c o s a=，那 么 s in 2 a=()37 2 2 7A.-B.-C.-D.一 9 9 9 9【答 案】A【解 析】sin2a=2 sin a c o sa s m：a)79所 以 选 A.【考 点】二 倍 角 正 弦 公 式【名 师 点 睛】应 用 三 角 公 式 解 决 问 题 的 三 个 变 换 角 度 变 角：目 的 是 沟 通 题 设 条 件 与 结 论 中 所 涉 及 的 角，其 手 法 通 常 是“配 凑(2)变 名：通 过 变 换 函 数 名 称 到 达 减 少 函 数 种 类 的 目 的，其 手 法 通 常 有“切 化 弦”、升 暴 与 降 W 等.变 式：根 据 式 子 的 结 构 特 征 实 行 变 形，使 其 更 贴 近 某 个 公 式 或 某 个 期 待 的 目 标，其 手 法 通 常 有：常 值 代 换、逆 用 变 用 公 式、通 分 约 分、分 解 与 组 合、配 方 与 平 方”等.3x+2 y-6 4 05.设 x,y 满 足 约 束 条 件 0,那 么 z=x-y 的 取 值 范 围 是()”0A.-3,0 B.-3,2 C.0,2 D.0,3【答 案】B【解 析】绘 制 不 等 式 组 表 示 的 可 行 域，结 合 目 标 函 数 的 几 何 意 义 可 得 函 数 在 点 4(0.3)处 取 得 最 小 值 z=0-3=-3.在 点 3(2,0)处 取 得 最 大 值 z=2-0=2.所 以 选 B.【考 点】线 性 规 划【名 师 点 睛】点 睛：线 性 规 划 的 实 质 是 把 代 数 问 题 几 何 化，即 数 形 结 合 的 思 想.需 要 注 意 的 是:一，准 确 无 误 地 作 出 可 行 域；二，画 目 标 函 数 所 对 应 的 直 线 时，要 注 意 与 约 束 条 件 中 的 直 线 的 斜 率 实 行 比 较，防 止 出 错；三，一 般 情 况 下，目 标 函 数 的 最 大 或 最 小 值 会 在 可 行 域 的 端 点 或 边 界 上 取 得.6.函 数/(xxlsimx+S+cosCv-m)的 最 大 值 为()【答 案】A【解 析】由 诱 导 公 式 可 得：8 s7 1x cos-1 X-SID X-,_2 I 3 j I 3)则:4 卜+35 I 3；7 1/(x)=-s ifi|x+sin xdI 3；3函 数 的 最 大 值 为 1.所 以 选 A.【考 点】三 角 函 数 性 质【名 师 点 睛】三 角 恒 等 变 换 的 综 合 应 用 主 要 是 将 三 角 变 换 与 三 角 函 数 的 性 质 相 结 合，通 过 变 换 把 函 数 化 为 y=Asin（wx+e）+3 的 形 式 再 借 助 三 角 函 数 图 象 研 究 性 质，解 题 时 注 意 观 察 角、函 数 名、结 构 等 特 征.A B【答 案】D【解 析】当 x=l时，1)=1+1+如 1=2+痴 12,故 排 除 4 1 当 工-用 口 寸，y-1+x,故 排 除 B,满 足 条 件 的 只 有 D,故 选 D.【考 点】函 数 图 像【名 师 点 睛】(1)使 用 函 数 性 质 研 究 函 数 图 像 时，先 要 准 确 理 解 和 把 握 函 数 相 关 性 质 本 身 的 含 义 及 其 应 用 方 向.(2)在 使 用 函 数 性 质 特 别 是 奇 偶 性、周 期、对 称 性、单 调 性、最 值、零 点 时，要 注 意 用 好 其 与 条 件 的 相 互 关 系，结 合 特 征 实 行 等 价 转 化 研 究,如 奇 偶 性 可 实 现 自 变 量 正 负 转 化，周 期 可 实 现 自 变 量 大 小 转 化，单 调 性 可 实 现 去“/，即 将 函 数 值 的 大 小 转 化 自 变 量 大 小 关 系 8.执 行 下 面 的 程 序 框 图，为 使 输 出 S的 值 小 于 91,那 么 输 入 的 正 整 数 N 的 最 小 值 为()A.5 D.2【答 案】D【解 析】假 设 N=2,第 一 次 进 入 循 环,142成 立,S=100,M牌=-10,i=22 成 立，第 二 次 进 入 循 环，此 时 5=100 10=90,=需=1,i=3 W 2 不 成 立，所 以 输 出 S=9091成 立，所 以 输 入 的 正 整 数 N 的 最 小 值 是 2,应 选 D.【考 点】循 环 结 构 流 程 图【名 师 点 睛】算 法 与 流 程 图 的 考 查，侧 重 于 对 流 程 图 循 环 结 构 的 考 查.先 明 晰 算 法 及 流 程 图 的 相 关 概 念，包 括 选 择 结 构、循 环 结 构、伪 代 码，其 次 要 重 视 循 环 起 点 条 件、循 环 次 数、循 环 终 止 条 件，更 要 通 过 循 环 规 律，明 确 流 程 图 研 究 的 数 学 问 题，是 求 和 还 是 求 项.9.圆 柱 的 高 为 1,它 的 两 个 底 面 的 圆 周 在 直 径 为 2 的 同 一 个 球 的 球 面 上，那 么 该 圆 柱 的 体 积 为 C.一 2D,4【答 案】B【解 析】如 果，画 出 圆 柱 的 轴 截 面,A C=l,A B=-,所 以 r=B C=也，那 么 圆 柱 的 体 积 是 V=乃 产=乃、2 2Xl=-7T,4应 选 B.【考 点】圆 柱 体 积【名 师 点 睛】涉 及 球 与 棱 柱、棱 锥 的 切、接 问 题 时，一 般 过 球 心 及 多 面 体 中 的 特 殊 点（一 般 为 接、切 点）或 线 作 截 面，把 空 间 问 题 转 化 为 平 面 问 题，再 利 用 平 面 几 何 知 识 寻 找 几 何 体 中 元 素 间 的 关 系，或 只 画 内 切、外 接 的 几 何 体 的 直 观 图，确 定 球 心 的 位 置，弄 清 球 的 半 径（直 径）与 该 几 何 体 量 的 关 系，列 方 程（组）求 解.10.在 正 方 体 ABC。A 4 G 2 中，E为 棱 CD的 中 点，那 么（）A.B.AiE-LBD C.A,E L B CX D.AE-LAC【答 案】C【解 析】根 据 三 垂 线 逆 定 理，平 面 内 的 线 垂 直 平 面 的 斜 线，那 也 垂 直 于 斜 线 在 平 面 内 的 射 影，A.若 率 L D Q,那 么 A E L D G，很 显 然 不 成 立；B.若 4 E L B D,那 么 显 然 不 成 立；C.若 4 E J L 3 G，那 么 B G J-B iC,成 立，反 过 来 3 G J用 C时，也 能 推 出 3 G 所 以 c 成 立，D.若 A f i L A C,则 空 _ L/C,显 然 不 成 立，故 选 C.【考 点】线 线 位 置 关 系【名 师 点 睛】垂 直、平 行 关 系 证 明 中 应 用 转 化 与 化 归 思 想 的 常 见 类 型.证 明 线 面、面 面 平 行，需 转 化 为 证 明 线 线 平 行.证 明 线 面 垂 直，需 转 化 为 证 明 线 线 垂 宜.证 明 线 线 垂 宜，需 转 化 为 证 明 线 面 垂 直.x2 y211.椭 圆 C：+7T=1,(ab0)的 左、右 顶 点 分 别 为 4,4，且 以 线 段 4/为 直 径 的 圆 a b与 直 线 区 一 ay+2a/?=0相 切，那 么 C 的 离 心 率 为(V6 V3 V2 1A.B.C.D.一 3 3 3 3【答 案】A【解 析】以 线 段 4 4 为 直 径 的 圆 是，+/=招，直 线 反-0+26=0与 圆 相 切，所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 d=整 理 为=3&2,即 a，=3(L一 d)=2 1=3 d 即 1=2,0=3=叵,故 选 人【考 点】椭 圆 离 心 率【名 师 点 睛】解 决 椭 圆 和 双 曲 线 的 离 心 率 的 求 值 及 范 围 问 题 其 关 键 就 是 确 立 一 个 关 于 a,b,c的 方 程 或 不 等 式，再 根 据 仇。的 关 系 消 掉 b 得 到 a,。的 关 系 式，而 建 立 关 于”,仇 c 的 方 程 或 不 等 式，要 充 分 利 用 椭 圆 和 双 曲 线 的 几 何 性 质、点 的 坐 标 的 范 围 等.12.函 数/(x)=x22x+a(，T+eT+i)有 唯 一 零 点，那 么 好()1 J*】)_ 1gx)=ex-e-x+=ex-二 二，当 g(x)=。时，x=l，当 xl时，g(x)1时，g(x)0,函 数 单 调 递 增，当=1时，函 数 取 得 最 小 值 g(l)=2,设/1(%)=2%,当=1时，函 数 取 得 最 小 值 T,假 设 一 a 0，函 数 和 ag(x)没 有 交 点，当 一 a 0 时，=时，此 时 函 数 五(x)和 ag(x)有 一 个 交 点，即 a x 2=_1 n a=一,应 选 C.2【考 点】函 数 零 点【名 师 点 睛】利 用 函 数 零 点 的 情 况 求 参 数 值 或 取 值 范 围 的 方 法 利 用 零 点 存 有 的 判 定 定 理 构 建 不 等 式 求 解.别 离 参 数 后 转 化 为 函 数 的 值 域(最 值)问 题 求 解.转 化 为 两 熟 悉 的 函 数 图 象 的 上、下 关 系 问 题，从 而 构 建 不 等 式 求 解.二、填 空 题：此 题 共 4 小 题，每 题 5 分，共 20分。13.向 量 a=(-2,3),=(3,机)，且 aJ_，那 么 m=.【答 案】2【解 析】由 题 意 可 得：2x3+3m=0,.”2=2.【考 点】向 量 数 量 积【名 师 点 睛】向 量 平 行：。/3=毛=%2乂，/?,Z?0=32 e R,=2Z?,BA-A.AC o 0 A O B H 0 C1+A 1+A(2)向 量 垂 直：。_1_/?。为=0。+x%=。，2.(3)向 量 加 减 乘:ah=(x x2,yl y2a=a,a-b=a-bcos 2 2 214.双 曲 线*5=1(a0)的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y=那 么 a=.【答 案】53【解 析】山 双 曲 线 的 标 准 方 程 可 得 渐 近 线 方 程 为：y=-x，结 合 题 意 可 得：a=5.a【考 点】双 曲 线 渐 近 线 x2 y2 x2 y2 b【名 师 点 睛】1.双 曲 线 方 程 彳 彳=1求 渐 近 线：W J=0 n y=2xcr b a b a2,渐 近 线 y=m x 设 双 曲 线 标 准 方 程 加-y2=23.双 曲 线 焦 点 到 渐 近 线 距 离 为 匕，垂 足 为 对 应 准 线 与 渐 近 线 的 交 点.15.M B C 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为。，b,c.C=60,b=R,c=3,那 么 A=.【答 案】75【解 析】由 题 意：3=刍，即 n b C 显 巧 41,结 合 b c 可 得 8=45,贝 1sinB sinC s in 5=-=-=c 3 24=18。-3 C=75.【考 点】正 弦 定 理【名 师 点 睛】解 三 角 形 问 题，多 为 边 和 角 的 求 值 问 题，这 就 需 要 根 据 正、余 弦 定 理 结 合 条 件 灵巧 转 化 边 和 角 之 间 的 关 系，从 而 到 达 解 决 问 题 的 目 的.其 根 本 步 骤 是：第 一 步：定 条 件，即 确 定 三 角 形 中 的 和 所 求，在 图 形 中 标 出 来，然 后 确 定 转 化 的 方 向.第 二 步：定 工 具，即 根 据 条 件 和 所 求 合 理 选 择 转 化 的 工 具，实 施 边 角 之 间 的 互 化.第 三 步：求 结 果.16.设 函 数 f(x)=,一 那 么 满 足 了(x)+x-3 l 的 x 的 取 值 范 围 是 _2*,x 0,2【答 案】(一 7,+8)解 析 由 题 意 得：当 时 z x+z)恒 成 立，即 当 时+恒 成 立，即 当 x4O时 x+l+x 2+l 1=%一?，即 一!x O；综 上 x 的 取 值 范 围 是(-Wo).4【考 点】分 段 函 数 解 不 等 式【名 师 点 睛】分 段 函 数 的 考 查 方 向 注 重 对 应 性，即 必 须 明 确 不 同 的 自 变 量 所 对 应 的 函 数 解 析 式 是 什 么 然 后 代 入 该 段 的 解 析 式 求 值.解 决 此 类 问 题 时，要 注 意 区 间 端 点 是 否 取 到 及 其 所 对 应 的 函 数 值，尤 其 是 分 段 函 数 结 合 点 处 函 数 值.三、解 答 题：共 70分。解 容 许 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1721题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、23题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。一 必 考 题：共 60分。17.(12 分)设 数 列 4 满 足 q+3 q+(2 l)a“=2.(1)求 为 的 通 项 公 式；(2)求 数 列|一 冬 一)的 前 项 和.2n+lJ【解 析】试 题 分 析：(1)先 由 题 意 得 上 2时，4+3%+(2-3)。,1=2(一 1),再 作 差 得 a”=2n-,验 证=1 时 也 满 足(2)因 为 In+1(2n-l)(2n+1)2n-1 In+1所 以 利 用 裂 项 相 消 法 求 和.试 题 解 析：(1)+3叼+(2-1)4=2，.二 月 之 2时，勺+3a2-H(2-3 A I=2(-1)得,(2n l)aK=2,4=-,2-1又=1时，勺=2 适 合 上 式，,_ 2 a 2-1(2)由 4=_-_=1 _ 12+1(2n V)(2n+1)2n 2次+1e 八 1、，1 1,S”=-+-+=(1-)+(-)+-+(3 5 2+1 3 3 52w 1-)=1-2n+l12H+12n2n+l1【考 点】数 列 通 项 公 式，裂 项 法 求 和【名 师 点 睛】裂 项 相 消 法 是 指 将 数 列 的 通 项 分 成 两 个 式 子 的 代 数 和 的 形 式，然 后 通 过 累 加 抵 消 中 间 假 设 干 项 的 方 法，裂 项 相 消 法 适 用 于 形 如（其 中 风 是 各 项 均 不 为 零 的 等 差 数 4A+J列，c 为 常 数）的 数 列.裂 项 相 消 法 求 和，常 见 的 有 相 邻 两 项 的 裂 项 求 和（如 本 例），还 有 一 类 隔 一 项 的 裂 项 求 和,如-或-(n+1)(+3)-n(n+2)18.（12 分）某 超 市 方 案 按 月 订 购 一 种 酸 奶，每 天 进 货 量 相 同，进 货 本 钱 每 瓶 4 元，售 价 每 瓶 6 元，未 售 出 的 酸 奶 降 价 处 理，以 每 瓶 2 元 的 价 格 当 天 全 部 处 理 完.根 据 往 年 销 售 经 验，每 天 需 求 量 与 当 天 最 高 气 温（单 位：。C 相 关.如 果 最 高 气 温 不 低 于 2 5,需 求 量 为 500瓶；如 果 最 高 气 温 位 于 区 间 20,25）,需 求 量 为 300瓶；如 果 最 高 气 温 低 于 2 0,需 求 量 为 200瓶.为 了 确 定 六 月 份 的 订 购 方 案，统 计 了 前 三 年 六 月 份 各 天 的 最 高 气 温 数 据，得 下 面 的 频 数 分 布 表：最 高 气 温 10,15)15,20)20,25 25,30)30,35)35,40)天 数 2 16 36 25 7 4以 最 高 气 温 位 于 各 区 间 的 频 率 代 替 最 高 气 温 位 于 该 区 间 的 概 率。（1）求 六 月 份 这 种 酸 奶 一 天 的 需 求 量 不 超 过 300瓶 的 概 率；（2）设 六 月 份 一 天 销 售 这 种 酸 奶 的 利 润 为 丫（单 位：元），当 六 月 份 这 种 酸 奶 一 天 的 进 货 量 为 450瓶 时，写 出 y 的 所 有 可 能 值，并 估 计 y 大 于 零 的 概 率.3 1【答 案】（1）|；（2）|【解 析】试 题 分 析：（D 先 确 定 需 求 量 不 超 过 300瓶 天 数 为 2+16+36=54,再 根 据 古 典 概 型 概 率 公 式 求 概 率（2）先 分 别 求 出 最 高 气 温 不 低 于 25（36天），最 高 气 温 位 于 区 间 20,25（36天），以 及 最 高 气 温 低 于 20（18天），对 应 的 利 润 为 900,300 100,所 以 F 大 于 零 的 概 率 为 史 士 生 士 士=0.890试 题 解 析：（1）需 求 量 不 超 过 300瓶，即 最 高 气 温 不 高 于 250C,从 表 中 可 知 有 54天，所 求 概 率 为 尸=事 54=：3.90 5（2）y 的 可 能 值 列 表 如 下:最 高 气 温 10,15)15,20 20,25)25,30)30,35)35,40)Y-100-100 300 900 900 900低 于 20C：y=200 x6+250 x 2 450 x4=100；20,25)：y=300 x6+150 x2-450 x4=300；不 低 于 25 C：y=450 x(6-4)=900.Y.大 十.0A的 A 概 r 率 A-为 i_-3-6-+-2-5-+-7-+-4-=0_.8o.90【考 点】古 典 概 型 概 率【名 师 点 睛】点 睛：古 典 概 型 中 根 本 领 件 数 的 探 求 方 法 列 举 法.树 状 图 法：适 合 于 较 为 复 杂 的 问 题 中 的 根 本 领 件 的 探 求.对 于 根 本 领 件 有 有 序 与 无 序 区 别 的 题 目，常 采 用 树 状 图 法.列 表 法：适 用 于 多 元 素 根 本 领 件 的 求 解 问 题，通 过 列 表 把 复 杂 的 题 目 简 单 化、抽 象 的 题 目 具 体 化.19.(12 分)如 图，四 面 体 ABCD中，ABC是 正 三 角 形，AD=CD.(1)证 明：ACBD；(2)AC。是 直 角 三 角 形，AB=BD.假 设 E 为 棱 8。上 与。不 重 合 的 点，S.AELEC,求 四 面 体 ABCE与 四 面 体 ACDE的 体 积 比.【答 案】(1)详 见 解 析；(2)1【解 析】试 题 分 析：(1 取 A C 中 点 0,由 等 腰 三 角 形 及 等 比 三 角 形 性 质 得 A C _LOO,A C J_ 0 5，再 根 据 线 面 垂 直 判 定 定 理 得 AC_L平 面 0 5。，即 得 ACLBD；(2)先 由 AELEC,结 合 平 几 知 识 确 定 A E=E C，再 根 据 锥 体 体 积 公 式 得，两 者 体 积 比 为 1：1.试 题 解 析：证 明：取 4 c 中 点。，连。0 3：AD=C D,。为 XC中 点，：.A C 10D,又.&O C是 等 边 三 角 形，：.A C 0B f又。5 0 如=。，.4。，平 面。应,应)u 平 面。应)，：.A C 1B D.(2)设 AD=CD=2,.,./。=2、回，AB=CD=2y2,又,：AB=BD,：.B D=W i：.ihABD=fCBD,：.AE=EC,又.丝，EC,AC=22 AE=EC=2，在 A B D 中 设 DE=x 根 据 余 弦 定 理 cosZADB=四*吐 四=四 士 空 工 2AD-BD 2AD-DE22+(2&)2(2 扬 2 22+Y 222 x 2 x 2-j2 2 x 2 x x解 得 X=J 5，点 E 是 B D 的 中 点,那 么 VIi-ACE=VB-ACE，.%AC _ jB-A C E【考 点】线 面 垂 直 判 定 及 性 质 定 理，锥 体 体 积【名 师 点 睛】垂 直、平 行 关 系 证 明 中 应 用 转 化 与 化 归 思 想 的 常 见 类 型.证 明 线 面、面 面 平 行，需 转 化 为 证 明 线 线 平 行.证 明 线 面 垂 直，需 转 化 为 证 明 线 线 垂 直.证 明 线 线 垂 直，需 转 化 为 证 明 线 面 垂 直.20.112 分）在 直 角 坐 标 系 xO y中，曲 线 y=V+，氏 一 2与 x 轴 交 于 A,8 两 点，点 C的 坐 标 为（0,1）.当 m 变 化 时，解 答 以 下 问 题：（1）能 否 出 现 4CLBC的 情 况？说 明 理 由：（2）证 明 过 A,B,C三 点 的 圆 在 y 轴 上 截 得 的 弦 长 为 定 值.【答 案】（1）不 会；（2）详 见 解 析【解 析】试 题 分 析：m 设 A（%,0）,8（/,0）,由 ACLBC得 益+1=0；由 韦 达 定 理 得 xtx2-2 矛 盾，所 以 不 存 在（2）可 设 圆 方 程 为，+/+皿+与-2=0,因 为 过（0,1）,所 以 E=1,令 x=0 得 y1+y-2=Qy=y=-2 即 弦 长 为 矢 试 题 解 析：设&0）,5（孙 0）,则 不 多 是 方 程，+皿-2=0的 根,所 以 刃+声=一 肛 空 j=-2,则 而 正=（-0 1）（一 孙 1）=再 为+1=-2+1=T H 0,所 以 不 会 能 否 出 现 AC1BC的 情 况。（2 解 法 1:过/,B,C三 点 的 圆 的 圆 心 必 在 线 段 AB垂 直 平 分 线 上，设 圆 心 E（如 比），贝 I I%=空=-9 由|附=|四 得（空 一+讨=（空）2+&0一 化 简 得%=1 产=_ 3,所 以 圆 E 的 方 程 为（x+羡+（y+；）=（_）+（_；1令 x=0 得 y=1,%=-2,所 以 过 A，8,C 三 点 的 圆 在 y 轴 上 截 得 的 弦 长 为 1一(一 2)=3,所 以 所 以 过 A,B,C 三 点 的 圆 在 y轴 上 截 得 的 弦 长 为 定 值 解 法 2：设 过 A,B,C 三 点 的 圆 与 y轴 的 另 一 个 交 点 为 D,由 工 也=-2 可 知 原 点 0 在 圆 内，由 相 交 弦 定 理 可 得|8|0C|=|。4|川=国 网=2,又|OC|=1,所 以|如=2,所 以 过 4,B,C 三 点 的 圆 在 y 轴 上 截 得 的 弦 长 为|0C|+|0|=3,为 定 值.【考 点】圆 一 般 方 程，圆 弦 长【名 师 点 睛 工 直 线 与 圆 综 合 问 题 的 常 见 类 型 及 解 题 策 略(1)处 理 直 线 与 圆 的 弦 长 问 题 时 多 用 几 何 法，即 弦 长 的 一 半、弦 心 距、半 径 构 成 直 角 三 角 形.代 数 方 法：使 用 根 与 系 数 的 关 系 及 弦 长 公 式：I AB|=yji+k2 x-x21=Jl+Fj(X1+X2)24x(2)圆 的 切 线 问 题 的 处 理 要 抓 住 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径，从 而 建 立 关 系 解 决 问 题.21.(12 分)函 数/(x)=lnx+ax2+(2a+l)x.(1)讨 论/(x)的 单 调 性;3(2)当 a0 时，证 明/(x)-2.4a【答 案】(1)当 aNOn寸，/(x)在(0,+8)单 调 递 增；”1。0),再 根 据 导 函 数 符 号 变 化 情 况 讨 论 单 调 性：当。*0时，/(x)20,1/(x)在(0:)单 调 递 增，当。=桁，+1-广(/=-0),利 用 导 数 La w 2a 2a 2a易 得=N D=。，即 得 证.试 题 解 析：(1)f,(x)=2 a+(X 0),X X当 a 0时，/(x)0,则/(x)在(0,施 单 调 递 熠，当。0 时，那 么/(X)在 单 调 递 增，在(一，-,+00)单 调 递 减.2a 2a(2)由 知,当 a 0 时，/U)max=/(-1-),2a/(-)-(-+2)=ln(-)+1,令 y=ln r+l-r(r=-0),2Q 4Q 2a 2a 2a那 么 y=；1=0,解 得 r=l,y 在(0,1)单 调 递 增，在(1,+单 调 递 减，3 3ymax=X 0=0 y 0,!|J/(x)m a x-(+2),：.f(x)-2.4a 4a【考 点】利 用 导 数 求 单 调 性，利 用 导 数 证 不 等 式【名 师 点 睛】利 用 导 数 证 明 不 等 式 常 见 类 型 及 解 题 策 略(1)构 造 差 函 数 以 x)=/(x)-g(x).根 据 差 函 数 导 函 数 符 号，确 定 差 函 数 单 调 性，利 用 单 调 性 得 不 等 量 关 系，进 而 证 明 不 等 式.(2)根 据 条 件，寻 找 目 标 函 数.一 般 思 路 为 利 用 条 件 将 求 和 问 题 转 化 为 对 应 项 之 间 大 小 关 系，或 利 用 放 缩、等 量 代 换 将 多 元 函 数 转 化 为 一 元 函 数.(二)选 考 题：共 10分。请 考 生 在 第 22、2 3题 中 任 选 一 题 作 答，如 果 多 做，那 么 按 所 做 的 第 一 题 计 分。22.选 修 4一 4：坐 标 系 与 参 数 方 程 10分)(x=2+r,在 直 角 坐 标 系 x O y中，直 线 4 的 参 数 方 程 为(t 为 参 数)，直 线 4 的 参 数 方 程 为 x=-2+m,m(机 为 参 数).设/i与/2的 交 点 为 P,当 k 变 化 时，P 的 轨 迹 为 曲 线 C.r=r(1)写 出 c 的 普 通 方 程；(2)以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，设/3：p(cost?+sint?)-72=0,M 为 卜 与 C的 交 点，求 M 的 极 径.【答 案】(1)x2-/=4(y 0)；(2)亚【解 析】试 题 分 析：(1)利 用 加 减 消 元 法 将 直 线 4,4 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程，再 消 去 左 得 C的 普 通 方 程，注 意 去 杂，(2)先 根 据 x=p 8 s a y=p s in 9将 4化 为 直 角 坐 标 方 程 x+y=&,与 一-/=4联 立 方 3近 X=-程 组 解 得 2 再 根 据 声=Y+/得 的 极 径 一 y 试 题 解 析：1)宜 线 人 的 普 通 方 程 为 y=-X 2),直 线 4 的 普 通 方 程 为 x=-2+k y,消 去 k 得 f _丁=4,上。0二 y/0即 C的 普 通 方 程 为，一/=4（j 工 0）.（2）4化 为 直 角 坐 标 方 程 为 尤+=、5,联 立，%+y=近 产 372x=-2,一 2.2 2 2 18 2 衣.0 2=/+/2=+5,4 4.M 与 C的 交 点 的 极 径 为 行.【考 点】参 数 方 程 普 通 方 程，极 坐 标 方 程 化 直 角 坐 标 方 程【名 师 点 睛】（1）参 数 方 程 普 通 方 程 方 法 为 加 减 消 元 法 及 平 方 消 元 法（2）利 用 x=pcos。,y=psin 0,p2 x2+y2将 极 坐 标 方 程 化 直 角 坐 标 方 程 23.选 修 45：不 等 式 选 讲（10分）函 数/(X)=|x+l|-|x-2|.（1）求 不 等 式 宰 X）”的 解 集;（2）假 设 不 等 式/（为”2-x+m 的 解 集 非 空，求 实 数 m 的 取 值 范 围.【答 案】1.+OO）；（2）（-00,1【解 析】试 题 分 析：（1）先 根 据 绝 对 值 定 义 将 不 等 式 化 为 三 个 不 等 式 组，分 别 求 解 集，最 后 求 并 集（2）先 变 量 别 离 m W|x+l|-|彳-2|-/+,再 根 据 绝 对 值 三 角 不 等 式 求 函 数 最 值:3 5 5y=|x+l|-|x-2|x2 4-x|x|+l+|x|-2 x2+|x|=-(|x)2+,即 得 实 数 m 的 2 4 4取 值 范 围.试 题 解 析：(1)当 XW-1 时，/(x)=-(x+l)+(x+2)=-3Ml 无 解;当 一 1 c x 2 时、f(x)=x+l+(x+2)=2x-l,由 2 x 7 2 1,可 得 x21,二 1 X 1,A x2.综 上 所 述/(x)21的 解 集 为 1,+).(2)原 式 等 价 于 存 有 x e R,使/(x)-Y+x N 根，成 立,即/(x)-x2+xm a m,设 虱 力=f(x)-X2+x，f+x 3.xW 1由(1)知 5(x)=,-2+3X-1:-l x 2L当 xW 1 时，g(x)=xi+x 3,其 开 口 向 下，对 称 轴=,g(x)g(-l)=-3=-5,当 l x 2时 g(x)=+3x 1,3其 开 口 向 下，对 称 轴 为 4