2011年四川高考文科数学真题及答案.pdf

20112011 年四川高考文科年四川高考文科数学真题及答案数学真题及答案一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分）分）1（5 分）若全集 M=1，2，3，4，5，N=2，4，则MN=（）AB1，3，5C2，4D1，2，3，4，5【解答】解：全集 M=1，2，3，4，5，N=2，4，CUN=1，3，5故选 B2（5 分）有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5，15.5）215.5，19.5）419.5，23.5）923.5，27.5）1827.5，31.5）1131.5，35.5）1235.5，39.5）739.5，43.5）3根据样本的频率分布估计，大于或等于 31.5 的数据约占（）ABCD【解答】解：根据所给的数据的分组和各组的频数知道，大于或等于 31.5 的数据有31.5，35.5）12；35.5，39.5）7；39.5，43.5）3，可以得到共有 12+7+3=22，本组数据共有 66 个，大于或等于 31.5 的数据约占，故选 B3（5 分）圆 x2+y24x+6y=0 的圆心坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x2）2+（y+3）2=13，所以此圆的圆心坐标为（2，3）故选 D4（5 分）函数 y=（）x+1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是（）ABCD【解答】解：函数 y=（）x+1 反函数为其图象过（2，0）点，且在定义域（1，+）为减函数分析四个答案发现只能 A 满足要求故选 A5（5 分）“x=3”是“x2=9”的（）A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件 D既不充分也不必要的条件【解答】解：x2=9x=3x=3x2=9反之，推不出；故“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件故选 A6（5 分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【解答】解：对于 A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A 错；对于 B，l1l2，l1，l2所成的角是 90，又l2l3l1，l3所成的角是 90l1l3，B 对；对于 C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故 C 错；对于 D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故 D 错故选 B7（5 分）如图，正六边形 ABCDEF 中，=（）ABCD【解答】解：根据正六边形的性质，我们易得=故选 D8（5 分）在ABC 中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则 A 的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）【解答】解：由正弦定理可知 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，a2b2+c2bc，bcb2+c2a2cosA=AA0A 的取值范围是（0，故选 C9（5 分）数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，an+1=3Sn（n1），则 a6=（）A344B344+1C44D44+1【解答】解：由 an+1=3Sn，得到 an=3Sn1（n2），两式相减得：an+1an=3（SnSn1）=3an，则 an+1=4an（n2），又 a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是 3，公比为 4 的等比数列，所以 an=a2qn2=34n2（n2）则 a6=344故选 A10（5 分）某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7辆载重量为 6 吨的乙型卡车，某天需送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡需配 1 名工人；每送一次可得利润 350 元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润 z=（）A4650 元B4700 元C4900 元D5000 元【解答】解：设派 x 辆甲卡车，y 辆乙卡车，利润为 z，由题意得：z=450 x+350y由题意得 x，y 满足下列条件：上述条件作出可行域，如图所示：由图可知，当 x=7，y=5 时，450 x+350y 有最大值 4900故选 C11（5 分）在抛物线 y=x2+ax5（a0）上取横坐标为 x1=4，x2=2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切，则抛物线顶点的坐标为（）A（2，9）B（0，5）C（2，9）D（1，6）【解答】解：两点坐标为（4，114a）；（2，2a1），两点连线的斜率 k=，对于 y=x2+ax5，y=2x+a，2x+a=a2 解得 x=1，在抛物线上的切点为（1，a4），切线方程为（a2）xy6=0，该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，解得 a=4 或 0（0 舍去），抛物线方程为 y=x2+4x5 顶点坐标为（2，9）故选 A12（5 分）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成平行四边形的个数为 n，其中面积等于 2 的平行四边形的个数为 m，则=（）ABCD【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是取出数字，构成向量，a 的取法有 2 种，b 的取法有 3 种，故向量 有 6 个，从中任取两个向量共 C62=15 种取法，即 n=15；由满足条件的事件列举法求出面积等于 4 的平行四边形的个数有 2 个，根据古典概型概率公式得到 P=，故选 A二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 1616 分）分）13（4 分）（x+1）n的展开式中 x3的系数是Cn3（用数字作答）【解答】解：展开式的通项为 Tr+1=Cnrxr令 r=3 得到展开式中 x3的系数是 Cn3故答案为：Cn314（4 分）双曲线=1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4，那么点 P 到左准线的距离是16【解答】解：由双曲线的方程知 a=8，b=6所以 c=10准线方程为 x=；离心率 e=设点 P 到右准线的距离为 d 则由双曲线定义得即 d=设 P（x，y）则 d=|=所以 x=所以点 P 到左准线的距离是故答案为 1615（4 分）如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是32【解答】解：设圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为，则 r=4cos，圆柱的高为 8sin，圆柱的侧面积为：32sin2，当且仅当=时，sin2=1，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为：32，球的表面积为：64，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：32故答案为：3216（4 分）函数 f（x）的定义域为 A，若 x1，x2A，且 f（x1）=f（x2）时总有 x1=x2，则称f（x）为单函数例如 f（x）=2x+1（xR）是单函数，下列命题：函数 f（x）=x2（xR）是单函数；函数 f（x）=2x（xR）是单函数，若 f（x）为单函数，x1，x2A 且 x1x2，则 f（x1）f（x2）；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是（写出所有真命题的编号）【解答】解：若 x1，x2A，且 f（x1）=f（x2）时总有 x1=x2，则称 f（x）为单函数函数 f（x）=x2不是单函数，f（1）=f（1），显然11，函数 f（x）=x2（xR）不是单函数；函数 f（x）=2x（xR）是增函数，f（x1）=f（x2）时总有 x1=x2，即正确；f（x）为单函数，且 x1x2，若 f（x1）=f（x2），则 x1=x2，与 x1x2矛盾正确；同；故答案为：三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7474 分）分）17（12 分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为 2 元每小时（不足 1小时的部分按 1 小时计算）有人独立来该租车点租车骑游各租一车一次设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时（）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率【考点】几何概型【专题】计算题【分析】（）根据题意，由全部基本事件的概率之和为 1 求解即可（）先列出甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的所有情况，可按照甲的付费分类，因为各类为互斥事件，分别求概率再取和即可【解答】解：（）甲在三小时以上且不超过四小时还车的概率为 1乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率为（）甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的情况有：甲不超过两小时、甲两小时以上且不超过三小时乙不超过三小时、甲在三小时以上且不超过四小时乙不超过两小时三种故概率为：+=【点评】本题考查独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力18（12 分）已知函数 f（x）=sin（x+）+cos（x），xR（）求 f（x）的最小正周期和最小值；（）已知 cos（）=，cos（+）=.0，求证：f（）22=0【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；综合题【分析】（）利用诱导公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的周期性和值域求解（）利用两角和公式把已知条件展开后相加，求得的值，代入函数解析式中求得答案【解答】解：（）f（x）=sin（x+）+cos（x）=sin（x）+sin（x）=2sin（x）T=2，最小值为2（）cos（）=coscos+sinsin=，cos（+）=coscossinsin=，两式相加得 2coscos=0，0，=f（）22=4sin22=0【点评】本题主要考查了两角和公式和诱导公式的化简求值 考查了考生基础知识的综合运用19（12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=1，延长 A1C1至点 P，使 C1P=A1C1，连接 AP 交棱 CC1于点 D（）求证：PB1平面 BDA1；（）求二面角 AA1DB 的平面角的余弦值【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质【专题】计算题；证明题【分析】以 A1为原点，A1B，A1C，A1A 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立坐标系，则我们易求出各个点的坐标，进而求出各线的方向向量及各面的法向量（I）要证明 PB1平面 BDA1，我们可以先求出直线 PB1的向量，及平面 BDA1的法向量，然后判断证明这两个向量互相垂直（II）由图象可得二面角 AA1DB 是一个锐二面角，我们求出平面 AA1D 与平面 A1DB 的法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值，得到结论【解答】解：以 A1为原点，A1B，A1C，A1A 分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立坐标系，则 A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）（1）在PAA1中，C1D=AA1，则 D（0，1，）=（1，0，1），=（0，1，），=（1，2，0）设平面 BDA1的一个法向量为=（a，b，c）则令 c=1，则=（1，1）=1（1）+2+（1）0=0PB1平面 BDA1（II）由（I）知平面 BDA1的一个法向量=（1，1）又=（1，0，0）为平面 AA1D 的一个法向量cos，=故二面角 AA1DB 的平面角的余弦值为【点评】利用向量法求空间夹角问题，包括以下几种情况：空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20（12 分）已知an是以 a 为首项，q 为公比的等比数列，Sn为它的前 n 项和（）当 S1，S3，S4成等差数列时，求 q 的值；（）当 Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数 k，am+k，an+k，al+k也成等差数列【考点】等差关系的确定；等差数列的性质【专题】计算题；证明题【分析】（）根据题意，写出等比数列an的前 n 项和是解决本题的关键，利用 S1，S3，S4成等差数列寻找关于 q 的方程，通过解方程求出字母 q 的值；（）根据 Sm，Sn，S1成等差数列，利用等比数列的求和公式得出关于 q 的方程式是解决本题的关键，注意分类讨论思想和整体思想的运用【解答】解：（）由已知得出 an=a1qn1，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2），S4=a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3），根据 S1，S3，S4成等差数列得出 2S3=S1+S4，代入整理并化简，约去 q 和 a1，得 q2q1=0，解得 q=；（）当 q=1 时，该数列为常数列，若 Sm，Sn，Sl成等差数列，则也有 am+k，an+k，a1+k成等差数列；若 q1，由 Sm，Sn，S1成等差数列，则有 2Sn=S1+Sm，即有，整理化简得 2qn1=qm1+ql1，两边同乘以 a1，得 2a1qn1=a1qm1+a1ql1，即 2an=am+al，两边同乘以 qk即可得到 2an+k=am+k+al+k，即 am+k，an+k，al+k成等差数列【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查学生判断等差数列的方法，考查学生的方程思想和分类讨论思想，转化与化归思想，考查学生的运算能力21（12 分）过点 C（0，1）的椭圆+=1（ab0）的离心率为，椭圆与 x 轴交于两点 A（a，0）、B（a，0），过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与直线 BD 交于点 Q（I）当直线 l 过椭圆右焦点时，求线段 CD 的长；（）当点 P 异于点 B 时，求证：为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合【分析】（I）当直线 l 过椭圆右焦点时，写出直线 l 的方程，并和椭圆联立方程，求得点 D的坐标，根据两点间距离公式即可求得线段 CD 的长；（）设出直线 l 的方程，并和椭圆联立方程，求得点 D 的坐标，并求出点 P 的坐标，写出直线 AC 与直线 BD 的方程，并解此方程组，求得 Q 点的坐标，代入即可证明结论【解答】解：（I）由已知得 b=1，解得 a=2，所以椭圆的方程为椭圆的右焦点为（，0），此时直线 l 的方程为 y=x+1，代入椭圆方程化简得 7x28x=0解得 x1=0，x2=，代入直线 l 的方程得 y1=1，y2=，所以 D 点坐标为（，）故|CD|=；（）当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0，k）代入椭圆方程化简得（4k2+1）x2+8kx=0，解得 x1=0，x2=，代入直线 l 的方程得 y1=1，y2=，所以 D 点坐标为（，），又直线 AC 的方程为，直线 BD 的方程为 y=，联立解得，因此 Q 点坐标为（4k，2k+1），又 P 点坐标为（，0），=（，0）（4k，2k+1）=4，故为定值【点评】此题是个难题本题考查了、直线与椭圆的位置关系及弦长公式，和有关定值定点问题，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力其中问题（II）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，22（14 分）已知函数 f（x）=x+，h（x）=（）设函数 F（x）=18f（x）x2h（x）2，求 F（x）的单调区间与极值；（）设 aR，解关于 x 的方程 lg f（x1）=2lgh（ax）2lgh（4x）；（）设 nNn，证明：f（n）h（n）h（1）+h（2）+h（n）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法【专题】计算题；证明题；压轴题；分类讨论【分析】（）首先求出 F（x）的解析式，求导，令导数大于 0 和小于 0，分别求出单调增区间和减区间，从而可求极值（）将方程转化为 lg（x1）+2lg=2lg，利用对数的运算法则，注意到真数大于 0，转化为等价的不等式，分离参数 a，求解即可（）由已知得 h（1）+h（2）+h（n）=故原不等式转化为 f（n）h（n）=注意到等式右侧为数列bn：bn=和的形式，将等式的左侧也看作一个数列的前 n 项和的形式，求出通项问题转化为证明项项的问题可用做差法直接求解【解答】解：（）F（x）=18f（x）x2h（x）2=x3+12x+9（x0）所以 F（x）=3x2+12=0，x=2且 x（0，2）时，F（x）0，当 x（2，+）时，F（x）0所以 F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+）上单调递减故 x=2 时，F（x）有极大值，且 F（2）=8+24+9=25（）原方程变形为 lg（x1）+2lg=2lg，当 1a4 时，原方程有一解 x=3，当 4a5 时，原方程有两解 x=3，当 a=5 时，原方程有一解 x=3，当 a1 或 a5 时，原方程无解（）由已知得 h（1）+h（2）+h（n）=，f（n）h（n）=，从而 a1=s1=1，当 k2 时，an=snsn1=，又=0即对任意的 k2，有，又因为 a1=1=，所以 a1+a2+an，则 snh（1）+h（2）+h（n），故原不等式成立【点评】本题考查求函数的单调区间、极值、方程解的个数问题、不等式证明问题，综合性强，难度较大