2011年广东高考理科数学真题及答案.pdf

120112011 年广东高考理科数学真题及答案年广东高考理科数学真题及答案本试题共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：试卷类型：A1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。4、作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程ybxa中系数计算公式其中,x y表示样本均值。N 是正整数，则nnabab12(nnaab21nnabb）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 4040 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足12i z，其中i为虚数单位，则z=A1 iB.1 iC.22i22i2已知集合,Ax y,x y为实数，且221xy，,Bx y,x y为实数，且yx，则AB的元素个数为012323.若向量，满足且，则(2)cab43204.设函数 f x和 g x分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 f xg x是偶函数 f xg x是奇函数 f xg x是偶函数 f xg x是奇函数5.在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定。若(,)M x y为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则zOM ON 的最大值为A4 2B3 2C4D36.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A12B35C23D347.如图 13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.6 3B.9 3C.12 3D.18 38.设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果,a bS有abS，则称 S 关于数的乘法是封闭的.若 T,V 是 Z 的 两 个 不 相 交 的 非 空 子 集，,TUZ且,a b cT有;,abcTx y zV有xyzV，则下列结论恒成立的是A.,T V中至少有一个关于乘法是封闭的B.,T V中至多有一个关于乘法是封闭的3C.,T V中有且只有一个关于乘法是封闭的D.,T V中每一个关于乘法都是封闭的16.16.填空题：本大题共填空题：本大题共 7 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分。分。(一）必做题（一）必做题（9-139-13 题）题）9.不等式130 xx的解集是.10.72x xx的展开式中，4x的系数是（用数字作答）11.等差数列na前 9 项的和等于前 4 项的和.若141,0kaaa，则 k=_.12.函数2()31f xxx在 x=_处取得极小值。13.某数学老师身高 176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm.（二）（二）选做题（选做题（1414-1515 题，考生只能从中选做一题）题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为5cos(0)sinxy和25()4xttRyt，它们的交点坐标为_.15.（几何证明选讲选做题）如图 4，过圆O外一点p分别作圆的切线和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，BAC=APB,则AB=。三三解答题解答题。本大题共本大题共 6 6 小题小题，满分满分 8080 分分。解答需写出文字说明解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤。（1）（本小题满分 12 分）4已知函数1()2sin(),.36f xxxR(1)求5()4f的值；(2)设106,0,(3),(32),22135faf 求cos()的值.17.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件，测量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的 5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素 x,y 满足 x175，且 y75 时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。18.(本小题满分 13 分)如图 5.在椎体 P-ABCD 中，ABCD 是边长为 1 的棱形，且DAB=60，2PAPD,PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点.(1)证明：AD平面 DEF;(2)求二面角 P-AD-B 的余弦值.19.(本小题满分 14 分)设圆 C 与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。（1）求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程;5（2）已知点 M3 5 4 5(,),(5,0)55F，且 P 为 L 上动点，求MPFP的最大值及此时点 P 的坐标.20.（本小题共 14 分）设 b0,数列 na满足 a1=b，11(2)22nnnnbaanan.（1）求数列 na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n，111.2nnnba21.（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 上，给定抛物线 L:214yx.实数 p，q 满足240pq，x1，x2是方程20 xpxq的两根，记12(,)max,p qxx。（1）过点20001(,)(0)4A ppp 作 L 的切线教 y 轴于点 B.证明：对线段 AB 上任一点 Q(p，q)有0(,);2pp q（2）设 M(a，b)是定点，其中 a，b 满足 a2-4b0,a0.过 M(a，b)作 L 的两条切线12,l l，切点分别为22112211(,),(,)44E ppE pp，12,l l与 y 轴分别交与 F,F。线段 EF 上异于两端点的点集记为 X.证明：M(a,b)X12PP(,)a b12p;（3）设 D=(x,y)|yx-1,y14(x+1)2-54.当点(p,q)取遍 D 时，求(,)p q的最小值（记为min）和最大值（记为max）.20112011 年广东高考理科数学参考答案年广东高考理科数学参考答案一、选择题一、选择题题题 号号1 12 23 34 45 56 67 78 8答答 案案B BC CD DA AC CD DB BA A6二、填空题二、填空题.1,)；10.10.8484；11.11.1010；12.12.2 2；13.13.185185；14.14.2 5(1,)5；15.15.35；三、解答题三、解答题16解：(1)55()2sin()2sin241264f;(2)10(3)2sin213f，5sin13，又0,2，12cos13，6(32)2sin()2cos25f，3cos5，又0,2，4sin5，16cos()coscossinsin65.17解：（1）乙厂生产的产品总数为1453598；（2）样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为235145；（3）0,1,2，22325()iiC CPiC(0,1,2)i，的分布列为012P31035110均值314()125105E.18.解：(1)取AD的中点G，又PA=PD，PGAD，由题意知ABC是等边三角形，BGAD，又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，ADPGB 平面，/,/EFPB DEGB，DEFPGB平面/平面，ADDEF 平面(2)由（1）知PGB为二面角PADB的平面角，在Rt PGA中，222172()24PG；在Rt BGA中，222131()24BG；PABCDFGPABCDFE7在PGB中，22221cos27PGBGPBPGBPG BG.19解：（1）两圆半径都为 2，设圆C的半径为R，两圆心为1(5,0)F、2(5,0)F，由题意得12|2|2RCFCF 或21|2|2RCFCF，1212|42 5|CFCFFF，可知圆心 C 的轨迹是以12,F F为焦点的双曲线，设方程为22221xyab，则22224,2,5,1,1aacbcab，所以轨迹 L 的方程为2214xy（）|2MPFPMF，仅当(0)PMPF 时，取，由2MFk 知 直 线:2(5)MFlyx，联 立2214xy并 整 理 得21532 590 xx解得6 55x 或14 5(15x 舍去），此时6 52 5(,-)55P所以|MPFP最大值等于 2，此时3 54 5(,)55P20解（）法一：112(1)nnnabanan，得1112(1)121nnnnannnababba，设nnnba，则121nnbbbb(2)n，（）当2b 时，nb是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222nbnn，2na（）当2b 时，设12()nnbbb，则122(1)nnbbbb，令21(1)bb，得12b，1121()22nnbbbbb(2)n，知12nbb是等比数列，11112()()22nnbbbbb，又11bb，12112()222nnnnnbbbbbbb，(2)2nnnnnbbab法二：（）当2b 时，nb是以12为首项，12为公差的等差数列，即111(1)222nbnn，2na 8（）当2b 时，1ab，2222222(2)22bb babb，33223333(2)242bb babbb，猜想(2)2nnnnnbbab，下面用数学归纳法证明：当1n 时，猜想显然成立；假设当nk时，(2)2kkkkkbbab，则1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2kkkkkkkkkkkb akb kbbkbbaankbbkbb，所以当1nk时，猜想成立，由知，*nN，(2)2nnnnnbbab（）（）当2b 时，112212nnna，故2b 时，命题成立；（）当2b 时，222212222nnnnnnbbb，212122122222nnnnnnbbbb，1111221,22222nnnnnnnnbbbb，以上 n 个式子相加得2212nnbb111122nnnnbb2121222nnnnbnb，1221212112(2)(222)2(2)2(2)2(2)nnnnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbabb2212121(222)(2)2(2)2(2)nnnnnnnnnbbbbbbb2121111(2)222(2)nnnnnnnnnbbbb2111211(2)(22)2(2)nnnnnnnnnbbbb1112nnb故当2b 时，命题成立；综上（）（）知命题成立21解：（）00011|()|22ABxpxpkyxp，直线AB的方程为200011()42yppxp，即2001124yp xp，2001124qp pp，方程20 xpxq的判别式2204()pqpp，9两根001,2|22ppppx或02pp，00p p，00|22pppp，又00|pp，000|222pppp，得000|222ppppp，0(,)|2pp q（）由240ab知点(,)M a b在抛物线L的下方，当0,0ab时，作图可知，若(,)M a bX，则120pp，得12|pp；若12|pp，显然有点(,)M a bX；(,)M a bX12|pp当0,0ab时，点(,)M a b在第二象限，作图可知，若(,)M a bX，则120pp，且12|pp；若12|pp，显然有点(,)M a bX；(,)M a bX12|pp根据曲线的对称性可知，当0a 时，(,)M a bX12|pp，综上所述，(,)M a bX12|pp（*）；由（）知点M在直线EF上，方程20 xaxb的两根11,22px或12pa，同理点M在直线E F上，方程20 xaxb的两根21,22px或22pa，若1(,)|2pa b，则1|2p不比1|2pa、2|2p、2|2pa 小，12|pp，又12|pp(,)M a bX，1(,)|2pa b(,)M a bX；又由（）知，(,)M a bX1(,)|2pa b；1(,)|2pa b(,)M a bX，综合（*）式，得证（）联立1yx，215(1)44yx得交点(0,1),(2,1)，可知02p，过点(,)p q作抛物线 L 的切线，设切点为2001(,)4xx，则20001142xqxxp，得200240 xpxq，解得204xppq，又215(1)44qp，即2442pqp，10042xpp，设42pt，20122xtt 215(1)22t，0maxmax|2x，又052x，max54；1qp，2044|2|2xppppp，0minmin|12x