2010年湖北高考理科数学真题及答案.pdf

20102010 年湖北高考理科数学真题及答案年湖北高考理科数学真题及答案2010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(湖北湖北卷卷)数学数学(理工农医类理工农医类)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。1若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 Z，则表示复数1zi的点是AEB.FC.GD.H2设集合22,|1416xyAx y，(,)|3 xBx yy，则AB的子集的个数是A4B3C2D13.在ABC中，a=15,b=10,A=60，则cosB=A 2 23B2 23C 63D634.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是A512B12C712D345已知ABC和点 M 满足0MA MB MC+.若存在实数 m 使得AB ACAMm成立，则 m=A2B3C4D56将参加夏令营的 600 名学生编号为：001，002，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300在第营区，从 301 到 495 住在第营区，从 496 到 600 在第营区，三个营区被抽中的人数一次为A26,16,8B25，17，8C25，16，9D24，17，97、如图，在半径为 r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设ns为前 n 个圆的面积之和，则limnns=A 22rB.832rC.42rD.62r8、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A152B.126C.90D.549.若直线 y=x+b 与曲线234yxx有公共点，则 b 的取值范围是A.1,12 2B.1 2 2,12 2C.1 2 2,3D.12,310.记实数1x，2x，nx中的最大数为 max12,.nx xx，最小数为 min12,.nx xx。已 知ABC的 三 边 长 位a,b,c（abc），定 义 它 的 亲 倾 斜 度 为max,.min,a b ca b clb c ab c a则“l=1”是“ABC 为等边三角形”的A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。填错位置，书写不清，模凌两可均不得分。11、在（x+43y）20的展开式中，系数为有理数的项共有_项。12.已知2zxy，式中变量x，y满足约束条件,1,2,yxxyx，则z的最大值为_.13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm。14某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望 E=8.9，则 y 的值为.15.设 a0,b0,称2abab为 a，b 的调和平均数。如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径做半圆。过点C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD，AD，BD。过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a，b 的算术平均数，线段的长度是 a,b 的几何平均数，线段的长度是 a,b 的调和平均数。三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=11cos()cos(),()sin23324xx g xx（）求函数 f(x)的最小正周期；（）求函数 h（x）=f(x)g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。17（本小题满分 12 分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C（x）=(010),35kxx若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元。设 f（x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。（）求 k 的值及 f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。18(本小题满分 12 分)如图，在四面体 ABOC 中,120OCOA OCOBAOB。,且1OAOBOC（）设为P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算ABAQ的值；（）求二面角OACB的平面角的余弦值。19(本小题满分 12 分)已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是1.()求曲线 C 的方程；（）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有0FA FB？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。n+1nn1nn+1nnn+122nn 1nnnn20.(13)3aa1aaa a0(1),b21 a1 abaanabb.21.bfxaxca,fy xxn本小题满分分（1+）2（1+）已知数列满足：，数列满足：（1）.（）求数列，的通项公式；（）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列（本小题满分14分）已知函数（）=+（0）的图象在点（1（1）处的切线方程为=-1.()abcfxlnxa用 表示出，；（）若（）在1，+）上恒成立，求 的取值范围；（）111n1ln nn232 nn证明：（+1）+（1）（+1）20102010 年高考试题年高考试题数学理数学理（湖北卷）答案与解析（湖北卷）答案与解析1【答案】D【解析】观察图形可知3zi,则3211ziiii，即对应点 H（2，1），故 D 正确.2【答案】A【解析】画出椭圆221416xy和指数函数3xy 图象，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则AB的子集应为 1212,AAA A共四种，故选 A.3【答案】D【解析】根据正弦定理sinsinabAB可得1510sin60sin B解得3sin3B，又因为ba，则BA，故 B 为锐角，所以26cos1sin3BB，故 D 正确.4【答案】C【解 析】用 间 接 法 考 虑，事 件 A、B 一 个 都 不 发 生 的 概 率 为451615()()()212CP ABP A P BC则所求概率71()12P AB，故 C 正确。5【答案】B【解析】由题目条件可知，M 为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则23AMAD，因为AD为中线2ABACADmAM ，即2ADmAM,联立可得3m，故B正确。6【答案】B【解析】依题意可知，在随机抽样中，首次抽到 003 号，以后每隔 12 个号抽到一个人，则分别是 003、015、027、039构成以 3 为首项，12 为公差的等差数列，故可分别求出在 001 到 300 中有 25 人，在 301 至 495 号中共有 17 人，则 496到 600 中有 8 人，所以 B 正确。7【答案】C【解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：cos30,(cos30)cos30,(cos30,cos30)cos30,r,rrr即333 3rrrr248，则面积依次为：22223927rrrr41664，所以22222n339271limSlim(rr)rlim(1)r4 r344166414nnn 故 C 正确.8【答案】B【解析】分类讨论：若有 2 人从事司机工作，则方案有233318CA；若有 1 人从事司机工作，则方案有123343108CCA种，所以共有 18+108=126 种，故 B 正确9【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为2 的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线 y=x+b 距离等于 2，解得12 212 2bb 或，因为是下半圆故可得12 2b （舍），当直线过（0，3）时，解得 b=3,故12 23,b所以 C 正确.10.【答案】A【解析】若ABC 为等边三角形时，即 a=b=c，则max,1min,a b ca b cb c ab c a 则 l=1；若ABC 为等腰三角形，如 a=2,b=2,c=3 时，则32max,min,23a b ca b cb c ab c a，此时 l=1 仍成立但ABC 不为等边三角形,所以 A 正确.11.【答案】6【解析】二项式展开式的通项公式为20204412020(3)(3)(020)rrrrrrrrTC xyCxyr要使系数为有理数，则 r 必为 4 的倍数，所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种，故系数为有理数的项共有 6 项.12.【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数 y=2x-z，当直线经过 A（2，1）时，z 取到最大值，max5Z.13.【答案】4【解析】设球半径为 r，则由3VVV球水柱可得33224863rrrr,解得 r=4.14.【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39,780.190.3108.9xyxy 联合解得0.4y.15.【答案】CDDE【解析】在 RtADB 中 DC 为高，则由射影定理可得2CDAC CB，故CDab，即CD 长度为 a,b 的几何平均数，将 OC=,222abababaCDabOD代入OD CEOC CD可得abCEabab故222()2()abOEOCCEab，所以 ED=OD-OE=2abab，故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数.16.本小题主要考察三角函数的基本公式、周期和最值等基础知识，同事考察基本运算能力。（满分 12 分）解：（）1313()cos()cos()(cossin)(cossin)332222f xxxxxxx22131 cos233cos211cossincos2448824xxxxx()f x的最小正周期为22（）112()()()cos2sin2cos(2)2224h xf xg xxxx当22()4xxkkZ时，2()2h x 取得最大值.()h x取得最大值时，对应的x的集合为,8x xkkZ。17本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分 12 分）解：（）设隔热层厚度为cmx，由题设，每年能源消耗费用为()35kC xx.再由(0)8C，得40k，因此40()35C xx.而建造费用为1()6C xx最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f xC xC xxxxxx（）22400()6(35)fxx，令()0fx，即224006(35)x.解得5x，253x （舍去）.当05x时，()0fx，当510 x时，()0fx，故5x 是()f x的最小值点，对应的最小值为800(5)6 570155f。当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为 70 万元。18本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和两面角等基础知识，同事考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(满分 12 分)解法一：（）在平面OAB内作ONOA交AB于N，连接NC。又OAOC，OAONC 平面NCONC平面，OANC。取Q为AN的中点，则PQNC。PQOA在等腰AOB中，120AOB，30OABOBA 在Rt AON中，30OAN，12ONANAQ在ONB中，1209030NOBNBO，.NBONAQ3ABAQ（）连接PNPO，由OCOA，OCOB知：OCOAB 平面.又ONOAB，OCON又由ONOA，ONAOC 平面。OP是NP在平面AOC内的射影。在等腰Rt COA中，P为AC的中点，ACOP根据三垂线定理，知：ACNPOPN为二面角OACB的平面角在等腰Rt COA中，1OCOA，22OP在Rt AON中，3tan303ONOA，Rt PON在中，22306PNOPON。2152cos5306POOPNPN解法二：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图所示）则13(1,0,0),(0,0,1),(,0)22ACB P为AC中点，11(,0,)22P设(0,1),AQAB 33(,0)22AB 。3333(1,0,0)(,0)(1,0),2222OQOAAQ 1331(,).2222PQOQOP ,PQOA,0PQ OA 即13022，13。所以存在点13(,0)26Q使得PQOA且3ABAQ。（）记 平 面ABC的 法 向 量 为123(,)nn n n,则 由nCA，nAB，且(1,0,1)CA ，得1323033022nnnn，故可取3n （1,1）又平面OAC的法向量为(0,1,0)e。(1,3,1)(0,1,0)3cos,5 15n e.两面角OACB的平面角是锐角，记为，则15cos519.本小题主要考察直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基础知识，同事考察推理运算的能力。（满分 12 分）解：（）设(,)P x y是曲线C上任意一点，那么点(,)P x y满足：22(1)1(0)xyxx。化简得24(0)yx x（）设过点(,0)(0)M mm 的直线l与曲线C的交点为1122(,),(,)A x yB xy。设l的 方 程 为xtym，由24xtymyx得2440ytym，216()0tm.于是121244yyty ym 又1122(1,),(1,)FAxyFBxy 12121212120(1)(1)()10FA FBxxy yx xxxy y 又24yx，于是不等式等价于2222121212()104444yyyyy y 2212121212()1()210164y yy yyyy y由式，不等式 等价于22614mmt 对任意实数t，24t的最小值为 0，所以不等式对于一切t成立等价于2610mm，即32 232 2m。由此可知，存在正数m，对于过点(,0)M m，且与曲线C有两个交点,A B的任一直线，都有0FA FB ，且m的取值范围是(32 2,32 2)20 本小题主要考察等差数列、等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力。（满分 13 分）解：（）由题意可知，22121(1)3nnaa令21nnca，则223nncc又212314ca，则数列nc是首项为134c，公比为23的等比数列，即13 24 3nnc，故12123 23 21()14 34 3nnnnaa，又1102a，10nna a故113 2(1)1()4 3nnna（）解法一：由（）知：当12a 时，有()ln(1)f xx x。令12a，有11()()ln(1)2f xxx xx当1x 时，11()ln2xxx。令1kxk，有111111ln(1)(1)2121kkkkkkkk即1 11ln(1)ln()21kkkk，1,2,3.kn将上述n个不等式一次相加得11111ln(1)(.)2232(1)nnn整理得1111.ln(1)232(1)nnnn解法二：用数学归纳法证明（）当1n 时，左边1，右边1ln214，不等式成立（）假设nk时，不等式成立，就是1111.)ln(1)232(1)kkkk那么111111.ln(1)2312(1)1kkkkkk2ln(1)2(1)kkk由（）知：当12a 时，有()ln(1)f xx x令12a，有11()()ln(1)2f xxx xx令21kxk，得：1212()lnln(2)ln(1)2121kkkkkkkk21ln(1)ln(2)2(1)2(2)kkkkkk11111.ln(2)2312(1)kkkkk就是说，当1nk时，不等式也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任何nN都成立。1122132321 21143434 3nnnnnnbaa（）用反证法证明假设数列 nb存在三项,rstb b b()rst按某种顺序成等差数列，由于数列 nb是首项为14，公比为23的等比数列，于是有rstbbb，则只有可能有2rstbbb成立3211 21 21 224 34 34 3srt 两边同乘 3tt2t-r，化简得 3t-r+22t-r=2*2t-r3t-s由于rst，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致矛盾。故数列 nb中任意三项不可能成等差数列。21本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。（满分 14 分）解：（）2()bfxax，则有()0()1f labcflab，解得12bacla（）由（）知，1()1 2af xaxax，令1()()ln1 2lnag xf xxaxaxx，1,x则()0g l，22221(1)()11(1)()aa xxaaxxaag xaxxxx（i）当12oa，11aa若11axa，则()0g x，()g x是减函数，所以()()g xg lo()lnf xx，故()lnf xx在1,上恒不成立。（ii）12a 时，1ala若()lnf xx，故当1x 时，()lnf xx综上所述，所求a的取值范围为1,2