2011年陕西高考理科数学真题及答案.pdf

2 0 1 1 年 陕 西 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案一、选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的（本 大 题 共 1 0 小题，每 小 题 5 分，共 5 0 分）1 设 a，b是 向 量，命 题“若 a b，则|a b”的 逆 命 题 是（）（A）若 a b，则|a b（B）若 a b，则|a b（C）若|a b，则 a b（D）若|a b，则 a b【解】选 D 原 命 题 的 条 件 是 a b，作 为 逆 命 题 的 结 论；原 命 题 的 结 论 是|a b，作 为 逆命 题 的 条 件，即 得 逆 命 题“若|a b，则 a b”，故 选 D 2 设 抛 物 线 的 顶 点 在 原 点，准 线 方 程 为 2 x，则 抛 物 线 的 方 程 是（）（A）28 y x（B）28 y x（C）24 y x（D）24 y x【解】选 B 由 准 线 方 程 2 x 得 22p,且 抛 物 线 的 开 口 向 右（或 焦 点 在 x 轴 的 正 半 轴），所 以22 8 y px x 3 设 函 数()f x（x R）满 足()()f x f x，(2)()f x f x，则 函 数()y f x 的 图 像 是（）【解】选 B 由()()f x f x 得()y f x 是 偶 函 数，所 以 函 数()y f x 的 图 象 关 于 y 轴 对称，可 知 B，D 符 合；由(2)()f x f x 得()y f x 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数，选 项 D 的 图 像的 最 小 正 周 期 是 4，不 符 合，选 项 B 的 图 像 的 最 小 正 周 期 是 2，符 合，故 选 B 4 6(4 2)x x（x R）展 开 式 中 的 常 数 项 是（）（A）20（B）15（C）1 5（D）2 0【解】选 C6 2(6)12 31 6 6 6(4)(2)2 2 2r x r x r r x r x r r x x rrT C C C，令 12 3 0 x x r，则 4 r，所 以45 615 T C，故 选 C 5 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 它 的 体 积 是（）（A）283（B）83（C）8 2（D）23【解】选 A 由 几 何 体 的 三 视 图 可 知 几 何 体 为 一 个 组 合 体，即 一 个 正 方 体 中 间 去 掉 一 个 圆 锥 体，所 以 它 的 体 积 是3 21 82 2 2 83 3V.6 函 数()c os f x x x 在 0,)内（）（A）没 有 零 点（B）有 且 仅 有 一 个 零 点（C）有 且 仅 有 两 个 零 点（D）有 无 穷 多 个 零 点【解】选 B（方 法 一）数 形 结 合 法，令()c os f x x x 0，则 c os x x，设 函 数 y x 和 c os y x，它 们 在 0,)的 图 像 如 图 所 示，显 然 两 函 数 的 图 像 的 交 点 有 且 只 有 一 个，所 以函 数()c os f x x x 在 0,)内 有 且 仅 有 一 个 零 点；（方 法 二）在,)2x 上，1 x，c os 1 x，所 以()c os f x x x 0；在(0,2x，1()s i n 02f x xx，所 以 函 数()c os f x x x 是 增 函 数，又 因 为(0)1 f，()02 2f，所 以()c os f x x x 在 0,2x 上 有 且 只 有 一 个 零 点 7 设 集 合2 2|c os s i n|,M y y x x x R，1|2 N x xi，i 为 虚 数 单 位，x R，则 M N 为（）（A）（0，1）（B）(0，1（C）0，1)（D）0，1【解】选 C2 2|c os s i n|c os 2|0,1 y x x x，所 以 0,1 M；因 为1|2 xi，所 以|2 x i，即|()|2 x i，又 因 为 x R，所 以 1 1 x，即(1,1)N；所 以 0,1)M N，故 选 C.8 右 图 中，1x，2x，3x 为 某 次 考 试 三 个 评 阅 人 对 同 一 道 题 的 独 立 评分，p 为 该 题 的 最 终 得 分，当16 x，29 x，8.5 p 时，3x 等 于（）（A）1 1（B）1 0（C）8（D）7【解】选 C16 x，29 x,1 2|3 2 x x 不 成 立,即 为“否”，所 以 再 输 入3x；由 绝 对 值 的 意 义（一 个 点 到 另 一 个 点 的 距 离）和 不 等 式3 1 3 2|x x x x 知，点3x 到 点1x 的 距 离 小 于 点3x 到2x 的 距 离，所 以 当37.5 x 时，3 1 3 2|x x x x 成 立，即 为“是”，此 时2 3x x，所 以1 32x xp，即368.52x，解 得311 x 7.5，不 合 题 意；当37.5 x 时，3 1 3 2|x x x x 不 成 立，即 为“否”，此 时1 3x x，所 以3 22x xp，即398.52x，解 得38 x 7.5，符 合 题 意，故 选 C 9 设1 1 2 2(,),(,)x y x y，3 3(,)x y 是 变 量 x 和 y 的 n 个 样 本 点，直 线 l 是 由 这 些 样 本 点 通 过最 小 二 乘 法 得 到 的 线 性 回 归 方 程（如 图），以 下 结 论 中 正 确 的 是（）（A）x 和 y 的 相 关 系 数 为 直 线 l 的 斜 率（B）x 和 y 的 相 关 系 数 在 0 到 1 之 间（C）当 n 为 偶 数 时，分 布 在 l 两 侧 的 样 本 点 的 个 数 一 定 相 同（D）直 线 l 过 点(,)x y【解】选 D选 项 具 体 分 析 结 论A相 关 系 数 用 来 衡 量 两 个 变 量 之 间 的 相 关 程 度，直 线 的 斜 率 表 示 直 线 的 倾 斜程 度；它 们 的 计 算 公 式 也 不 相 同不 正 确B相 关 系 数 的 值 有 正 有 负，还 可 以 是 0；当 相 关 系 数 在 0 到 1 之 间 时，两 个变 量 为 正 相 关，在 1 到 0 之 间 时，两 个 变 量 负 相 关不 正 确C l 两 侧 的 样 本 点 的 个 数 分 布 与 n 的 奇 偶 性 无 关，也 不 一 定 是 平 均 分 布 不 正 确D回 归 直 线 l 一 定 过 样 本 点 中 心(,)x y；由 回 归 直 线 方 程 的 计 算 公 式a y bx 可 知 直 线 l 必 过 点(,)x y正 确1 0 甲 乙 两 人 一 起 去 游“2 0 1 1 西 安 世 园 会”，他 们 约 定，各 自 独 立 地 从 1 到 6 号 景 点 中 任 选 4个 进 行 游 览，每 个 景 点 参 观 1 小 时，则 最 后 一 小 时 他 们 同 在 一 个 景 点 的 概 率 是（）（A）136（B）19（C）536（D）16【解】选 D 甲 乙 两 人 各 自 独 立 任 选 4 个 景 点 的 情 形 共 有4 46 6A A（种）；最 后 一 小 时 他 们 同 在一 个 景 点 的 情 形 有3 35 56 A A（种），所 以3 35 54 46 66 16A APA A 二、填 空 题：把 答 案 填 在 答 题 卡 相 应 题 号 后 的 横 线 上（本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 2 5分）1 1 设20l g 0()3 0ax xf xx t dt x，若(1)1 f f，则 a【解】因 为 1 0 x，所 以(1)l g 1 0 f，又 因 为2 30()3af x x t dt x a，所 以3(0)f a，所 以31 a，1 a【答 案】11 2 设 n N，一 元 二 次 方 程24 0 x x n 有 整 数 根 的 充 要 条 件 是 n【解】4 16 42nx 2 4 n，因 为 x 是 整 数，即 2 4 n 为 整 数，所 以 4 n 为整 数，且 4 n，又 因 为 n N，取 1,2,3,4 n，验 证 可 知 3,4 n 符 合 题 意；反 之 3,4 n 时，可 推 出 一 元 二 次 方 程24 0 x x n 有 整 数 根【答 案】3 或 41 3 观 察 下 列 等 式1=12+3+4=93+4+5+6+7=2 54+5+6+7+8+9+1 0=4 9 照 此 规 律，第 n 个 等 式 为.【解】把 已 知 等 式 与 行 数 对 应 起 来，则 每 一 个 等 式 的 左 边 的 式 子 的 第 一 个 数 是 行 数 n，加 数 的个 数 是 2 1 n；等 式 右 边 都 是 完 全 平 方 数，行 数 等 号 左 边 的 项 数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=2 5 3 54+5+6+7+8+9+1 0=4 9 4 7 所 以2(1)(2 1)1(2 1)n n n n n，即2(1)(3 2)(2 1)n n n n 1 4 植 树 节 某 班 2 0 名 同 学 在 一 段 直 线 公 路 一 侧 植 树，每 人 植 一 棵，相 邻 两 棵 树 相 距 1 0 米 开始 时 需 将 树 苗 集 中 放 置 在 某 一 树 坑 旁 边，使 每 位 同 学 从 各 自 树 坑 出 发 前 来 领 取 树 苗 往 返 所 走的 路 程 总 和 最 小，这 个 最 小 值 为（米）【解】（方 法 一）设 树 苗 放 在 第 i 个 树 坑 旁 边（如 图），1 2 i 1 9 2 0那 么 各 个 树 坑 到 第 i 个 树 坑 距 离 的 和 是(1)10(2)10()10(1)10(20)10 s i i i i i i i(1)(20)(1 20)10(20)2 2i i i ii i i i 210(21 210)i i，所 以 当 1 0 i 或 11 时，s 的 值 最 小，最 小 值 是 1 0 0 0，所 以 往 返 路 程 的最 小 值 是 2 0 0 0 米.（方 法 二）根 据 图 形 的 对 称 性，树 苗 放 在 两 端 的 树 坑 旁 边，所 得 路 程 总 和 相 同，取 得 一 个 最值；所 以 从 两 端 的 树 坑 向 中 间 移 动 时，所 得 路 程 总 和 的 变 化 相 同，最 后 移 到 第 1 0 个 和 第 1 1个 树 坑 旁 时，所 得 的 路 程 总 和 达 到 另 一 个 最 值，所 以 计 算 两 个 路 程 和 即 可。树 苗 放 在 第 一 个树 坑 旁，则 有 路 程 总 和 是19(1 19)10(1 2 19)2 10 2 38002；树 苗 放 在 第1 0 个（或 第 1 1 个）树 坑 旁 边 时，路 程 总 和 是 10(1 2 9)10(1 2 10)2 9(1 9)10(1 10)10 2 10 2 900 1100 20002 2，所 以 路 程 总 和 最 小 为 2 0 0 0米.1 5（考 生 注 意：请 在 下 列 三 题 中 任 选 一 题 作 答，如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 评 分）A（不 等 式 选 做 题）若 关 于 x 的 不 等 式|1|2|a x x 存 在 实 数 解，则 实 数 a 的 取 值 范围 是【解】当 1 x 时，|1|2|1 2 2 1 3 x x x x x；当 1 2 x 时，|1|2|1 2 3 x x x x；当 2 x 时，|1|2|1 2 2 1 3 x x x x x；综 上 可 得|1|2|3 x x，所 以 只 要|3 a，解 得 3 a 或 3 a，即 实 数 a 的 取 值 范 围 是(,3 3,)【答 案】(,3 3,)B（几 何 证 明 选 做 题）如 图，B=D，A E B C，90 A C D，且 A B=6，A C=4，A D=1 2，则 B E=【解】因 为 A E B C，所 以 A E B=90 A C D，又 因 为 B=D，所 以 A E B A C D，所 以A C A DA E A B,所 以6 4212A B A CA EA D，在 R t A E B 中，2 2 2 26 2 4 2 B E A B A E【答 案】4 2C（坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题）直 角 坐 标 系 x O y 中，以 原 点 O 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴建 立 极 坐 标 系，设 点 A，B 分 别 在 曲 线1C：3 c os4 s i nxy（为 参 数）和 曲 线2C：1 上，则|A B 的 最 小 值 为【解】曲 线1C 的 方 程 是2 2(3)(4)1 x y，曲 线2C 的 方 程 是2 21 x y，两 圆 外 离，所以|A B 的 最 小 值 为2 23 4 1 1 3【答 案】3三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤（本 大 题 共 6 小 题，共 7 5 分）1 6（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，在 A B C 中，A B C=60，B A C 90，A D 是 B C 上 的 高，沿 A D 把 A B D 折 起，使 B D C 90（1）证 明：平 面 A D B 平 面 B D C；（2）设 E 为 B C 的 中 点，求 A E 与 D B 夹角 的 余 弦 值【分 析】（1）确 定 图 形 在 折 起 前 后 的 不 变 性 质，如 角 的 大 小 不 变，线 段 长 度 不 变，线 线 关 系不 变，再 由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 进 行 推 理 证 明；（2）在（1）的 基 础 上 确 定 出 三 线 两 两 垂 直，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 的 坐 标 和 向 量 的 数 量 积 运 算 求 解【解】（1）折 起 前 A D 是 B C 边 上 的 高，当 A B D 折 起 后，A D D C，A D D B，又 D B D C D，A D 平 面 B D C，A D 平 面 A B D，平 面 A B D 平 面 B D C（2）由 B D C 90 及（1）知 D A，D B，D C 两 两 垂 直，不 妨 设|D B|=1，以 D 为 坐 标 原 点，以 D B，D C，D A 所 在 直 线 为,x y z 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，易 得：D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,3),E(12,32,0)，所 以1 3(,3)2 2A E，(1,0,0)D B，1222c os,22 2214A E D BA E D BA E D B 所 以 A E 与 D B 夹 角 的 余 弦 值 是22221 7（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，设 是 圆2 225 x y 上 的 动 点，点 是 在 x 轴 上 投 影，为 P D 上 一 点，且4|5M D P D（1）当 P 在 圆 上 运 动 时，求 点 M 的 轨 迹 C 的 方 程；（2）求 过 点（3，0）且 斜 率 为45的 直 线 被 C 所 截 线 段 的 长 度【分 析】（1）动 点 M 通 过 点 P 与 已 知 圆 相 联 系，所 以 把 点 P 的 坐 标 用 点 M 的 坐 标 表 示，然 后代 入 已 知 圆 的 方 程 即 可；（2）直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 组 成 方 程 组，可 以 求 解，也 可 以 利 用 根 与系 数 关 系；结 合 两 点 的 距 离 公 式 计 算【解】（1）设 点 M 的 坐 标 是(,)x y，P 的 坐 标 是(,)p px y，因 为 点 是 在 x 轴 上 投 影，为 P D 上 一 点，且4|5M D P D，所 以px x，且54py y，P 在 圆2 225 x y 上，2 25()254x y，整 理 得2 2125 16x y，即 C 的 方 程 是2 2125 16x y（2）过 点（3，0）且 斜 率 为45的 直 线 方 程 是4(3)5y x，设 此 直 线 与 C 的 交 点 为1 1(,)A x y，2 2(,)B x y，将 直 线 方 程4(3)5y x 代 入 C 的 方 程2 2125 16x y 得：2 2(3)125 25x x，化 简 得23 8 0 x x，13 412x，23 412x，所 以 线 段 A B 的 长 度 是2 2 21 2 1 2 1 216|()()(1)()25A B x x y y x x 41 414125 5，即 所 截 线 段 的 长 度 是4151 8（本 小 题 满 分 1 2 分）叙 述 并 证 明 余 弦 定 理【分 析 思 路 点 拨】本 题 是 课 本 公 式、定 理、性 质 的 推 导，这 是 高 考 考 查 的 常 规 方 向 和 考 点，引 导 考 生 回 归 课 本，重 视 基 础 知 识 学 习 和 巩 固【解】叙 述:余 弦 定 理：三 角 形 任 何 一 边 的 平 方 等 于 其 他 两 遍 平 方 的 和 减 去 这 两 边 与 它 们 夹 角 的 余弦 之 积 的 两 倍。或：在 A B C 中，a，b，c 为 A，B，C 的 对 边，有2 2 22 c os a b c bc A，2 2 22 c os b c a c a B，2 2 22 c os c a b ab C.证 明：（证 法 一）如 图，2c B C A C A B A C A B 2 22 A C A C A B A B 2 22 c os A C A C A B A A B 2 22 c os b bc A c 即2 2 22 c os a b c bc A 同 理 可 证2 2 22 c os b c a c a B，2 2 22 c os c a b ab C（证 法 二）已 知 A B C 中，,A B C 所 对 边 分 别 为,a b c，以 A 为 原 点，A B 所 在 直 线 为 x 轴建 立 直 角 坐 标 系，则(c os,s i n),(,0)C b A b A B c，2 2 2 2 2 2 2 2 2|(c os)(s i n)c os 2 c os s i n a B C b A c b A b A bc A c b A 2 22 c os b c bc A，即2 2 22 c os a b c bc A 同 理 可 证2 2 22 c os b c a c a B，2 2 22 c os c a b ab C 1 9（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，从 点 P1（0，0）作 x 轴 的 垂 线 交 曲 线xy e 于 点1(0,1)Q，曲 线 在1Q 点 处 的 切 线 与 x 轴交 于 点2P 再 从2P 做 x 轴 的 垂 线 交 曲 线 于 点2Q，依 次 重 复 上 述 过 程 得 到 一 系 列 点：1 1,P Q；2 2,P Q；,n nP Q，记kP 点 的 坐 标 为(,0)kx（0,1,2,k n）（1）试 求kx 与1 kx的 关 系（2 k n）；（2）求1 1 2 2 3 3|n nP Q P Q P Q P Q【分 析】（1）根 据 函 数 的 导 数 求 切 线 方 程，然 后 再求 切 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标；（2）尝 试 求 出 通 项|n nP Q的 表 达 式，然 后 再 求 和【解】（1）设 点1 kP的 坐 标 是1(,0)kx，xy e，xy e，11 1(,)kxk kQ x e，在 点11 1(,)kxk kQ x e 处 的 切 线 方 程 是1 11()k kx xky e e x x，令 0 y，则11k kx x（2 k n）（2）10 x，11k kx x，(1)kx k，(1)|kx kk kP Q e e，于 是 有1 1 2 2 3 3|n nP Q P Q P Q P Q 1 2(1)1111nkee e ee 11ne ee，即1 1 2 2 3 3|n nP Q P Q P Q P Q 11ne ee2 0（本 小 题 满 分 1 3 分）如 图，A 地 到 火 车 站 共 有 两 条 路 径1L 和2L，据 统 计，通 过两 条 路 径 所 用 的 时 间 互 不 影 响，所 用 时 间 落 在 个 时 间 段 内 的频 率 如 下 表：时 间（分 钟）1 0 2 0 2 0 3 0 3 0 4 0 4 0 5 0 5 0 6 01L 的 频 率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.22L 的 频 率 0 0.1 0.4 0.4 0.1现 甲、乙 两 人 分 别 有 4 0 分 钟 和 5 0 分 钟 时 间 用 于 赶 往 火 车 站（1）为 了 尽 最 大 可 能 在 各 自 允 许 的 时 间 内 赶 到 火 车 站，甲 和 乙 应 如 何 选 择 各 自 的 路 径？（2）用 X 表 示 甲、乙 两 人 中 在 允 许 的 时 间 内 能 赶 到 火 车 站 的 人 数，针 对（1）的 选 择 方 案，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.【分 析】（1）会 用 频 率 估 计 概 率，然 后 把 问 题 转 化 为 互 斥 事 件 的 概 率；（2）首 先 确 定 X 的 取值，然 后 确 定 有 关 概 率，注 意 运 用 对 立 事 件、相 互 独 立 事 件 的 概 率 公 式 进 行 计 算，列 出 分 布列 后 即 可 计 算 数 学 期 望【解】（1）iA 表 示 事 件“甲 选 择 路 径iL 时，4 0 分 钟 内 赶 到 火 车 站”，iB 表 示 事 件“甲 选 择路 径iL 时，5 0 分 钟 内 赶 到 火 车 站”，1 i，2 用 频 率 估 计 相 应 的 概 率，则 有：1()0.1 0.2 0.3 0.6 P A，2()0.1 0.4 0.5 P A；1 2()()P A P A，甲 应 选 择 路 径1L；1()0.1 0.2 0.3 0.2 0.8 P B，2()0.1 0.4 0.4 0.9 P B；2 1()()P B P B，乙 应 选 择 路 径2L（2）用 A，B 分 别 表 示 针 对（1）的 选 择 方 案，甲、乙 在 各 自 允 许 的 时 间 内 赶 到 火 车 站，由（1）知()0.6 P A，()0.9 P B，又 事 件 A，B 相 互 独 立，X 的 取 值 是 0，1，2，(0)()()()0.4 0.1 0.04 P X P A B P A P B，(1)()()()()()0.4 0.9 0.6 0.1 0.42 P X P A B A B P A P B P A P B(2)()()()0.6 0.9 0.54 P X P A B P A P B，X 的 分 布 列 为X 0 1 2P 0.0 4 0.4 2 0.5 4 0 0.0 4 1 0.4 2 2 0.5 4 1.5 E X 2 1（本 小 题 满 分 1 4 分）设 函 数()f x 定 义 在(0,)上，(1)0 f，导 函 数1()f xx，()()()g x f x f x（1）求()g x 的 单 调 区 间 和 最 小 值；（2）讨 论()g x 与1()gx的 大 小 关 系；（3）是 否 存 在00 x，使 得01|()()|g x g xx 对 任 意 0 x 成 立？若 存 在，求 出0 x 的 取 值 范围；若 不 存 在，请 说 明 理 由【分 析】（1）先 求 出 原 函 数()f x，再 求 得()g x，然 后 利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性（单 调 区间），并 求 出 最 小 值；（2）作 差 法 比 较，构 造 一 个 新 的 函 数，利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性，并由 单 调 性 判 断 函 数 的 正 负；（3）存 在 性 问 题 通 常 采 用 假 设 存 在，然 后 进 行 求 解；注 意 利 用 前两 问 的 结 论【解】（1）1()f xx，()l n f x x c（c 为 常 数），又(1)0 f，所 以 l n 1 0 c，即 0 c，()l n f x x；1()l n g x xx，21()xg xx，令()0 g x，即210 xx，解 得 1 x，当(0,1)x 时，()0 g x，()g x 是 减 函 数，故 区 间 在(0,1)是 函 数()g x 的 减 区 间；当(1,)x 时，()0 g x，()g x 是 增 函 数，故 区 间 在(1,)是 函 数()g x 的 增 区 间；所 以 1 x 是()g x 的 唯 一 极 值 点，且 为 极 小 值 点，从 而 是 最 小 值 点，所 以()g x 的 最 小 值 是(1)1 g（2）1()l n g x xx，设1 1()()()2 l n h x g x g x xx x，则22(1)()xh xx，当 1 x 时，(1)0 h，即1()()g x gx，当(0,1)(1,)x 时，()0 h x，(1)0 h，因 此 函 数()h x 在(0,)内 单 调 递 减，当 0 1 x 时，()(1)h x h=0，1()()g x gx；当 1 x 时，()(1)h x h=0，1()()g x gx（3）满 足 条 件 的0 x 不 存 在 证 明 如 下：证 法 一 假 设 存 在00 x，使01|()()|g x g xx 对 任 意 0 x 成 立，即 对 任 意 0 x 有02l n()l n x g x xx 但 对 上 述 的0 x，取0()1g xx e 时，有1 0l n()x g x，这 与 左 边 的 不 等 式 矛 盾，因 此 不 存 在00 x，使01|()()|g x g xx 对 任 意 0 x 成 立 证 法 二 假 设 存 在00 x，使01|()()|g x g xx 对 任 意 0 x 成 立，由（1）知，()g x 的 最 小 值 是(1)1 g，又1()l n l n g x x xx，而 1 x 时，l n x 的 值 域 为(0,)，当 1 x 时，()g x 的 值 域 为 1,)，从 而 可 以 取 一 个 值11 x，使1 0()()1 g x g x，即1 0()()1 g x g x,1 011|()()|1 g x g xx，这 与 假 设 矛 盾 不 存 在00 x，使01|()()|g x g xx 对 任 意 0 x 成 立