2011年浙江高考文科数学真题及答案.pdf

2 0 1 1 年 浙 江 高 考 文 科 数 学 真 题 及 答 案选 择 题 部 分（共 5 0 分）一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分。在 每 小 题 给 也 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的。（1）若 1,1 P x x Q x x，则A P Q B Q P C RC P Q D RQ C P（2）若 复 数 1 z i，i 为 虚 数 单 位，则(1)i z A 1 3 i B 3 3 i C 3 i D 3（3）若 实 数 x，y 满 足 不 等 式 组2 5 0,2 7 0,0,0,x yx yx y 则 3 x+4 y 的 最 小 值 是A 1 3 B 1 5 C 2 0 D 2 8（4）若 直 线 l 不 平 行 于 平 面 a，且 l a，则A a 内 的 所 有 直 线 与 异 面 B a 内 不 存 在 与 l 平 行 的 直 线C a 内 存 在 唯 一 的 直 线 与 l 平 行 D a 内 的 直 线 与 l 都 相 交（5）在 A B C 中，角,A B C 所 对 的 边 分,a b c 若 c o s s i n a A b B，则2s i n c o s c o s A A B A-12B 12C-1 D 1（6）若,a b 为 实 数，则“0 a b 1”是“b a1”的A 充 分 而 不 必 要 条 件 B 必 要 而 不 充 分 条 件C 充 分 必 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件（7）几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 这 个 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是（8）从 装 有 3 个 红 球、2 个 白 球 的 袋 中 任 取 3 个 球，则 所 取 的 3 个 球 中 至 少 有 1 个 白 球 的 概 率 是A 11 0B 31 0C 35D 91 0（9）已 知 椭 圆2 21 2 2:1x yCa b（a b 0）与 双 曲 线222:14yC x 有 公 共 的 焦 点，C2的 一 条 渐近 线 与 以 C1的 长 轴 为 直 径 的 圆 相 交 于,A B 两 点 若 C1恰 好 将 线 段 A B 三 等 分，则A a2=1 32B a2=1 3 C b2=12D b2=2（1 0）设 函 数 2,f x a x b x c a b c R，若 1 x 为 函 数 2f x e 的 一 个 极 值 点，则 下 列图 象 不 可 能 为 y f x 的 图 象 是非 选 择 题 部 分（共 1 0 0 分）二、填 空 题：本 大 题 共 7 小 题，每 小 题 4 分，共 2 8 分。（1 1）设 函 数 k4()1f xx,若()2 f a,则 实 数 a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（1 2）若 直 线 2 5 0 x y 与 直 线 2 6 0 x m y 互 相 垂 直，则 实 数 m=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（1 3）某 小 学 为 了 解 学 生 数 学 课 程 的 学 习 情 况，在 3 0 0 0 名 学 生 中 随 机 抽 取 2 0 0 名，并 统 计 这 2 0 0名 学 生 的 某 次 数 学 考 试 成 绩，得 到 了 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图（如 图）。根 据 频 率 分 布 直 方 图 推测 3 0 0 0 名 学 生 在 该 次 数 学 考 试 中 成 绩 小 于 6 0 分 的 学 生 数 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _（1 4）某 程 序 框 图 如 图 所 示，则 该 程 序 运 行 后 输 出 的 k 的 值 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。（1 5）若 平 面 向 量、满 足 1 1，且 以 向 量、为 邻 边 的平 行 四 边 形 的 面 积 为12，则 和 的 夹 角 的 取 值 范 围 是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。（1 6）若 实 数,x y 满 足2 21 x y x y，则 x y 的 最 大 值 是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。（1 7）若 数 列2(4)()3nn n 中 的 最 大 项 是 第 k 项，则k=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。三、解 答 题，共 7 2 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。（1 8）（本 题 满 分 1 4 分）已 知 函 数()s i n()3f x A x，x R，0 A，02()y f x 的 部 分 图 像，如 图 所 示，P、Q 分 别 为 该 图 像 的 最 高 点 和 最 低 点，点 P 的 坐 标 为(1,)A（）求()f x 的 最 小 正 周 期 及 的 值；（）若 点 R 的 坐 标 为(1,0)，23P R Q，求 A 的 值（1 9）（本 题 满 分 1 4 分）已 知 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 na 的 首 项 为)(R a a，且11a，21a，41a成 等 比 数 列（）求 数 列 na 的 通 项 公 式；（）对*N n，试 比 较na a a a23222 21.1 1 1 与11a的 大 小（2 0）（本 题 满 分 1 4 分）如 图，在 三 棱 锥 P A B C 中，A B A C，D为 B C 的 中 点，P O 平 面 A B C，垂 足 O 落 在 线 段 A D 上（）证 明：A P B C；（）已 知 8 B C，4 P O，3 A O，2 O D 求 二 面 角B A P C 的 大 小（2 1）（本 小 题 满 分 1 5 分）设 函 数 ax x x a x f 2 2l n)(，0 a（）求)(x f 的 单 调 区 间；（）求 所 有 实 数 a，使2)(1 e x f e 对,1 e x 恒 成 立 注：e 为 自 然 对 数 的 底 数（2 2）（本 小 题 满 分 1 5 分）如 图，设 P 是 抛 物 线1C：2x y 上 的 动 点。过 点 P 做 圆2C 1)3(:2 2 y x 的 两 条 切 线，交 直 线 l：3 y 于,A B 两 点。（）求2C 的 圆 心 M 到 抛 物 线1C 准 线 的 距 离。（）是 否 存 在 点 P，使 线 段 A B 被 抛 物 线1C 在 点 P 处 得 切 线 平 分，若 存 在，求 出 点 P 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由。参 考 答 案一、选 择 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算。每 小 题 5 分，满 分 5 0 分。1 5 C A A B D 6 1 0 D B D C D二、填 空 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算。每 小 题 4 分，满 分 2 8 分。1 1-1 1 2 1 1 3 6 0 0 1 4 5 1 5 5,6 6 1 6 2 331 7 4三、解 答 题：本 大 题 共 5 小 题，其 7 2 分。（1）本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质、三 角 运 算 等 基 础 知 识。满 分 1 4 分。（）解：由 题 意 得，26.3T 因 为(,)s i n()3P A y A x 在 的 图 象 上，所 以 s i n(,)1.3 又 因 为 02，所 以6（）解：设 点 Q 的 坐 标 为0(,)x A 由 题 意 可 知033 6 2x，得04,(4,)x Q A 所 以连 接 P Q，在2,3P R Q P R Q 中，由 余 弦 定 理 得2 2 2 2 2 229(9 4)1c os.2 22 9R P R Q P Q A A AP R QR P R QA A 解 得23.A 又 0,3.A A 所 以（1 9）本 题 主 要 考 查 等 差、等 比 数 列 的 概 念 以 及 通 项 公 式，等 比 数 列 的 求 和 公 式 等 基 础 知 识，同时 考 查 运 算 求 解 能 力 及 推 理 论 证 能 力。满 分 1 4 分。（）解：设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d，由 题 意 可 知22 1 41 1 1()a a a 即21 1 1()(3)a d a a d，从 而21a d d 因 为10,.d d a a 所 以故 通 项 公 式.na na（）解：记2222 21 1 1,2nnnnT a aa a a 因 为所 以21 1(1()1 1 1 1 1 1 12 2()1()12 2 2 212nnnnTa a a 从 而，当 0 a 时，11nTa；当110,.na Ta 时（2 0）本 题 主 要 考 查 空 间 线 线、线 面、面 面 位 置 关 系，二 面 角 等 基 础 知 识，同 时 考 查 空 间 想 象 能力 和 推 理 论 证 能 力。满 分 1 4 分。（）证 明：由 A B=A C，D 是 B C 中 点，得 A D B C，又 P O 平 面 A B C，得 P O B C 因 为 P O A D O，所 以 B C 平 面 P A D，故.B C P A（）解：如 图，在 平 面 P A B 内 作 B M P A 于 M，连 C M。因 为,B C P A P A 得 平 面 B M C，所 以 A P C M。故 B M C 为 二 面 角 B A P C 的 平 面 角。在2 2 2,41,41 R t A D B A B A D B D A B 中 得在2 2 2R t P O D P O O D 中,PD，在 R t P D B 中，2 2 2P B P D B D，所 以2 2 2 236,6.P B P O O D B D P B 得在2 2 2,25,5.R t P O A P A A O O P P A 中 得又2 2 21 2 2c os,s i n2 3 3P A P B A BB P A B P AP A P B 从 而故 s i n 4 2 B M P B B P A 同 理 4 2.G M 因 为2 2 2B M M C B C 所 以 9 0 B M C 即 二 面 角 B A P C 的 大 小 为 90.（2 1）本 题 主 要 考 查 函 数 的 单 调 性、导 数 运 算 法 则、导 数 应 用 等 基 础 知 识，同 时 考 查 抽 象 概 括、推 理 论 证 能 力。满 分 1 5 分。（）解：因 为2 2()l n.0 f x a x x ax x 其 中所 以2()(2)()2a x a x af x x ax x 由 于 0 a，所 以()f x 的 增 区 间 为(0,)a，减 区 间 为(,)a（）证 明：由 题 意 得，(1)1 1,f a c a c 即由（）知()1,f x e 在 内 单 调 递 增，要 使21()1,e f x e x e 对 恒 成 立，只 要2 2 2(1)1 1,()f a ef e a e ae e 解 得.a e（2 2）本 题 主 要 考 查 抛 物 线 几 何 性 质，直 线 与 抛 物 线、直 线 与 圆 的 位 置 关 系，同 时 考 查 解 析 几 何的 基 本 思 想 方 法 和 运 算 求 解 能 力。满 分 1 5 分。（）解：因 为 抛 物 线 C1的 准 线 方 程 为：14y 所 以 圆 心 M 到 抛 物 线 C1准 线 的 距 离 为：1 11|(3)|.4 4（）解：设 点 P 的 坐 标 为20 0(,)x x，抛 物 线 C1在 点 P 处 的 切 线 交 直 线 l 于 点 D。再 设 A，B，D 的 横 坐 标 分 别 为,A B Cx x x过 点20 0(,)P x x 的 抛 物 线 C1的 切 线 方 程 为：20 0 02()y x x x x（1）当01 x 时，过 点 P（1，1）与 圆 C2的 切 线 P A 为：151(1)8y x 可 得17,1,1,215A B D A B Dx x x x x x 当 10 x 时，过 点 P（1，1）与 圆 C2的 切 线 P A 为：151(1)8y x 可 得D B A D B Ax x x x x x 2,1,1517,1 17,1,1,215A B D A B Dx x x x x x 所 以201 0 x 设 切 线 P A，P B 的 斜 率 为1 2,k k，则20 1 0:()P A y x k x x（2）20 2 0:()P B y x k x x（3）将 3 y 分 别 代 入（1），（2），（3）得2 2 20 0 00 0 0 1 20 1 13 3 3(0);(,0)2D A Bx x xx x x x x x k kx k k 从 而20 01 21 12(3)().A Bx x x xk k 又20 1 021|3|11x k xk 即2 2 2 2 20 1 0 0 1 0(1)2(3)(3)1 0 x k x x k x 同 理，2 2 2 2 20 2 0 0 2 0(1)2(3)(3)1 0 x k x x k x 所 以1 2,k k 是 方 程2 2 2 2 20 0 0 0(1)2(3)(3)1 0 x k x x k x 的 两 个 不 相 等 的 根，从 而2 2 20 0 01 2 1 22 20 02(3)(3)1,.1 1x x xk k k kx x 因 为02 x x xB A 所 以22 00 01 2 0 1 2 03 1 1 1 1 12(3)(),.xx xk k x k k x 即从 而20 02 20 02(3)1(3)1x xx x 进 而 得4 40 08,8 x x 综 上 所 述，存 在 点 P 满 足 题 意，点 P 的 坐 标 为4(8,2 2).